Ғылыми-практикалық конференциясының материалдары

347 

 

2. 

b  вектор  а  векторына коллинеар. 

3. 

b   және  а   векторының  бағыттары  бірдей,  егер 

0





  және  қарама-қарсы 

бағытталған,  егер 

0





.  Егерде 

0





  болса,  онда  векторлардың  бағыттары 

анықталмаған, яғни кез келген бағытты қабылдайды. 

 

Анықтама4.  Векторлардың  е  осіне  проекциясы  дегеніміз  бас  нүктесі  вектордың 

оське түсірілген бас нүктесінің проекциясы болатын, ал соңғы нүктесі вектордың ұшының 

оське  түсірілген  проекциясы  болатын  кесіндінің  ұзындығы  және  ол  вектор  мен  ось 

арасындағы  бұрыш  сүйір  болса  оң  (+)  таңбамен,  ал  доғал  болса  теріс  (-)  таңбамен 

алынады. 



cos

1

1

AB

B

A

AB

np

e





  

Мысал.Ұзындығы 

5



a

  тең  a   векторы  ох  осімен  60

0

  бұрыш  жасайды.  Осы 

вектордың ох осіндегі проекциясын табу керек. 

5

,

2

2

5

2

1

5

60

cos

5

cos

0

















a

a

np

a

np

e

ox

 

 

Векторлардың  қосындыларының  проекциясы  әр  вектордың  проекцияларының 

қосындысына тең: 





.

c

np

b

np

a

np

c

b

a

np

e

e

e

e











 

1. 





n

a

a

a

n

,...,

,

2

1

  векторлары  берілсін  делік.  Осы  n  векторлардың  біреуін 

қалғандарының  сызықтық  комбинациясы  түрінде  өрнектеуге  мүмкін  болса,  онда  оларды 

сызықты тәуелді деп атайды. 

1

1

2

2

1

1

...













n

n

n

a

a

a

a







 

2.  Егер 

n







,...,

,

2

1

       





0





  сандары  табылып  берілген 

n

a

a

a

,...,

,

2

1

    n  векторымен 

0

...

2

2

1

1









n

n

a

a

a







        түрінде  өрнектеуге  мүмкін  болса,  онда  векторлар  сызықты 

тәуелді деп аталады. 

Анықтама5.  Екі  a   және  b   векторларының  векторлық  көбейтіндісі  деп  мына 

шарттарды қанағаттандыратын үшінші  c  векторын айтамыз: 

1)  c   векторының  модулі  сол  векторлардың  модульдері  мен  арасындағы  бұрыштың 

синусына көбейтіндісіне тең:   

 

.

,

sin

b

a

b

a

c









 

2)  c  векторы  a  және  b  векторының әрқайсысымен 



,   

b

c

a

c





,

 

3)  

c

b

a ,

,

 үш векторы оң үштік вектор құрайды,  

 

c

b

a



 

348 

 

  Векторлық көбейтіндінің қасиеттері: 

1)  Векторлық  көбейтіндінің  модульі  a   мен    b   векторлары    арқылы  анықталған 

параллелограмм ауданына тең, яғни  

 

b

a

S

nop



 

2)  Векторлық көбейтіндіде ауыстырымдылық заңы орындалмайды, яғни  

   

a

b

b

a





 

3)  Векторлық  көбейтіндіні  λ  санына  көбейту  үшін  вектордың  біреуін  осы  санға 

көбейту жеткілікті: 

     

b

a

b

a

b

a











 

4) Векторлық көбейтіндіде үлестірімділік заңы орындалады 

 



    

d

b

d

a

d

b

a







 

5)  Коллинеар  векторлардың  векторлық  көбейтіндісі  нөлге  тең  және  керісінше,  егер 

векторлық көбейтінді нөлге тең болса, онда векторлар коллинеар болғаны. 

;

1

1

1

k

z

j

y

i

x

a







   

k

z

j

y

i

x

b

2

2

2







 - векторларын қарастырамыз: 

 

 

2

2

2

1

1

1

z

y

x

z

y

x

k

j

i

b

a



-  Векторлардың  векторлық  көбейтіндісі  сәйкес  координаталары 

арқылы үшінші ретті анықтауыш түрінде өрнектеледі. 

Анықтама6.  Үш  вектордың  аралас  көбейтіндісі  деп  алғашқы  екі  вектордың 

векторлық  көбейтіндісін  үшінші  вектормен  скалярлық  көбейтіндісін  айтады  және  былай 

белгіленеді: 

 

 

c

b

a

c

b

a





. 

1-қасиеті:  Үш  вектордың  аралас  көбейтіндісінің  сан  мәні  осы  векторлардан 

тұрғызылған параллелепипедтің көлеміне тең: 

c

b

a

V

nap



 

Салдар: 

 

c

b

a

V

nup

6

1





     

 

 

 

 

2-қасиеті:  Аралас  көбейтіндіде  ауыстырымдылық  заңы 

орындалады. 

     

b

a

c

a

c

b

c

b

a





. 

3-қасиеті:  Кез  келген  вектордың  тұрақты  көбейткішін 

аралас көбейтінді таңбасының алдына шығаруға болады: 

 

.

c

b

a

c

b

a







  

Мысал:  

;

c

a



    

 

;

150

,

0



b

a

        

;

4





b

a

  

.

3



c

  

?



abc

 

349 

 

.

24

2

1

3

4

4

0

cos

150

sin

0

0



















c

b

a

abc

 

Анықтама7.  Екі  вектордың  скалярлық  көбейтіндісі  деп  осы  векторлардың 

модульдері  мен  олардың  арасындағы  бұрышының  косинусының  көбейтінділерін  айтады: 

 

 

b

a

b

a

b

a

,

cos







.    

 





j

y

i

х

a

1

1





 және 





j

y

i

x

b

2

2





 екі векторы берілсін. 

бұл векторларды мүшелеп көбейтуге болады.  

  





 

 

 

 

j

j

y

y

i

j

x

y

j

i

y

x

i

i

x

x

j

y

i

x

j

y

i

x

b

a

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1















   

i,j – бірлік векторлары өзара перпендикуляр, сондықтан олардың скаляр көбейтіндісі 

нөлге тең. 

 

,

0

1

1

1

0

cos















i

i

i

i

      

 

,

1



j

j

      

 

2

1

2

1

y

y

x

x

b

a





        

Екі  вектордың  скалярлық  көбейтіндісі  осы  векторлардың  аттас  координаталары 

көбейтінділерінің қосындысына тең.  

Векторлық есептеулер  жоғары математикаға, кейіннен орта мектеп математикасына 

қиындықпен  енді.    Оны  математиканы  оқыту  үдерісіне  енгізуге  қарсы  болғандар  көп 

болды.  Мысалы,  ағылшын  ғалымы  У.Томпсон  векторлық  есептеулерді  қолданудан 

математиканың  «шифрлануы»  орын  алады  деп  есептеген.  Ресей  ғалымы  А.Н.Крылов  та 

векторлық әдістің қолданылуын оқытуды жөн санамады. Векторлық әдісті оқыту үдерісіне 

енгізуді  жақтаушылар  да  болды.    Революцияға  дейінгі  кезде  математик  П.О.Сомов 

векторлық  әдісті  оқытуда  қолдануды  жақтап,  «Векторный  анализ  и  его  приложения» 

(1907ж.) атты кітабын жарыққа шығарды және ол кітап ұзақ уақыттар бойы осы тақырыпта 

жазылған жалғыз әдебиет саналды.  

Декарт  тікбұрышты  координаталарға  таңбаларды  таңдау  ережелерін  енгізу  арқылы 

оны жетілдіре түсті. Бастысы ол тікбұрышты координаталарды пайдаланып аналитикалық 

геометрияны  құрастырды,  осы  арқылы  геометрия  мен  алгебраны  байланыстырды.  Оның 

1637  жылы  жарық  көрген  «La  Geometric»  еңбегінде  жазықтықтағы  аналитикалық 

гелметрияның  негізгі  идеялары  жазылған.  Алайда  аналитикалық  геометрияны  Декартпен 

қатар  басқа  француз  математигі  Ферма  да  құрастырғанын  айта  кету  керек.  Олар 

координаталық  оське  дейінгі    қашықтық  тек  оң  санмен  көрсетіледі  және  нөлге  тең  бола 

алады  деген.  Ал  қашықтық  оң  болғанымен  теріс  сандарды  да  жазуға  болатындығын 

И.Ньютон, Лейбниц ашып, алғаш рет ол қашықтық «координата» деп аталды.  

Аналитикалық  геометрияның  мәні  ең  алдымен  геометрия  мен  алгебраның  арасына 

байланыс орнатуында. Математиканың бұл екі саласы Декарт уақытында жоғары дәрежеге 

жеткен  болатын.  Бірақ  олар  мыңжылдықтар  бойында  бір-бірінен  тәуелсіз  дамыды  және 

аналитикалық  геометрия  пайда  болған  кезде  олардың  арасында  байланыс  әлсіреген 

болатын.  

Координаталар  сандар  көмегімен  кеңістіктің  немесе  жазықтықтың  кез  келген 

нүктесінің  орналасуына  анықтауға  мүмкіндік  береді.  Бұл  әртүрлі  фигураларды  сандар 

көмегімен  жазу  арқылы  шифрлауға  мүмкіндік  береді.  Координаталар  арасындағы 

350 

 

қатынастар  бір  нүкте  емес  нүктелердің  белгілі  бір  жиынын  анықтайды.  Мысалы,  егер 

абсциссасы  ординатаға  тең  болатын,  яғни  координаталары 

y

x



 

теңдеуін 

қанағаттандыратын  нүктелерді  белгілесек,  онда  бірінші  және  үшінші  координаталық 

бұрыштардың биссектрисасы болатын түзу сызық пайда болады.  

 

                                   Сурет 1 – 

y

x



 түзуінің графигі. 

Кейде  «нүктелер  жиынын»  «нүктелердің  геометриялық  орны»  деп  те  атайды. 

Мысалы, координаталары 

y

x



 қатынасын қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық 

орны  жоғарыда  айтылғандай,  бірінші  және  үшінші  координаталардың  бұрыштық 

биссектрисалары.  Бір  жағынан  алгебра  мен  екінші  жағынан  геометрияның  арасында 

байланыс  орнату  шындығында  математикадағы  төңкеріс  болды.  Ол  математиканы  оның 

бөліктерінің арасында «қытай қабырғасы» жоқ ғылым ретінде қайта жаңғыртты. 

Координаталық  әдістің  есеп  шығару  әдісі  ретіндегі  мәні  –  фигураларды  теңдеулер 

көмегімен  жазып,  әртүрлі  геометриялық  қатынастарды  координаталарда  өрнектеп, 

геометриялық  есепті  алгебра  құралдарымен  шығара  алатынымызда.  Керісінше, 

координаталарды пайдаланып алгебралық  және аналитикалық қатынастар мен фактілерді 

геометриялық жолмен өрнектеп осы арқылы алгебралық есептерді шығаруда геометрияны 

қолдануға болады.  

Координаталық  әдіс  -  әмбебап  әдіс.  Ол  алгебра  мен  геометрияның  арасында  жеке-

жеке  болғанда  болғанда  бере  алмайтын  нәтижелерді  қосыла  отырып  беретіндей 

байланысты қамтамасыз етеді.  

Мектеп  геометрия  курсына  қатысты  кейбір  жағдайда  координаталық  әдіс  таза 

геометриялық  тәсілдерге  қарағанда  дәлелдеулерді  келтіру  мен  есептерді  шығаруда 

рационал  болып  табылатынын  айтуға  болады.  Координаталық  әдіс  геометриялық 

қиындықпен  байланысты.  Бір  есептің  өзі  координаталық  жүйені  таңдауға  байланысты 

әртүрлі  геометриялық  шешімге  ие  болуы  мүмкін.  Тек  жеткілікті  тәжірибе  ғана 

координаталар жүйесін дұрыс таңдауға мүмкіндік береді. 

жүктеу/скачать 7,58 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: