Железнодорожный путь, изыскание и проектирование железных дорог

 УДК 625.143 
 
Исаенко Эдуард Петрович  -  д.т.н., профессор (Алматы, КазАТК) 
Нусупбекова Гюльжан Сериковна – к.т.н, доцент (Алматы, КУПС) 
 
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ НЕРОВНОСТЕЙ РЕЛЬСОВОЙ КОЛЕИ НА СИЛЫ 
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА И ПУТИ 
 
Неровности  на  колесах  и  на  поверхности  катания  рельсовой  колеи  вызывают 
колебания вагонов, локомотивов и элементов пути. Из-за колебаний вагонов происходит 
увеличение  или  уменьшение  давлений  колес  на  рельсы  по  сравнению  со  статическим 
давлением,  поэтому  необходим  учет  влияния  неровностей  рельсовой  колеи  на  силы 
взаимодействия  подвижного  состава  и  пути.  Для  этого  необходимо  различать  характер 
колебаний грузового и пассажирского вагонов. 
На  рисунке 1 для  примера  показана  схема  колебаний  грузовых  и  пассажирских 
вагонов. 
 
 
 
красный цвет – пассажирские вагоны; синий цвет – грузовые вагоны 
 
Рисунок  1 - Изменение вертикальной динамики на переломе продольного профиля 
при движении грузового и пассажирского вагонов 
 
Проходя  неровность  на  пути,  грузовой  вагон  испытывает  одно  колебание  из-за 
особенностей  подвески  при  значительно  большей  амплитуде  нагрузки,  а  пассажирский 
вагон  с  гидравлическими  демпферами  имеет  почти  в  два  раза  меньшую  по  величине 
динамическую добавку и значительно больший по времени период успокоения колебаний 
(не менее 3-х периодов). Поэтому считается, что предыстория колебаний грузового вагона 
не имеет значения для расчетов его воздействия на путь. Колебания пассажирского вагона 
успокаиваются  в  течение  не  менее 3-5 с.,  поэтому  предыстория  его  колебаний  должна 
учитываться. 
Идею применения методов теории вероятностей для практического решения задач по 
взаимодействию пути и подвижного состава выдвинул академик Н.П. Петров. Дальнейшее 
развитие  этой  идеи  было  разработано  профессором  М.Ф.  Вериго /1/. Фундаментальные 
исследования  в  области  взаимодействия  подвижного  состава  и  пути  получили  в  трудах 
академика В.А. Лазаряна, М.А. Фришмана, Ю.Д. Волошко, Г.М. Шахунянца, А.Я. Когана, 
В.Б.  Меделя,  Е.П.  Блохина,  С.В.  Вершинского,  В.Д.  Дановича,  Т.Л.  Городецкого,  Д.А. 
Длугач.  Обширное  исследование  задач  взаимодействия  подвижного  состава  и  пути 

методом статистической динамики и теории случайных функций выполнено профессором 
А.Я. Коганом /2/. 
    По  аналитическому  выражению  корреляционной  функции,  используя  прямое 
преобразование Фурье, находится спектральная плотность неровности пути - S(ω) . 
 
                                    
,
)
(
2
1
)
(
∫
∞
∞
−
−
=
τ
τ
π
ω
ω
d
e
R
S
t
i
                                     (1) 
 
Спектр  сил  взаимодействия  колеса  и  рельса  (в  линейном  случае)  определяется  как 
произведение  спектра  неровностей  поверхности  катания  рельса  (преобразованного  в 
спектр  "вынуждающих"  воздействий  через  умножение  на  скорость  движения  вагона)  и 
спектра  вынужденных  колебаний  подвижного  состава  (его  реакции  на  "единичные" 
возмущения на фиксированной частоте). 
Анализ  параметров  неровностей  рельсовой  колеи  на  отдельных  участках 
железнодорожного пути, показывает, что непрерывные неровности пути имеют сложную 
и разнообразную форму (рисунок 2). 
 
 
Рисунок 2  Продольный профиль участка железнодорожного 
пути по головке рельса 
 
Описания  неровностей  пути  спектральными  плотностями  позволяют  получить 
осредненные  характеристики,  а  при  записи  параметров  неровностей  только  по  одной 
рельсовой  нити  дают  погрешность  из-за  отсутствия  учета  разности  уровней  рельсов. 
Целесообразно  применение  другого  способа  учета  неровностей – использование 
координат по поверхности катания левого и правого рельсов пути, по которым движутся 
колеса.  Этот  способ  позволяет  учесть  предысторию  колебаний  вагона,  что  необходимо 
при анализе колебаний пассажирского вагона. 
       В 
настоящее 
время 
железные 
дороги 
оснащены 
бесконтактными 
путеизмерителями  типа  ЦНИИ-4,  при  движении  которых  координаты  головки  рельсов 
(левого  и  правого)  измеряются  через  каждые 0,25-0,40 м  пройденного  пути  (рисунок 3). 
Погрешность измерений не превышает 1мм. 
 

-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
600
605
610
615
620
625
Длина вдоль пути (м)
В
ер
ти
кал
ьн
ая
 к
оор
д
и
н
ат
а 
от
н
о
си
те
л
ь
но
 
ос
р
ед
н
я
ю
щ
ей
 ли
н
и
и
 (
мм
)
Pros. Left
Pros Right
 
 
Рисунок 3 - Пример данных измерения координат левого и правого рельсов 
железнодорожного пути на длине 25 м  путеизмерителем ЦНИИ-4 
 
Взаимодействие  между  колесом  и  рельсом,  между  колесной  парой  и  буксовым  узлом 
тележки,  между  центральным  подвешиванием  вагона  и  его  кузовом  можно  оценить  по 
аналогии с движением связанных между собой пружинами и демпферами масс (рисунок 4). 
 
 
 
Рисунок 4  Расчетная схема железнодорожного пути 
 
На  расчетной  схеме  нагруженный  силой  от  подвижного  состава  железнодорожный 
путь представлен 4-мя колеблющимися массами. 
На схеме рисунке  5 показано воздействие на рельсовую нить одной колесной пары. 
В системе ADAMS/Rail учитывается воздействие 4-х осей вагона. 
 
 
 
Рисунок 5 - Упрощенная схема для расчета взаимодействия пути 
и подвижного состава 
 
       Известно  несколько  способов  составления  дифференциальных  уравнений 
колебательного  движения.  Наиболее  общий – метод  уравнений  Лагранжа,  но  во  многих 
случаях более удобен прямой метод записи уравнений движения, который применен далее 
для  расчета  динамики  взаимодействия  вагона  и  железнодорожного  пути.  Рассмотрим 
пример системы, состоящей из двух грузов, соединенных пружинами (рисунок 6). 

 
 
Рисунок 6 -  Колеблющаяся система из двух грузов, соединенных 
пружинами 
 
  Метод уравнения Лагранжа имеет следующий вид: 
 
)
(
,
1
2
12
2
1
11
1
x
x
k
R
x
k
R
−
=
=
.                                           ( 2) 
 
  Дифференциальные уравнения движения грузов в соответствии со вторым законом 
Ньютона имеют вид: 
                                 
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−
=
+
−
=
2
2
2
2
2
..
2
2
1
1
..
1
R
dt
x
d
x
m
R
R
x
m
                          ( 3) 
 
или 
                              
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−
−
=
−
+
−
=
)
(
)
(
1
2
12
2
..
2
1
2
12
1
11
1
..
1
x
x
k
x
m
x
x
k
x
k
x
m
                               ( 4) 
 
На  деформацию  пружины  влияет  перемещение  соседнего  груза.  В  общем  виде  в 
локальной  системе  координат  деформированное  состояние  системы  с s степенями 
свободы  можно  характеризовать  обобщенной  координатой 
j
q   (
S
j
...
2
,
1
=
 - номер 
координаты).  В  качестве  обобщенных  координат  могут  быть,  например,  линейные 
перемещения  при  поступательном  движении  (или  угловые  перемещения  при 
вращательном). 
Для  упругой  линейной  системы  общего  вида  справедливо  соотношение, 
связывающее обобщенные координаты 
j
q
 с обобщенными силами 
k
F
: 
 
                                  
∑
=
=
s
k
k
jk
j
F
q
1
δ
,         
s
j
...
2
,
1
=
,                                              (5) 
 
где 
ik
δ
 - коэффициент  влияния  для  перемещений,  соответствующий  действию 
приложенной k-ой  обобщенной  единичной  силы, j, k - номера  масс  колебательной 

системы.  Коэффициенты  влияния  удовлетворяют  условию  симметрии 
jk
δ
=
kj
δ
 
выражающему принцип взаимности перемещений. 
Введя  в  рассмотрение  вектор  (матрицу-столбец)  обобщенных  координат 
→
q
,  вектор 
обобщенных сил 
→
F
 и симметричную матрицу коэффициентов влияния для перемещений 
[ ]
δ
, 
                    
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
→
S
q
q
q
q
M
2
1
, 
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
→
S
F
F
F
F
M
2
1
, 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
→
SS
S
S
S
S
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
,                                        ( 6) 
 
перепишем (6) в матричной форме 
                                                          
[ ]
→
→
=
F
q
δ
.                                                                   (7) 
 
   Система с s степенями свободы в общем случае может совершать s 
независимых гармонических колебаний, каждому из которых соответствует 
определенное значение частоты 
i
ω
. Свободный колебательный процесс (при условии 
малости колебаний около положения устойчивого равновесия) в соответствии с 
принципом суперпозиции представляет собой линейную сумму s главных 
гармонических колебаний. 
Рассмотрим движение линейной колебательной системы без затухания с s степенями 
свободы  под  действием  внешних  сил.  Обозначим 
s
Q
Q
Q
,...
,
2
1
  обобщенные  вынужденные 
силы, 
соответствующие 
обобщенным 
координатам 
s
q
q
q
,...
,
2
1
, 
причем 
( )
s
j
t
Q
Q
j
j
,...,
2
,
1
,
=
=
.  
В общем случае уравнение движения будет выглядеть как 
 
                            
,
,...,
2
,
1
,
1
..
..
s
j
Q
q
c
q
a
j
s
k
k
jk
k
jk
=
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
∑
=
                                                   (8) 
 
Решение  систем (8) целиком  определяется  видом  вынуждающей  силы.  По 
прошествии  некоторого  времени  в  системе  будут  присутствовать  только  движения, 
совершаемые  с  частотой  вынуждающей  силы – так  называемые  установившиеся 
вынужденные колебания. 
Предположим, что обобщенные вынуждающие силы изменяются по гармоническому 
закону  
 
 `                                  
(
)
.
,...,
2
,
1
,
sin
s
j
t
F
Q
j
j
=
+
Ω
=
ψ
                                                   (9) 
 
т.е. имеют одинаковые частоты и начальные фазы, но различные амплитуды. Будем 
рассматривать  установившееся  движение.  Тогда  частное  решение (8) с  правой  частью 
вида (9) имеет вид 
 
                                       
(
)
.
,...,
2
,
1
,
sin
s
j
t
A
q
j
j
=
+
Ω
=
ψ
                                               (10)   
 

Подставляя (10) в  дифференциальное  уравнение (8), получим  систему s 
алгебраических уравнений для определения амплитуд 
j
A : 
 
                                 
,
,...,
2
,
1
,
1
..
2
s
j
Q
c
a
j
s
k
jk
jk
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Ω
−
∑
=
                                              (11) 
Система  уравнений (11) решается  непосредственно  алгебраическими  методами.  Однако 
физически более наглядным является способ разложения искомых амплитуд по собственным 
формам. В расчетной системе ADAMS/Rail /3,4/ исходными данными о неровностях рельсовой 
колеи  являются  координаты  точек  левого  и  правого  рельсов  через  каждые 0.4м.  Фактически 
вертикальная жесткость железнодорожного пути обычно на два порядка выше, чем жесткость 
рессорного подвешивания вагонов. Поэтому для определения величины действующих на путь 
сил от подвижного состава при его движении по неровностям пути рельсовая колея может быть 
принята  абсолютно  жесткой.  При  этом  погрешность  в  расчетах  не  превосходит 3% искомой 
величины /5/. Результаты  расчетов  Т.С.Саржанова  сил  взаимодействия  пути  и  подвижного 
состава  в  кривой  радиусом 600 м  при  возвышении  наружного  рельса  в 100 мм,  длине 
переходной  кривой 100 м  на  абсолютно  жестком  и  упругом  железнодорожном  пути 
U=100MПа, представлены на рисунке 7. 
 
 
 
Рисунок 7 - Результаты расчетов Т.С.Саржанова сил взаимодействия путии 
подвижного состава 
 
Выводы   
Как  следует  из  анализа  данных  расчета  Тайжанова  Т.С./5/  учет  упругости  пути 
меняет результат расчета в меньшую сторону на 2,5%. Поскольку погрешность исходных 
данных не менее 5% упругостью пути в данном расчете можно пренебречь. 
 
 
ЛИТЕРАТУРА 
 
1.  Вериго  М.Ф.,  Коган  А.Я.  Взаимодействие  пути  и  подвижного  состава.  М., 
Транспорт, 1986. 559 с. 
2.  Коган  А.Я.  Динамика  пути  и  его  взаимодействие  с  подвижным  составом..  М., 
Транспорт, 1997, 223 с. 
3. Гончарук В.Л. Динамическая модель трехвагонного пассажирского электропоезда 
/Сборник трудов II-ой конференции CAD-FEM. М., 2002, с. 357-361. 
4. ADAMS User Guide. Mechanical Dynamics Incorporated, Ann Arbor, Michigan U.S.A., 
2002. 

5.  Саржанов  Т.С.  Повышение  работоспособности  пути  и  подвижного  состава  на 
скоростном  участке  дороги.  Автореф.  дисс.  на  соискание  ученой  степени  доктора 
технических наук. КУПС, 2008, 36 с. 
 
 

УДК 625.143.03 
 
Искакова Светлана Курмантаевна – к.т.н., профессор (Алматы, КазАТК)  
 
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 
КОЛЕБАНИЙ ШПАЛЫ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ПОЕЗДНОЙ НАГРУЗКИ 
 
Точность решения задачи о колебаниях шпалы под воздействием поездной нагрузки 
зависит,  прежде  всего,  от  выбора  расчетной  схемы  и  точности  исходных  данных. 
Сохранив наиболее существенные свойства реальной колебательной системы, пренебрегая 
второстепенными,  ранее  в  работе [1] была  получена  система  дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами. 
Рассмотрим,  полученную  систему  дифференциальных  уравнений  с  постоянными 
коэффициентами: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
+
+
=
+
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
.
;
,
;
,
3
1
33
1
32
1
1
2
1
23
1
22
1
1
1
11
1
Q
c
x
c
I
Q
c
x
c
x
m
Q
y
c
y
m
ϕ
ϕ
ϕ
o
&
&
&
&
&
&
                                                ( 1 ) 
Здесь принято: 
)
)(
(
11
В
Ш
В
СК
ж
ж
ib
a
с
+
+
=
∗
; 
)
)(
(
0
22
Г
бШ
Г
Ш
Г
П
Г
СК
ж
ж
ж
ж
ib
a
с
+
+
+
+
=
∗
; 
)
2
)(
(
0
23
Ш
Г
Ш
П
Г
П
Г
СК
h
ж
h
ж
h
ж
ib
a
с
+
+
+
=
∗
; 
)
2
2
)(
(
0
32
Ш
Г
Ш
Г
П
Ш
Г
СК
h
ж
d
ж
h
ж
ib
a
с
+
+
+
=
∗
 
)
2
)(
(
33
ϕ
ϕ
Ш
П
Г
П
ш
Г
СК
СК
ж
d
h
ж
h
h
ж
ж
ib
a
c
+
+
+
+
=
∗
;  
;
1
∗
∗
=
y
ж
Q
В
СК
 
∗
∗
∗
+
+
+
=
ϕ
)
(
)
(
2
П
Г
П
Г
СК
Г
П
Г
СК
h
ж
h
ж
х
ж
ж
Q
; 
∗
∗
∗
−
+
+
+
=
ϕ
ϕ
)
2
(
)
2
(
3
СК
П
Г
П
Ш
Г
СК
Г
П
Ш
Г
СК
ж
d
h
ж
h
h
ж
x
d
ж
h
ж
Q
 
 
Для  определения  вертикальных  колебаний  шпалы  необходимо  проинтегрировать 
дифференциальное уравнение: 
                      
∗
∗
=
+
+
+
у
ж
у
ж
ж
ib
a
y
m
В
СК
В
Ш
В
СК
1
1
1
)
)(
(
&
&
                             (2) 
где 
1
m
-масса полушпалы. 
В соответствии с [1,2] вертикальные колебания рельса у* под воздействием системы 
колесных  нагрузок  в  неподвижной  системе  координат  при 
t
x
ν
=
можно  выразить 
следующим образом: 
                             
∑
=
∗
−
−
∗
−
Ω
+
=
∗
n
j
j
t
i
j
E
Ue
P
t
z
y
j
f
1
2
2
2
2
)
(
)
(
Im
4
)
,
(
1
ω
β
α
αβ
ν
τ
ω
                        (3)  
        
Здесь 
ν
τ
β
α
ν
ω
α
β
ν
ω
/
);
/
(
];
)
(
[
1
j
j
j
f
S
arctg
i
=
=
+
+
=
∗
- 
временное 
запаздывание 
процесса под осью j; 
j
S
- абсцисса оси j в подвижной системе координат. 
 
Обозначив в выражении (3) 
);
)
2
/
(
1
(
1
1
Ω
+
=
Ω
∗
γ
i
  
)
4
/
1
(
2
1
1
γ
+
−
=
Ω
m
ж
ж
В
Ш
В
СК
; 

 
)
(
Im
4
2
2
2
2
1
0
j
В
СК
m
E
U
ж
f
ω
β
α
αβ
−
Ω
+
=
∗
∗
 
получим 
                         
∑
=
−
−
∗
∗
∗
∗
=
Ω
+
n
j
j
t
j
i
j
e
P
f
y
y
1
)
1
(
0
1
2
1
1
ν
τ
ω
&&
                                    (4) 
Частное решение уравнения (4) имеет вид: 
                              
∑
=
∗
∗
−
−
∗
∗
∗
−
Ω
=
n
j
j
j
t
j
i
j
e
P
f
t
y
1
2
1
2
1
)
1
(
0
1
)
(
ω
ν
ν
τ
ω
                                         (5) 
После подстановки значений 
∗
Ω
1
 и 
∗
о
1
ω
,  выражение (5) примет вид:  
 
                       
∑
=
−
−
∗
∗
∗
+
−
=
n
j
j
t
j
i
j
e
B
A
iB
A
P
f
t
y
1
)
1
(
2
2
0
1
)
(
ν
τ
ω
ν
                                         (6) 
 
где 
j
j
A
νβω
ω
ν
α
β
γ
2
)
(
)
4
/
1
(
2
2
2
2
2
1
2
+
+
−
+
Ω
−
=
;       
j
B
ναω
νβα
γ
2
2
2
1
+
+
Ω
=
 
 
Вынужденные  вертикальные  колебания  шпалы  определяются  вещественной  частью 
выражения (6): 
         
∑
=
−
−
−
+
−
+
−
−
=
n
j
j
j
j
t
j
j
j
t
B
t
A
e
B
A
t
P
f
t
y
1
2
2
0
1
)
sin
cos
(
)
cos(
)
(
τ
βν
τ
ν
μ
τ
ω
ν
τ
αν
                 (7) 
 
                  где 
2
2
2
2
2
2
1
2
0
)
4
1
(
)
(
4
)
4
/
1
(
γ
γ
ω
β
α
αβ
γ
+
−
Ω
−
+
+
=
j
В
СК
ЕFm
ж
f
. 
 
Продольные  и  угловые  перемещения  шпалы  можно  определить,  решив  систему  из 
двух  последних  уравнений  системы (1). Решение  этих  уравнений  определяется  видом 
функций 
)
(
)
(
t
y
и
t
x
ν
ν
. 
Углы  поворота  сечений  рельса  под  действием  системы  колесных  нагрузок, 
представляющие  собой  первую  производную  по z от  уравнения   прогибов  рельса,  будут 
иметь значения 
                                
∑
=
∗
−
∗
∗
−
Ω
−
=
n
j
j
t
j
i
j
E
Ue
P
i
t
1
2
2
1
)
(
Im
4
)
(
ω
αβ
ν
ϕ
τ
ω
                                           (8) 
 
Как  было  показано  в [2, 3], значения  х  по  сравнению  с 
ϕ
  изменяются  медленно, 
поэтому их можно принять постоянными 
max
λ
. 
Подставляя значения х и  
ϕ
   в уравнения системы (1), получим
: 
 

 
          
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
+
+
−
=
+
+
∑
∑
=
−
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
=
−
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
n
j
t
i
j
n
j
t
i
j
j
j
e
P
iG
H
c
x
c
I
e
P
iG
H
c
x
c
x
m
1
2
2
1
33
1
32
1
1
1
1
1
1
23
1
22
1
1
1
1
τ
ω
τ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
&
&
&
&
                      (9) 
 
Здесь   
;
)
2
(
;
)
(
max
2
max
1
∗
∗
∗
∗
+
=
+
=
λ
λ
d
ж
h
ж
H
ж
ж
H
Г
П
Ш
Г
СК
Г
П
Г
СК
 
 
.
)
(
Im
4
)
2
(
;
)
(
Im
4
)
(
2
2
2
2
2
1
j
СК
П
Г
П
П
Г
СК
j
П
Г
П
Г
СК
E
ж
d
h
ж
h
h
ж
U
G
E
U
h
ж
h
ж
G
ω
αβ
ω
αβ
ϕ
−
Ω
−
+
=
−
Ω
+
=
∗
∗
∗
∗
 
 
В  связи  с  тем
, 
что  в  рассмотриваемом случае  возмущающие  силы, действующие  на 
шпалу, изменяются не по гармоническому закону, целесообразно перейти к нормальным 
координатам.  При  этом  вместо  системы  дифференциальных  уравнений (9) получим 
независимые дифференциальные уравнения вида. 
 
                                
)
,...,
2
,
1
(
,
)
0
(
2
s
j
Q
k
j
j
j
j
=
=
+
η
η
&
&
,                                       (10) 
 
в  которых 
j
η
-  нормальные  координаты;
j
k
      -  собственные  частоты; 
)
0
(
j
Q
- 
приведенные обобщенные силы. 
Для перехода от (9) к системе (10)  нужно принять  
 
                                                    
∑
=
=
s
j
rj
r
q
1
η
χ
,                                                           (11) 
где 
χ
 - коэффициент формы колебаний. 
Тогда получим дифференциальные уравнения в нормальных ко-ординатах вида:  
 
                                            
)
0
(
2
m
m
m
m
Q
k
=
+
η
η
&
&
,                                                    (12) 
 
                                   где    
∑
∑
=
=
=
s
j
jm
j
s
j
jm
j
m
a
Q
Q
1
2
1
)
0
(
χ
χ
                                                                  (13) 
есть приведенная возмущающая сила. 
Таким  образом,  составлению  уравнений (12) должно  предшествовать  определение 
собственных форм 
jm
χ
 и собственных частот 
m
k
. 
Если  соответствующее  нулевым  значениям  координат  положение  равновесия 
устойчиво, т. е. вьшолняется критерий Сильвестра 
 
                              
,
0
;
0
33
32
23
22
22
>
>
c
c
c
c
c
                                                   (14) 
 

 
то частное решение системы дифференциальных уравнений 
 
                                   
⎩
⎨
⎧
=
+
+
=
+
+
0
;
0
1
33
1
32
1
1
1
23
1
22
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
c
x
c
I
c
x
c
x
m
&
&
&
&
                                                (15) 
можно записать в виде 
                                               
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
),
sin(
);
sin(
2
2
1
1
α
ϕ
α
kt
A
kt
A
x
                                                          (16) 
 
где  к-  угловая  частота  собственных  колебаний  системы; 
2
1
А
и
А
-амплитуды 
перемещений системы, определяемые из начальных условий. 
Подставив (16) в (10), получим систему алгебраических уравнений: 
 
                                       ⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
+
+
.
0
;
0
2
33
1
32
2
1
2
2
23
1
22
1
1
2
A
c
A
c
A
I
k
A
c
A
c
A
m
k
                                                      (17) 
 
Уравнения (17)-линейные и однородные относительно постоянных 
2
1
А
и
А
. Они 
допускают решение, отличное от нуля, только в случае, если определитель этой системы 
равен нулю, т.е. 
0
2
1
33
32
23
2
1
22
=
−
−
k
I
c
c
c
k
m
c
                                              (18) 
 
Раскрыв определитель, получим 
 
0
)
(
32
23
33
22
33
1
1
22
2
4
1
1
=
+
+
+
−
c
c
c
c
c
m
I
c
k
k
I
m
 
откуда 
      
1
1
32
23
33
22
1
1
2
33
1
22
1
33
22
1
2
2
,
1
2
)
(
4
)
(
I
m
c
c
c
c
I
m
c
m
c
I
mc
c
I
k
+
−
+
±
+
=
                    (19) 
 
Для определения собственных форм воспользуемся уравнениями (17), тогда получим  
23
22
2
2
1
22
23
22
2
1
1
21
;
c
c
k
m
c
c
k
m
−
=
−
=
χ
χ
 
или 
                           
32
33
2
2
1
22
32
33
2
1
1
21
;
c
c
k
I
c
c
k
I
−
=
−
=
χ
χ
                                         (20) 
 
По формулам (13) находим приведенные возмущающие силы  
 
                       
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
∑
∑
=
−
∗
∗
∗
∗
=
−
∗
∗
∗
∗
n
j
j
t
j
i
j
n
j
j
t
j
i
j
e
P
iD
C
Q
e
P
iD
C
Q
1
2
2
0
2
1
1
1
0
1
τ
ω
τ
ω
                                         (21) 

 
где 
1
2
22
1
22
22
1
2
1
2
21
1
2
21
1
1
1
2
22
1
2
22
1
2
1
2
21
1
2
21
1
1
;
;
;
I
m
c
G
D
I
m
G
G
D
I
m
H
H
c
I
m
H
H
с
χ
χ
χ
χ
χ
χ
χ
χ
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
 
 
Запишем уравнения (12), считая все элементы комплексными, в виде системы 
 
                        
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
+
−
=
+
∑
∑
=
−
∗
∗
∗
∗
∗
=
−
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
n
j
t
i
j
n
j
t
i
j
j
j
j
j
e
P
iD
C
k
e
P
iD
C
k
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
τ
ω
τ
ω
η
η
η
η
&
&
&
&
                                    (22) 
где 
2
,
1
2
,
1
)
2
/
1
(
k
i
k
γ
+
=
∗
 
Частные решения уравнений (22) будут иметь вид: 
 
                       
∑
=
∗
∗
−
∗
∗
∗
∗
∗
−
−
=
n
j
j
t
j
i
j
k
e
P
iD
к
С
1
2
,
1
2
2
,
1
1
2
,
1
2
,.
1
2
,
1
2
,
1
ω
η
τ
ω
                                   (23) 
 
Действительно решение уравнения (23) определится его вещественной частью:  
 
 
∑
=
−
−
∗
−
−
+
−
+
−
=
n
j
t
j
j
t
e
B
A
t
P
D
k
С
1
2
2
2
,
1
2
2
,
1
2
2
,
1
2
,
1
)
sin(
)
cos(
)
4
/
1
(
δ
τ
βν
τ
ω
γ
η
τ
αν
                       (24) 
где 
)
/
(
A
B
arctg
=
δ
 
В соответствии с (11) переходим к координатам 
1
1
ϕ
χ
u
 
 
∑
=
−
−
−
−
+
−
+
+
−
+
=
+
=
n
j
t
j
j
t
e
B
A
t
P
D
D
k
k
k
C
k
C
x
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
)
sin(
)
cos(
)
(
)
4
/
1
(
δ
τ
βν
τ
ω
γ
η
η
τ
αν
          (25) 
)
sin(
)
cos(
)
(
)
4
/
1
(
1
2
2
2
22
1
21
2
2
2
1
2
2
2
1
22
1
2
2
21
1
22
1
21
1
δ
τ
βν
τ
ω
χ
χ
γ
χ
χ
η
χ
η
χ
ϕ
τ
αν
−
−
+
−
+
+
−
+
−
+
=
−
−
=
∑
t
e
B
A
t
P
D
D
k
k
C
k
C
k
t
n
j
j
j
   
(26) 
 
Таким  образом,  поведение  шпалы  под  воздействием  поездной  нагрузки  полностью 
определено. 
 

жүктеу/скачать 5,71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: