Жас ғалымдардың VII халықаралық Ғылыми конференциясының материалдары 25-26 сәуір 2011 жыл

 
15 
 
стохастикалық дифференциалдық теңдеуді қарастырамыз. 
Кез келген  t  моментінде инвестордың портфелінің тҥрін 
 
t
X
  деп қарастырамыз 
және 
                                     
     
     


dt
t
S
t
t
X
r
t
dS
t
t
dX





                                                (2) 
 
                               
 
 
   

     
t
dB
t
S
t
dt
r
t
S
t
dt
t
rX
t
dX








                                    (3) 
 
Ито формуласы бойынша  
 


t
S
t
v ,
 опцион қҧнын есептейміз 
 


 


 
 


 


 
 

  
t
dB
t
S
t
v
t
S
dt
t
S
t
v
S
t
S
t
v
t
S
t
S
t
v
t
S
t
dv
x
xx
x
t
,
,
2
1
,
,
,
2
2











 
 
x
t
S

  болса және арбитраждық тепе-теңдік 
dv
dX

  орындалса,  онда  
 
                  
 
 
 
 
,
0
,
,
2
1
,
,
2
2




x
t
rv
x
t
v
S
x
t
rxv
x
t
v
xx
x
t

        
,
0
T
t


    
0

x
                 (4) 
  
                                          
   
x
h
x
T
v

,
     
0

x
                                                                  (5) 
 
есептің шешімі болатындығын дәлелдейік.  
 
Жылу ӛткізгіштік теңдеуі:              
   







x
u
cu
bu
u
a
u
x
xx
t

0
2
                  
0

T
 
 
Негізгі есеп:  
               
   









x
h
x
T
v
rv
v
x
rxv
v
xx
x
t
,
0
2
1
2
2

 
 
 (4)  және (5)  шекаралық есепті, яғни негізгі есепті  шығару ҥшін  жаңа  белгісіз  енгізейік  
 
 


 
x
t
u
e
x
t
v
t
T
,
,



 
Онда 
 


 


 
x
t
u
e
x
t
u
re
x
t
v
t
t
T
r
t
T
r
t
,
,
,







 
 
 


 
x
t
u
e
x
t
v
x
t
T
r
x
,
,



 
 
 


 
x
t
u
e
x
t
v
xx
t
T
r
xx
,
,



 
 
Осы формулаларды дербес туындылы  
v
 теңдеуіне қойсақ  және  





t
T
r
e
ға қысқартсақ, 
дербес туындылы Блэк-Шоулз теңдеуін аламыз 
 
 
 
 
 
,
0
,
2
1
,
,
,
2
2





x
t
u
x
x
t
rxu
x
t
u
x
t
ru
xx
x
t

      
,
0
T
t


   
0

x
          (Б-Ш) 
 
Тығыздықтың ауысуы шартын қолданып,  
 

 
16 




























 





2
2
2
2
1
log
2
1
exp
2
1
,
;
,
t
T
r
x
y
t
T
t
T
y
y
x
T
t
p




 
 
геометриялық Броун қозғалысы ҥшін стохастикалық ӛрнек аламыз 
 
 


 




  

dy
y
x
T
t
p
y
h
e
T
S
h
E
e
x
t
u
t
T
r
x
t
t
T
r
,
;
,
,
0
,








 
Егер  
  




K
y
y
h
 
 
деп алсақ,  онда 
 




















t
T
t
T
r
K
x
t
T
xN
x
t
u
2
2
1
log
1
,


 
 
 
























t
T
t
T
r
K
x
t
T
kN
e
t
T
r
2
2
1
log
1


. 
 
 
Егер   
  




K
y
y
h
  осы  тҥрде  берілседе, 
 
x
t
u ,
  Блэк-Шоулз  теңдеуін 
қанағаттандырады. 
 
Әдебиеттер 
1.
 
Shreve  Stevten. Stochastic Calculus and Financt. 1996. 177-187 p. 
2.
 
Ширяев  А.Н.,  Кабанов  Ю.М.,  Крамков  О.Д.,  Мельников  А.В.  К  теории  расчетов 
Европейского  и  Американского  типов.  Дискретное  время  //  Теория  вероятностей  и  ее 
применения. 1994. Т.39, №1. с.21-79. 
 
 
УДК 51 
 
ЯКОБИ МАТРИЦАСЫНЫҢ КЕЙБІР ҚАСИЕТТЕРІ 
 
Асет Насихат 
Магистрант, Әл-Фараби атындағы Қазақ Ҧлттық Университеті, Алматы 
Ғылыми жетекші – ф.-м.ғ.к., доцент Керімбаев Р.К. 
 
Бҧл  тақырыпта  Якобиан  мәселесі  қаралған,  яғни   айнымалысымен  берілген 
кӛпмҥшелікке  байланысты  Якобиан  мәселесі,онда  осы  кӛпмҥшеліктен  анықталған 
эндоморфизм автоморфизм деп аталады. 
Анықтама 
]
,...,
[
1
n
x
x
P
  нӛльдік P   сипаттамалық  аймақта
n
айнымалыға  тәуелді 
ассоцативті-коммутативті 
алгебралық 
кӛпмҥшелік 
)
,...,
(
),...,
,...,
(
]
,...,
[
]
,...,
[
:
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
P
x
x
P


кӛпмҥшеліктермен 
анықталған 
алгебралық эндоморфизм 
n
i
x
x
x
f
x
n
i
i
i
,...,
2
,
1
),
,...,
,...,
(
)
(
1



. 
 

 
17 
Алгебрада
]
,...,
[
1
n
x
x
P
келесі  қатынасты  тізбек  беріледі,  біртекті  лесикографикалық 
және 
анық 
лексикографикалық
)
,...,
(
),...,
,...,
(
)
,...,
(
1
1
1
1
n
n
n
n
x
x
f
x
x
f
f
f

кӛпмҥшелігінің  
n
j
i
f
i
x
i
,...,
2
,
1
,
),
)
((

Якобианы  матрицаның  анықтаушы  сияқты  есептелінеді  және 
айнымалысына тәуелді кӛпмҥшелігі болып табылады 
 
n
n
n
x
n
x
n
x
n
x
x
x
x
x
x
n
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
)
(
...
)
(
)
(
...
...
...
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
,...,
(
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1


. 
 
Мҧндағы 
n
j
i
x
f
j
x
i
j
,...,
2
,
1
,
,
)
(


,айнымалысымен
i
f
кӛпмҥшелігінің  жеке  туындысы    
)
,
(
g
f

 
g
f ,          
Теорема  1. 
]
,...,
[
)
,...,
(
),...,
,...,
(
1
1
1
1
n
n
n
n
x
x
P
x
x
f
x
x
f

болсы P аймақта  анықталған  
аймақтардың көпмүшелігі, Егер 
)
,...,
(
1
n
f
f

нөлге тең емес болса, онда осы көпмүшелігімен 
анықталған эндоморфизм мономорфизм болады. 
Делелі: 

Ker
x
x
h
n

)
,...,
(
1
 болсын, онда 
 
)
,...,
(
))
,...,
(
),...,
(
),...,
(
(
))
,...,
(
(
0
1
1
1
1
n
n
n
n
n
x
x
H
x
x
f
x
x
h
x
x
h






, 
 
 осыдан 
n
n
n
n
n
n
n
x
n
f
x
f
x
f
x
x
n
f
x
f
x
f
x
x
n
f
x
f
x
f
x
f
h
f
h
f
h
H
f
h
f
h
f
h
H
f
h
f
h
f
h
H
)
(
...
)
(
)
(
0
...
...
...
...
)
(
...
)
(
)
(
0
)
(
...
)
(
)
(
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1















 
Онда 















n
n
n
n
x
n
x
n
x
n
x
x
x
x
x
x
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
h
h
h
)
(
...
)
(
)
(
...
...
...
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
,...,
,
(
)
0
,...,
0
,
0
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
, 
Біз 
0
)
,...,
,
(
2
1


n
f
f
f
және
]
,...,
[
1
n
x
x
P
 
деп 
аламыз, 
бӛлімі 
нӛл 
болмағандықтан 
0
)
,...,
,
(
2
1

n
f
f
f
h
h
h
деп аламыз, демек
cont
cont
h
cont
h




)
(
)
(
0
,


, кезекте 
0

h
. 
 
Лемма  1. 
]
,...,
[
)
,...,
(
),...,
,...,
(
1
1
1
1
n
n
n
n
x
x
P
x
x
f
x
x
f

көпмүшелік P өрісінде  берілсін,
 
n
i
c
x
a
x
x
f
x
x
f
i
j
n
j
ij
n
n
,...,
2
,
1
,
)
,...,
(
)
,...,
(
1
1
1
1






-жерде 
)
,...,
(
1
n
x
x
f
  көпмүшелік  сызықтық 
және бас мүшесіз болады. Сонда, Якобиан
0
)
,...,
,
(
2
1



c
f
f
f
n
, онда
.
ij
a
c

 
Делелі:  Бізте
ij
x
i
x
i
a
f
f
j
j


)
(
)
(
  деп  берілген,  одан  тыс  кӛпмҥшеліктер  бос  мҥшесіз, 
Онда 
n
j
i
o
o
f
j
x
i
,...,
2
,
1
,
,
0
)
,...,
(
)
(


 
Якобиан
0
)
,...,
,
(
2
1



c
f
f
f
n
 
 
 
болғандықтан, 
n
x
x
x
,...,
,
2
1
айрымалыларына 
тәуелсіз 
0
)
0
,...,
0
)(
,...,
,
(
2
1



c
f
f
f
n
. 
басқалай 
ij
n
a
f
f
f


)
0
,...,
0
)(
,...,
,
(
2
1
, осыдан,  
 

 
18 
0
)
0
,...,
0
)(
,...,
,
(
2
1



ij
n
a
f
f
f
. 
 
Егер
0
)
,...,
,
(
2
1



c
f
f
f
n
онда 
)
(
)
(
P
GL
a
n
ij

 осыдан айнымалыларды тҥрлендіру 
арқылы 




n
j
j
ij
i
n
i
x
a
y
1
,...,
2
,
1
,
  
аламыз 




n
j
j
ij
i
n
n
i
x
b
x
x
x
P
1
1
,...,
2
,
1
,
]
,...,
[
  
  
E
b
a
ij
ij

. 
Осы айнымалыдан тҧратын 
n
y
y ,...,
1
кӛпмҧшелікті қарастырамыз. 
 
n
i
c
y
y
y
F
c
y
y
b
y
b
f
y
b
y
b
f
y
y
F
i
i
n
i
i
i
j
n
j
nj
n
j
j
j
i
n
j
j
nj
n
j
j
j
i
n
i
,...,
2
,
1
,
)
,...,
(
)
,...,
(
)
,...,
(
)
,...,
(
1
1
1
1
1
1
1
1















 
 
мҧндағы 
)
,...,
(
1
n
i
y
y
F
 кӛпмҧшелік сызықтық және бас мҥшесіз. 

жүктеу/скачать 8,59 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: