§6.  Материялық  нуктенін импульс  моменті, күш  моменті

А = ҒАг = ҒА 5со5(Ғ г ) .
(19)
М ассасы  т  нүктенің,  осы  нүктеден  г  кашыктықта тұрған  полюс 
деп  аталатын  0  нүктесіне  катысты  импульс  моменті  деп,  осы 
нүктенін  г  радиус-векторымен  қозғалыс  мөлшерінің  векторлык  кө- 
бейтіндісіне тең шаманы айтады:
М ассасы  т  нүктенің,  осы  нүктеден  г  қашықтықта тұрған  полюс 
деп атапатын  0  нүктесіне  катысты  күш  моменті деп, осы  нүктеге  әсер 
ететін  күш  векторы  мен  сол  нүктенің  г 
радиус-векторының, 
векторлық көбейтіндісіне тең векторлык шаманы айтады.
тотаҒ = |г ғ |. 
(21)
§7. Механикада карастырылатын күштер.
Біз  өзімізді  қоршаған  табиғатта  қалайда  болса  бір  күш  арқылы 
біріне-бірі  әсер  етуші  денелерді  кездестіріп  отырамыз-да  солардың 
қозғалыс заңдарын  анықтаймыз. Ол үшін механикада қарастырылатын 
күштердің мынадай түрлері болатынын есте үстаған қажет.
1. 
Ауырлык 
күші  Р = т%  -
(21-сурет)  жердің  денені  тарту  күші.
Бұл  күш  дененің  массалар  центріне 
түсіріледі.  Егер  басқа  күштер  эсер
етпесе  онда  ауырлық  күшінің  ә с е р і н е н _______________
дененің  алатьш  үдеуі 
§ = 9,81 м/сек2
еркін түсу үдеуіне тең болады.
2. 
Тіреуіш тін  реакция  күші 
21-сурет
- 
(22-сурет) 
тіреуіштің 
денеге
түсіретін 
күші. 
Бұл 
күш 
дене 
қозғалатын  бетке  перпендикуляр 
бойымен  бағытталады.  Тіреуіштің
реакция  күшінің  әсерінен  денеде 
/
пайда 
болатын 
деформацияны
ескермеуге болады. 
/
3. 
Қалыпты  кысым  күші
Ғй  -   (23-сурет)  дененің  тіреуішке 
23-сурет
түсіретін 
күші. 
Бұл 
күш 
дене 
қозғалатын 
бетке 
перпендикуляр 
бойымен 
бағыттапады, 
шамасы
жағынан  тіреуіш тің  реакция  күшіне 
-------------/■----------------------
(
20
)
; / ; / / / /   '7-' 7  у /   / /   / / /
40
24-сурет

V /   /   /   /   /   /
іен, багыты жағынан  қарама-карсы,  ягни  Ғы  =- N
4. 
Ілге к т ін   т а р т ы л у   (ке-рілу)  күш і  Т -  (24-сурет)  ілгектің 
лснеге  түсіретін  күші.  Бүл  күш  іл-гектің  осі  бойымен  бағытталады. 
I  гер  денелер  бір-бірімен  салмағын  ескермеуге  болатын  жіптерімен 
Гніііланыскан  болса,  онда  керіліп  тұрған  жіптің  тұрғысынан  сол  дене- 
исрге түсірілетін  күш  бірдей  болады.
5. 
Ү йкеліс  к ү ш і /|йк - 
(25-сурет)  бір-біріне  тиісіп
іүрган  денелердін  салыстырмалы 
_ 
коі-ғалысы  кезінде  пайда  болатын 
;
кедергі  күші.  Бұл  күш  денелер 
гиісіп  тұрган  бетке  жанаманың 
25-сурет
бойымен  жылдамдықтың  бағытына 
кнрама  қарсы  бағытталады.  Үйке-
іі іс 
күшінің 
шамасы 
қалыпты 
кысым 
күшінің  шамасына  тура 
нропорционал болады.
/үт шкҒщ  
(22)
мұндагы  к  -   үйкеліс  коэффициенті  деп  аталады.  Қалыпты 
м.ісым  күші  шамасы  жағынан  тіреуіштің  реакция  күшіне  тең 
Гюлатындыктан 
-   үйкеліс  күшінің  шамасын  N  тіреуіш тің  реакция 
күші  аркылы табамыз
/ т =кМ 
(23)
Денеге  түсірілген  күштерді  анықтағаннан  кейін  қозғалыстың 
лш|)ференциялдык  тендеуін  /Н ьютонның  екінші  зацы/  векторлық 
і үрде жазуға болады.  Түзу  сызықгы  козғалыс үшін Ньютонның екінші 
іаңы былай жазылады
та = Ғ \ + Ғ і +  
+ Ғп 
(24)
мұндағы  Ғ \,Ғ
і
, Ғ
у
.....,Ғ„  -  денеге  түсірілген  күштер.  Санақ
жүйесінің  оң  бағытын  үдеудің  бағытымен  бағыттас  алып,  (24) 
приектің 
проекциясын 
табамыз. 
Сонда, 
егер 
күштердің 
күраушыларының  бағыты  үдеудің  бағытымен  бағыттас  болса,  онда 
сол  күштердің  проекциясы  оң  таңбамен  алынады  да,  ал  керісінше 
Оолса -   онда теріс таңба  мен  алынады.  Жалпы  жағдайда есепті  толық 
шыгарып  болмай  үдеудің  бағытын  анықгау  мүмкін  емес,  сондықган 
үлсудің  бағыты  үшін  өзіміз  қалаған  бағытты  аламыз.  Сонда  есепті 
шыгару  нәтижесінде  табылған  үдеу  оң  таңбалы  болса,  онда  алған 
(шіытымыз  дұрыс  болганы,  ал  теріс  таңбалы  болса  -   керісінше 
бөлганы.
41

Динамика  козғалыстын  күш  эсерінен  болатын  өзгерістерін 
зерттейтін  механиканың  бөлімі.  Ол  мынадай  екі  мэселені  шешумен 
айналысады:
а)  денеғе  түсірілген  күш  бойынша  козғалыс  заңдарын  (орнын, 
жьшдамдығын, үдеуін)  аныктайды;
б) белгілі  козғалыс  заңдары бойынш а денені  қозғалыска келтірін 
отырған  күшті табады.
§8.  Ж ұмыс және  куат.
Табиғатта  денелер  қозғалысы,  басқаша  айтқанда  олардың 
кеңістіктің  бір  нүктесінен  екінші  нүктесіне  уакыт  бойынша  орын 
ауыстыруы  тек  күштердің  ықпалымен  ғана  болады.  Осылай  болған 
соң,  күштердің  денелердін  орын  ауыстыруымен  байланысты  әсеріне 
сипаттама беру  қажет болып табылады.
М еханикада  осындай  сипаттама  ретінде  бір  шама  алынады, 
сонда  күштің  орын  ауыстыру  бойымен  бағытталған  кұраушысы 
неғұрлым  көп  болса,  күш түскен  нүкте  неғұрлым  алысырак жылжыса, 
ол  шама солғұрлым  үлкен болады. Осы  шама жұмыс деп аталады.
Қозғалыс  түзу  сызыкты  болып,  күш  тұрақты  жэне  орын 
ауыстыру  бойымен  бағытталған  дербес  жағдайда,  жұмыс /  күші  мен 
оның  түскен  нүктесінің  5  орын  ауыстыруынын  көбейтіндісіне 
пропорционал болады:
А = ф .  
(25)
Мұндағы  к  -   пропорционалдық  коэффициент.  Егер  денеге 
түсірілген  күш  бағыты  орын  ауыстыру  бағытымен  а  бұрышын 
жасайтын  болса  (26-сурет),  онда  /   күшін  орын  ауыстыру  бойымен 
бағытталған  / 5  кұраушыға  жэне  оған  перпендикуляр  /„  құраушыға 
жіктейміз.
Ж оғарыда  айтылғандай,  тек  / 5  құраушысы  ғана жұмыс  істейді, 
сондықтан:
немесе,
себепті,
А = к/55 
/ш
  = / С 0 8 0 Г
болган
А = к/зсо&а.
(26)
Пропорционалдық 
коэффициент  к  =  1  деп  ұйгарсақ, 
онда
А = /хсо5 а .
26-сурет
(27)
42

Сонымен,  күш  еркін  багыт-талған  жағдайда,  жүмыс  шамасы  /  
күшінің,  күш  түскен  нүктенің  5  орын  ауыстыруының  жэне  күштің 
багыты  мен  орын  ауыстыру  арасындағы  а  бүрышы  косину-сының 
һобейтіндісіне тең болады.
Ж үмыс тек өзінің сан  мәнімен  ғана сипатталады,  сон-дыктан  ол 
скяляр  шама  болып табылады.
Егер  а< 90°  болса,  онда  со $ а > 0 ,  жүмыс  он  шама;  бұл 
/і  .н лайда  күштің  / 4.  қүраушысы  дене  орын  ауыстыратын  жакка  карай 
Г
міі
 ытталады.
Егер  а > 9 0 °  болса,  онда  с о 5 а < 0 ,  бүл  ж агдайда  жүмыс  теріс 
нійма;  күштің  / ү  қүраушысы  орын  ауыстыру  бағытына  карама-қарсы 
бпгытталады.
Іс  жүзінде  тек  күштер  істеген  жүмысты  гана  емес,  көбінесе  сол 
жүмыс  істелген  уақытты  білудің  де  маңызы  зор  болады.  Екі 
мсханизмніц  істеген  жүмысы  бірдей  болғанда,  оның  осы  жүмысты 
м і і і с ы с ы
 
аз  уақыт  ішінде  істесе,  әрине  сонысы  құнды  болады.
(  сшдықтан,  жұмыспен  қатар  куат деп  аталатын  жаңа  шама  енгізіледі. 
Кущ  ( IV)  деп,  АА
 
жұмысына  тура  пропорционал  және  сол  жұмыс 
Ісіелген  Аі
 
уакыт  аралыгына  кері  пропорционал  физикалык 
іііимйііы  айтады:
IV = — . 
(28)
Аі
Егер  күш  уақытқа  байланысты  өзгеретін  болса,  онда  қуатта 
іуракты  болып  қалмайды,  бұл  жағдайда  берілген  уақыт  кезеңіндегі 
куш  туралы  айтудың  ғана  мағынасы  болады,  онда  осы  айтып
• 
ДЛ
піырганымыз 
Аі
 
уақыт  аралығы 
шексіз  кеміген  кездеп 
—  
кіі і ынасының ұмтылатын шегі деп ұгамыз,
ІУ = \іт( — ) = — . 
(29)
* Ч д
I )  
&
яғни  қуат  сан  жағынан  жұмыстың  уақыт  бойынш а  алынған 
іуі.ш-дысынатең.
Элементар жұмыс  АА = / 5А8  болғандықтан (29) тендік бойынша 
^  = 
= 
= 
(30)
мұндағы 
І і т ^ )  = и , 
бұл 
берілген 
уақыт 
кезеңіндегі
(Кі.підамдықтың  мэні.  Сонда,  қуат  дегеиіміз  әрбір  берілген  уақыт 
кс ісңінде  күштің  козғалыс багытына түскен  проекциясы  мен  қозғалыс 
жылдамдығының көбейтіндісіне тең шама екендігін көреміз.
43

Ж ұмыс 
бірлігі 
ретінде 
бірлік 
күштің 
орын 
ауыстыру 
бағытындағы бірлік жолда істеген  жүмысы  алынады.
БХ  жүйесінде жүмыс  бірлігі  (Дж).  Ол  1  Ньютон  күштің  1  метрге 
тең жолдағы  істеген  жүмысына тең.
СГС  жүйесінде  жүмыс  бірлігі 
эрг.  Ол 
1  дина  күштін 
Ісантиметрге тең жолдағы  істеген жүмысына тең.
Ж үмыс бірліктері арасында мынадай  катыстар бар:
1  Д ж   =  1  Н  М =1& дин  102см  =  10  эрг.
Қуат  бірлігі  үшін,  бірлік  уақыт  (сек)  ішінде  істелінген  бірлік 
жүмыстың (Дж немесе эрг) қуаты алынады.
БХ  -   жүйесінде  куат  бірлігі  секундтағы  Джоульге  тең  ватт  (вт) 
болып табылады.  1  вт  =  10 эрг/сек.
§9.  Күштердін потенциал  өрісі.  Консерватнвтік және 
консервативтік емес  күштер.
Егер  дене,  кеңістіктің  эрбір  нүк- 
тесінде  күші  бар  баска  бір  дененің 
эсеріне  түссе  жэне  занды  түрде  нүктеден 
нүктеге  өзгеретін  жағдайда  болса,  онда 
ол  денені  күштер  өрісінде  түр  деп 
айтады. Мысалдар  келтірейік:
1.  Дене  жер  бетіне  жақын  биіктікте 
ауырлық  күшініц  өрісінде  болады,  ягни 
кеңістіктіц  эрбір  нүктесінде  оған  вер- 
тикаль  бойымен  төмен  карай  бағытталған 
Р = т%  күші эсер етеді.
2.  Екінші  мысал  ретінде  қандай  да 
бір  О центріне серіппемен  «байланған» М  
денесін  карастырайық (27-сурет).  Серіппенің бір үшы  қозгалмайтын  О  I 
нүктесінің айналасында кез келген бағытта шарнирде айнала алады,  ал 
екінші  үш ы  М   денесіне  бекітілген.  Кеңістіктің  эрбір  нүктесінде  М   I 
денесіне  радиус  бойымен  (яғни  О  центрі  мен  М  денесі  арқылы  өтетін 
түзу бойымен) бағытталған  күш эсер етеді, ол мынаган тең:
/  = - к ( г - г 0) 
(31)
мүндағы, 
г-дененің 
О 
центрінен 
қашықтығы, 
г0 
-  I 
деформацияланбаган  пружинаның  ұзындығы,  к   -  пропроционалдык  | 
коэффициент.  Егер  г>г0  (пружина созылған)  болса,  күш  центрге қарай 
бағытталады  да  тацбасы  « -»   болады  (күш   пен  радиус-вектордың 
багыты  қарама-қарсы  болады),  егер  г<г0  болса,  яғни  пружина 
қысылған болса, күш центрден кері  қарай  бағытталады да таңбасы  «+»  I
44

оолады.  Қарастырылган  күштер  өрісі  центрлік  күштердін  ц ен т р л ік  
орісі  деп  аталатынның  дербес  жағдайы.  Ц ен тр л ік   к үш тер  деп, 
ксністіктің  эрбір  нүктесінде  күштің  бағыты  кандай  да  бір  центрден 
огетін,  ал  күштің  шамасы /= /& ),  осы  центрге  дейінгі  г  кашыктыкка 
і луелді  болатын  күшті айтады.
Ауырлык  күш  өрісі  -   центрлік  күштер  өрісінің  дербес 
жагдайы.
Ж огарыда  келтірілген  мысалдарға  тән  нәрсе,  денеге  әсер  етеін 
куштер  тек  кана  дененің  кеңістіктегі  түрған  орнына  ғана  байланысты 
болып, сол дененің жылдамдығына байланысты болмауы  екен.
Дененің түрган  орнына  гана  байланысты  болатын  күштер  үшін, 
олардын  денеге  катысты  істейтін  жүмысы,  дененің  орын  ауыстыру 
жолына  тәуелді  болмай,  дененің  кеңістіктегі  бастапкы  жэне  соңғы 
орнымен  гана  анықталатын  жағдайы  болады.  Бүл  жағдайда  күштер 
орісін  потенциялык  деп,  ал  күштердің  өзін  консервативтік  деп 
нтайды.
Ж үмысы  дененің  бір  орнынан  екінші  орынға  ауысқандағы 
жолмна  тәуелді  болатын  күштер  консервативтік  емес  күштер  деп 
■талады.
Кез  келген  түйы к жолдагы  консервативтік  күштердің  жүмысы 
мольге тең болады.
§10.  Кинетикалык және потенциялык энергня.
Потенциялык энергия  мен  күш  арасындагы  байланыс.
Тэжірибе  көрсеткендей,  бір дененің ылги  да басқа денеге  жүмыс 
Ісіоте  алатын  жағдайы  болады.  Дененің  немесе  жүйенің  жүмыс  істей 
нлнтын  қабілетін  сипатгайтын  физикалық  шама  энергия  деп  аталады. 
Дсненің  энергиясы  екі  түрлі  себептерден:  біріншіден,  кандайда  бір 
/Һі.ілламдығы 
бар 
дененің 
қозгалысынан, 
екіншіден 
дененін 
күнігсрдін  потенциал  өрісінде  болуынан.  Бірінші  түрдегі  энергия 
кіінстикалык энергия деп аталады.
Ал  екінші  түрдегі  энергияны  потенциялык  энергия  деп 
ншйды.
Баскаша  айтқанда,  кинетикапық  энергия  -  қозгалыс  энергиясы, 
иіі  потенциялық  энергия  -   дененің  түрган  орныныц  энергиясы  деп 
іійіуга болады.
Сонымен,  т  массасы  бар, 
и  жылдамдықпен  қозғалатын 
мн гсриялық нүктенің кинетикалық энергиясынын
Т = ^ ~  
(32)
45

болатындығы белгілі.
Денені  козғалыска келтіретін/ күшінін  істейтін  А  жүмысы  онын 
кинетикалыкэнергиясынын  ДТ = Т: - Т ,  өсім ш есінетенболаты нды ғы н 
есте үстаған жөн,
Осы (33) өрнектен, энергиянын да жүмыс сиякты өлшемділігінің 
болатынын  көреміз.  Бүл  жүмысты  өлшеу  үшін  қандай  бірліктер 
пайдаланылса,  (II  тарау,  §8  қара)  сондай  бірліктермен  энергияны  да 
өлшеуге мүмкіндік береді.
Күштердің  потенциал  өрісінде  түрган,  массасы  т  материялык 
нүктені 
карастырайық. 
Өрістің 
эрбір 
нүктесіндегі 
г 
радиус- 
векторымен  сипатталатын  қандай  да  бір  II{г)  функциясының  белгілі 
бір  мәнін  салыстыратын  болсак,  онда  осы  1!(г)  функциясы  аркылы 
калауымызша  алынған 
1-ші 
нүктеден  басталып  2-ші 
нүктеде 
і 
аяқталатын  кез  келген  жолда  өріс  күштерініц  денені  қозгалысқа 
келтіретін  жолда  істейтін  жүмысын  анықтауымызға  болады.  Бүл 
жүмыс  1-2  жолдағы  ІІ(г)  функциясының  кемуіне  тең  болады. 
Сондықтан,  осы  жағдай  1!(г)  физикалық  шаманы  потенциялык 
энергия  деп  аталатын  механикапық  энергняның  бір  түрі  ретінде 
карастыруға негіз болады.
і!(г)  функциясының  нақты  түрі  күш  өрісінін  сипатына  тэуелді. 
Мысапы,  Ж ер бетіне жақын  ауырлык  күш  өрісінде  массасы  т дененің 
потенциялық энергиясы  м ы натүрде болады:
мүндағы  /і-бастапқы  (11=0)  деп  есептегендегі денгейден  алынган 
биіктік.
Өзара  әсерлесетін  денелер  жүйесі  ғана  емес  жекелеп  алынған 
деформацияланған  (мысалы,  сығылган  немесе  созылган  серіппе) 
серпімді  дененің  де  потенциялык  энергиясы  болады.  Бүл  жағдайда 
потенциялык  энергия  дененің  жеке  бөліктерінің  өзара  орналасуына 
байланысты 
болады 
(мысалы, 
серіппенің 
көршілес
(33)
ІІ = т%һ
(34)
Сонымен, 
серіппенің
потенциялық  энергиясы  і/-ды ң  д: 
үзаруға  тәуелделігі  мына  түрге 
келеді:
орамдарының ара  қашыктығына).
(35)
28-сурет
46

Потенциялык өрістін  эрбір  нүктесінде,  бір  жағынан,  денеге  эсер 
ітетін  /   күші  векторынын кандайда бір  мәні,  екінші  жагынан, дененін 
I 
потенциялык  энергиясынын  кандай  да  бір  мэні  сәйкес  келеді. 
Демек,  күш  пен  потенциялык  энергияның  арасында  белгілі  бір 
оайланыс  болуға  тиіс.  Бүп  байланысты  орнату  үшін  кеңістікте 
к.иіауымызша  тандап  алынған  бағыт  бойымен  (оны  5   әрпімен 
Оелгілейік)  қозғалатын  дене  мей-лінше  аз  Д5'  орын  ауыстырған  кезде 
оріс  күштерінің  істеген  элементар 
АА
  жүмысын  есептей-міз  (28- 
сурет).
Бүл жүмыс
АА =
 /*Д5 
(36)
шамасына тен.
Мүндағы,  /* - /   күшініц  5  бағытына проекциясы.
Қарастырылып  отырган  жағдайда  жүмыс  потенциялык  энер- 
іиянын  коры  есебінен  істелінетіндіктен,  ол  *  осінің  Ді  кесіндісіндегі 
іюгенциялық энергиянын 
А ІІ
  кем уінетең:
АА = - \ Ц .  
(37)
Осы  (36)  және  (37)  өрнектерді  салыстыра  отырып,  мынаны 
шшмыз:
/ , А 5  =
 -ДГ/
бүдан 
^ =~ Т Ғ  
(38)
Д5
осы  (38) өрнек  / 5 -тін  Д5  кесіндідегі  орташа мэнін береді.
/ у-тің берілген  нүктедегі мэнін алу  үшін  шекке көшу  керек:
/5
  = -  Ііт  
.
 
(39)
5 
»-о  д5
ІІ  
шамасы,  дене 
5
  осінің  бойымен  орын  ауыстырған  кезде  гана 
смос,  баска  бағытпен  орын  ауыстырған  кезде  де  өзгере  алатындықган, 
(
19
)  ернектегі  тек,  {/-дың  5   бойынша  алынған  дербес  туындысын 
корсетеді:
л~Іғ- 
(40)
Осы  қатыс  кеңістіктегі  кез  келген  бағыт  үшін,  атап  айтканда, 
искнрт координаталарының х,у,г осьтері үшін де орынды:
Л = ~ , Л = - ^ , / , = ~ .  
(41)
Дх 
Д
у
 
Д
і
Бүл  формулалар  координатапар  осіндегі  күш  векторының 
Ііроскцияларын  аныктайды.  Егер  осы  проекциялар  белгілі  болса,  онда 
куш  иекторыныц өзін  былай  анықтайды:
47

Дх 
Ду 
Дг
мүндагы,  и  -  х. у. ж
  координаталарының  скаляр  функциясы  деп 
есептеледі  де,  (42)  өрнектіц  оң  жағын  осы  скалярдың  градиенті  деп 
атайды жэне  ^гасіи  символымен белгілейді. Демек,  күш  кері таңбамен 
алынған потенциялык энергияның градиентіне тең:
/  = ~8гаЛ /. 
(43)
§11.  Потенциялды  күш  орісіндегі  материялык  нүктенің 
толык энергиясынын сакталуы.
М атериялык  нүктелердіц  окшауланған  жүйесін  карастырайык 
жэне  ол  жүйеде тек  потенциялык күштер  ғана  эсер  етеді дейік.  Сонда, 
жүйенін  күйі  оның  конфигурациясы  жэне  жүйені  түзетін  материялык 
нүктелердің жылдамдыктарымен  аныктапады.  Ж үйе бір  күйден  екінші 
күйге  көшкенде  жүйені  түзетін  материялық  нүктелерге  түсірілген 
күштер  жүмыс  істейді,  оны  А,г
 
эрпімен  белгілейік.  Сонда,  индекс  1 
жүйенің  бастапкы  күйіне,  ал  индекс  2  оның  ақырғы  күйіне  жатады. 
Бүл 
күйлердің 
эрқайсысында 
материялық 
нүктелердің 
жыл- 
дамдықтары  мен  олардың  орналасулары  эр  түрлі,  сондықтан  жүйе 
кинетикалық  энергиясының  тиісті  ЕКІ
 
жэне  Еһ2
 
мэндерімен  жэне 
потенциялық  энергняның  лайықты 
Еп
 
ж эне 
ЕҒ1
 
мэндерімен 
сипатталады.  Сонда  ЛІ2  жүмысын  екі  түрлі  тэсілмен  өрнектеуге 
болады:  не  кннетикалық энергиялардың айырмасы арқылы
4,2  =ЕК2~ Е к, 
(44)
деп,  не потенциялык энергиялардың айырмасы аркылы
АІ2  = Еғі
  -  
ЕР2
 
(45)
деп,  көрсетсе  де  болады.  Осы  екі  тендікті  салыстырсак,  мынау 
шыгады:
+ Ерг  = Еці  + Ер\ • 
(46)
Ж үйенің  кинетикалық  жэне  потенциялық  энергияларының 
қосындысы  оның  толык  механикалық  энергиясы  деп  аталады  да, 
оны Е  әрпімен белгілейді:
Е 
= ЕК + ЕР.
 
(47)
Сонда (46) тендіктің түрі мынадай  болады:
Е , = Е 2
 
(48)
яғни,  өзінде  тек  потенциялық  күштер  ғана  эсер  ететін 
окшауланған  жүйенің  толық  энергиясы  түрақгы  болып  қалады.  Осы 
қағида механикалық энергияның сақталу заны деп аталады.

Ж үйе  бір  күйден  екінші  күйге  көшкенде  оның  кинетикалык 
иісргиясы  да  потенциялык энергиясы  да  өзгеруі  мүмкін,  бірак  жүйеге 
лсср  етуші  күштер  потенциялды  болса  олардын  косындысы  тұракты 
(юлып  отырады.  Егер,  мысапы,  кинетикалық  энергия  ДЕк  шамасына 
иргса, онда дэл  сондай  шамага потенциялық энергияның кемуі  керек:
ДЕр  = ДЕк .
Потенциялык емес  күштер (мысалы,  үйкеліс  күштері)  бар болса, 
онда  жүйенің  кинетикалық  жэне  потенциялык  энергияларының 
косындысы тұракты болып қалмайды.
Үйкелісті  есепке  алмай,  дененің  темен  түсуін  қарастырайық, 
мысалы,  массасы  т  дене  Һ  биіктікке  көтерілген  болсын,  сонда  оның 
і н іч енциялық энергиясы
Е,  = т гһ.
Дене 
Һ 
биіктіктен  темен  түскенде, 
оның 
потенциялық 
інсргиясы  кемиді,  бірақ  оның  есесіне  оған  жылдамдық  пайда  болады 
и і і
. 
ол  кинетикалық энергиядан  қор  жинайды.  Соның  салдарынан  дене 
жср бетіне түскенде оның кинетикалық энергиясы мынадай болады:
мұндағы  и = 
-   түскен  дененің  Жер  бетіне  жеткен  кездегі
жмлдямдығы.  Ж ылдамдықгың  осы  мэнін  кинетикалык  энергияның 
ирпегіндегі  орнына қойсақ, сонда:
яғни  төмен  түсу  аякталған  кезде  потенциялық  энергияның 
іірнына  онымен  мөлшері  бірдей  кинетикалық  энергия  пайда  болады. 
Інсргия  бір  түрден  екінші  түрге  ауысты,  бірак  оның  жалпы  мөлшері 
оігерген жок-
Тұйыкталган  механикалық  жүйенің  кинетикалык  энергиясы 
I/ д )  мен  потенциялык энергиясының  (Ер)
 
қосындысы  болып  келетін 
иііы ңтолы қэнергиясы   (£)  тұрақты болады:
Е = ЕК + Е ,
 
=тұр.
Кинетикалық  энергия  кемігенде  потенциялык  энергия  артады 
ік.ніе  бұған керісінші болады.
Тұйықталған  механикалык  жүйені  құрайтын  барлык  денелер 
кшаіііқы  уақыт  мезетінде  тыныштықта  тұрса,  онда  кинетикалық 
шсргия  Ек =
 
0,  потенциялық  энергия  ЕР = Е ,
 
яғни  бұл  энергияның 
іініі.іК  қоры  болып  табылады.  Кинетикалық энергия  эрқашан  оң  шама 
Ппшандыктан,  ол  тек  потенциялык  энергиянын  кему  есебінен  ғана 
іиіікди  болады.  Осыдан  мынадай  кортынды  шығады:  егер  алғашқы
49

уакыт  мезетінде  £,,  потенциялык  энергиясының  шамасы  өзінін 
мүмкін  болатын  ең  аз  мәніне  тең  болса  жэне  механикалык  жүйені 
кұрайтын  денелер  тыныштык  күйде  түрса  (Ек
 
= 0 ),  онда  олар  алдағы 
уакыт  кезеңдерінде,  еш  уакытта  козгалыска  келе  алмайды,  өйткені 
сырткы  эсерсіз  кинетикалык  энергия  (Ек )
 
пайда  бола  апмайды. 
Баскаша  айтканда:  тұйыкталған  механикалык  жүйенің  потенциялык 
энергиясы  минимум  мэніне  тең  болса  жэне  сол  жүйені  кұрайтын 
денелер  козғалмаса,  онда осындай жүйе тепе-теңдік  күйде тұрады.
Енді  тұйык  емес  механикалык  жүйені  қарастырайык,  мысалы 
ішкі  күштердің  арасында  потенциялық  емес  күштер  де  (үйкеліс  I 
күштері)  бар  болсын.  Сонда,  жүйені  құрайтын  денелерге  эсер  ететін 
күштерді  үш  топқа  бөлуге  болады:  1)  ішкі  потенциялык  күштер;  2) 
Ц 
үйкеліс 
күштері 
(ішкі 
потенциялық 
емес 
күштер) 
жэне 
3)  і  
қарастырылып  отырған  жүйеге  жатпайтын  денелердің  эсерінен  пайда 
болған  сыртқы  күштер.  Сонда  осы  үш  топ  күшке  сәйкестеп  жұмысты  1 
да үшке бөлеміз; осылай еткенде мынау  шығады:
Ек2
  “  
Екі
  =  
і ш . п о т е н .  
-Ь 
А
 
үйк 
+  
А
 
сырт. 
( 4 9 )
Потенциялық  энергияның  өзгерісі  болса,  ол  тек  потенциялық  ’ 
күштердің жұмысымен ғана байланысты:
Е п  Ер^ 
— 
А
 
іш . п о т е н .  
( 5 0 )
(49) жэне (50) теңдіктерден мынаны табамыз:
(ЕК2  + ЕР2)
  -  
(ЕКІ  + Еп )
  =  
Асч>т + А
  ү й к
Кинетикалық  жэне  потенциялык  энергиялардың  қосындысы 
жүйенің толық  механикалық энергиясы  (Е)
 
болады,  сондықтан  былай  I 
болады:
(£ 2-.£ ,) = ^ + ^ ұйк 
(51)
О сы (51) өрнектен  мынадай  қорытынды  шығады:  жүйенің толык 
механикалық  энергиясының  өзгерісі  сыртқы  күштердің  жэне  үйкеліс  I 
күштерінің жұмыстарының қосындысына тең.
Сонымен,  жүйенің толык  механикалык  энергиясы  дегеніміз  -  I 
өзгеруіне  сыртқы  күштердің  және  үйкеліс  күш терінін  жұмысы  I 
себепші  болатын  физикалық шама.
Егер  сыртқы  күштердің жэне үйкеліс  күштерінің  жұмыс-тарының 
косындысы оң шама болса, онда тұйык механикалық жүйенің энергиясы  ' 
артады, ал енді осы қосынды теріс шама болса, ол  кемиді.
Әр  уақытта  мынаны  есте  ұстау  қажет.  Үйкеліс  күштерінің  I 
жұмысы  эркашан  теріс  шама,  өйткені  үйкеліс  күші  әрбір  материялық  I 
нүкте  үшін  оның  жылдамдығына,  яғни  оның  орын  ауыстыру 
бағытына,  қарама-карсы  болады.  Сонымен,  үйкеліс  күші  эрқашан 
жүйенің толық механикалық энергиясынын  кемуіне себепші  болады.
50

III  ТАРАУ.  ҚАТТЫ  ДЕН Е  М ЕХАНИКАСЫ

жүктеу/скачать 8,69 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: