Логикалық алгебраның негізгі ұғымдары

6 Логикалық алгебраның негізгі ұғымдары

6.1 Тұжырымдама. Логикалық айнымалы (бульдік). Логикалық функция

Автоматикалық қондырғылар мен есептеу техникасы үшін логикалық амалдарды орындауға арналған қарапайым логикалық амалдардың қаншалықты маңызды екендігі бәрімізге мәлім. Әлбетте, логикалық амалдарды орындауға арналған элементтер тек логикалық шамалармен жұмыс істейді. Логикалық шамаларға шартты келісім бойынша кез-келген процесті жатқызуға болады. Автоматикалық қондырғы - құрылымдар үшін, сыртқы бір әсердің болмау әсері, тізбектің ажырауы мен тұйықталуы, тізбекте электр ағысының жүру-жүрмеуі және т.б. құбылыстар-шартты түрде қабылданған логикалық процестер болып табылады. Бұл процестердің біреуі- тәуелсіз, екіншілері - тәуелді құбылыстар. Тәуелсіз құбылыстар шамалар аргумент деп, ал тәуелді шамалар функциялар деп аталады. Математикалық символдарды қолдана отырып, аргументті-X, функцияны - У арқылы белгілеу қабылданған, яғни у=f(Х).

Есептеу техникасымен автоматикалық құрылымдар екілік есептеу жүйесінің негізі болатын 0 мен 1- ден тұратын сандармен жұмыс істейді. Осы шараларға жаңағы айтылған процестердің барлығын шартты келісім бойынша жатқыза беруге болады. Басқаша айтқанда, бір құбылыс-жалған, оның шартты мәні - 0. Оған қарсы екінші құбылыс - шындық (ақиқат), оның шартты мәні -«1».

Сол секілді, жоғары деңгейдегі электрлік шаманы (потенциалды) – логикалық - «1», төменгі денгейдегі потенциалды – логикалық - «0» деп бағалауға болады. Логикалық элементтер осы екілік есептеу жүйесінің аргументтерімен логикалық амалдарды орындау үшін қолданылады. Соған байланысты логикалық функцияда аргументтің мәні сияқты «0» мен «1» деп өзгеше шамаға ие болмайды.

Іс жүзінде - кодтаудың барынша көп таралған тәсілдерінің бірінде – микро схемалар +5В-ке дейінгі кернеу өндіретін қоректендіру көзі қосылады, 0-ден 0,5В-ке дейінгі потенциалдық 0 - ге, 2,5- тен 5 В- ке дейінгі потенциал 1- ге сәйкес келеді.

Ағылшын философы және математигі Джорж Буль 1854 жылы қазіргі ЭЕМ-лардың түп қазығының теориясы болып табылатын логика алгебрасын жасап шығарды. Буль алгебрасының бастапқы ұғымы- пікір.

Мысалы: Х= «Саты ауылы Райымбек ауданының құрамына кіреді», У= «Шелек өзені Жалаңаш ауылы арқылы өтеді» деген пікірдің бірншісі - ақиқат, екіншісі - жалған. Бұған қоса, пікірлер, шын мәнінде, оның ақиқат жағдайында 1 мәнін, ал пікір жалған болғанда 0 мәнін қабылдайтын Буль алгебрасының айнымалылары болып келеді. Мұндай айнымалыларды логикалық айнымалылар деп атайды. Демек, келтірілген мысалдағы екі пікірді былайда жазуға болады: Х=1; У=0.

Пікірлер қарапайым және күрделі болуы мүмкін. Пікірдің мәні қандай да болсын басқа бір пікірлердің мәндеріне тәуелсіз болса, қарапайым пікір деп аталады. Ақиқаттық мәні басқа пікірлердің мәндері арқылы анықталатын пікір күрделі пікір болып саналады. Кез-келген күрделі пікір кейбір екілік аргументтердің, яғни қарапайым пікірлердің логикалық функциясы болып табылады.

Енді қарапайым логикалық пікірлерді қарастырайық.

Теріске шығару функциясының мынандай қасиеттері бар:

1. 
   Кез-келген А аргументінің екі рет теріске шығарылуы сол аргументтің өзіне тең, яғни А==А.
   
2. 
   Қандай да бір логикалық теңдік бар болса, оның екі жағын да теріске шығару бұл теңдікті бұзбайды:
   

Егер бірінші пікірді А, ал екінші пікірді В әріптерімен белгілесек, онда берілген сөйлемдерді қысқаша «А және В» деп жазады.

«А және В» деген пікірді А, В пікірлерінің конъюнкциясы (латынша conjunction байланыстырамын деген сөз) деп атайды.

Пікірлер конъюнкциясы, оны құрайтын А және В пікірлерінің екеуі де шын болғанда ғана ақиқат болады, ал егер А немесе В екеуінің бірі жалған болса, онда конъюнкция да жалған болады. А және А пікірлерінен құрылған конъюнкцияны АВ немесе А&В («А және В» деп оқылады) түрінде белгілейді. АВ конъюнкциясы үшін ақиқат кестесі мынандай болады (кесте 5):

АВ дизъюнкциясы үшін ақиқаттың кестесі мынандай болады (кесте 6).

Құрама пікірлерді элементар пікірлерден «...егер..., онда....» сөздер арқылы алуға болатыны белгілі. Мысалы: «Егер мен билет сатып алсам, онда театрға барамын». Егер құрама пікірлерді құрайтын элементар пікірлерді А және В арқылы белгілесек, онда олардың барлығы да «егер А, онда В» түріндегі бірдей формада болатыны анық көрініп тұр.

«Егер А, онда В» түріндегі пікір А, В пікірлерінің импликациясы (латынша implicatio тығыз байланыстырамын деген сөз) деп аталады.

А және В пікірлерінің импликациясын А=>В түрінде жазып, оны «егер А, онда В » деп оқиды. А пікірі импликация шарты деп, ал В пікір - оның қорытындысы деп аталады. А=>В импликациясы А шын, ал В жалған болатын жағдайдан басқа жағдайдың барлығында шын деп саналады, ендеше А=>В пікірінің ақиқаттық кестесі 7-ші кестедегідей болады.

А жөне В пікірлерінің импликациясы А=>В берілген болсын. Оның шарты мен қорытындыларының орындарын ауыстырып, В=>А импликациясын аламыз. Оны берілген А=>В импликациясына кері импликация деп атайды.

Мысалы «Егер сіздің жасыңыз 16 - дан үлкен болса, онда сіздің төлқұжатыңыз бар» деген импликация берілген болса, онда оған кері импликация: «Егер сіздің төлқұжатыңыз бар болса, онда сіздің жасыңыз 16- дан үлкен» түрінде болады.

Өзара кері екі А=>В және В=>А импликацияларының конъюнкциясы, яғни (А=>В)(В=>А) түріндегі пікірді қарастырайық. Осы пікірдің ақиқат кестесін құрайық.

Бұл кестеден (А=>В)(В=>А) пікірі тек А және В пікірлерінің екеуі де ақиқат, не екеуі де жалған болған жағдайларда ғана ақиқат болатындығын көріп отырмыз. Қалған жағдайлардың барлығын да ол пікір жалған.