Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики

 

83 

 

Доказательство. 

Сечение  пирамиды  плоскостью  параллельной  основанию,  подобно 

основанию. (Рис. 1) 

Если 

плоскость 

проходит 

на 

расстоянии 

?????? 

от 

вершины, 

то 

коэффициент подобия равен 

??????

??????

.  

Чему  равна  площадь  сечения  такой 

плоскостью? 

 

 

Площадь  сечения 

??????(??????)  такой  плоскостью  равна  ??????(??????) = (

??????

??????

)

2

∙ ??????,  где  ??????  – 

площадь основания произвольной пирамиды. 

?????? и ??????  –  постоянные  для  данной  пирамиды.  Какой  вид  будет  иметь 

уравнение 

??????

′

(??????) = ??????(??????) для объема пирамиды? 

Это уравнение имеет следующий вид: 

??????

′

(??????) = ????????????

2

, где 

?????? =

??????

??????

2

. 

Как будет выглядеть функция 

??????(??????), если ее производная равна ????????????

2

?  

Функция 

??????(??????), производная которой равна ????????????

2

, имеет вид: 

??????(??????) =

1

3

 ????????????

3

+ ??????. 

Воспользовавшись тем, что 

??????(0) = 0, получим: 

0 =

1

3

с ∙ 0 + ??????, 

т. е. 

?????? = 0. При ?????? = 0, какой вид имеет функция ??????(??????)? 

??????(??????) =

1

3

????????????

3

. Отсюда найдите объем произвольной пирамиды. 

?????? = ??????(??????) =

1

3

????????????

3

=

1

3

∙

??????

??????

2

∙ ??????

3

=

1

3

????????????. 

Теорема доказана. 

Есть ли вопросы по доказательству теоремы? 

4.

 

Закрепление изученного материала. 

Рисунок 1 

84 

 

Обратите внимание на экран. Здесь представлены динамические чертежи 

пирамиды и призмы.  

Задание. 

Известно,  что  площадь  сечения  пирамиды  параллельного  плоскости 

основания,  равна 

??????

1

=1,  и  площадь  сечения  призмы  также  параллельного 

плоскости основания 

??????

2

= 4. Найдите объем пирамиды и призмы. 

Достаточно  ли  вам  данных?  Что  вы  видите  слева,  в  окне  программы? 

Слева в окне программы представлены данные о фигурах. Здесь вы можете 

увидеть  координаты  всех  точек,  уравнения  прямых  и  площади 

многоугольников,  составляющих  пирамиду  и  призму.  Поможет  ли  вам  эта 

информация  при  нахождении  объема  фигуры?  (Нужно  найти  расстояние  от 

плоскости  основания  до  плоскости  сечения  и  высоту  пирамиды.  Затем 

вычислить  коэффициент  подобия  и  найти  площадь  основания  пирамиды, 

после  чего  можно  найти  объем  пирамиды.  Для  нахождения  объема  призмы 

нужно найти ее высоту.) 

Все справились с заданием? 

Теперь открываем учебники и решаем задачу № 27.19 (а, б). 

№27.19 (а, б) 

Вычислите  объем  треугольной  пирамиды 

????????????????????????,  у  которой  все  ребра 

основания 

??????????????????  равны  2,  ребро  ???????????? = 3  и  при  этом:  а)  ??????  проектируется  в 

точку 

??????; б) ?????? проектируется в середину ребра ????????????. 

Решение №27.19 (а). 

Т.к. 

?????? - проекция точки ??????, значит, ????????????┴(??????????????????), 

???????????? - высота пирамиды ????????????????????????.  

Рассмотрим 

∆ ??????????????????.  Он  прямоугольный,  т.к. 

????????????┴(??????????????????).  По  теореме  Пифагора  найдем  ????????????. 

???????????? = 2, ???????????? = 3, тогда:  

???????????? = √3

2

− 2

2

= √5. 

Найдем  площадь  основания,  т.е.  площадь 

Рисунок 1 

85 

 

∆ ?????????????????? по формуле Герона: 

?????? =

?????? + ?????? + ??????

2

=

2 + 2 + 2

2

= 3, 

?????? = √??????(?????? − ??????)(?????? − ??????)(?????? − ??????) = √3(3 − 2)

3

= √3. 

Найдем объем пирамиды 

?????? =

1

3

?????? ∙ ????????????: 

?????? =

1

3

∙ √3 ∙ √5 =

√15

3

. 

 

Решение №27.19 (б). 

Пусть  точка 

??????  середина  ????????????,  т.к.  ??????  -  проекция 

точки 

??????, значит, ????????????┴(??????????????????), ???????????? - высота пирамиды 

????????????????????????.  Так  как  ∆ ??????????????????  –  равносторонний,  то  ????????????  - 

является биссектрисой (по условию) и высотой. 

Найдем 

????????????: 

???????????? = √2

2

− 1

2

= √3. 

Рассмотрим 

∆ ?????????????????? - он прямоугольный. Найдем 

???????????? по теореме Пифагора: 

???????????? = √3

2

− √3

2

= √6. 

Площадь 

∆ ?????????????????? находили в предыдущем пункте, ?????? = √3. 

Найдем объем пирамиды 

????????????????????????: 

?????? =

1

3

?????? ∙ ???????????? =

1

3

∙ √3 ∙ √6 = √2. 

Ответ: а) 

√15

3

, б) 

√2. 

5.

 

Рефлексия. 

Что  нового  вы  сегодня  узнали  на  уроке?  Чему  научились?  Все  ли  было 

понятно? 

Сейчас  вам  необходимо  выполнить  проверочную  работу,  которая 

покажет: насколько хорошо вами был усвоен материал урока. 

 

Рисунок 2 

86 

 

Проверочная работа 

1.

 

На ребре пирамиды дана точка. Через эту точку параллельно плоскости 

основания проходит сечение. Докажите, что объем пирамиды равен 

?????? =

????????????

3

3??????

2

, 

если  площадь  сечения  равна

 ??????,  высота  пирамиды  –  ??????,  расстояние  между 

плоскостью сечения и плоскостью основания – 

??????. 

2.

 

На ребре пирамиды дана точка. Через эту точку параллельно плоскости 

основания  проходит  сечение.  Докажите,  что  объем  части  пирамиды, 

заключенный  между  плоскостью  сечения  и  плоскостью  основания  равен 

?????? =

??????(??????

3

−??????

2

??????+??????

3

)

3??????

2

,  если  площадь  сечения  равна

 ??????,  высота  пирамиды  –  ??????, 

расстояние между плоскостью сечения и плоскостью основания – 

??????. 

8.

 

Домашнее задание. 

Пункт 27.2. № 27.19 (в, г, д), №27.23. 

Спасибо за урок, до свидания! 

 

 

87 

 

Заключительный лист 

 

 

Подпись автора_______________________  

Дата_________________________________  

 

 

 

 

 

Квалификационная работа допущена к защите  

Назначен рецензент  

__________________________________________________________________ 

(фамилия, имя, отчество, ученая степень, ученое звание) 

 

Заведующий кафедрой ____________________ Л.Р. Шакирова  

Дата ____________________________________  

 

 

Защита в ГАК с оценкой «________________» 

Дата ________________  

Секретарь ГАК _________