Ғылыми-практикалық конференциясының материалдары

223 

 

Егер функцияның оң жақтық және сол жақтық шектерін пайдалансақ, онда функцияның оң 

жақтық үзіліссіздігінің анықтамасын беруге болады. 

      Егер 

)

(

)

(

0

0

lim

0

x

f

x

f

x

x







  болса,  онда  f(x)  функциясы 

0

x

  нүктесінде  сол  жағынан 

үзіліссіз, ал 

)

(

)

(

0

0

lim

0

x

f

x

f

x

x







 шарты орындалса, онда f(x) функциясы оң жағынан үзілісіз 

деп аталады.  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функцияның  үзіліссіздігінің  анықтамасын  функция  мен  аргумент  өсімшесі  арқылы 

берейік.  Бізге  (a,b)-да  анықталған  f(x)  функциясы  және  аргументтің 

b

x

a





0

  мәндері 

берілсін.  Егер  х



(a,b)  аргументінің 

0

x

  екінші  бір  мәні  болса,  онда 

0

x

x



  айырымын 

аргументтің өсімшесі дейміз де, оны ∆х деп белгілейміз, яғни  ∆х=

0

x

x



. Осыдан 



x

∆х+х

0

  шығады,  f(x)-f(x

0

)=f(

0

x

+∆х)-f(х

0

)  айырымы  функцияның  өсімшесі  деп  аталады  да 

∆у=∆f(x) деп белгіленеді. ∆f(х)

0



 не 

0

)

(



x

f

 болуы мүмкін.(1,2-суреттер). 

 

Егер  f(x)  функциясы 

0

x

  нүктесінде  үзіліссіз  болса,  онда  анықтама  бойынша 

)

(

)

(

0

lim

0

x

f

x

f

x

x





. Олай болса, 





0

)

(

)

(

0

lim

0







x

f

x

f

x

x

, демек, 

0

)

(

lim

0









x

f

x

. Ең соңғы 

теңдіктен  аргумент  өсімшесінен  өте  аз  мәнінде  функция  өсімшесінің  өте  аз  мәні  сәйкес 

келсе,  онда  функция 

0

x

  нүктесінде  үзіліссіз  болады,  яғни  мынадай  анықтама  беруге 

болады. 

Анықтама f(x) функциясының 

0

x

  нүктесіндегі  өсімшесі  шексіз  аз  шама  болса,  онда 

f(x) функциясы 

0

x

 нүктесінде үзіліссіз деп аталады. 

Функцияның  үзіліссіздігінің  геометриялық  мағынасы.  Функцияның  нүктедегі 

үзіліссіздігінің  геометриялық  мағынасын  берейік.  f(x)  функциясы 

0

x

  нүктесінде  үзіліссіз 

делік.  Үзілісіздіктің  анықтамасы  бойынша  кез  келген  ε>0  саны  үшін 



>0  саны  табылып 

у 

0 

а 

y f(x) 

x 

B 

A 



y 

b 

y 



x 



 



  x

0

 

x

0

+



x 

1-сурет 

у 

0 

х 

х

0 

х

0

+



х 

В 

А 



f 

f(x

0

) 

f(x

0

+



x) 



x 

2-сурет 

 

 

224 

 





0

x

x



  теңсіздігінен 





)

(

)

(

0

x

f

x

f



  екені  шығады  немесе  соңғы  теңсіздіктерді 

былай  жазуға  болады: 









)

(

)

(

)

(

0

0

x

f

x

f

x

f





.  Егер  х-тің  мәндері 

0

x

  нүктесінің 



 

аймағында  жатқанда    f(x)    функциясының  мәндерінің 

)

(

0

x

f

  нүктесінің 



  аймағында 

жатса, онда f(x) функциясының 

0

x

 нүктесінде үзіліссіз деп атайды. (3-сурет) 

 Ферма  теоремасынан  функцияның  экстремум  нүктелерін  тапқанда  ең  алдымен 

оның  кризистік  нүктелерін  табу  керек  болатындығы  шығады.  Функцияның  туындысы 

нөлге  тең  немесе  туындысы  жоқ  болатын  анықталу  облысының  ішкі  нүктелері  сол 

функцияның  кризистік  нүктелері  деп  аталады.  Функцияның  графигін  салғанда  бұл 

нүктелер  маңызды  рөл  атқарады,  өйткені  тек  сол  нүктелер  ғана  функцияның  экстремум 

нүктелері бола алады. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

        

 

 

 

                                         

Мысалы 



)

(x

f











1

,

,

1

,

1



х

х

х

x

 

функциясының 

0

x

=1 нүктесіндегі үзіліссіздігін зерттейік: 

       f(1-0)=

1

lim

0

0







x

x

x

; f(1+0)=

1

1

lim

0

0







x

x

x

; 

       

0

x

=1 нүктесінде функцияның бір ғана шегі болады, ол функцияның 

0

x

=1 нүктесіндегі 

мәніне тең, яғни берілген функция 

0

x

=1 нүктесінде үзіліссіз.  

 

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 

 

1. А.Көбесов., «Математика тарихы», Алматы 1993, 36-37 бет 

2.  А.Әбілқасымова.,  Р.Кудакова.,  «Алгебра  және  анализ  бастамалары»,  Алматы  1991, 

143-157 бет 

3. Алгебра және анализ бастамалары 10-11 сынып , Алматы 2001,  5-9 бет 

4.  А.  Қарабаев.,  «Жоғары  сынып  оқушыларын  есепті  стандарт  емес  тәсілдермен 

шығаруға баулу», 111-114 бет 

5. Алгебра және анализ бастамалары 10-сынып , Алматы:Мектеп  2010,    120-127 бет 

)

(

0

x

f

 

y 

x 





)

(

0

x

f

 





)

(

0

x

f

 





0

x

 

0

x

 





0

x

 

3-сурет 

225 

 

6. А.Г.Ципкин., А.И.Пинский., «Справочник по методам решение задач по математике 

для средней школы», Москва: Наука 1989, 206-222 бет 

 

 

 

ӘОЖ 373.1.02 

 

ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ҮШІН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ФУРЬЕ 

ӘДІСІМЕН ШЕШУ 

 

АЛПЫСБАЙ А. А.,ЧИНКОДЖАЕВА Ж. Г.- 2 курс магистранттары 

АДИЛЬБЕКОВ Е.Н.., ф.м.ғ.к., аға оқытушы.,  

Шымкент Университеті 

 

Математикалық  физиканың  практикалық  есептерін  шешуде  жиі  қолданылатын, 

қарапайым  әдістерінің  бірі  -  Фурье  әдісі.  Фурье  әдісін  математикалық  физиканың негізгі 

теңдеулеріне  қойылатын  шекаралық  есептерді  арнайы  аймақтарда  шешімдерін  табуға 

пайдаланады. 

Дивергенттік  формада  жазылған  дербес  туындылы  дифференциалдық  теңдеуді 

қарастырайық, 

 

 



  

 

t

x

F

U

x

q

gradU

x

p

div

t

U

x

p

k

k

,











 

Мұнда  нүкте 





n

n

R

х

х

х

х



...

,

2

1

, 







t

0

.  Белгілі  коэфициенттер 

 

0



x



 

   





C

x



; 

 

0



x

p

 

 

 





'

C

x

p

 

 

0



x

q

 

   





C

x

q

. Бос мүше 

 

 

t

L

t

x

F





2

,

. 

Теңдеу 

2



k

  гиперболалық, 

1



k

  параболалық,  ал 

0



k

элипптикалық  типке  жатады.  

Фурье әдісін тікелей қолдану үшін теңдеудің біртекті, шекаралық шарттарды нөлдік және 

кейбір аргументтердің өзгерту аймағы шенелген болуы қажет. 

1. Фурье әдісін 

)

2

(



k

 гирперболалық теңдеуге қолдану. 

 Қысқаша жазу үшін дифференциалдық оператор 

 



  

U

x

q

gradU

x

p

div

LU







 

енгізіп, біртекті теңдеуге 

 

LU

t

U

х









2

2



                                              (1.1.1) 

S беттен шектелген 

n

R





  аймақта мына бастапқы шарттар:  

 

x

f

U

t

1

0





,                                    

 

x

f

U

t

t

2

0



,                                               (1.1.2) 

шекаралық шарт: 

     

0

,





















S

N

U

x

t

x

U

х





                                         (1.1.3) 

берілген  есепті  қарастырайық.  Мұнда 

   

0

,



х

х





, 

 

 

0

2

2





x

x





,   

 

0



x



    2-

шекаралық есеп, ал 

 





0

х



 1-шекаралық есеп, 

 

,

0



х



 

 

0



х



 болғанда 3-шекаралық 

есепті аламыз . 

Берілген есептің шешімін Фурье әдісі бойынша  

 

   

t

T

x

X

t

x

U



,

 

түрде іздейміз, теңдеу (1.1.1) қойып  

226 

 

     

 



  

t

T

x

LX

x

X

t

T

x





''



 

қатынасты  аламыз.  Айнымалыларды  бөліктеп,  алынған  теңдік  тұрақты  санға  тең 

болатынын ескерсек, онда 

 

 

 

   

const

x

X

x

x

LX

t

T

t

T















''

 

Осыдан белгісіздер 

 

t

T

 және 

 

x

X

 анықтау үшін, 

 

 

0

''





t

T

t

T



                                             (1.1.4) 

 

   

x

X

x

x

LX





                                           (1.1.5) 

сәйкес  теңдеулерді  аламыз.  (1.1.4)  теңдеудің  шешімі  оңай  табылады.  Теңдеу  (1.1.5)  үшін 

қосымша  шарт (1.1.3) теңдіктен алынады: 

 

         

0





















S

N

X

t

T

x

x

X

t

T

x





 

Бізге берілген есептің нөлдік емес шешімі керек болғандықтан 

 

0



t

T

, олай болса  

 

     

0





















S

N

X

x

x

X

x





                                     (1.1.6) 

Сонымен  белгісіз 

 

х

Х

  үшін  (1.1.5)-(1.1.6)  шекаралық  есепті  алдық.  Осы  (1.1.5)-(1.1.6) 

есебі меншікті мән мен меншікті функция туралы есеп деп алады. 

1



n

  болғанда  (1.1.5)-

(1.1.6)  есептер  Штурм-Лиувилль  есебі  деп  аталады.  Тұрақты  кез-келген 



  үшін  (1.1.5)-

(1.1.6) есептің 

 

0



х

Х

 шешімі болатыны анық . 

Жоғарыда  (1.1.5)-(1.1.6)  меншікті  мәндер  мен  меншікті  функциялар  есебінің  нөлдік 

емес шешімдерінің бар екенін, меншікті мәндері  санаулы жиын құрайтынын, оларды өсуі 

бойынша  

...

...

2

1









k







 

түрінде  жазуға  болады.  Ал  меншікті  функциялар   

 

k

Х   салмағымен 

 

х



  толық  

ортогоналдық  жүйе  құрайтыны,  функция 

 

L

M

x

f



  ортогоналдық  жүйе  бойынша 

регуляры  жинақталатын  Фурье  қатарына  жіктелетіні  дәлелденді.  Дәлелденген 

тұжырымдарды  пайдаланып  біртекті  және  біртекті  емес  гиперболалық  2-ретті  дербес 

туындылы теңдеулер үшін шекаралық есептерді Фурье әдісімен шешуге болады . 

1. Біртекті гиперболалық теңдеу үшін (11)-(12)-(13) есепті шешу  

Шекаралық есеп. Шекарасы S аймақ 

n

R





 теңдеудің  

 

 

LU

U

х

n







                                           (1.1.7) 

бастапқы шарттар 

 

 

x

f

x

U

0

0

,



,                                 n   

 

 

0

0

,

1

1

f

x

U



                       (1.1.8) 

шекаралық шарт: 

     

0





















S

N

U

x

x

U

х





                                       (1.1.9) 

 

орындалатын регулярлық шешімін табу керек. 

Есептің шешімін Фурье әдісі бойынша, 

227 

 

     

x

X

t

T

t

x

U



,

 

түрде іздейміз (1.1.7) -теңдеуге қойсақ, онда 

 

     

 

LX

t

T

x

X

t

T

х





''



. 

Айнымалыларды бөліп, меншікті мән қасиеттерін ескеріп 

 

 

 

 

   

2

;

;













x

X

x

x

LX

t

T

t

T

 

теңдігін аламыз. Осыдан мына 

 

 

0

2

;

;





t

T

t

T



                                        (1.1.10) 

 

 

   

x

X

x

x

LX





2



                                      (1.1.11) 

теңдеулер, ал шекаралық (1.4.3) шарттан 

 

0





















N

X

Х





                                             (1.1.12) 

теңдігі шығады. 

Есептің  (1.1.11)-(1.1.12)  нөлдік  емес  шешімдері  бар,  олардың  саны    санаулы  жиын 

құрайды. Меншікті мәндер 

,...,

,...,

,

2

1

n







  ал меншікті функциялар 

   

 

,...

,...,

,

2

1

x

X

x

X

x

X

k

                                      (1.1.13) 

болсын. Теңдеу (1.1.4)  параметр  

2

2

k







 деп алсақ, жалпы шешімі 

 

t

C

t

C

t

T

k

k

k





sin

cos

2

1





 

түрде жазылады. 



2

1

,C

C

 тұрақты сандар. 

Біртекті  теңдеудің  (1.1.1)  дербес  шешімдері 

 

   

x

X

t

T

t

x

U

k

k

k



,

  болатынын    көрсетуге 

болады, ал жалпы шешімін,  

 



  











1

sin

cos

,

k

k

k

k

k

k

x

X

t

B

t

A

t

x

U





                                  (1.1.8) 

түрде аламыз.  



k

k

B

A ,

белгісіз коэфициенттер. 

Қатар  (1.1.8)  анықталған  функция 

 

t

x

U

,

  теңдеу    (1.1.1)    мен  шекаралық  шартты 

қанағаттандырады.  Белгісіз  коэфициенттерді  (1.1.2)  бастапқы  шарттардан  табамыз. 

Бастапқы шарттарды пайдалансақ, онда  

 

 

 

















1

1

1

0

k

k

k

k

k

k

k

X

A

x

f

x

X

A

x

f



 

Осы теңдіктерден жүйе (1.1.7) ортогональды болғандықтан, белгісіз коэфициенттер 

 

228 

 

     







2

1

1

k

k

k

k

X

dx

x

X

x

f

x

B







 

формулалармен  анықталады.  Коэфициенттері 

k

k

B

A ,

  (1.1.9)  -  теңдікке  қойып,  есептің 

шешімін табамыз. 

2. Фурье әдісімен біртекті емес теңдеу үшін шекаралық есептерді шешу. 

ЕСЕП. Біртекті емес теңдеу: 

 

t

x

F

LU

U

tt

,









                                              (1.1.9) 

бастапқы шарттар: 

 

,

0

0

,



x

U

                        

 

0

0

,



x

U

t

                                    (1.1.10) 

шекаралық  шартты  (2.3)  қанағаттандыратын  регулярлық  шешімін  табу  керек.  Уақыттың 

0



t

  әрбір  мәнінде 

 

L

M

t

x

U



,

    сондықтан  шешімін  В.Н.Стеклов  теоремасы  бойынша 

келесі қатар түрде іздеуге болады: 

 

   









1

.

,

k

k

k

x

X

t

U

t

x

U

                                           (1.1.11) 

Белгісіз коэфициент 

 

     

dx

x

X

t

x

U

x

X

t

U

k

k

k







,

1

2





                                 (1.1.12) 

 

функция 

 

x

X

k

  үшін  (1.1.6)  шарт  орындалғандықтан  (1.1.12)  қатармен  анықталған 

функция 

 

t

x

U

,

  шекаралық  шартты  (1.1.6)  қанағаттандырады.  Белгісіз 

 

x

U

k

  табуға 

көшейік, ол үшін берілген функция 

 

t

x

F

,

 ортогоналдық жүйе 

 

к

Х

 бойынша жіктейік 

 

     









1

.

,

k

k

k

x

X

t

F

x

t

x

F



                                            (1.1.13)  

 

(1.1.9)  теңдеудегі  функция 

 

t

x

U

,

  мен 

 

t

x

F

,

  орындарына  қатарлар  (1.1.11)  мен  (1.1.13) 

қойып және 

k

k

k

x

Lx







 теңдікті ескеріп, белгісіз 

 

t

U

k

 үшін 

 

 

 

 

t

F

t

U

t

U

k

k

k

k







2



                                                (1.1.14) 

ортогоналдық жүйе 

 

к

Х

 толық болғандықтан теңдеуін аламыз. бастапқы  

шарттар (1.1.10) шарттардан  

 

 

 

0

0

0







k

k

U

U

                                                     (1.1.16) 

теңдіктер табамыз. 

Есептің (1.1.15)-(1.1.16) шешімі 

 

 













d

t

t

F

t

U

k

k

k

k







1

0

sin

1

                                           (1.1.17) 

формуласымен анықталады. 

теңдіктен (1.1.17) табылған 

 

t

U

k

 функцияны, (1.1.12) қатарға қойсақ, шекаралық есептің 

(1.1.10)-(1.1.11)-(1.1.3) шешімін аламыз. 

   

,

2

0





k

k

k

X

dx

x

X

x

f

A







229 

 

3. Фурье әдісімен жалпы түрде берілген шекаралық есепті шешу. 

ЕСЕП.  Біртекті  емес  (1.1.10)  теідеудің  шекарасы 

t

S   беті 

t



  аймақта  бастапқы  шарттар 

(1.1.18) және шекаралық шарт 

 

 

 

t

x

N

U

x

x

S

,

)

(

0

















                                       (1.1.19) 

қанағаттандыратын шешімін табу керек. 

Фурье әдісін қолдану үшін шекаралық шарттар нөлге тең болуы тиіс. Шекаралық шартты 

(1.1.19) нөлдік шартқа келтіру үшін 

t



  анықталған функция 

 

 

 











C

C

t

x

t

x

2

,

2

,

,



 және 

шекарада 

 

 

 

t

x

x

x

S

,

0

































 теңдік орындалатын функцияны іздейміз. 

Егер  де  осындай 

 

t

x,



  табылса,  онда  белгісіз 

 

t

x

U

,

  орнына  жаңа  белгісіз 

 

t

x

V

,

 

функцияны  алмастыру 

     

t

x

t

x

V

t

x

U

,

,

,







  арқылы  енгізіп,  белгісіз 

 

t

x

V

,

  үшін 

шекаралық есеп: 

 

t

x

F

LV

V

tt

,









                                          (1.1.20) 

 

 

,

0

,

0

x

f

x

V



                         

 

 

x

f

x

V

t

1

0

,



                         (1.1.21) 

0

)

(











S

V

V





                                              (1.1.22) 

аламыз. Мұнда  

tt

L

t

x

F

t

x

F











)

,

(

)

,

(

                                          

 

   

0

,

0

0

x

x

f

x

f







 

 

 

 

0

,

1

1

x

x

f

x

f

t









 

Алынған  (1.1.20)-(1.1.21)-(1.1.22)  есепті  Фурье  әдісімен  шешуге  болады.  Фурье  әдісімен 

(1.1.20)-(1.1.21)-(1.1.22)  шекаралық  есептің  шешімі 

 

t

x

V

,

  табылса,  онда  жалпы  түрде 

берілген шекаралық есептің шешімі 

     

t

x

t

x

V

t

x

U

,

,

,







 

мына теңдікпен өрнектеледі. 

 

жүктеу/скачать 7,58 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: