Железнодорожный путь, изыскание и проектирование железных дорог

УДК 625.143.07 
 
Сейтказинов Оразалы  - преподаватель (Алматы, КазАТК) 
 
ВЛИЯНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НА УСТАЛОСТНУЮ 
ПРОЧНОСТЬ СВАРНЫХ РЕЛЬСОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ  
 
Важную  роль  в  распространении  трещин  усталости  играют  остаточные  сварочные 
напряжения,  которые  совместно  с  напряжениями  от  внешнего  нагружения  могут  ускорить 
или  затормозить  распространение    трещины,  изменить  ее  траекторию.  Как  известно,  под 
влиянием  остаточных    растягивающих  напряжений  возможны  возникновение  и 
распространение  трещин  даже  при  пульсирующем  сжатии [1]. Вопрос  о  том,  влияют  ли 
остаточные  напряжения  на  усталостную  прочность  так  же,  как  средние  напряжения  цикла, 
уже давно является предметом многих исследований и дискуcсий. При анализе этого вопроса 
сталкиваются  с  определенными  трудностями,  обусловленными  тем,  что  с  возникновением 
остаточных  сварочных  напряжений  всегда  связаны  другие  изменения  материала,  которые 
также влияют на усталостную прочность. Этими факторами являются [2]:  
- концентрация напряжений, обусловленная спецификой формы сварного соединения 
и сочленяемых элементов; 
- изменение структуры и свойств материала в шве и околошовной зоне. 
После  сварки  рельсовые  соединения  не  подвергается    термической  обработке  (или 
другой  обработке)  для  снятия  остаточных  напряжений,  которые  возникают  вследствие 
резкого  температурного  перепада  при  сварке  металла,  упругопластического 
деформирования  в процессе  образования швов. Как известно, остаточные напряжения в 
тех или иных зонах  сварного соединения  от основного металла достигает уровня предела  
текучести,  а  иногда  и  превышает  его.  Под  действием  внешнего  нагружения  происходит 
частичная релаксация остаточных напряжений, особенно в зонах концентратов, и  роль их 
в усталостных процессах  оказывается весьма существенной. Еще не решенным вопросом 
повышения  циклической  прочности  сварных  рельсовых  соединений  является  влияние 
неблагоприятных, т.е. снижающих циклическую прочность остаточных напряжений. 
При  анализе  влияния  остаточных  напряжений  на  усталостную  прочность 
необходимо  иметь  в  виду  различия  между  остаточными  напряжениями  и  средними  
напряжениями (рисунок 1). Среднее напряжение цикла может быть однородным по всему 
поперечному  сечению  образца.  Остаточные  макронапряжения  по  условиям  равновесия 
(сильноуравновешенные напряжения) в общем случае неоднородны.  Во многих случаях 
на  циклическое  напряжение  накладывается  одноосное  среднее  напряжение.  Остаточные 
макронапряжения  на  поверхности  в  основном  двухосные.  Среднее  напряжение  цикла 
можно  поддерживать  постоянно  с  помощью  соответствующей  регулировки  в  течении 
всего  процесса  напряжения,  тогда  как  остаточные  напряжения  не  остаются  в  процессе 
усталостного напряжения постоянными. 
Поскольку  роль  сварных  соединений  в  обеспечении  прочности  бесстыковых  путей 
при  переменном  нагружении  велика,  они  стали  объектом  исследований,  проводимых  с 
помощью аппарата  механики разрушения. 
 

 
 
1 - однородное распределение по сечению;  
2-преимущественноодноосное 
напряжение; 3 - неоднородное распределение по сечению по условиям равновесия; 
4 - двухосные напряжения в поверхностном слое 
 
Рисунок 1 - Различие между средним 
σ
m
 и остаточным 
σ
ост 
напряжениями 
 
При  анализе  трещин  усталости  в  рамках  механики  разрушения  аналогом  предела 
усталости  является  пороговое  значение  размаха  коэффициента  интенсивности 
напряжений 
Δ
 K
th.
 Критерием  количественного определения 
Δ
K
th 
служит минимально 
осуществимая на опыте скорость роста трещины порядка 10
-8 
- 10
-9 
м/цикл. Как и предел 
усталости,  пороговый 
Δ
  K
th 
  зависит  от  среднего  напряжения,  частоты  нагружения, 
среды. 
При  испытаниях  ряда  конструкционных  сталей  зависимость 
Δ
  K
th 
  от  ассиметрии 
нагружения приближенно описывается одним из следующих соотношений [3, 4]: 
 
                                     
)
1
(
0
R
K
K
th
α
−
Δ
=
Δ
              
                         (1) 
 
                                   
γ
)
1
(
0
R
K
K
th
−
Δ
=
Δ
,                              
                         (2) 
 
где 
Δ
К
0
 = 5 Мпа 
⋅ м 
1/2 
 - пороговое значение 
Δ
К  при   R = 0; 
α = 0.8,   γ= 0.5 - 
эмпирические коэффициенты; R = К
min
 /К
max 
- коэффициент ассиметрии цикла. 
Влияние остаточных сварочных напряжений на распространение трещин усталости в 
полосе со стыковым сварным соединением по расчетно-экспериментальной методике [5] 
приведена  на  рисунках 2  и 3 . На  рисунке 2 показано  первоначальное  распределение 
нормальных    напряжений  в  сечении  образца,  перпендикулярном  соединению  (
σ
о
ост
)  и 
изменения  этого  распределения  после  прорезания  инициатора  трещины  (прорезь, 
служившая  стартером  трещины)  и  на  этапах  подрастания  трещины,  полученные  
расчетным путем с помощью МКЭ  (
σ 
ост (а1)          
σ 
ост
 
(а2)
)
 
. 
На  рисунке 3 приведены  кривые  роста  трещины,  построенные  по  результатам 
расчета  и  по  опытным  данным.  Удовлетворительное  совпадение  расчетной  и 
экспериментальных  кривых 
 
a
(N)  свидетельствует  о  физической  достоверности 
основных  положений  методики,  где  расчет  взаимодействия  поля  остаточных  сварочных 
напряжений  с  полем  напряжений  от  внешнего  нагружения  выполнен  в 
упругопластической  постановке  с  применением  теории  течения  и  методом  конечных 
элементов. 

 
 
 
Рисунок 2 - Изменение распределения остаточных напряжений 
σ
0
ост 
после прорези   
и из-за подрастания трещины 
σ
ост (а1)    
и 
σ
ост (а2)
 
 
Эти  исследования  показывают,  что  при  анализе  напряженного  состояния  сварного 
соединения,  которое  является  результатом  взаимодействия    сварочных  напряжений  и 
напряжений внешних нагрузок, с учетом деформационных критериев разрушения можно 
получить  удовлетворительные  оценки  усталостной  долговечности,  но  следует  иметь  в 
виду,  что  в  данном  случае  направления  распространения  трещины  являются  заранее 
известными.  Более  сложные  проблемы  возникают  тогда,  когда  суммарное  поле 
напряжений  обусловленное  влиянием  сварки  и  действием  внешних  сил  не  имеет  оси 
симметрии,  т.е.  когда  направление  распространения  трещины  является  неопределенным. 
В  этом  случае  коэффициент  интенсивности  напряжений  рассматривается  с  учетом 
возможного  смещения  берегов  трещины  согласно  модам I и II. Подобные  примеры 
рассмотрены в работах [6, 7, 8].  
 
 
 
1-опытные данные, 2-результаты расчета 
 
Рисунок 3  - Кривые роста трещин, пересекающих сварной шов 
 

Выводы 
При  анализе  напряженного  состояния  сварного  соединения,  которое  является 
результатом взаимодействия  сварочных напряжений и напряжений внешних нагрузок, с 
учетом  деформационных  критериев  разрушения,  можно  получить  удовлетворительные 
оценки  усталостной  долговечности,  но  следует  иметь  в  виду,  что  в  данном  случае 
направления распространения трещин являются заранее известными. 
 
ЛИТЕРАТУРА 
 
1.  Когаев  В.П.,  Махутов  Н.А.,  Гусенков  А.П.  Расчеты  деталей  машин  и  конструкций  на 
прочность и долговечность. Справочник. М., Машиностроение, 1985, 224 с. 
2.Биттибаев  С.М.,  Сейтказинов  О.Д.  Остаточные  напряжения  в  сварных  стыках 
бессстыкового  пути  /Тр.  Междун.  геотехн.  симпозиума,  посв.  году  Казахстана  в  России  и 300 
летию Санкт-Петербурга. 2003, с. 79-82. 
3.Иванова В.С., Терентьев В.Ф. Природа усталости металлов. М., Металлургия, 1975, 456 с. 
4.  Биттибаев  С.  М.,  Аульбеков  Б.  Т.,  Алипбаев  М.  К.  Циклическая  долговечность 
высоконагруженных элементов конструкций /Тезисы докл. III Международн. конф. С-Пб., 1995, с. 
28-30. 
5.Труфяков В.И., Михеев П.П. Изменение сопротивления усталости сварных соединений под 
влиянием остаточных напряжений /Труды Всесоюзного симпозиума по остаточным напряжениям 
и методы регулирования. М., 1982, с. 386-394. 
6.Прочность  сварных  соединений  при  переменных  нагрузках. /Под  ред.  В.И.  Труфякова 
Киев,  Наукова думка, 1990, 256 с. 
7.Мюнзе  У.Х.  Хрупкие  разрушения  в  сварных  соединениях  /Сб.  Разрушений,  пер.  с  англ. 
Под ред. Г.Либовиц, т.4. М., Машиностроение, 1977, с. 334-390. 
8.Биттибаев  С.М.,  Сейтказинов  О.Д.  Структурное  изменение  сварного  соединения  и  их 
влияние  на  усталостную  долговечность  рельсов  /Мат-лы  Межд.конф.«Теоретические  и 
экспериментальные исследования строительных конструкций». ч.II. Алматы, 2004, с. 51-54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

УДК 625.143.07 
 
Сейтказинов Оразалы – преподаватель (Алматы, КазАТК) 
 
КИНЕТИЧЕСКИЕ ДИАГРАММЫ УСТАЛОСТНОГО РАЗРУШЕНИЯ 
СВАРНЫХ РЕЛЬСОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ ПРИ СМЕШАННОМ НАГРУЖЕНИИ 
 
Анализ  кинетических  диаграмм  усталостного  разрушения  показывает,  что  в 
материалах  с  вязкохрупким  переходом  увеличение  асимметрии  цикла  нагружения 
повышает опасность хрупкого разрушения. Уменьшение коэффициента  ассиметрии цикла 
приводит к сдвигу диаграмм вправо, особенно в припороговой области, что обуславливает 
увеличение порога усталости 
Δ
К
th
 . При этом возрастает положительное влияние низкой 
температуры    при  низких  размахах 
Δ
К  и  уменьшается  ее  отрицательное  влияние  при 
больших 
Δ
К [1]. Поэтому характеристики циклической трещиностойкости, полученные 
при  низких  значениях  коэффициента  ассиметрии R= 
−1,....0.1  не  могут  служить 
исходными  данными  для  определения  надежности  тяжелонагруженных  конструкций, 
работающих  при  значительной  асимметрии  цикла  нагружения (R=0.5,....0.9),  так  как 
являются завышенными. 
Как  известно,  повышение  надежности  моделей  устойчивого  роста  усталостной 
трещины  связаны,  прежде  всего,  более  полным  учетом  характера  нагружения  элементов 
металлоконструкций при смешанном (комбинированном) нагружении, когда поверхности 
трещин одновременно расходятся по нормали (I мода) и сдвигаются одна вдоль другой (II 
модa). Экспериментально установлено существенное влияние даже небольших сдвигов на 
весьма значительное увеличение скорости роста трещин [2, 3] 
Согласно [4] определяющим  параметром  кинетики  устойчивого  развития 
усталостной  трещины  в  материале  конструкций  на  временном  интервале 
Δ
t,  равном 
периоду  нагружения,  являются  составляющие  размаха J-интеграла 
Δ
J  по I и II модам 
разрушения,  отражающие  энергозатраты  на  развитие  дефектности  материала  и 
рассматриваемые на основе формул: 
 
0
,
,
lim
,
,
1
1
2
2
1
2
1
2
1
→
Δ
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Δ
∂
Δ
−
Δ
=
Δ
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
−
±
Δ
±
=
Δ
∫
Δ
Μ
II
I
K
dГ
x
u
n
W
J
II
I
M
J
J
J
J
Г
k
j
j
ij
n
k
k
σ
                 (1) 
                                                                                                                     
где 
Г
Δ
 -  контур 
интегрирования, 
охватывающий 
вершину 
трещины; 
(
)
ij
ij
d
W
ε
σ
Δ
Δ
=
Δ
∫
0
 - плотность энергии деформирования на интервале 
Δ
t;    
Δ
u
i 
, 
Δ
ε
ij 
,
 
Δ
σ
ij 
(i, j = 1.2) - размахи вектора перемещения, тензоров деформации и напряжения 
в точках  Г
Δ
 на интервале 
Δ
t; х
1
,
  
х
2 
- оси декартовой  системы координат, причем ось х
1
 
направлена вдоль касательной к трещине: n
k
 (k = 1.2) - компоненты единичной внешней 
нормали в точках контура Г
Δ
. 
 
                                                   
2
1
2
2
)
 
J
(
II
I
J
J
Δ
+
Δ
=
Δ
                                                                                 
(2) 
 

Начало 
нестабильного 
роста 
трещины 
устанавливается 
с 
помощью 
двупараметрического критерия, отражающего общий хрупковязкий характер разрушения 
материала в условиях малоцикловой усталости [5, 6]. 
Кинетическое  уравнение  для  скорости  поциклового  роста  трещины  принимается  в 
виде   
                                 
)
)(
1
(
F
)
(
~
)
(
)
(
γ
λ
−
+
Δ
Δ
Κ
=
n
n
n
J
J
R
g
Cf
dN
dl
                                         (3) 
 
где 
(
)
E
R
K
J
th
9
,
0
2
)
0
(
1
−
≥
Δ
- условие страгивания; условия нестабильности 
 
,
1
)
1
(
2
2
≤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
Δ
n
B
fc
R
K
JE
σ
σ
    (4) 
 
уравнение  для  мгновенного    угла 
∗
ϑ
 
поворота  направляющего  вектора    трещины  в 
момент скачка 
                                               
Ι
ΙΙ
∗
Δ
Δ
=
=
J
J
arctg
/
,
λ
λ
ϑ
 
 
 
 
(5) 
 
Соотношение (3) позволяет  прогнозировать  направление  и  величину  скорости 
трещины усталости при различных значениях параметров 
 
Δ
 J = (
Δ
 J
I
 
2 
 +  
Δ
 J
II
 
2 
 )
1/2
 ,    
λ= 
Δ
J
II 
/ 
Δ
J
I
,     
                
 
Параметры соотношений (3) в своем большинстве  представляют хорошо известные 
характеристики  конструкционных  материалов.  Специфическими  параметрами  являются 
показатели  циклических  свойств  материала 
γ  и  функция  К  (
Δ
J),  характеризующая 
величину скачков трещины в процессе ее роста в зависимости от параметра 
Δ
J, которые 
определяются из базовых испытаний лабораторных образцов с трещиной. 
Зависимости скорости и роста усталостных трещин 
JE
dN
/
dl
Δ
−
 полученные на 
основе  уравнения (3) для  низколегированной  стали 09Г2С  при  отнулевом  циклическом 
нагружений  приведена  на  рисунке 1. Видно,  что  возрастание  абсолютной  величины 
λ 
приводит к ускорению роста трещины. Отношение скорости роста трещины при 
λ=0.04 к 
скорости роста трещины при отсутствии сдвига (
λ=0) составляет приблизительно 3,3, что 
согласуется с экспериментальными данными [7]. 
 

 
      Параметр нагружения, 
JE
Δ
, МПа·м
1/2
  
 
Рисунок 1 - Кинетическая диаграмма усталостного разрушения при смешанном  
(комбинированном) нагружений (I и II моды) стали 09Г2С 
 
Выводы 
На  основании  проведенного  анализа,  выявлено,  что  отношение  скорости  роста 
трещины  при 
λ=0.04 к  скорости  роста  трещины  при  отсутствии  сдвига  (λ=0)  составляет 
приблизительно 3,3, что согласуется с экспериментальными данными . 
 
ЛИТЕРАТУРА 
 
1.
 
 Биттибаев  С.М.,  Сейтказинов  О.Д.  Усталостная  долговечность  сварных  соединений. – 
Материалы VII Междун.  науч.  конф. «Проблемы  прочности  материалов  и  сооружений  на 
транспорте» - Санкт-Петербург, ПГУ ПС, 2004, с. 45-46.  
2.
 
Шевандин  Е.М.,  Разов  И.А.  Хладноломкость  и  предельная  пластичность  металлов  в 
судостроении. - Л.: Судостроение, 1965. - 336 с. 
3.
 
Школьник Л.М. Скорость роста трещин и  живучесть металла. - М.: Металлургия, 1973. - 
216 с. 
4.
 
Мокеева  Г.И.  Моделирование  развития  трещин  усталости  при  нагружении  смешанного 
типа // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1997. - № 6. - С. 53-58. 
5.
 
Биттибаев  С.М.,  Кажигулов  А.К.,  Жолдасов  Н.С.,  Сейтказинов  О.Д.  Комбинированный 
способ  повышения  прочностной  надежности  сварных  стыков  бесстыкового  пути. – Материалы 
Междун. научная конф. посв. 100 летию Г.М.Шахунянца – М.: МИИТ, 2004, с. IV-39. 
6.
 
147.Уэллс  А.А.  Влияние  остаточных  напряжений  на  хрупкое  разрушение //Разрушение./ 
Пер. с англ. т. IV. - М.: Машиностроение, 1997. - С.299-322.   
7. Ардентов В.В., Карзов Г.П., Леонов В.П., Марголин Б.З. Влияние остаточных сварочных 
напряжений  на  ресурс  конструкций  и  выбор  их  конструктивного  оформления //Остаточные 
технологические напряжения. М.: 1985. - С. 45-50. 
 
 
 
 
 
 

 
УДК 624.04. 539.03 
 
Достанова Cауле Хажигумаровна  -  т.д.ғ., профессор (Алматы, ҚККА) 
Оспанова Зере Канатовна -  оқытушы (Алматы, ҚККА) 
 
ПЛАСТИНАНЫ ЕСЕПТЕУ КЕЗІНДЕ ИІЛУДІҢ ƏР ТҮРЛІ ТЕОРИЯСЫН 
ҚОЛДАНУ 
 
Əртүрлі теорияны қолдану пластинаның геометриясына байланысты, дəлірек айтсақ 
оның қалындығының жоспардағы ең кіші өлшемінің қатынасына байланысты. Жұқа плита 
немесе  қатты  пластина  болып  бөлінеді.  Жұқа  плита  немесе  қатты  пластина,  иілмелі 
пластина  жəне  қалың  пластина    болып  бөлінеді.  Пластина  қалың  деп  айтамыз,  егер 
қалындығының  жоспардағы  ең  кіші  өлшеміне  қатынасы 0,2-ге  тең  асса.  Мұндай 
плиталардың кернеулі күйі серпімділік теориясы жалпы теңдеулермен анықталады .Жұқа 
плиталардың (қатты пластиналар) қалындығының басқа өлшеміне қатынасы 0,2-ге тең аз 
болады  жəне  олардын  орын  ауыстыру  шамасы  қалындықпен  салыстырғанда  аз.  Мұндай 
плиталардың кернеулі деформациялық күйі техникалық теориясымен анықталады.  
Иілмелі  пластиналар  қалындықтың  жоспардағы  өлшемдердін  қатынасттары  аз 
болуымен  сипатталады  жəне  орын  ауыстыру  шамасы    қалындықпен    салыстырғанда 
көптігімен сипатталады, бұл өз кезегінде пластинаның кернеулі күйіне  үлкен əсер ететін  
бойлық  күштің пайда болуына  алып келеді.  
Əр түрлі теорияны қолданып  пластинаның тепе-теңдіқ теңдеуін  қарастырайық [1-3]. 
Келесіде  пластинаның  қаттылық  қабырғасының,  іргелес  плиталардың  контур 
элемеңттермен  түйісу  сызығы  бойынша  жəне  плиталардың  көтергіш  қабырғаларымен, 
бағаналарымен  жəне  топырақты    негіздегі  өзара    əрекеттесуін    реактивті  күштермен, 
моменттермен  ауыстырамыз [2]. 
       Жанамалы  көлденең  кернеулерді  ескере  отырып  пластинаның  иілу  теориясын 
қарастырайық. Тепе–теңдік теңдеуін шығарған кезде келесі гипотезалар қабылданды[1]  : 
1.
 
Тік сызықты элемент (пластинаның орташа жазықтығына деформация дейін 
нормалды  элемент)  деформация  кезінде  қисаяды.  Пластинаның  қалындығы  бойынша 
жылжуы парабола заңымен өзгереді. 
2.
 
Пластинаның  кернеулік  күйі  жалпыланған  жазық  кернеулік  күйіде  болады. 
Иілу, бұралу моменттерімен, көлденең күштер жүйесімен жуықтаймыз. 
3.
 
Бұл  гипотезалар  жанамалы  көлденең  кернеулерді  Гук  заңының  көмегімен  
деформация  арқылы  анықтауға    мүмкіндік  береді  жəне  де  тікелей  толық  тұтастық 
теңдеулерді канағаттандырады. 
               Қалындығы h пластина q (x,y) бетте таралған көлденең жүктеменің, контуры 
бойынша июші моменттің M
n
 , бұралу моменттің  M
nt
, көлденең күштердің  Q
n 
 əсерінде 
болады.  Тік  бұрышты  координаталар  жүйесінде  х,у  жазықтығы  пластинаның  орташа 
жазықтығына  сəйкес келеді; z- осі  астыға бағытталған, u,v,w арқылы кез келген нүктенің 
(x,y,z) осьтеріндегі бағыты бойынша орын ауыстыру компоненттелер белгіленген.Оларды 
келесі түрде аламыз [1]:       
                             
),
,
(
)
,
,
(
,
3
4
)
,
,
(
,
3
4
)
,
,
(
0
2
3
0
2
3
y
x
w
z
y
x
w
G
h
z
z
z
y
x
v
G
h
z
z
z
y
x
u
yz
y
xz
x
=
−
−
=
−
−
=
τ
θ
τ
θ
                                                        (1) 
мұнда 
τ
0
xz
 =  
τ  
xz
(x,y,0),   
τ
0
yz
=
τ
yz
(x,y,0) - пластинаның  орташа  жазықтығындағы 
жанама кернеулер; орташа жазықтықтағы элементтің бұралу бұрышы мынаған тең. 

      
0
0
)
(
,
)
(
=
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
z
y
z
x
z
v
z
u
θ
θ
                                            (2) 
 
         Жылжуды  ескере  отырып,  бұралу  бұрыштар    нормалдың  орташа  жазықтыққа 
бұралу    бұрышынан    жəне  орташа  жазықтықтағы  жылжу  бұрыштарынан  құралады, 
оларды келесі түрде алуға болады: 
 
G
y
w
G
x
w
yz
y
xz
x
0
0
,
τ
θ
τ
θ
−
∂
∂
=
−
∂
∂
=
                                              (3) 
    мунда 
τ
0
xz
 , 
τ
0
yz
 - жылжуды  ескергендегі    орташа  жазықтықтағы  жанама 
кернеулер ,  G –жылжу модулі , W- плитаның орташа жазықтыққа нормаль бойынша орын 
ауыстыруы,  ал  жанама  көлденең  кернеулер  жəне  жылжулар  плитаның  қалындығы 
бойынша парабола заңымен өзгереді.  Жанама көлденең кернеулер пластинаның жоғарғы 
жəне  төменгі  шекаралық z=±
 
h/2  беттерінде  нольге  айналады  жəне  орташа  жазықтықта 
жоғарғы мəнге ие болады. Орташа жазықтыққа деформация дейін нормалды тік сызықты 
элемеңттер  деформация  кезінде  қисаяды,  бірақ  пластинаның  жоғарғы  жəне  төменгі 
шекара  беттеріне  нормалды  болып  қала  береді.  Ең  үлкен  қисаю  дəрежесі  нейтралді 
қабатқа жақын тұрған элемент бөлігіне сəйкес келеді.  
              Бұралмалы  жəне  сызық    инерция  күштерін  ескере  отырып,  пластинаның 
көлденең тербелісінің деформациялық теңдеулері келесі түрге ие болады [1]: 
 
     
.
0
,
0
,
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
−
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
−
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
t
t
I
Q
x
M
y
M
t
t
I
Q
y
M
x
M
q
t
w
m
y
Q
x
Q
y
y
y
x
y
x
x
y
x
x
y
x
ρ
ρ
                                              (4) 
 
Мұнда  Q
x
 ,Q
y
, M
x,, 
M
y, 
M
xy
 - сəйкесінше  көлденең  күштер,  иілу  моменттер,  бұралу 
моменті; 
w-  плитаның  нормаль бойынша  орташа  жазықтыққа  орын  ауыстыруы; I – қиманың 
инерция  моменті;  р-  материалдың  тығыздығы; t - жылжуды  ескере  отырып  қиманың 
бұралу бүрышы; m-бірлік көлем массасы, q- пластинаның беттіндегі нормалды жүктеме. 
Коши  тəуелділігін  қолдана  отырып,  тұрақты  коэффициенттерімен  жеке  туынды 
дифференциалдық сызықтық теңдеулерінің жүйесі болып шығады, осыдан белгісіздер w, 
θ
х
,  θ
у
,  функцияларды  табуға  болады.  Жылжуды  ескере  отырып,  пластинаның 
тербелісіндегі теңдеулерді келесі түрге келтіруге болады [1] : 
 
[
]
)
,
(
2
3
1
1
2
y
x
q
h
G
w
y
x
n
y
x
=
∇
−
∂
∂
+
∂
∂
θ
θ
 
)
,
,
(
)
(
6
5
)
(
4
1
)
(
2
)
1
(
1
1
1
2
2
z
y
x
q
x
w
D
G
h
w
x
y
x
y
x
x
x
y
x
+
∂
∂
−
=
∇
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
+
∇
θ
θ
θ
ν
θ
 
    
)
,
,
(
)
(
6
5
)
(
4
1
)
(
2
)
1
(
1
1
1
2
2
z
y
x
q
y
w
D
G
h
w
y
x
y
x
y
y
y
x
y
+
∂
∂
−
=
∇
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
+
∇
θ
θ
θ
ν
θ
 
      (5) 
 
Мұнда  оң  жақта q(x,y,t) –бұралмалы  жəне  сызықты  инерциялық  күштерді 
ескергендегі сыртқы жүктеменің құраушылары. Егер пластинаның контурына нормалдың 
бағытын n арқылы  белгілесе,  ал  жанаманы  t деп  белгілесе,  онда  шекаралық  шарттарды 
келесі түрде жазуға болады: 

      1. Еркін тіркеленген контуры: :      w=0,  M
n
 =0,  M
nt
 =0. 
      2. Топсалы бекітілген контуры: w=0,  θ
t
 =0,  M
n
 =0. 
      3. Еркін кыстырылған контуры: w=0,   θ 
n
 =0,  M 
nt
 =0. 
      4. Қатты кыстырылған контуры: w=0,  θ,
n
 =0,  θ 
t
 =0. 
      5. Кернеудің еркін контуры: M
n
 =0,  M
nt
 =0,  Q
 n
 =0. 
Тікбұрышты пластинаның n,t индексін  x,y –ке ауыстыру керек. Пластинаның жалпы 
теориясы  техникалық  теорияға  сай  келеді.  Егер  пластинаның  жоғарғы  жəне  төменгі 
беттері  бойынша  жанама  кернеулер  əсер  етсе,  Кирхгоф – Лява    теңдеулерін  анықтау 
болады [2]. 
Қос  күш  арқылы  иілу  кезіндегі    соңғыларды  ескеруге  болады,  бұлар  пластинаның 
беттері  бойынша  жанама  күштер    арақашықтыққа  көбейткенге  тең  болады,  ал 
пластинаның арақашықтық қалындығының жартысына тең. Техникалық теория негізінде 
[3-4] бастапқы теңдеулер орнына келесіні аламыз: 
 
w
D
2
2
Δ
Δ
-(P
3
 +
y
m
x
m
y
x
∂
∂
+
∂
∂
) =0,                                           (6) 
Мүнда w-нормалды  орын  ауыстыруы; D-цилиндрдің  қаттылығы;  E-плитаның 
серпімділік модулі; h-плитаның қалыңдығы; m
x
,m
y
- сыртқы бойлық өлшемдегі моменттер. 
Шекаралык шарттар алдынғыға сəйкес келеді. 
Пластинаның  қабырғалардың  əсерін  түйісу  сызықтарының  бойымен  беттерге 
түсірілген реактивті күштердің жəне моменттердің эквиваленттік жүйесіне ауыстырамыз 
[2] 
 
,
2
2
4
4
4
2
2
2
y
x
K
EJ
y
y
x
M
y
M
q
j
j
xy
j
j
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
ω
ω
 
,
2
2
4
4
4
2
2
2
y
x
K
EJ
x
y
x
M
x
M
q
i
i
xy
i
i
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
ω
ω
 
( )
3
3
x
Eh
x
N
Р
i
i
i
i
х
∂
∂
−
=
∂
∂
=
ω
η
,
( )
2
)
(
0
h
P
m
i
x
i
x
=
,                                     (7)    
( )
3
3
y
Eh
y
N
Р
j
j
j
j
y
∂
∂
−
=
∂
∂
=
ω
η
, 
( )
2
)
(
0
h
P
m
j
y
j
y
=
, 
  Мұнда  EIi,EI
j
- i,j бағытындағы қабырғаның иілу қаттылығы. 
 Егер  q
xi
,q
xj
,P
xi
,P
yi
,m
x
m
y
  плитаның  бетінде  x=b
i
, x=a
j
  сызықтары  бойынша  таралған 
болса, онда жүктеме функциясы келесі түрге ие болады: 
 
q
j
=q
j
 δ(х-a
j
) ,    q
i
=q
i
 δ(у-b
i
),     (р
х
)
i
=(р
x
)
i
 δ(y-b
i
),     (p
y
)
j
=(p
y
)
j
 δ(x-a
j
), 
 
(m
y
)
j
=(p
y
)
j
h
0
δ(х-а
j
)/2,(m
x
)
i
=(p
x
)
i
h
0
δ(у-b
i
)/2.                                        (8)      
      
         Осы  факторларды  ескере  отырып, 7 жəне 8 теңдеулер  сияқты  пластинамен 
тіректі элементің түйісу сызығы бойындағы күштердің нормалді құраушысы (8) түріне ие 
болады,  мұнда    h
0
-  контурлы  арқалық  материалымен,  контур  элементтердің    іргелес 
пластиналарының түйісу сызығы бойынша сəйкесінше биіктігі мен  меншікті салмағы.  
Пластинаның орталық жазықтығына көше отырып, толық сыртқы жанама  жəне 
нормалдік əрекеттер, сонымен катар сыртқы  моменттер келесі функцияларға ие болады. 

( )
∑
∑
=
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
−
=
−
−
=
m
i
i
i
i
i
m
i
i
x
b
y
x
Eh
P
b
y
P
P
P
1
3
3
0
1
1
0
1
1
)
(
)
(
δ
ω
η
δ
( )
∑
∑
=
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
−
=
−
−
=
n
j
j
j
j
j
n
j
j
y
a
x
y
Eh
P
a
x
P
P
P
1
3
3
0
2
1
0
2
2
)
(
)
(
δ
ω
η
δ
∑
∑
∑
=
=
=
+
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
=
−
+
−
−
=
n
j
j
n
j
j
j
i
m
i
i
EJ
y
P
a
x
q
b
y
q
P
P
1
4
4
0
3
1
1
0
3
3
)
(
)
(
ω
δ
δ
 
+
⎥
⎦
⎤
∂
∂
∂
2
2
4
y
x
K
j
ω
)
(
j
a
x
−
δ
∑
=
⎥
⎦
⎤
∂
∂
∂
+
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
m
i
i
i
y
x
K
EJ
x
1
2
2
4
4
4
ω
ω
)
(
i
b
y
−
δ
           (9) 
( )
)
(
2
)
(
)
(
1
0
1
i
m
i
i
x
i
m
i
i
x
x
b
y
h
P
b
y
m
m
−
−
=
−
−
=
∑
∑
=
=
δ
δ
 
( )
)
(
2
)
(
)
(
1
0
1
j
n
j
j
y
j
n
j
j
y
y
a
x
h
P
a
x
m
m
−
−
=
−
−
=
∑
∑
=
=
δ
δ
 
         Мұнда 
0
3
0
2
0
1
,
,
P
P
P
-  пластинаның  орташа  жазықтығында  əсер  етіп  отыратын 
сыртқы  жүктеменің x,y,z    осі  бағытындағы  компоненттері;  ал  қосынды  астындағы 
қосындалары  қабырғаларымен  іргелес  плитананың  түйісу  сызығы  бойынша  реактивті 
күштерін жəне моменттерін анықтайды; 
 
m - x-осі  бағытындағы  қабырғаларының  саны, n - y-осі  бағытындағы 
қабырғаларының саны.  
Пластина  мен  контурлы  элементтердің  деформациядағы  тұтастық  шарттары  келесі 
түрде болады [8]: 
ω
ω
=
к
 
x
u
u
к
∂
∂
+
=
ω
η
1
 
ω
ω
=
к
 
y
v
v
к
∂
∂
+
=
ω
η
2
                                                                                                  
Оң  жақтағы 
η
  контурлық  арқалықтың  (қабырғалардың)  пластинаның  орташа 
жазықтығына эксцентриситеті болады.  
Контурлық  элементтегі  иілу,  бұралу  жəне  ұзару (кысылу) деформацияларын  ескере 
отырып, ұқсастық бойынша плитамен контурлық элементтердің түйісу сызығы бойынша 
əсерін реактивті жанама мен нормалді күштерге жəне реактивті моменттерге ауыстыруға 
болады. Сонда плитаның орташа жазықтығына əсер ететін толық сыртқы жүктеме  келесі 
түрге ие болады. 
(
)
(
)
−
−
⎥
⎦
⎤
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
−
−
⎥
⎦
⎤
∂
∂
∂
−
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
−
=
b
y
y
x
w
K
y
w
EJ
к
EJ
y
w
y
y
x
w
K
EJ
y
w
Р
Р
δ
δ
2
2
4
1
2
2
1
2
2
1
4
4
2
2
4
1
1
4
4
0
3
3
0
 
 
(
)
(
)
a
x
y
x
w
K
J
E
x
w
x
y
x
w
K
EJ
x
w
−
⎥
⎦
⎤
∂
∂
∂
−
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
−
−
⎥
⎦
⎤
∂
∂
∂
−
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
−
δ
δ
2
2
4
2
2
4
4
2
2
4
2
2
4
4
0
 
у=0, у=b 
х=0, х=а 

)
(
)
0
(
3
3
1
1
3
3
1
1
0
1
1
b
y
x
w
h
E
y
x
w
h
E
P
P
−
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
∂
∂
−
−
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
∂
∂
−
=
δ
η
δ
η
 
( )
}
⎥
⎥
⎦
⎤
−
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
∂
∂
+
−
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
∂
∂
=
)
(
)
0
(
2
3
3
1
1
3
3
1
1
0
b
y
x
w
h
E
y
x
w
h
E
h
m
i
x
δ
η
δ
η
 
)
(
)
0
(
3
3
2
2
3
3
2
2
0
2
2
a
x
y
w
Eh
x
y
w
Eh
P
P
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
−
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
∂
∂
−
=
δ
η
δ
η
 
( )
2
0
h
m
j
y
=
+
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
∂
∂
)
0
(
3
3
2
2
x
y
w
Eh
δ
η
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
∂
∂
)
(
3
3
2
2
a
x
y
w
Eh
δ
η
              (10) 
 
  Мұнда      EI
1
,EI
2
-  иілу  қаттылығы;  K
1
,K
2
-  бұралу  қаттылығы; 
2
1
,
η
η
-  сəйкесінше 
эксцентриситеттер;  h
1
,h
2
- контурлык элементтердің қимасының биіктігі; 
Жабық  плиталарын  жобалау  кезінде  цилиндрлік  панельдер  мен    плиталарды 
қолданады,  бұлардың  түйісу  сызығы  бойында  сынықтар  болуы  мүмкін.  Мұндай 
сынықтардың ықпалы Хевисайд бірлік функция көмегімен шешіледі.Іргелес плиталардың 
түйісу бойынша бірлестік шартты орын ауыстыруы теңдеумен жазылады жəне плитаның 
контур элементтінің түйісу бойынша бірлестік шартты (8) тəуелділікпен жазылады. 

жүктеу/скачать 5,71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: