Г г ъ 7 ъ Қазақстан республикасы бшім және ғылым министрлігі павлодар мемлекеттпс педагогичкалық институты қ.Қ. Қайырбаев жалпы физика курсы оқулық

Тікелей  бір  біріне  тиісіп  тұратын  екі 
денені  қарастырайык.  Олардың біреуі  (1-шісі) 
козғалатын,  ал  екіншісі  (
2
-шісі)  қозғалмай- 
тындай етіп  бекітілген  болсын (46-сурет).
г
1
-ші  дене 
2
-ші  денеге  /„ 
күшпен 
кысылады, 
бұл 
күш 
денелердің  тніскен 
беттеріне 
жүргізілген 
нормаль 
бойымен 
багытталады.  Бұл  нормаль  қысымынын
4 6-сурет
күші  деп  аталады  да,  дененің  салмагы  немесе  басқадай  себептерден 
болады.  Сыртқы  /   күшпен  әсер  етіп,  1-ші  дененің  орнын  ауыстыруын 
көрелік.  Бұл  жагдайда  эрбір  нақты  алынган  қос дене  үшін  жэне  эрбір 
нормапь  қысым  күшінің  мәні  үшін  /   күшінің  белгілі  бір  жорамал 
/ 0 
мэні  болады,  бұл  кезде 
1
-ші  денені  орнынан  қозгауга  мүмкіндік 
туады.  Сыртқы  күштердің 0< / <  
/ 0
 ш ектерінде тұрган  мэндерінде дене 
ты ны ш тықта  қалады.  Ньютонның  үшінші  заңы  бойынш а  бұл,  егер 
7
 күші  өзінің  шамасы  жагынан  тең,  багыты  жагынан  қарама-қарсы 
күшке,  ягни  ты ны ш ты қ  үйкеліс  / үйк  күші  деп  аталатын  күшке 
теңелген  жагдайда гана мүмкін  болады.  (46-суретті  кара).  Ол  өздігінен 
/  сырткы  күштің  шамасына  тең  мэңді  қабылдайды  (соңгысы 
/ 0
  -ден  
аспайтындай  жагдайда).  Бұл  жерде 
/ 0
  тыныштық  үйкеліс  күшінің  ең 
үлкен  мэнін  көрсететінін  байқау  қиын  емес.  Ньютонның  үшінші 
заңына  сәйкес 
2
-ші  денеге  де  шамасы  жагынан  / үв1І  күшіне  тең,  бірак 
оган  қарама-карсы  багытта  болатын  }  
ұй11
  тыныштык  үйкеліс  күші 
(46-суретте пунктирмен  көрсетілген)  эсер ететінін ескерген  жөн.
Егер  7   сырткы  күші  шамасы  жагынан 
/ 0
  күштен  артық  болса, 
дене  сырганай  бастайды,  сонымен  катар  оның  үдеуі  қорытқы  екі 
күшпен:  сыртқы 
7
  және  шамасы  қандай  жагдайда  болсын  сырганау 
жылдамдыгына  тәуелді  болатын  сырганау  үйкелісінің  күші  / үй1І -п ен  
аныкталады.  Бұп  тэуелділіктін  сипаты  үйкелетін  беттердің  таби- 
гатымен  жэне  күйімен  аныкталады.  Үйкеліс  күшінің  жылдамдыққа 
тәуелділігінің  жиі  кездесетін  түрлері  47-суретте  көрсетілген.  Мұнда, 
ось  бойымен  үйкеліс  күшінің  проекциялары  мен  бойымен  сырганау 
өтетін  багыт  жылдамдықтары  салынган;  бұп  екі  проекцияның  да 
таңбалары  қарама-карсы  болады.  График  тыныштық  жагдайын  да, 
сырганау 
жагдайында 
камтиды. 
Ж огарыда 
ескерткендегідей, 
ты ны ш тык  үйкеліс  күштерінің  нольден 
/ 0
 - г е   дейінгі  шектік  мэндері 
болады; бұп  графикте вертикаль кесіндімен бейнеленген.
74

/
+/о
“/о
а)
Сырганау  үйкеліс  күші  жылдам- 
дыктың  артуымен,  апғашында  кемиді, 
сонымен 
катар 
и 
нольге 
ұмтылган 
жағдайда 
/ 0
  - г е   ұмтылады.  Жылдам- 
дыктың  одан  арғы  артуында  ол  өсе 
бастайды.
Үйкеліс  беттерінің  күйі  мен  таби- 
ғаты 
өзгермеген 
жағдайда, 
сырғанау 
үйкеліс  күші  іс  жүзінде  жылдамдыкка 
тәуелді  болмай, 
/ 0
 
ты ны ш тык  үйкеліс 
максимал  мэніне  тең  болады  екен  (476- 
сурет).
Құргак 
үйкеліс 
заңы 
мынадай 
тұжырым  жасайды:  тыныштық  макси- 
мал  үйкеліс  күші,  сондай-ақ  сырғанау 
үйкеліс 
күші 
үйкелетін 
денелердің 
жанасу  бетгерінің  шамасына тәуелді  бол- 
майды  және  үйкелісетін  беттерді  бір- 
біріне  қатысатын,  қапыпты  қысым  күші  / п  -н ің   шамасына  шамалы 
пропорционал болады екен:
/гік -  
• 
(
1
)
Үйкеліс  күшінің  жанасу  беттерінің  шамасына  тәуелсіздіғін 
мына  мысапдан  көруғе  болады.  Егер  тік  бұрышты  параллелипед 
формасындағы  (кірпіш  формасындагы)  дене  басқа  бір  денені  салмақ 
әсерімен  қысса,  онда  максимал  үйкеліс  күшінің  шамасы  (немесе 
белгілі  бір  жылдамдықпен  алынған  сырғанау  үйкеліс  күші)  осы 
дененің  басқа  бір  денені  қай  қырымен  үйкелетініне  байланысты 
болмайды.
(
1
)  тендеудегі  өлшемсіз  пропорционалдық  коэффициент  к 
үйкеліс  коэффициенті  деп  аталады  (тыныштыққа  немесе  сырганауға 
сәйкес). Ол үйкелетін бетгердің табиғаты  мен  күйіне, дербес жагдайда 
олардың  кедір-бұдырлыгына  тәуелді  болады.  Сырганау  жағдайында 
үйкеліс  коэффициенті жыпдамдық функциясы болып табылады.
4
+/о
V
Г
- л
б)
47- сзфет
§3.  Тұтқырлык үйкелісі және ортаның кедергісі.
Тұтқьфлық 
үйкелістің 
кұрғақ 
үйкелістен 
айьфмашылығы 
тұтқырлық  үйкелістің  күші  нольге  жылдамдықпен  бір  уақытта 
айналатынына  қарай  байқалады.  Сондықтан  сыртқы  күш  каншапықты 
аз  болғанымен  де,  ол  тұтқырлы  ортаның  қабаттарына  сапыстырмалы
75

жылдамдық  береді.  Ортаның  қабатгары  арасындағы  үйкеліс  күші 
багынатын  зандар  сүйықтар  механикасында  қарастырылады.
Бүл  парагарафта  біз  қатты  дене  мен  түтқыр  (сүйық  немесе  газ 
тэріздес)  ортаның  арасындағы  үйкеліс  күшін  қарастырамыз.  Мүнда 
ескерте  кететін  бір  жағдай,  дененің  сүйық  немесе  газ  тәріздес 
ортадағы  қозғалысы  кезінде  меншікті  үйкеліс  күшінен  басқа, 
ортаның кедергі  күші деп аталатын күш пайда болатынын  есте үстау 
қажет.  Бүл  үйкеліс  күшіне  қарағанда  элде  қайда  маңыздырақ  болуы 
мүмкін.
Осы  күштердің  пайда  болу  себептерін  толық  қарастырмай-ақ, 
үйкеліс  күші  мен  ортаның кедергі  күштерінің бірдей бағынатын  заңын 
қарастырайық.
Үйкеліс  күшінің  шамасы  дененің  формасы  мен  өлшеміне, 
дененің  бетінің  күйіне,  ортаға  қатысты  жылдамдыққа,  түтқырлық  деп 
атапатын  ортаның  қасиетіне  байланысты  болады.  Дененің  үйкеліс 
күшінің 
ортага 
қатысты 
жылдамдыгына 
типтік 
тәуелділігінің 
графиктік түрі 48-суретте  көрсетілген.
Ш амалы 
жылдамдықта 
үйкеліс
күші
/ = -*, і). 
(2)
о 
жылдамдығымен 
сызықтық 
өседі,  мұндағы  «-»  таңбасы  үйкеліс 
күшінің 
жылдамдыққа 
қарама-қарсы 
жаққа ба-ғытталғандығын білдіреді.
Ал,  үлкен  жылдамдықта  сызықтық 
заң  квадраттық  заңға  ауысады,  яғни 
үйкеліс  күші  жылдамдық  квадратына 
пропорционал өседі.
/ Ү Й К 
= -к 2и г - .
(
3
)
к,  жэне  к
2
  коэффициенттерінің  шамасы  (бүларды  үйкеліс 
коэффициентгері  деп  атасада  болады)  жоғары  дәрежеде  дененің 
формасы  мен  өлшеміне,  оның  бетінің  күйіне  жэне  түтқыр  ортаның 
қасиетіне байланысты  болады.
§4.  Үйкеліс күш терінің табиғаттагы  мағынасы.
Үйкеліс  күштері  табиғатта  өте  үлкен  роль  атқарады.  Біздің 
күнделікті  тіршілігімізге  оның  пайдасын  жиі  байқаймыз.  Ж ердің  көк 
тайгақ  кезінде,  жол  мен  жаяу  адам  табанының  немесе  транспорт 
дөңгелектерінің  арасындағы  үйкелістің  едәуір  кемитін  кезіндегі  жаяу
76

мен 
транспорттың 
басынан 
өткеретін 
қиыншылықтарын 
еске 
алайықшы.  Үйкеліс  күші  болмаса,  мебельді  еденге  шегелеп  коюға 
тура  келер  еді,  әйтпесе  ол  теңіздегі  шайқалған  кемеде,  еден  болар- 
болмас  тегіс  болмаған  кезде,  көлбеулік  бағытпен  сырғанай  жөнелер 
еді.
Көп  жағдайларда  үйкеліс  зиянды  да,  оны  мүмкіндігінше 
әлсірету 
үшін 
шаралар 
қолдануға 
тура 
келеді. 
Мәселен, 
подшипниктердегі  үйкеліс  немесе  дөңгелек  втулкасы  мен  ось 
арасындағы үйкеліс жөнінде де осыны айтуға болады.
Үйкеліс 
күшін 
азайтудағы 
анағұрлым 
радикалды 
тәсіл- 
сырганау  үйкелісін домалау үйкелісімен  ауыстыру.  Бұл атап, айтқанда 
ж азық немесе  иілген беттердің  бойымен  цилиндрлі  немесе  иілген  шар 
тэрізді  денелер  арасында  пайда  болады.  Домалау  үйкелісі  формальді 
түрде  сырганау  үйкелісінің  заңына  багынады,  бірақ  бұл  жағдайда 
үйкеліс  коэффициенті  едәуір аз болады.
77

VI.  ТАРАУ.  БҮКІЛ ӘЛЕМ ДІК ТАРТЫ ЛЫ С.
§1.  Ньютоннын  бүкіл  әлемдік  тартылыс  заны.  Тартылыс 
түрактысы және оны  аныктау.
Денедердін  жерге  күлап  түсуі,  тұйыкталған  орбита  бойымен 
Айдың  жерді  айналуы,  планетапардың  Күнді  айнала  козғалуы  сияқты 
қүбылыстар  бүкіл  элемдік  тартылыс  күштерінің  ықпалынан  болады. 
Табигаттагы  барлык денелер бір-біріне тартылады.
Осы  тартылыс  багынатын  заңды  Ньютон  аныктап,  бүкіл 
әлемдік  тартылыс  заны  деп  атаған.  Осы  заң  бойынша  екі  дененін 
бір-біріне  тартылатын  күші  осы  денелердін  массаларына  тура 
пропорционал,  ал  олардын  ара  кашыктыгынын  квадратына  кері 
пропорционал  болады:
/ - У » .  
(
1
)
г
мүндағы  у -белгілі  түрақты  шама,  бұл  тартылыс  түрактысы 
немесе  гравитациялык түракты  деп  аталады;  оның сан  мэні  күштің, 
массаның  жэне  ара  қашықтықтың  қандай  бірліктер  мен  өлшенгеніне 
байланысты болады.
Ньютонның  заңы  жоғарыда  айтылган  түрінде,  тек  денелердің 
өлшемдері  олардың  г  ара  кашықтыгымен  салыстырғанда  кішкенё 
болса  ғана  дүрыс  болады.  Тартылыс 
күші  бір-біріне  әсер  ететін  денелер 
арқылы 
өтетін 
түзудің 
бойымен 
бағыттапған  (49-сурет).
(
1
) 
өрнек,  шамасы  бойынша 
бір-біріне тең  / п  және  / 2,  күштердің 
сандық мэнін береді.
Егер 
денелердің 
өлшемдері 
олардың  ара  кашықтыгымен  шама- 
лас 
болса, 
онда  денелердің 
эр- 
қайсысын 
кішкене 
элементтерге 
бөлген  жөн  (50-сурет),  солай  еткенде 
эрбір  екі  элемент  үшін  Ньютонның 
тартылыс  заңы  дүрыс  болады,  сонда 
бірінші  дененің  і-інші  элементі  мен 
екінші  дененің  к  -ш ы   элементінің  өзара  әсер  ету  күші  мынаган  тең 
болады:
—  
Д л і(Д т 4 
. . .
А Л - Г — 5—
(
2
)
Г!к61р
о= »-
т ,
/ і
2
 
/і і  
49-сурет
78

мұндағы  гла   -багыты  А т,-ден  Атк
 
-ға  дейінгі  бірлік  вектор,  ал
7
.  -осы элементар массалардың ара кашықтығы.
(
2
)  ернекті,  к -н ы ң   барлық  мэні  бойынш а қосындылап, 
2
-ші
дене  тарапынан, 1-ші  денеге  жататын  Д/л,  элементар 
массаға әсер
ететін барлық қорытқы күштерді  шығарып аламыз:
-  
Д/л.Д/я*  -
Д / , 2   -  
Ү
—
т - 4 -  
' “Ъ   ■
 
( 3 )
* 
гл
Енді  осы  (3)  өрнекті  к  индексінің  барлық  мәндері  бойынша 
қосындылап,  ягни  бірінші  дененің  барлық  элементтер  массаларына 
түсірілген  күштерді  қосып,  екінші  дененің  бірінші  дененің  барлық 
элементтер  массаларына  түсірілген  күштерді  қосып,  екінші  дененің 
бірінші денеге әсер ететін күшін табамыз:
— 
Д /п ,Д /я 4  -  
, . ч
Д / п  
“ 
У-----і— гьв,. 
(4)
I 
* 
гл
Қосындылау  і  ж эне  к  индекстерінің  барлық  мэні  бойынша 
жүргізілді.  Демек,  егер  1-ші  денені  N
1
,  ал  2-ші  денені  N
2
  элементар 
массаларға  бөлсек,  онда  (4)  қосындысында  Ы,  N
2
  қосылгыштар 
болады.
Ньютонның  үшінші  заңы  бойынша  1-ші  дене  2-ші  денеге 
/ |2
  күшіне тең болатын 
/ 21
  күшімен  эсер  етеді.
Іс  жүзінде  (4)  өрнекті  қосындылау  интегралдауға  әкеледі 
эрі  жалпы  айтқанда, өте күрделі  математикалық есеп болып табылады.
Егер  өзара  эсерлесетін  денелер  біртекті  шарлар  болса, 
онда олардың өзара әсерлесу  күшін  есептеп  шығару  мынандай  нәтиже 
береді:
~Г 
~  
(5)
■/12
 
' 
2 
ГП&р’
г
мүндағы,  тх
 
жэне  т 2-шар  массалары,  г  -оларды ң   центрлерінің
ара  қашықгығы,  гІ16ір  -бірінші  шардың  центрінен  екінші  шардың
центріне  дейінгі  бағытты  көрсететін  бірлік  вектор.  Сонымен,  шарлар 
материялық  нүктелер  ретінде  өзара  әсерлеседі,  ап  олардың  массалары 
шар  массаларына тең жэне олардың центрлерінде орналасқан.
Егер  денелердің  біреуі  радиусы  К  өте  зор  шар  (мысалы  Жер 
шары) ретінде берілсе,  ал екіншісі  шар тэріздес болмаса да,  өлшемі  К - 
ден  элде  қайда  кем,  бірақ  шар  бетіне  жақын  жатқан  дене  болса,  онда 
олардың өзара әсер етуі (5) өрнекпен сипатгалады,  мүнда г-дің орнына 
шар радиусын алу қажет.
(1) теңдеудегі  ү  пропорционалдық коэффициенті де Ньютонның 
екінші  заңының  тендеуіндегі  пропорционалдық  коэффициент  сияқты
79

алу  орынды  болады,  өйткені  бұл  жағдайда  эр  түрлі  физикалық 
кұбылыстарды  қарастырғанда  бір  шаманың,  мысалы,  күштің  эр  түрлі 
өлшем  бірліктерін  пайдалануға  тура  келер  еді.  Егер  де  (1)  формулаға 
енетін  шамаларды  елшеу  үшін  бұрын  тағайындалған  бірліктерді 
пайдаланатын  болсақ,  онда  ү
 
гравитациялык  түрақты  өлшемі  бар 
шама  болып  шығады.  Осы  (1)  өрнекке  сәйкес  у
 
-нын  өлшемділігі 
мынаган тең:
у
 
-ның  сандык  мэні,  массапары  белгілі  денелердің  бір-біріне 
тартылатын  күшін өлшеу жолымен анықталған. Осыдан  өлшеу  кезінде 
көп  қиыншылықтар  кездеседі,  ейткені  массалары  тікелей  өлшенетін 
денелер 
үшін 
тартылыс 
күштері 
өте 
аз 
болады. 
Мысалы, 
әркайсысының  массасы 
1 0 0
  кг,  бір-бірінен  қашықтыгы 
1
  м  болатын 
екі дене бір-біріне шамамен  10'6Н  күшпен өзара әсер етеді.
у
 
түрактысының  сан  мэнін  анықгау  үшін  ең  алғаш  ойдағыдай 
өлшеу  жүргізген  Кавендиш  (1798  ж)  болды.  Ол  күшті  өлшеу үшін  өте 
сезгіш иірілмелі таразы  әдісін  колданды.
Кавендиш 
пайдаланған 
прибордың 
жобасы 
мына 
51-суретте 
көрсетілген.
Горизонталь  күйентеге  (А)  эрқайсысының 
массасы  158  кг  Мі  жэне  М
2
  қорғасын 
шарлар 
ілінген. 
Күйентенің 
астынан 
жылжымайтын  В  бүркеншігіне  жіңішке  С 
сымның  бір  үшы  байланган,  оның  екінші 
үш ына  жеңіл 
I  стержень 
асылған, 
ол 
стерженьның  үш тарына  кішілеу 
т, 
жэне  тг 
қорғасын 
шарлар 
орнатьшған; 
Кавендиш 
тэжірибесінде 
бүл 
шарлардың  әркайсысының  массасы  730  г  болған.  А  күйентесін 
бүрғанда үлкен  шарлар  кішкене  шарларға жақындап,  оларды  өздеріне 
тартады;  ол  тартылысты  т,
 
мен  т
2
 
шарлары  орнатылған  / стержінінің 
бүрылуынан  байқауға болады.  С  сымның  серпімділік  қасиеттерін  біле 
отырып,  тартылыс  күшін  өлшеуге  болады,  одан  соң  у
 
тартылыс 
тұрактысының  мэнін  табады.  Кейін  Кавендиш  тэжірибесі  бірнеше  рет 
қайтадан  істеледі.  у
 
-ныц осы  кездегі  қабылданған  мэні  мынадай:
ү  =  6,670  Ю '11 
м  
.  . 
( 6 )
кг  сек
80

Сонымен,  әрқайсысының  массалары  1  кг,  центрлерінің  бір- 
бірінен  қашықтыгы  1м  болатын  екі  шар  өзара  6,670- 10'"Н -ға  тең 
күшпен тартылады.
§2.  А у ы р л ы қ  кү ш і ж әне дене с а л м а ғы .
Ж ердің  тартылыс  күші  әсерінен  барлық  денелер  Ж ер  бетіне 
қатысты  бірдей  үдеумен  түседі.  Оны  §  эрпімен  белгілеу  қабылданған. 
Мүның  өзі  Ж ермен  байпанысты  санақ  жүйесіндегі  массасы  т   кез 
келген денеге а у ы р л ы к  кү ш і деп  аталатын
Р -  « і  
(7)
күштің  әсер  ететіндігін  көрсетеді.  Дене  Ж ер  бетіне  қатысты 
ты ны ш тықга  тұрғанда,  Р  күші  денені  қүлатпай  үстап  түрған  ілменің 
немесе  тіреуіш тің  / г  реакциясымен,  яғни  берілген  денеге  оның 
қозғалысын  шектейтін  дененің  эсер  еткендегі  күшпен  теңгеріліп 
түрады  І / Г - - Р ) .   Н ьютонның  үшінші  заңы  бойынш а  дене  бүл 
жағдайда  ілмеғе  немесе  тіреуіш ке  - /  -ге  тең  О  күшпен  әсер  етеді, 
яғни  0  = Р -т % .
/  = т §+>*)
■и»=  0
/ш у п е
52-суреі
/  = т(в -  ■№
)
Дененің  ілмеге  немесе  тіреуішке  әсер  ететін  С  күші  дененің 
са л м а гы   делінеді.  Дене  мен  тіреуіш  немесе  (ілме)  Ж ерге  қатысты 
қозғалмай  түрған  жағдайда  ғана  бүл  күш  т%-ге  тең  болады.  Олардың 
қандай  да  болсын  »   үдеумен  қозғалған  жағдайында  0   күші  т%  -  тең 
болмайды.  Мүны  төмендегі  мысалдан  толығырақ  түсінуге  болады. 
Айталық,  ілме рамаға  бекітілген  серіппе  түрінде  »   үдеуі  бар  денемен 
бірге қозғалсын делік (52-сурет).
81

Сонда, дене  қозгалысының тендеуі  мына түрде болады:
Р
 
+ / г  -  отн>,
( 8)
мұндағы  / г  ілменің  реакциясы,  яғни  серіппенің  денеге  эсер  ететін 
күші.  Ньютонның  үшінші  заңы  бойынша  дене  серіппеге  / - г е   тең 
күшпен  әсер  етеді,  мұның  езі  аныктама  бойынш а  осы  жагдайдагы 
дененің  О  салмагын білдіреді. (
8
) теңдеудегі  /   реакцияны  О  күшпен, 
ал  Р
 
ауырлық  күшін  т%
 
көбейтіндісімен  ауыстырып,  мынаны 
аламыз:
Осы  (9)  формула  жаппы  жагдайда  дененің  салмагын  анықтайды.  Бүл 
формула ілме  мен тіреуіш тің кандай түріне болса да орынды.
Д ене  мен  ілме,  52-суретте  көрсетілгендей  вертикаль  багытта 
қозгалсын  дейік.  Сонда  (9)  өрнекті  ілменің  багытында  проекциялап, 
мынаны аламыз.
Бүл  өрнектегі  О ,  £  жэне  \ч  негізінен  сәйкес  векторлардың 
модульдары  болады.  «+»  таңбасы  жогары  қарай  багыггалган  » ,   «-» 
таңбасы төмен  карай  багыттапган  \ч  багытына сәйкес келеді.
(10)  өрнектен  О  салмақ,  модулі  бойынш а  Р
 
ауырлық  күшінен 
кем  де,  артык  та  болуы  мүмкін  екендігі  байқалады.  Ілмесі  бар 
рамканың  еркін  түсуі  кезінде  и>«£  жэне  дененің  ілмеге  эсер  күші 
нольге тең болады. Осы  кезде дененің с а л м а қ с ы зд ы қ  күйі басталады. 
Двигателі  іске  косылмай  Ж ерді  айнала үшкан  космос  кораблі  элгінде 
айтылган  үдеуі  бар  еркін  түскен  рамка  сияқты  қозгалатын  болады, 
осының  сапдарынан  корабльдің  ішіндегі  дене  с а л м а к с ы зд ы к   күйге, 
ягни  денелер  өзіне  үшыраган  денелерге  қысым  түсірмейтін  күйге  тап 
болады.
ІМ ынандай бір ж агд ай д ы   есте үстау  керек.
Р
 
ауырлық  күші  мен  О  салмақты  жиі  шатастыра  береміз. 
М үның  өзі  тіреуіш тің  қозгалмай  түрган  жагдайында 
Р
 
және
О  күштерінің  шама  жагынан  да  багыты  жагынан  да  бірдей,  екеуі  де 
т%-ге  тең  болатындыгымен  түсіндіріледі.  Алайда  екі  күштің  де  бүл 
жагдайда  әр  түрлі  денеге  түсетінін  есте  үстаган  жөн:  Р
 
күші  дененің 
өзіне  түсетін  О  болса,  ал  О  жердің  тарту  күшінің  өрісінде  дененің 
еркін  қозгалысын  шектейтін  ілме  немесе  тіреуіш ке  түседі.  Сонымен 
катар  Р
 
күші  эр  уақытта  т% -ге тең,  ол дене  қозгалып  бара  жатыр  ма, 
жоқ  элде  тыныш тықта  түр  ма  оган  тэуелді  болмайды,  ал  О  салмак
(9)
О  = 
т(% ±
 » ) .
( 10)
82

кұші  ілме  мен  тіреуіштің  козғалыс  үдеуіне  тәуелді  болады  жэне  де 
ш£-ден  артык  та  кем  де  болуы  мүмкін,  атап  айтканда,  ол 
салмақсыздык күйде нольге айналып  отырады.
Дененің  массасы  мен  салмагының  арасындағы  (9)  қатыс  елшеу 
арқылы  алынған  дене  массаларының  салыстырмапы  тэсілін  береді, 
яғни  бұл  тәсіл  бойынша  бірдей  жағдайда  (  әдетте н- = 
0
  болғанда)  жер 
бетінің  бір  нүктесінде  анықталган  дене  салмақтарының  қатынастары 
осы денелердің массаларының қатынасына тең болады, яғни
О, :
0 2
: 0 , 
:тг  :т, :... 
(
1 1
)
§3.  А у ы р л ы к  к үш ін ің   г е о г р а ф и я л ы к  ен д ікке тәуелділігі.
Үдемелі  жүйеде,  атап  айтқанда  айналушы  жүйеде  ,  инерциялык 
күштермен  пайдалану  әртүрлі  механикалық есептерді  шешу үшін  өте 
қолайлы.  Тэуліктік  айналыс  жасайтын  Ж ер  шары  осындай  айналушы 
жүйе  болып  табылады, 
сондықган  Ж ер  бетінде  болатын  эртүрлі 
механикалык  процесстерді  дәлірек  қарастырганда  тэуліктік  айна- 
лыстан  пайда  болатын  и н ер ц и я  күш тері  есепке  алынуы  керек.  Бұл 
күштер  онша үлкен  емес,  сондықган  көп  жағдайларда  оларды  елемей, 
жоғарыда  айтылғандай  шамада,  Жерді  инерциялык  санак  жүйесі  деп 
есептеуге  болады.  Алайда,  кейбір  жағдайларда  Ж ердің  тәуліктік 
айналысын елемеуге болмайды.
Ж ердің  тәуліктік 
айналысының 
дененің  ауырлық  күшіне 
тигізетін  эсерін 
карастырайық.  Ауыр  А 
денесі  ф  ендікте  тұрсын, 
оның  массасы  т   болсын  (53  -  сурет  ).  Ж ермен  бірге  айналатын 
координаталар  жүйесіне 
қатысты  есепті  шыгарғанда  мынадай 
инерциялық  күшпен санасуымыз керек 
/ = т с о
2
К ь 
(12)
Мұндағы,  со  -  Ж ер  айналысының 
бұрыштық  жылдамдығы,  К,-  жердің 
осінен  денеге  дейінгі  қашықтық.  /  
күші 
Ж ердің 
осіне 
перпендикуляр 
бағытталған.  Бұл  /   күші,  дененің  Ж ер
центріне  қарай  бағытталған  Р<>  ауыр- 
лы қ  күшімен 
қысылады. 
Осылай
болғандықтан 
дененің 
<р 
ендікте
байқалатын  салмағы мынаған тең; 
53-сурет
Һ = к+/.
 
(
13
)
Бұл тендіктің оң жағындағы  векторлық қосынды болады.
83

53-суреттен  :  Қ=Кст<р,  мұндағы  К-  Ж ердің  радиусы,  сонда
(
1 2
) тендік б о й ы н ш а:
/  -т<агКсоъ<р. 
(14)
Ауырлык  күшімен  салыстырғанда бүл  күш  өте  аз.  Ш ындыгында 
Р„  = т£„  олай болса:
/  
о) 2К 
= —
СО.Ц
Го 
ао
Егер  т,К  жэне 
(ауырық  күшінің  шын  үдеуі)  шамаларының
о)2К 
1 
,
орнына  олардың  сан  мәнін  коисак,  онда  ----- = —   болады,  ал  <в
8 а
 
289
бүрышының  косинусы  эркашан  <1, сөйтіп/ күші Р0 ауы рлык күшінен 
әлдеқайда  аз.  Сондықтан,  (13)  теңдік  бойынша,  дененің  байкалар  Р9 
салмағын  аныктау  үшін  мынадай  жуыктап  есептеу  эдісін  пайдаланып 
мынаны табамыз:
РГ =РЛ І~—
с о * » .  
(15)
8о
Осы (15)  өрнектен дененің  байқалар  Рч салмағы, дененің түрған
орнының  ср  ендігіне  байланысты  екендігін  көреміз. 
шамасы
8 »
түракты,  ол  —— ге тең. Олай болса;
289
Дүрысында  Ж ердің  дүрыс  сфера  тэрізді  еместігі,  ол  полюстер 
маңында  кысылынкы 
екендігі  еске  алынуы  керек,  осыдан  келіп 
ауырлык күші  полюстерде артык болады.  Дене  салмағының  ср  ендікке 
дүрыс байланыстылығы мына түрде болады:
РТ  = ^ 0 - ^ - « > 5 > ) .  
(17)
Полюсте  Рф  мен  Р
0
  тең  болады;  экваторда  Рф  мен  Р
0
  мэндерінің 
айырмашылығы  үлкен  болады.Байкалар  ауырлық  күші  Рф  полюсте  де 
экватордада  Ж ердің  центріне  қарай  бағытталған  болады;  оның  ең  зор 
ауытқуы ф=45° ендікте байқалады.
§4.  А у ы р л ы қ  (г р а в и т а ц и я л ы қ ) ж әне и н е р ц и я л ы к  м ассалар.
Физикалық шама  м асса  біріне-бірі тэуелді  емес  екі  негізгі  заңга- 
Ньютонның  екінші  заңына;  /  = т\\>  жэне  бүкіл  әлемдік  тартылыс
. 
т,т, 
заңына;  /  = ү 
1 2
  катысады.
84

Ньютонның  екінші  заңында  м асса  денелердің  и н е р ц и я л ы к  
қ асиеттерін   сипаттайды.  Ал,  бүкіл  әлемдік  тартылыс  заңында  масса 
денелердін 
т а р т ы л ы с  
өрістерін 
козды ру 
(гр а в и т а ц и я л ы қ  
өрістерді) 
ж әне 
т а р т ы л ы с  
өрістерін ін  
әсерін 
сезіну 
қабі- 
л ет тіл ік те р ін  с и п а тта й д ы .
Мынадай сүрақ койылуы мүмкін;  жоғарыда айтылған екі  заңның 
екеуіне  де  енген  масса  бір  физикалык  шама  ма,  немесе,  олар  тек 
арасында  белгілі  байланысы  бар  екі  түрлі  шама  ма?  М эселенің 
тарихына  көз  салсак,  Ньютонның  екінші  заңына  қатынасатын 
и н е р ц и я л ы қ   м асса  мен  бүкіл  элемдік  тартьшыс  заңына  қатысатын 
т а р т ы л ы с т ы қ   (гр а в и т а ц и я л ы қ )  масса  туралы  үғымдар  осылайша 
келіп  шыққан.  Бүл  массалардың  екеуі,  егер  оларды  жекелеп 
қарастырудан  мағына  шығатын  болса,  біріне-бірі 
пропорцинап 
екендігін,  қазіргі  кезде тэжірибелер көрсетіп отыр  .
Ең  алдымен,  бүл  айтылган  қорытынды,  £„  еркін  түсу  үдеуінің 
барлық денелер  үшін  бірдей  болуымен  дәлелденеді.  Денелердің  еркін 
түскен  кездегі  де  үдеуін  дэл  өлшеу  өте  қиын,бірақ  маятниктің 
тербелісін бақылай отырып, 
£ 0
  үдеуін едэуір-ақ дэл өлшеуге болады.
Инерциялық  жэне  тартылыстық  (гравитациялык)  массалардың 
арасындағы  пропорционалдықты  Э твеш   1894  жылы  иірілмелі  таразы 
жәрдемімен  өте  зор дэлдікпен  көрсетті.Этвеш  тэжірибелерінің  идеясы 
мынадай:  Жер  шарының  бетінде  Рг ауырлык  күшінің  бағыты,  дененің 
Ж ер  центріне  тартьшу  күші  мен  инерциялык  центрден  тепкіш  күштің 
тең эсерлі  күшінің бағыты  ретінде  аныкталады.  Бірінші  күшті  дененің 
тартылыстық 
(гравитациялық) 
массасы, 
екінші 
күшті 
дененің 
инерциялық  массасы  қамтамасыз  етеді.  Егер  бүл  екі  масса  бір-біріне 
пропорционал  болмаса,  онда  эр  түрлі  денелер  үшін  Рг  ауырлық 
күшінің  бағыты  аздап  өзгеше  болуы  керек.  Этвеш  иірілмелі 
таразының  күйентесінің  бір  үш ына  массасы  белгілі  платина,екінші 
үш ына сыналатын денені  орнатқан.  Приборды,  оның  күйентесі  белгілі 
бір  бағытты  көрсетіп,  мысапы  ,  шығыстан  батысқа  карап  түратындай 
етіп орналастырған. Кейін  приборды  180°-қа бүрған.
Егер  инерциялық  жэне  тартьшыстық  массалар  біріне-бірі 
пропорционал  болмаса,  онда  приборды  бүрғанда  қос  күш  пайда 
болуға тиіс  жэне  күйенте  аз  ғана бүрылуы  керек.  Ш ындығында  үлкен 
бүрышқа  бұрылу  байкалмаған.  Байқалған  өте  аз  бұрылыстар  кездей- 
сок  бұрьшыстар  тэрізді  болды.  Екі  массаның  пропорционалдығының 
дэлдігі,  өте  зор  болды,  сонда  дэлдік  екі  жүз  миллионнан  бір  үлеске 
жеткен.
85

Сонымен,  барлык  тэжірибелер  инерциялык  жэне  тартылыстық 
массаларды  бірінен-бірін  ажырату  мүмкін  еместігін  көрсетті,  тек 
физикалык  бір  шаманын  -  м асс ан ы ң   -түрліш е  білінуімен  ғана  істес 
болып  отырғанымызға  тэж ірибе  аркылы  көзіміз  жетті.  Бүл  көз- 
карастың  дүрыс  екндігін  Эйнштейннің  тартылыс  теориясы  да 
көрсетті.Сонымен,осы  кезде  екі  түрлі  физикалық  ш ам а-и н ер ц и я лы к  
м асса  жэне  т а р т ы л ы с т ы к   (гр а в и т а ц и я л ы к )  м асса  -   бар  секілді 
деген  мэселеде тек тарихи  ғана мэн  бар.
Әрбір  дене  өзін  коршаған  кеңістікте 
тартылыс  (гр а в и та - 
ц и я л ы қ )  өрісін  тудырады  деп  1-параграфта  айтылған  болатын.  Жер 
шары  да  осындай  өріс  қоздырады.  Жер  шарының  тартылыс  күші 
а у ы р л ы к  кү ш і деп  аталатын  болғандықтан,  Ж ерді  қоршаған  өрісті  де 
а у ы р л ы қ   к ү ш ін ін   өрісі  деп  атауға  болады.  Жер  бетіне  таяу  орында, 
іс  жүінде,  ауырлық  күші  түрақты 
болады;  сондықтан  ауырлык 
күшінің өрісі  б іртек ті өріс болады.
Ауырлық күшінің  өрісінде  (біртекті  өріс  болгандықтан)  жүмыс 
жолдың  формасы  мен  үзындығына  тәуелді  емес  ,  тек  козғалысының 
нәтижесінде  дененің  көтерілген  биіктігінің  қанша  өзгергеніне  байла- 
нысты  болады.  Сондықтан,  ауырлық  күшінің  өрісінде  түйықталған 
жолмен  қозғалғанда  істелген жүмыстар қосындысы 
0
-ге тең болады.
Ж үмыс  тек  жолдың  бастапқы  ж эне  ақырғы  нүктелерінің 
орындарына  ғана  тәуелді,ал  жолдың  формасына  байланысты  емес 
деген  корытынды тартылыс  күштерінің өрісі біртекті  болмаган жағдай 
үшін де дүрыс болады.
§5.  П л а н е т а л а р д ы н  қ о зга л ы с ы .  К еплер зан д ар ы .
Ньютонның  бүкіл  әлемдік  тартылыс  заңын  анықтауы  үшін 
планеталар қозғалысының Кеплер  ашқан үш  заңы  негіз болган еді;
1. 
Барлық  планеталар  эллипс  бойынша  қозғапады,  оның  бір 
фокусында Күн болады.
2. 
Планеталардың  радиус  -   векторы  тең  уақыттар  арасында 
бірдей  аудандар сызады.
3.  Планеталардың  Күнді  айналу  периодтарының  квадрат- 
тарының  қатынасы  олардың  орбитапарының  үлкен  жарты  осьтері 
кубтарының қатынасындай болады.
Кеплердің  бірінші  заңы  планеталардың  ц е н т р л ік   күш тер 
өрісінде  қозғалатындығын  көрсетеді.  Ш ынында  да,  центрлік  күштер 
өрісіндегі  дене  траекториясы  жазық  қисық  сызық  -  ги п ерб ола, 
п ар аб о л а  немесе  элли п с  -   түрінде  болады,  оның  фокусы  күш 
центрлерімен дэл  келеді.
86

Планеталар  козғалыс  заңын  аныктауды  жеңілдету  үш ін  олардың 
орбитасы  эллипс  емес,  шеңбер  болады  деп  қарастыруға  болады, 
өйткені  іс  жүзінде  барлық  планетапар  орбиталарының  шеңберден 
айырмашылығы  өте  аз  болды.  Сонда  планета  козғалатын  үдеуді  мына
V
2
түрде жазуға болады: 
=  — , 
(18)
мүндағы  о  -   планета  қозғалысының  жылдамдығы,  г  -   орбита 
радиусы.  V  жылдамдықты 
(Т-  планетаның  Күнді  айнапу
периоды) арқылы алмастырайық:
(19)
Соңғы  өрнектің  неғізінде  Күн  жағынан  планетаға  әсер  ететін 
қүштердің қатынасы  мынадай болып жазылады:
А
_   т ім'і  =  т \г\г г 2 
(20)
/ 2 
т 2^ 2 
т 2г2Тх2
Кеплердің  үшінші  заңына  сәйкес  айналу  периоды  квадрат- 
тарының  қатынасын  орбита  радиустары  кубтарының  катынасымен 
алмастырып,  мынаны  шығарып  аламыз:
(21)
/ і  
г \ 
Г 2
Сонымен,  Кеппердің  үшінші  заңынан  мынадай  қорытынды 
шығады;  планетаның  Күнге  тартылатын  күші  планета  массасына тура 
пропорционал, ал  оның  Күнге дейінгі  қашықтыгының квадратына кері 
пропорционал болады:
/  = *
4
- 
(
2 2
)
г
қ  -   пропорционалдық  коэффициент  ез  кезегінде  М к  Күн 
массасына  пропорционал  болады  деп  үйгарып,  Ньютон  бізге  белгілі 
бүкіл әлемдік тартылыс заңын өрнектейтін  мына формулаға тоқтаған:
т М к
(23)
г
§
6
.  Б ірін ш і ж әне екін ш і к о см о сты к  ж ы л д а м д ы к т а р .
Радиусы  Кж  Ж ер  радиусымен  шамапас  дөңгелек  орбита 
бойымен  Ж ерді  айнала  қозгалу  үшін  дене  белгілі  бір  ц   жылдам- 
дығына  ие  болуға  тиіс,  ал  мүндай  жылдамдықтың  шамасын  дене 
массасының осы денеге әсер  ететін  ауырлық күшінің центрге тартқыш 
үдеуіне көбейтіндісінің теңдік шартынан табуға болады:
87

: т%
(24)
кж
Осыдан 
о , = 7 ^ Г -  
( 2 5 )
Демек,  кандай  да  болсын  дененің,  Жер  серігі  болуы  үшін  оған 
бірінш і  к о см о сты қ   ж ы л д а м д ы к   деп  атапатын  о,  жылдамдыгы 
берілуі  кажет.  §  жэне  Кж  мэндерін  орнына  койғанда  бірінші 
космостык жылдамдыктың  келесі  мэні  шығады:
Ц   - 7 І ^ Г л / 9 . 8 * М
* Ю
6  
м/сек=8км/сек
 
( 2 6 )
о ,  
жылдамдыгына  ие болған дене Ж ерге  кұлап түспейді.  Алайда 
бүл  жылдамдык  дененің  жерге  тартылу  сферасынан 
шығып  кетуі  үшін,  яғни  Ж ерге  тартылу  елеулі  роль 
аткармайтындай  қашыққа  Ж ерден  үзап  кетуі  үшін 
жеткілікті 
болмайды. 
Осыған 
кажетті 
о
2 
жылдамдыгы  екін ш і  к о см о сты к   ж ы л д а м д ы қ   деп 
аталады.
Екінші  космостық  жылдамдықты  табу  үшін 
дененің  Ж ер  бетінен  шексіздікке  қашықгап  кетуіне 
кажетгі  Ж ерге  тартылу  күшіне  карсы  істелетін 
жүмысты  есептеп  шығару  керек.  Енді  дененің  Жер 
центрі  арқылы  өтетін  түзу  бойымен  орын  ауыстыр- 
ғанда  істелетін  жүмысын  есептеп  шығарайық 
( 5 4 -  
сурет).  сіг  жолында  істелетін  элементар  жүмыс 
мынаған тең:
т М
 „
йг
сіА=/(іг=у
-
г ‘
г=Кж-ден 
г=  -ке 
дейінгі 
жолда 
жүмысты  интегралдау  арқылы табамыз:
істелген 
54-сурет
сіА-
т М ж
у
— -— аг ■
■
( 2 8 )
А уырлық  күші  Ж ердің  тарту  күшіне  тең  болады  деп  жора- 
малдап,  мынаны жазуға болады:
те = у-
тМ
 .
осыдан  у-
= т8Яж
Сонымен, 
( 2 8 )  
жүмысты  мынадай түрге  келтіруге болады:
А
  -  
тёКж .
 
( 2 9 )
Ж ерге  тартылу  күшін  жеңіп, 
Ж ердің  тарту  күші  әсерінен 
шығып  кету  үшін  дене 
( 2 9 )  
жүмысын  істеуге  жетерліктей  энергия
88

қорына  ие  болуга  тиіс.  Осыған  қажетгі  ең  аз  V;  жылдамдығы  екінші 
космостық жылдамдык болады.  Ол  мына шартпен анықталады:
“  т8 Кж> осыдан 
, 
(30)
(30) 
формуланы 
(25) 
формуламен 
салыстырғанда  екінші 
космостық жылдамдықтың  бірінші  космостық жылдамдықтан  -І2  есе 
көп  екендігі  көрінеді.  Сонда, 
8
  км/сек-ты 
санына  көбейтсек,  \ 2 
үшін  шамамен 
11
  км/сек  мэнін  шыгарып аламыз.
89

VII. 
ТАРАУ.  ИНЕРЦИЯЛЫ Қ  ЕМЕС САНАҚ 
Ж ҮЙЕСІН ДЕГІ  ҚОЗГАЛЫ С  (ИЕСЖ).

жүктеу/скачать 8,69 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: