Хаймулданов ерлан сеилханович
ҚОСЫМША А Қысқаша көбейту
жүктеу/скачать 3,24 Mb. Pdf көрінісі
|
ҚОСЫМША А
Қысқаша көбейту формулалары Дәреженің қасиеттері Арифметикалық түбір және оның қасиеттері (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 , (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 , a 2 -b 2 =(a-b)(a+b), (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 , (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 , a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ), a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ), a 2 +bx+c=a(x-x 1 )(x-x 2 ), мұндағы x және x 2 ax 2 +bx+c=0 теңдеуінің түбірлері. x n -a n =(x-a)(x n-1 +ax n- 2 +a 2 x n-3 +…+a n-2 x+a n-1 ) a 0 =1 a m ∙a n =a m+n (a∙b) m =a m ∙b m ( 𝑎 𝑏 ) −𝑚 = ( 𝑏 𝑎 ) 𝑚 a m :a n = a m-n ( 𝑎 𝑏 ) 𝑚 = 𝑎 𝑚 𝑏 𝑚 𝑎 1 𝑛 = √𝑎 𝑛 (a m ) n =a mn 𝑎 −𝑛 = 1 𝑎 𝑛 𝑎 𝑚 𝑛 = √𝑎 𝑚 𝑛 Егер a≥0 болса, онда √𝑎 𝑛 = 𝑥; 1) a≥0; 2) xn=a болатынын білдіреді (арифметикалық түбірдің анықтамасы) √𝑎𝑏 𝑛 = √𝑎 𝑛 ∙ √𝑏 𝑛 , ( √𝑎 𝑛 ) 𝑘 = √𝑎 𝑘 𝑛 , √𝑎 𝑘𝑚 𝑛𝑚 = √𝑎 𝑘 , 𝑛 √ 𝑎 𝑏 𝑛 = √𝑎 𝑛 √𝑏 𝑛 , √ √𝑎 𝑘 𝑛 = √𝑎, 𝑛𝑘 √𝑎 2 = |𝑎| Арифметикалық прогрессия Геометриялық прогрессия a n+1 =a n +d (арифметикалық прогрессияның анықтамасы). a n =a 1 +d(n-1) (n-ші мүшесінің формуласы). 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 2 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2 ∙ 𝑛 = 2𝑎 1 + 𝑑(𝑛 − 1) 2 ∙ 𝑛 (алғашқы n мүшелерінің қосындысының формуласы). b n+1 =b n ∙qb 1 ≠0, q≠0, (геометриялық прогрессияның анықтамасы), b n =b 1 ∙q n-1 (n-ші мүшесінің формуласы), 𝑏 𝑛 2 = 𝑏 𝑛−1 ∙ 𝑏 𝑛+1 , 𝑆 𝑛 = 𝑏 𝑛 ∙ 𝑞 − 𝑏 1 𝑞 − 1 = 𝑏 1 (𝑞 𝑛 − 1) 𝑞 − 1 (алғашқы n-мүшесінің қосындысының формуласы). 𝑆 = 𝑏 1 1 − 𝑞 ; |𝑞| < 1 (болғандағы шексіз геометриялық прогрессияның формуласы). Туынды Алғашқы функция және интеграл 𝑦 ′ = 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ∆𝑥→0 ∆𝑓 ∆𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 ∆𝑥→0 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ∆𝑥 (туындының анықтамасы). Егер 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) болса, онда F(𝑥) 𝑓(𝑥) функциясының алғашқы функциясы болады. 1. Алғашқы функцияларды есептеудің формулалары: Егер F(𝑥) 𝑓(𝑥)-тің алғашқы функциясы болса, ал 𝐻(𝑥) ℎ(𝑥)- 123 1. Дифференциалдау ережелері: (u ' +v ' )=u ' +v ' (cu) ' =cu ' , (u·v) ' =uv ' +uv ' , ( 𝑢 𝑣 ) ′ = 𝑢 ′ 𝑣−𝑢𝑣 ′ 𝑣 2 , (f(g(x))) ' =f '' (g(x))·g ' (x) 2. Дифференциалдау формулалары: 𝑐 ′ = 0, (𝑠𝑖𝑛𝑥) ′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥, (𝑘𝑥 + 𝑏) ′ = 𝑘, (𝑐𝑜𝑠𝑥) ′ = −𝑠𝑖𝑛𝑥, (𝑥 𝑛 ) ′ = 𝑛𝑥 𝑛−1 , (𝑡𝑔𝑥) ′ = 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 , (𝑒 𝑥 ) ′ = 𝑒 𝑥 , (𝑐𝑡𝑔𝑥) ′ = − 1 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 , (𝑎 𝑥 ) ′ = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎, (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥) ′ = (−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥) ′ = 1 √1 − 𝑥 2 , (𝑙𝑛𝑥) ′ = 1 2 , (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) ′ = (−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥) ′ = 1 1 + 𝑥 2 , (𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥) ′ = 1 𝑥𝑙𝑛𝑎 . 3. 𝑦 = 𝑓(𝑥) функциясының графигіне жүргізілген жанаманың теңдеуі: 𝑦 = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎), мұндағы x=a-жанасу нүктесінің абсциссасы. тің алғашқы функциясы болса, онда 𝐹(𝑥) + 𝐻(𝑥) − 𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥)-тің алғашқы функциясы болады; 𝑘𝐹(𝑥) 𝑘𝑓(𝑥)- тің алғашқы функциясы болады; 1 𝑘 𝐹(𝑘𝑥 + 𝑏) − 𝑓(𝑘𝑥 + 𝑏)-ның алғашқы функциясы болады; 2. Алғашқы функциялардың таблицасы. Функция Алғашқы функция 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 (𝑛 ≠ −1) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑘𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑥 𝑛+1 𝑛 + 1 𝐹(𝑥) = 𝑙𝑛|𝑥| 𝐹(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑓(𝑥) = 1 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑓(𝑥) = 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑓(𝑥) = 1 √1 − 𝑥 2 𝑓(𝑥) = 1 1 + 𝑥 2 𝐹(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐹(𝑥) = −𝑐𝑡𝑔𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 3. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏) 𝑏 𝑎 -Ньютон-Лейбниц формуласы. 4. OX осімен, x=a, x=b түзетулермен және теріс емес y=f(x) функциясының [𝑎; 𝑏] кесіндісіндегі графигімен шектелген қисық сызықты трапецияның ауданы: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 - формуласымен анықталады. 5. Анықталмаған интегралдар. (С кез келген тұрақты сан) ∫ 𝑥 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑎+1 𝑎 + 1 + 𝐶, 𝑎 ≠ −1; ∫ 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶; ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 + 𝐶, 𝑎 > 1, 𝑎 ≠ 1; ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶; ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶; ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶. Логарифмдер Тригонометрия log a b=x a x =b екендігін көрсетеді; мұндағы a>0, a≠1 1. sin(-x)=-sinx, cos(-x)=cosx, tg(x)=-tgx, ctg(-x)=-ctgx, sin(x+2pk)=sinx, k ϵ Z, cos(x+2pk)=cosx, k ϵ Z, tg(x+2pk)=tnx, k ϵ Z, ctg(x+2pk)=ctgx, k ϵ Z 124 (Анықтама). lgb log 10 b-қысқаша жазылуы (ондық логарифм). lg1=0, lg10=1, lg100=2,…,lg10 n =n lg0,1=-1, lg0,01=- 2,…,lg10 -n =-n lnx log e x-тің қысқаша жазылуы (натурал логарифм), e=2,7182818284590…; lne=1, ln1=0 a log a b =b, 10 lgb =b, elnb=b, log a (x 1 ·x 2 )=log a x 1 +log a x 2 , 𝑙𝑜𝑔 𝑎 ( 𝑥 1 𝑥 2 ) = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 1 − 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 2 , (𝑥 1 > 0, 𝑥 2 > 0). 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥; 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑏 𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑎 (жаңа негізге көшу формуласы). 2. Кейбір бұрыштардың тригонометриялық функцияларының мәндері: Функция Аргумент 0 𝝅 𝟔 𝝅 𝟒 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 π 𝟑𝝅 𝟐 2π sinα 0 1 2 √2 2 √3 2 1 0 - 0 cosα 1 √3 2 √2 2 1 2 0 -1 0 1 tgα 0 √3 3 1 √3 - 0 - 0 ctgα - √3 1 √3 3 0 - 0 - Ескерту: Бұрыштық градустық және радиандық өлшеулерінің арасындағыбайланыс: 1 0 = 𝜋 180 0 рад. Бір ғана аргументтің тригонометриялық функцияларының арасындағы қатынастар Қосу формулалары sin 2 α+cos 2 α=1, 𝑡𝑔𝛼 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 , 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 , 1 + 𝑡𝑔 2 𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 , 1 + 𝑐𝑡𝑔 2 𝛼 = 1 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 sin(α±β)=sinα∙cosβ±cosα∙sinβ, cos(α±β)=cosα∙cosβ∓sinα∙sinβ, 𝑡𝑔(𝛼 ± 𝛽) = 𝑡𝑔𝛼±𝑡𝑔𝛽 1∓𝑡𝑔𝛼∙𝑡𝑔𝛽 . Кері тригонометриялық функциялар − 𝜋 2 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ 𝜋 2 , 0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝜋, − 𝜋 2 < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 < 𝜋 2 , 0 < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 < 𝜋, 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(−𝑥) = −𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(−𝑥) = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥; 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(−𝑥) = −𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(−𝑥) = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥. Дәрежелерді төмендету формулалары 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 = 1−𝑐𝑜𝑠2𝛼 2 , 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1+𝑐𝑜𝑠2𝛼 2 . Тригонометриялық функциялардың қосындысын көбейтіндіге түрлендіру Тригонометриялық функциялардың таңбалары 125 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 = 2𝑠𝑖𝑛 𝛼+𝛽 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼−𝛽 2 , 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠 𝛼+𝛽 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼−𝛽 2 , 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛽 = 2𝑠𝑖𝑛 𝛼−𝛽 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼+𝛽 2 , 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛽 = −2𝑠𝑖𝑛 𝛼+𝛽 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼−𝛽 2 , 𝑡𝑔𝛼 ± 𝑡𝑔𝛽 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽) 𝑐𝑜𝑠𝛼∙𝑐𝑜𝑠𝛽 , 𝑐𝑡𝑔𝛼 ± 𝑐𝑡𝑔𝛽 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽) 𝑠𝑖𝑛𝛼∙𝑠𝑖𝑛𝛽 . Функция Ширек І ІІ ІІІ ІV sin + + - - cos + - - + tg + - + - ctg + - + - Қос бұрышты формулалары Келтіру формулалары sin2α=2sinα∙cosα, cos2α=cos 2 α-sin 2 α, 𝑡𝑔2𝛼 = 2𝑡𝑔𝛼 1−𝑡𝑔 2 𝛼 . Функция 𝜋 2 − 𝛼 𝜋 2 + 𝛼 𝜋 − 𝛼 𝜋 + 𝛼 3𝜋 2 − 𝛼 3𝜋 2 + 𝛼 2𝜋 − 𝛼 sint cosα cosα sinα -sinα -cosα - cosα - sinα cost sinα - sinα -cosα -cosα - sinα sinα cosα tgt ctgα - ctgα - tgα tgα ctgα - ctgα tgα ctgt tgα - tgα - ctgα ctgα tgα - tgα - ctgα Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу 1. 𝑠𝑖𝑛𝑥 = |𝑎| ≤ 1, 𝑥 = (−1) 𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍; 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝛼, |𝑎| ≤ 1, 𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝛼 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍; 𝑡𝑔𝑥 = 𝛼, 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝛼 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍; 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝛼, 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝛼 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍. 2. а-ның дербес мәндеріндегі кейбір қарапайым тригонометриялық теңдеулердің шешулері: Теңдеу Теңдеудің түбірлері 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 𝑥 = 𝜋 2 𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1 𝑥 = − 𝜋 2 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 𝑥 = 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 𝑥 = 𝜋 2 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1 𝑥 = (2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 tgx=1 𝑥 = 𝜋 4 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 tgx=0 𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 tgx=-1 𝑥 = − 𝜋 4 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 ctgx=1 𝑥 = 𝜋 4 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 ctgx=0 𝑥 = 𝜋 2 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 ctgx=-1 𝑥 = 3 4 𝜋 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 Алгебраның негізгі заңдары Пропорциялар 126 Кез келген a, b, c нақты сандары үшін төмендегі теңдіктер дұрыс болады: a+b=b+a (қосудың ауыстырымдылық заңы) a+(b+c)=(a+b)+c a+0=a a+(-a)=0 ab=ba (көбейтудің ауыстырымдылық заңы) a(bc)=(ab)c (көбейтудің терілімділік заңы) a(b+c)=ab+ac (көбейтудің қосуға қатысты үлестірілімділік заңы) a∙1=a 𝑎 ∙ 1 𝑎 = 1 (𝑎 ≠ 0) a∙1=a 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 ; 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐 Қалдықпен бөлу Егер m, n, p, r-натурал сандар және m-бөлінгіш, n-бқлгіш, p-бөлінді, r-қалдық болса (r m=np+r Сан теңсіздіктері Егер a>b болса, онда b Егер a>b және b Егер a>b болса, онда a+c>b+c. Егер a>b және c Егер a>b және c>d болса, онда a+c>b+d. Егер a>0, b>0, c>0, d>0 және a>b, c>d болса, онда ac>bd. Егер a>b және c Егер a>b>0 және n-натурал сан болса, онда a n >b n . 127 ҚОСЫМША Ә Тікбұрышты үшбұрыш Тікбұрышты үшбұрыш - бұл бір бұрышы тік (яғни 90 градус) болып келетін үшбұрыш. Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарының арақатынасы тригонометрияға негізделеді. a 2 + b 2 = c 2 a = c sin a = b tg b = c cos a және b катеттердің ұзындығы, ал c гипотенузаның ұзындығы. Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы екі катетінің көбейтіндісінің жартысына тең. Яғни, 𝑠 = 1 2 𝑎𝑏 Синустар теоремасы: Синустар теоремасы - үшбұрыш қабырғаларының ұзындығы мен оларға қарсы бұрыштардың шамасы арасындағы тәуелділікті белгілейтін теорема. Теореманың екі нұсқасы бар: синустардың әдеттегі теоремасы және синустардың кеңейтілген теоремасы. Үшбұрыштың қабырғалары қарсы бұрыштардың синусына пропорционалды: 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝛽 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛𝛾 Еркін үшбұрыш үшін: 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝛽 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛𝛾 = 2𝑅 мұнда a, b, c – үшбұрыштың қабырғалары, α, β, γ – оларға сәйкес бұрыштары, ал R – үшбұрыштың жанындағы шеңбердің радиусы. Косинустар теоремасы: Косинустар теоремасы – еркін жазық үшбұрыштарға Пифагор теоремасын қорытатын евклидтік геометрия теоремасы. а,b,c қабырғалары және а қарама- қарсы α бұрышы бар жазық үшбұрыш үшін әділ қатынас: a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos Косинустар теоремасы үшбұрыш бұрышының косинусын табу үшін пайдаланылуы мүмкін: 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎 2 2𝑏𝑐 Атап айтқанда, Егер 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎 2 > 0 , α бұрышы - сүйір болса. Егер 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎 2 = 0 , α бұрышы - тік болса. Егер 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎 2 < 0 , α бұрышы - доғал болса. Фигуралардың ауданы 128 Тіктөртбұрыш: 𝑆 = 𝑎𝑏 𝑆 = 1 2 𝑑 2 𝑆𝑖𝑛𝛼 d - диагональ - диагональдардың қиылысу бұрышы Параллелограмм: 𝑆 = 𝑎ℎ 𝑎 𝑆 = 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑆 = 1 2 𝑑 1 𝑑 2 𝑠𝑖𝑛𝛾 d - диагональ γ - диагональ арасындағы бұрыш Трапеция: 𝑆 = 𝑎+𝑏 2 ℎ 𝑆 = 𝑝𝑟 𝑆 = 𝑚ℎ 𝑆 = 1 2 𝑑 1 𝑑 2 𝑠𝑖𝑛𝛾 Шеңбер: 𝑆 = 𝜋𝑅 2 , 𝑆 = 𝜋 𝑑 2 4 𝑆 = 𝜋𝑅 2 360 ° 𝛼 𝑆 = 𝜋𝑅 2 360 ° 𝛼 ± 𝑆 ∆ Үшбұрыш: 1 2 𝑎𝑏 𝑆 = 𝑆 = 1 2 𝑎ℎ 𝑎 𝑆 = 1 2 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝛾 129 𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 𝑆 = 𝜋𝑟, 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 𝑆 = 𝑎𝑏𝑐 4𝑅 Шеңберге іштей сызылған үшбұрыштың ауданы. 𝑆 = 1 2 𝑃𝑟 онда r- шеңбердің үшбұрышына сызылған радиусы , P- үшбұрыштың периметрі , S- оның ауданы. Шеңберге сырттай сызылған үшбұрыштың ауданы 𝑆 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 4𝑅 онда a, b, c- үшбұрыштың жақтары , S-оның ауданы , R- сызылған шеңбердің радиусы. Шаршы 𝑆 = 𝑎 2 , 𝑆 = 𝑑 2 2 Ромб 𝑆 = 𝑎ℎ, 𝑆 = 𝑎 2 𝑆𝑖𝑛𝛼, 𝑆 = 1 2 𝑑 1 𝑑 2 , 𝑆 = 𝜋𝑟 Денелердің көлемі және олардың беттерінің ауданы Көлемі Толық беті Сурет Параллелепипед 130 𝑉 = 𝑆 таб ℎ 𝑆 = 2𝑆 таб + 𝑆 жан S осн – табанының ауданы h – биіктігі Тікбұрышты параллелепипед 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 𝑆 = 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐) Куб 𝑉 = 𝑎 3 а – кубтың қабырғасы 𝑆 = 6𝑎 2 𝑑 = 𝑎√3 d – диагональ ұзындығы Призма 𝑉 = 𝑆 таб ℎ 𝑆 = 2𝑆 таб + 𝑆 жан S таб – табанының ауданы h – биіктігі Үшбұрышты призма 𝑉 = 𝑎 2 4 𝐻√3 𝑆 таб = 3𝑎𝐻 𝑆 толы = 𝑎 2 (𝑎√3 + 6𝐻) Алтыбұрышты призма 𝑉 = 3𝑎 2 4 𝐻√3 𝑆 таб = 6𝑎𝐻 𝑆 толық = 3𝑎(𝑎√3 + 2𝐻) Пирамида 𝑉 = 1 3 𝑆 таб ℎ 𝑆 = 𝑆 таб + 𝑆 б.б. 131 Тетраэдр 𝑉 = 𝑎 3 12 √2 𝑆 таб = 3𝑎 2 4 √3 𝑆 толық = 𝑎 2 √3 Үшбұрышты пирамида 𝑉 = 𝑎 3 𝐻 4√3 𝑆 таб = 3 2 𝑎𝐻 𝑆 толық = 𝑎 4 (𝑎√3 + 6𝐻) Төртбұрышты пирамида 𝑉 = 1 3 𝑎 2 ℎ 𝑆 таб = 2𝑎ℎ 𝑆 толық = 𝑎(𝑎 + 2ℎ) Алты бұрышты пирамида 𝑉 = 𝑎 2 2 𝐻√3 𝑆 таб = 3𝑎ℎ 𝑆 толық = 3 2 𝑎(𝑎√3 + + 2ℎ) Цилиндр 𝑉 = 𝜋𝑅 2 ℎ R – негіз радиусы h – биіктігі 𝑆 = 𝑆 б.б. + 2𝑆 таб = = 2𝜋𝑅 2 + 2𝜋𝑅ℎ Конус 𝑉 = 1 3 𝑆 таб ℎ 𝑆 = 𝑆 б.б. + 𝑆 таб = = 𝜋𝑅 2 + 𝜋𝑅𝐿 L – жасаушысы 𝐿 = √𝑅 2 + ℎ 2 Шар 132 𝑉 = 4 3 𝜋𝑟 3 = 1 6 𝜋𝐷 3 𝑆 = 4𝜋𝑟 2 𝜋𝐷 2 133 ҚОСЫМША Б 134 135 136 жүктеу/скачать 3,24 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|