Гамильтон теңдеуі. Пуассон жақшалары
жүктеу/скачать 318,08 Kb.
|
Гамильтон теңдеуі-2.2.2
- Бұл бет үшін навигация:
- Гамильтон теңдеуі.
- Гамильтон функциясы немесе механикалық жүйенің гамильтонианы
- Пуассон жақшасы
|
Гамильтон теңдеуі. Пуассон жақшалары Математикадан белгілі, кез келген s екінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін оған пара-пар 2s бірінші ретті тендеулер жүйесімен алмастыруға болады. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер түрінде жазылған, механикалық жүйенің қозғалыс теңдеулерін, қозғалыстың конондық теңдеуі деп, немесе Гамильтон теңдеулері деп атайды. Механикалық жүйе қозғалыстарын Лагранж әдісімен (Лагранж теңдеулері арқылы) қарастырғанда, t уақытты және жүйе нүктелерінің qα жалпыланған координаттарын тәуелсіз айнымалылар деп қарастырды, ал жалпыланған жылдамдықтарды Лагранж функциясына және Лагранж теңдеулеріне тікелей кіретіндігіне қарамастан оларды тәуелді айнымалылар деп есептеді. Гамильтон әдісінде тәуелсіз айнымалылар ретінде жүйенің s жалпыанған координаттары q1,q2,...,qs және s жалпыланған импульстары p1,p2,…,ps алынады.
Біздің қарастырып отырған жағдайымызда Лежандр түрлендіруін, Лагранж әдісінде қолданылатын qα және айнымалылардан, qα және рα айнымалыларға көшу үшін былай пайдалануға болады. Жүйе нүктелерінің qα жалпыланған координаттарына, жалпыланған жылдамдықтарына және t уақытқа тәуелді жүйе Лагранжианынан толық дифференциал алайық, Қарастырылып отырған жүйеге тек қана жалпыланған потенциалды (немесе потенциалды) күш әсер етеді деп есептеп, мынандай алмастырулар жасасақ, (1)–теңдік мынандай түрге келеді, (2) (1) Мына теңдікті ескерсек онда (2)–теңдікті былай жазуға болады, немесе (3) Осы теңдіктің оң жағында dqα, dрα және dt дифференциалдарының болуы, сол жақтағы дифференциал белгісінің астында тұрған мүше, жүйе нүктелерінің жалпыланған координаттарына, жалпыланған импульстарына және уақытқа тәуелді функция екендігін көрсетеді, яғни (4) Осы функцияны Гамильтон функциясы немесе механикалық жүйенің гамильтонианы деп атайды. 2. Пуассон жақшалары. Еркіндік дәрежесі s механикалық жүйенің қозғалысы 2s Гамильтон теңдеулерімен анықталады: Осы (10)–теңдеулер жүйесін интегралдау деп, t уақытқа және 2s тұрақты шамаларға тәуелді pα жалпыланған импульстармен qα жалпыланған координаттарды табуды айтады. Осы табылған, р1, р2, …, рs; q1, q2, …qs функциялар жүйесі қанағаттандыратын мынандай φ(q1, q2,… qs; р1, р2, … рs, t) = С қатысты (10)–дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бірінші интегралы деп атайды. Бірінші интегралдың сол жағында тұрған, pα жалпыланған импульстан, qα жалпыланған координаттардан және t уақыттан тәуелді функция, жүйе қозғалысы кезінде (алғы шарттарға байланыссыз) тұрақты болып қалады. (10) (11) Енді (11)–қатыс Гамильтон теңдеулерінің бірінші интегралы болуы үшін қандай шарттарды орындау керектігін табайық. Бірінші интегралдың анықтамасы бойынша, функциясы, мұндағы рα және qα айнымалылардың орынына, Гамильтон теңдеулерін шешкенде табылатын рα және qα айнымалылардың мәндерін қойғанда тұрақты болып қалуы керек. Сондытан, (12)–функциядан уақыт бойынша алынған толық туынды нольге тең болуы керек, яғни (12) (13) Осындағы және айнымалылардың (10)–Гамильтон теңдеулеріне сәйкес Н Гамильтон функциясымен алмастырсақ немесе (14) (15) мұндағы (16) Пуассон жақшасы деп аталады. жүктеу/скачать 318,08 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|