коэффициеттері  бар  нақты  сандар

220 

 

      Теорема-2 Қандай да болмасын нақты коэффициенттері бар көп мүшелік не сызықтық 

және квадраттық көбейткіштерге жіктеледі.  

     Дәлелдеу  Айталық,  нақты 

a

  саны 

 

x

P

  көпмүшелігінің  түбірі  болсын,  яғни 

 

.

0



a

P

 

Сонда 

 

x

P

  көпмүшелігі 

a

x



  айырмасына  бөлінеді: 

  

  

x

P

a

x

x

P

1







,  мұндағы

 



x

P

1

көп мүшелік. Айталық, енді  





i



 комплекс саны 

 

x

P

 көпмүшелігінің түбірі болсын. Сонда 





i



 түйіндес саны да 

 

x

P

-тің түбірі болғаны. Бұл екі түбірге көбейткіш есебінде

 

 















i

x

i

x









 көбейтіндісі сәйкес келеді. Ал бұл көбейтіндіні  

 

                     

 















2

2

2

2

2

2

2

2

































x

x

x

i

x

 

 

түрінде  жазуға  болады.  Демек, 

 

x

P

  көп  мүшелігі  нақты  коэффициенттері  бар  екінші 

дәрежелі 





2

2

2













x

x

  көбейткіштерге жіктеледі. Теорема дәлелденді. 

 Салдар  Дұрыс  бөлшек-рационал   

 

 

x

P

x

Q

  функциясын  бөлімдері  сызықтық,  не  квадраттық 

функция не олардың дәрежелері болатын жай бөлшектердің қосындылары түрінде жазуға 

болады.  

Бұл салдардың дәлелдеуі дұрыс бөлшектің (бөлшектің алымындағы көп мүшеліктің 

дәрежесі  бөліміндегі  көп  мүшеліктің  дәрежесінен  кіші  болғанда)  бөлімін  жоғарыдағы 

теоремада айтылғандай, жіктеуге болатындығынан келіп шығады [13]. 

Көп  мүшелікті  жіктеудің  практикалық  есептер  шығарғанда  үлкен  маңызы  бар.  Біз 

бұл  тақырыпта  жіктеу  мүмкіндігі  және  көбейкіштердің  қандай  болатындығы  туралы 

айттық. Екінші жағынан алғанда, көп мүшелікті жіктеу оның түбірлерін табумен ұштасып 

жатыр. Шынында да, егер 

 

                                           

 

,

...

1

1

0

a

x

a

x

a

x

P

n

n











 

көп мүшелігінің түбірлері  

x

x

x

,...,

,

2

1

 болса, онда: 

 

                                    

 





 



.

...

2

1

0

n

x

x

x

x

x

x

a

x

P









 

 

Теорема-3 (Алгебраның негізгі теоремасы). Әрбір дәрежесі ноль емес көпмүшеліктің 

комплекс  сандар  өрісінде  ең  болмағанда  бір  түбірі  болады.Нақты  түбі  рлері  жоқ  нақты  

коэффицентті  көпмүшелер  бар  екені  белгілі,  осындай  көпмүшелердің  бірі  -  комплекс 

сандар  арасында  да  түбірлері  болмайтын  көпмүшелер  бар  деуге    болар    еді,  әсіресе  кез-

келген  комплекскоэффицентті  көпмүшелер  қарастырылып  отырса.  Егер  олай  болса,  онда 

комплекс сандар жүйесін одан әрі кеңейту қажеттілігі туындар еді. Алайда,шын мәнінде, 

келесі  комплекс  сандар  үшін  алгебралық  негізгі  теорема  орынды.  Бұл  теорема 

математиканың  ең  маңызды  жетістіктерінің  бірі  болып  табылады  және  ғылымның  түрлі 

салаларында  қолданысқа  ие.  Дербес  жағдайда,  алдағы  бүкіл  санды  коэффициентті  

көпмүшелер  теориясы    осы  теорема  негізінде  құрылады,  сондықтан    да  оны  бұрын  (кей 

кездері  қазір  де)  «жоғарғы  алгебраның  негізгі  теоремасы»  деп  аталады.  Алайда, 

шынында, бұл теорема таза алгебралық емес. Оның барлық  дәлелдемелері – ал олар, осы 

221 

 

теореманы  XVIII  ғасырдың    соңында  алғаш  рет  Гаусс  дәлелдегеннен  кейін  көптеп 

табылды,  азды  көпті  болса  да  нақты  және  комплекс  сандардың  топологиялық,  яғни 

үзіліссіздігіне байланысты қасиеттерін пайдалануға мәжбүр.  

Енді  осы  теоремаға  сүйеніп 

n

  дәрежелі  көпмүшеліктің 

n

  түбірі  болатынын 

көрсетейік. Шындығында теорема-3 бойынша 



1

b

түбір  бар болсын делік,онда теорема-2 

бойынша 

  

  

z

f

b

z

z

f

1

1





.

 

      Егер 

1



n

 болса,  

 



z

f

1

тің ең болмағанда бір түбірі 

2

b

 болады. Сондықтан 

                                       

  

  

z

f

b

z

z

f

2

2

1





 

 Мұндағы 

 

z

f

2

 дәрежесі 

2



n

 болатын көпмүшелік. Осылайша ой дамыту арқылы  

                                

  

  

,

3

3

2

z

f

b

z

z

f





 

                   

  

  

,

1

z

f

b

z

z

f

n

n

n







  

 

.

const

c

f

z

n





 

 

Сонымен, 

  



 



c

b

z

b

z

b

z

z

f

n









...

2

1

 болады. Кетірілген көпмүшелік үшін 

1



c

  болуы 

тиіс те, 

 

                           

  



 



n

b

z

b

z

b

z

z

f









...

2

1

 

 

болады. Бұл жіктеуде кейбір көбейткіш жақшалар бірдей болып қалса, онда жіктеу жалпы 

түрде былай жазылады: 

 

                         

  

 

 



m

k

m

k

k

b

z

b

z

b

z

z

f









...

2

1

2

1

 

Мұнда 





m

s

b

n

k

k

k

S

m

,...,

2

,

1

,

...

2

1











  түбірі s еселі түбір дейміз.   

      Ескерту-I. Бір-біріне  тепе-тең көпмүшеліктердің сәйкес коэффициенттері тең болады. 

      Ескерту-II. Коэффициенттері сан болатын көпмүшелік үшін 

bi

a



 түбір болып, еселігі 

k

 

десек, 

онда 

түйіндес 

 

bi

a



 

де 

еселігі 

k

 

түбір 

болады. 

Онда 

  

 

 



m

k

m

k

k

b

z

b

z

b

z

z

f









...

2

1

2

1

  жіктелуінде 

 

 

k

bi

a

z





  және   

 

 

k

bi

a

z





  болады  

[14].  

      Мысал: 







2

1





x

x

x

 бөлшегін жай бөлшектерге жіктеңіздер.  

      Шешуі: Берілген бөлшекті былай жазамыз:

 







2

1

2

1













x

B

x

A

x

x

x

; 

Енді кез келген мәнді беруге болады. Біздің жағдайда х-ке «анықталмаған коэффициенттер 

методы» деп аталатын әдісті қолданамыз. Ол үшін мынандай тепе-теңдік жазамыз:    

                                          



 



1

2









x

B

x

A

x

. 

      Енді  кез  келген  мәнді  беруге  болады.  Біздің  жағдайда 



x

ке  екі  рет  мән  берсек,  

жеткілікті: 

222 

 

                   













B

A

3

2

3

1

            →   

















.

3

2

3

1

B

A

   → 

Сөйтіп,     







;

2

1

3

2

1

1

3

1

2

1

















x

x

x

x

x

 болатындығы шығады. 

Нұсқау:  Егер  жай  бөлшектің  бөлімін  де  квадрат  үш  мүшеліктер  болса,онда  бөлшектің 

алымын Ах-В түрінде жазу керек. 

 

жүктеу/скачать 7,58 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: