Избранные работы
жүктеу/скачать 3,46 Mb. Pdf көрінісі
|
| отношении между
математикой, с одной стороны, и языком и логикой — с другой. Брауэр решил данную проблему тем, что провел четкое различение между математикой как таковой и 470 ее лингвистическим выражением и ее коммуникативной функцией. Математику саму по себе он рассматривал как внелингвистическую деятельность, по существу, деятельность мысленного конструирования на основе нашей чистой интуиции времени. Посредством такого· конструирования мы создаем в нашей интуиции, в на- .—тем уме объекты математики, которые впоследствии — ι после их создания — мы можем попытаться описать или сообщить о них другим. Таким образом, лингвистиче- ское описание и дискурсивная аргументация со своей . логикой появляются, в сущности, после математической деятельности: они всегда имеют место только тогда, когда объекты математики — такие, как доказатель- ство, — уже созданы. Подход Брауэра решает проблему, которую мы об- чНаружили в кантовской «Критике чистого разума». То, что на первый взгляд выступает противоречием у Кан- та, упраздняется, самым оригинальным способом посред- ством концепции, согласно которой мы должны четко различать два уровня: один уровень — интуитивный, мысленный и присущ математическому мышлению, дру- гой — дискурсивный, лингвистический и присущ только коммуникации. Подобно любой великой теории, ценность этой тео- рии Брауэра проявляется в ее продуктивности. Она од- ним усилием решает три группы крупных проблем фи- лософии математики. (1) Эпистемологические проблемы об источнике ма- тематической достоверности, природы математических данных и природы математического доказательства. Эти проблемы соответственно решены с помощью кон- цепции интуиции как источника знания, концепции о 1 том, что мы можем интуитивно видеть математические • объекты, которые конструируем, и концепции о том, что математическое доказательство является последо- . нательным конструированием или построением конст- рукций. (2) Онтологические проблемы о природе математи- ческих объектов и способе их существования. Эти про- блемы были решены Брауэром посредством выдвиже- - ния концепции, которая имела два аспекта: с одной сто- роны, конструктивизм, а с другой стороны, — мента- лизм. Согласно ментализму, все математические объек- ты находятся в той сфере, которую я называю «вторым. 471 :миром». Математические объекты — это конструкции че- .ловеческого ума, и они существуют единственно как конструкции в человеческом уме. Их объективность, то есть то, что они суть объекты и что они существуют объективно, всецело опирается на возможность повто- рения их конструирования по нашему желанию. Таким образом, Брауэр в своей лекции 1912 года предполагал, что для интуициониста математические объекты существуют в человеческом уме, в то время как для формалиста они существуют «на бумаге» 20 . (3) Методологические проблемы о математических доказательствах. Мы можем упрощенно различать два главных под- хода ученых к математике. Одни математики могут интересоваться главным образом теоремами — истин- ностью или ошибочностью математических суждений, другие — главным образом доказательствами: вопроса- ми существования доказательств той или иной теоремы и спецификой таких доказательств. Если преобладаю- щим является первый подход (как это имеет место, например, в случае с Пойя), тогда он обычно связан с интересом в открытии математических «фактов» и по- этому с платонизированной математической эвристикой. Если же преобладающим выступает второй подход, тог- да доказательства являются не просто средствами фор- мирования уверенности в теоремах о математических объектах, а самостоятельными математическими объ- ектами. Как мне кажется, так обстояло дело с Брауэ- ром: те построения, которые были доказательствами, не только создавали и утверждали математические объек- ты, они были в то же время сами математическими -объектами, возможно даже наиболее важными такими объектами. Таким образом, утверждать некоторую тео- рему означало утверждать существование некоторого доказательства для нее и отрицать ее означало утверж- 20 См. конец третьего параграфа работы Брауэра [5]. Он пишет там о существовании не математики, а «математической точности», и, как видно, этот отрывок относится к проблемам (1) и (3) даже -больше, чем к онтологической проблеме (2). Однако не может быть никакого сомнения в том, что он имеет определенное отношение к проблеме (2). В данном отрывке Брауэр пишет так: «На вопрос, где существует математическая точность, отвечают πα- разпому... Ин- туиционист говорит: «В человеческом интеллекте», формалист гово- рит: «На бумаге»». дать существование опровержения, то есть доказатель- ства ее абсурдности. Это непосредственно ведет к от- брасыванию Брауэром закона исключенного третьего,, к его отрицанию косвенных доказательств и к требова- нию, что существование может быть доказано только реальным построением рассматриваемых математиче- ских объектов, то есть изображением их, так сказ'ать, ви- димыми. Это также ведет к отрицанию Брауэром «платониз- ма», под которым мы понимаем учение, согласно кото- рому математические объекты обладают тем, что я на- зываю «автономным» способом существования: они могут существовать, не будучи созданными нами и, следовательно, без доказательства своего существова- ния. До сих пор я пытался понять брауэровскую эписте- мологию, исходя из предположения прежде всего, что она проистекает из попытки решить трудности филосо- фии математики Канта. Теперь я перейду к тому, что содержится в названии данного раздела, — к оценке и критике брауэровской эпистемологии. Исходя из положений настоящего доклада, можно утверждать, что одним из великих достижений Брауэра, по моему мнению, является его понимание того, что математика и, как я могу добавить, весь третий мир созданы человеком. Эта идея является настолько радикально антиплато- новской, что Брауэр, понятно, не видел возможности ее связи с некоторой формой платонизма, под которой я имею в виду концепцию частичной жүктеу/скачать 3,46 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|