2. 12

1.     Мұндай есептерді шығарудың негізгі идеясы, өзінің кезекті жүрісінде  жеңіске жету үшін санды анықтау. Бұл есепті аяғынан «басына қарай» шығарған ыңғайлы. Ойыншы 89 санын атаған, өзінің соңғы жүрісінің алдында (қарсыласы анша сан атаса да) 100-ді атап, жеңіске жете алады. Бірақ 89 деуден бұрын алдын ала 76, оның алдындағы 67, 56, 45 және т.с.с сандарды атауы керек, яғни (10+1) – ді алып тастаймыз. Сонда айту 1-ден басталуы керек, ал оны бірінші ойыншы ғана айта алады. Сонымен, бірінші ойыншы жеңіске жетеді, ол 1-ден бастап, екінші ойыншы нені атағанына қарамастан, 1,12,23,34,45,56,67,78,89,100 сандар тізбегін айта алады. Егер табатын санымыз 11-ге бөлінбейтін болса, онда 1-ойыншы жеңеді: ол 11-ге бөлгеннен қалатын қалдықтан бастап, ал сосын өзінің әр жүрісінде, келесі ойыншыға қарамай, алдыңғы санға 11 санын қосып отырады. Егер сан 11-ге бөлінетін болса, онда екінші жеңеді: ол 11-ге бөлгеннен қалатын  қалдықтан бастап,  ал сосын өзінің әр жүрісінде, келесі ойыншыға қарамай, алдыңғы санға 11 санын қосып отырады. Егер сан 11-ге бөлінетін болса, онда екінші жеңеді; біріншінің айтқанына тәуелсіз, ол 11, 22, 33 және т.с.с. сандарын айтады, яғни әр жүрісінде алдыңғы санға  11 санын қосып отырады.

2.     Бірінші алдымен 7 тас алады, сосын өзінің жүрісінде осының алдында қарсыласы алған тасты 1-ге толықтырып алады.          

3.     Екінші ойыншы 5-ке еселік санды атап жеңіске жетеді.

4.     Жете алады.

5.     Өзінің бірінші жүрісімен екінші ойыншы бір үйме – бос, ал қаллған үймеде тлең болатындай жасайды. Одан кейін егер бірінші бір үймеден қанша тас алса, онда екінші ойыншы өзінің жауап жүрісінде келесі үймеден сонша тас алады. (ойын теориясымен «Квант» журналының 1992 жылғы №1 нөмірінде танысуға болады. 1-4-7 тас болғандағы жағдайды өзің қарастырып көр – Ред).

6.     Беріллген мысалды мына түрде жазамыз:

A2b3

 

Бұдан t=7, d=9,  n=6, сонда с=2. Ары қарай сәл күрделірек:  b=4,  l=4,  m=8,  g=1,  f=5, соңында a=7; қалған цифрлар тез орнына келеді; е=6, h=1, k=4, p=1. Сонымен, 7243х29=210047.

8.     Егер үш таңбалы саннан екі таңбалы санды шегергенде, бір таңбалы сан шығатын болса, онда айырма мына түрде жазылады 10* -9*=*. Бұл жоғарғы бұрышының сол бөлігін қалпына келтіруге көмектеседі:

Енді бдірінші айырмада 1 шығатынын көреміз, бұл ары қарай жылжуға мүмкіндік береді.                                             

9. Сандардың ауысатын шартынан aa+bcb=deed шығады, b=9 екені бделгілі, әйтпесе төрт таңбалы сан. Ала алмаймыз; d=1, онда  a=2,  c=7,  e=0,   22+979=1001.

10. а) 5240+5210=10450;     ә)9521-1259=8252;

11. Өзің де түсінген шлығарсың;

12. А=9, В=2.

13. 3125:25=125.

14. 714285.

15. 45х9=405.

16. «Тізбекті жалғастыруға» берілген жаттығулардың бір мәнділігі туралы мәселе талас тудырады. Берілген жаттығуларда бақылау және салыстыру арқылы жай заңдылықтарды іздеуге беріледі. Мақсаты – натурал қатармен жұмыс істеу тәжірибесін кеңейту. –Ред). а) тақ сандар; ә) келесінің әрқайсысы 3-ке артық, дәлірек 3n+1(n≥0) түріндегі сандар; б) кері ретпен жазылған жұп сандар; в) 6-ға кемиді; г) 5-ке артады, дәлірек 5n+1(n > 2) түріндегі сандар; д) «жұп-тақ» жұбы, бірінші жұбы 5-ке еселік; ж) екінің дәрежесі. (Біз дәл жауабынан гөрі жалпы заңдылықты тұжырымдағанды жөн көрдік). Ъ

17. а) күрделі жағдай: көршілес натурал сандардың көбейтіндісі n(n+1). Жұп сандардың тізбегі сияқты айырмалары да өсетінін біреулерің байқауларың мүмкін, ол дұрыс – 56,72,90,110,132; ә) үштің дәрежелері:

№№№№№№№№№№  немесе 3 есе артық.

18. 11,14.

19.

17	7	9
3	11	19
13	15	5

20.

20	45	10
15	25	35
40	5	30

 

21.

10	3	8
5	7	9
5	11	4

 

§11

 

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
7 литр	7	2	2	-	7	4	4	-	7	6
5 литр	-	5	-	2	2	5	-	4	4	5

 

Шын мәнінде жалпы тактиканы басшылыққа алу керек, әрбір алдыңғыдан жаңа әлі болмаған жағдай алу керек; ыдыс екеу ғана, сондықтан мақсатқа жету үшін тек алға қарай жүру керек; Бірінші амалға байланысты есепті әртүрлі шешуге болады. Алдымен суды 5 литрлік ыдысқа құйсақ, басқаша, ұзағырақшешу жолын аламыз:

 

7 литр	-	5	5	7	-	3	3	7	-	1	1	6
5 литр	5	-	5	3	3	-	5	1	1	-	5	-

 

(Г. Штейгауздың «Математьикалық калейдоскоп» кітабында графиктік тәсілмен қызық шешімі көрсетілген – Ред). 2-10. 1-есептің талдауынан кейін, қалған есептерді өздерің шығара алады деп ойлаймыз.

11. (22,14,12)→(8,28,12) →          →  (8,16,24) → (16,16,16).

12 . (11,7,6) →      → (4,14,6) →(4,8,12) →(8,8,8).

§12

2.     егер бүтін сандардың қосындысы жұп болса, онда олардың арасындағы тақ сандардың саны жұп. Бірақ барлығы үш сан ғана болғандықтан, олардың арасында жұп сан да бар. Демек, көбейтінді жұп болады.

3.     а) иә, мысалы 444 саны 3-ке бөлінеді, ал 444444 саны 33-ке бөлінеді; ә) жоқ, өйткені тақ сан жұп санға бөлінбейді.

4.     Жоқ, тек тақ сан болуы мүмкін.

5.     Жоқ , шахмат аты өзінің әрбір жүрісінде тақтасының түсін өзгертеді, демек, 64-ші тақтасының түсі 1-шідегідей болуы мүмкін емес.

6.     Доминоның әрбір тасы қара және ақ тақталарды жабады. Сондықтан, 31 тас 31 ақты және 31 қараны жабады, ал бізде 32 ақ және 30 қара тақта бар.

§13

2.     2. егер сан 3-ке және 5-ке бөлінетін болса, онда ол 15-ке бөлінеді. Егер санымыз 5-ке бөлінетін болса, онда санның соңғы цифры 5 немесе 0 болуы керек. Соңғы цифры 0 болсын дейік. Онда үшке бөліну үшін, цифрлардың қосындысы 3-ке еселік болуы керек. Олай болса, бірінші цифр 3, немесе 6, немесе 9. 3150, 6150, 9150 санддары болады. Сәйкесінше: 1155,4155,7155.

3.     2970,6975.

4.     2430, 6435.

5.     42048, 42840.

6.     егер қалдығы 8 болса, онда бөлгіші 9-ға тең.

9.     аа5 саны 9-ға бөліну керек, сондықтан 2а=3 немесе  2а=12,   а=6, яғни      665=9х73+8.

7.     3а+1 саны 0 немесе 5 пен аяқталу керек. Жауабы: 10,25,40.

8.     Солай болатыны анық.

9.     шаңғының бағасы 3-ке және 5-ке бөлінеді, демек, 15-ке де бөлінеді. әрқайсысы 15 сом, Парасат – бес, ал Қанат үш билетпен төледі, яғни кассаға берген кредит билеттерінің саны 8-ге еселік, ал ол 10-нан кіші болғандықтан, 8-ге тең, шаңғылар 15 сом тұрады. Жауабы: 15 с.

10. Ізделінді сан 2-ге, 3-ке, 5-ке бөліну керек, Яғни 30-ға. 100-ден кіші сандардың арасында 30,60,90 бар. Бірақ 60 4-ке бөлінеді, олай болса, ол сан 30 немесе 90.

11. ааа=ах111=ах3а37.

12. 1001001.

13. 2а+1-ден бастап, тізбектей орналасқан төрт тақ санның қосындысын жалпы түрде жаз.

14. а саны 41-ге бөлінетін болсын, онда а=39b+24=41b. Берілген шартты қанағаттандыратын ең кіші а саны b=12 болғанда алынады. Сонымен, ізделінді сан 492-ге  тең.

15. Сан 31 есе кемігендіктен ол 31-ге бөлінеді.бұндай екі таңбалы сан үшеу: 31,62,93 және олардың әрқайсысында бірінші цифрлары сызылғаны айқын.

§14

2. a=7х+х, а=8х, мұндағы 0<х<7, яғни х мына мәндерді қабылдайды 1,2,3,4,5,6. Онда а=8,16,24,32,40,48.

3. 5-ке бөлгенде әртүрлі бес қалдық қалуы мүмкін: 0,1,2,3,4. Алты сан болғандықтан, қалдықтары бірдей болатын екі сан табылады (Дирихле принципі), олардың айырмасы 5-ке бөлінеді.

4. а= =2х+1 – тақ сан. 6-ға бөлгенде келесі қалдықтар қалуы мүмкін: 0,1,2,3,4,5; олардың тақтары 1,3,5.

(5. енді ізделінді санды 6у+1, немесе 6у+3, немесе 6у+5 түрінде жазуға болады. Бірінші өрнекті 3-ке бөлгенде 2 қалдық қалады. Демек, санның түрі6у+5 және 6-ға бөлгенде 5 қалдық қалады.).

5. а=10х+8, а=12y+8, демек, егер 8 қиярдыалып қойсақ, онда а 10-ға және 12-ге, яғни 60-қа бөлінеді. 300-ден артық 400-ден кем сандардың ішінде 360 қана шарттарды қанағаттандырады. Сонымен 368 қияр болған.  300 саны 60-қа бөлінетіндіктен, 308 саны да есептің шешімі болады. Олай болса, 308 немесе 368.

6.  Егер ізделінді санға 1-ді қоссақ, онда ол 2-ге, 3-ке, 4-ке, 5-ке, 6-ға, яғни 60-қа бөлінеді. 60-қа бөлінетін сандардың арасынан, 1-ге кем 7-ге еселік болатын санды табу оңай, ол 119 саны.

7.  Егер ізделінді саннан 1-ді шегерсе, онда ол 2-ге, 3-ке, 4-ке бөлінеді. Ол қасиетке ие болатын ең кіші сан 12. 12 , 24, 48, 60, 72, 85,

 96 сандарының арасынан керегін аламыз. Есептің шартын екі сан ғана қанағаттандырады: 255 және 85. бірақ 25 жарамайды, себебі шарт бойынша сабақ үш сыныпта да болған жоқ. Сонымен оқушылар саны – 85.

8.  х – санамақтағы сөздер саны болсын. Санаушы өзінен бастағанда, бірінші айналымда шығып қалмас үшін, сөз саны 5- ке бөлгенде 1 қалдық қалмайтын болсын. Осыған ұқсас, ол екінші және үшінші айналымда шығып қалмас үшін х санын 4-ке және 3-ке бөлгенде қалдықта 1 қалмау керек (әр жаңа айналымда санаушы өзінен бастайды). Санаушы соңғы айналымда бастаушы болу үшін, х саны жұп болу керек. Ең кіші жұп сан – 2, бірақ ойыншылар санынан сөз саны артық болатындықтан, ізделінді ең кіші сан 8 болады.

§15

2.      737=67х11, екеуі де жай сандар. Осыдан, 67 оқушы 11 кітаптан сатып алғаны шығады.

3.       418, 456, 494 сандарының ЕҮОБ-і – 38, ендеше, әр вагонда 38 адамнан болған. 

4.      Пышақ пен шанышқы санының қосындысы 10 және 12-ге еселік болғандықтан, ол ЕКОЕ (10,12)=60 бөлінеді. 300 бен 400 сандарының арасындағы 60-қа бөлінетіні – 360. Олай болса, 100 пышақ, ал шанышқы – 260.

5.       70= =2х5х7; 56=2х7х4. 1) ЕКОЕ (70,56) = 70х4=280. Әрбір  280 см-ден кейін әкесі мен баласыныңіздері беттеседі. 2) 280х10=2800 (см), 2800см=28м –ағаштардың ара қашықтығы.

6. 1) 143:20=7,15 (м), іздері бір рет беттесетін ең кіші арақашықтық – 715см. 2) 715=5х11х13. Қыздың қадамы 53 см, ал баланың қадамы не 13 см, не 11х13=143(см), не 5х13=65 (см) бола алады. Шындыққа келетін қадамының ұзындығы 65 см. Жауабы: 65 см.

§16

2.      240.

3.      А) 8100; Ә) 170.

4.       1.

5.      1.

6.      1.

7.      Бірінші бөлшектің алымын да, бөлімін де 5-ке көбейтіп, бірінші бөлшектің артық екенін, яғни оның бөлімі екінші бөлшектің бөлімінен кіші екенін көреміз.

8.     Бірінші бөлшектің әрбір қосылғышы екінші бөлшектің сәцкес қосылғышынан кіші. 9. -50. 10. 9/23.

 

         §17

2.     Кешегі күні сағат 11-ге таман жаяу   4х1,5=6 км жол жүріп өтті. Яғни оның В мен арақашықтығы 9 км болды. Енді бір-біріне қарама-қарсы жақындау жылдамдығы 4+5=9 (км/сағ) болатын екі жаяу жүріп келе жатыр деп айтуға болады және олар 11 – ден 1 сағат өткенде, демек, сағат 12 –де «кездеседі».

3.     Күнделікті жолымен салыстырғанды, машина бұл ретте инженермен кездесетін орыннан влкзалға дейін және кері – вокзалдан кездесетін орынға дейінгі арақашықтықта жүрген жоқ. Яғни 20 минут үнемдеді. Демек, кездесетін орын вокзалдан 10 мин  жүретін жерде, ол жерге машина сағат 8-де келу керек. Олай болса, кездескен кезінде сағат 7 сағ 50 мин көрсетіп тұрды.

4.     Саяхатшы үшт күнде үш күндік тамағы мен суын көтеріп, 60 км жүре алады. Сонымен, ол бастапқы пункттен 20 км қашықтықта 3 күндік азық қорын сақтайтын тұрақ жасауы керек. Бұл тұраққа бастапқы пункттен ол екі күндік азығымен келе алады, егер онда 1 күндік азық сақталған болса. Енді белгілі, саяхатшы шөлден өтуді 2 кезеңге бөледі. 1кезең: 3 күндік азығымен тұраққа дейін, онда бір күндік азығы мен суын тастап, бастапқы пунктке қайта оралады (2 күндік азығы мен суы жолға жіберіледі) – бұл кезең екі күнді алады. Екінші күнге тағы екі күн керек, барлығы 6 күн.

5.     Үйге қайтып келіп, сосын қайта мектепке кешігіп барғанда оқушы барлық жолға 38 мин, яғни күндегіден 18 мин артық уақыт жіберді. Бұл 18 мин үйіне барып және қайтқан жеріне дейін келуге кеткен уақыт, сонда оқушы осы аралықты бір бағытта жүруіне 9 мин уақыт керек. Барлық жолына 20 мин кеткендіктен, оқушы үйіне қайтқан жерге дейін жолдың  9/20 бөлігін жүріп өтті.

          VI сынып

              4. Бөліктер мен процентті қолдану