Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики
Пирамида: тетраэдр, произвольная пирамида
жүктеу/скачать 0,88 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3.4. Экспериментальная работа и ее анализ
- Заключение Целью
- Рассмотрены различия между традиционным и интерактивным подходами при изучении темы «Объемы многогранников»
- Изложены методические рекомендации к использованию
- Проведено исследование зависимости уровня математических знаний учащихся от использования интерактивных технологий на
3.2.2. Пирамида: тетраэдр, произвольная пирамида Для изучения объема пирамиды будем использовать подход отличный от применяемого к введению объема призмы. Теорема о зависимости объема тела от площади его сечения была введена ранее, поэтому на данном этапе ее необходимо актуализировать. Актуализацию можно провести следующим образом. Класс делится на группы, также как это было при решении задач (три ряда по два варианта). И каждая группа, доказывает теорему о зависимости объема тела от площади сечения. Та группа, которая справилась с заданием быстрее, озвучивает оказательство теоремы для всего класса. Затем на основе умений полученных при доказательстве теоремы об объеме произвольной призмы предоставить учащимся возможность вывести
56
формулу для объема треугольной пирамиды самостоятельно. В качестве чертежа предложить динамический чертеж (Приложение 9). При возникновении затруднений учитель берет инициативу в свои руки. Благодаря динамическому чертежу (Приложение 9), при перемещении плоскости сечения, можно заметить, что любое сечение, проведенное через точку, лежащую на ребре тетраэдра параллельно основанию, будет треугольником подобным треугольнику, лежащему в основании тетраэдра. После доказательства теоремы об объеме частного случая пирамиды следует приступить к доказательству теоремы об объеме произвольной пирамиды. Эту теорему ученики смогут доказать самостоятельно, на основе уже доказанной Теоремы 5. Перед доказательством целесообразно обсудить то, что в основании пирамиды может лежать любой выпуклый многоугольник и для общности доказательства следует обозначить площадь основания и придать ему значение ??????.
После доказательства теоремы учащимся необходимо выполнить следующее задание. На экране представлены трехмерные чертежи призмы и пирамиды (Приложение 12).
плоскости основания, равна ?????? 1
параллельного плоскости основания ??????
2 = 4. Найдите объем пирамиды и призмы. Прочитав задание, учитель задает следующие наводящие вопросы: Достаточно ли данных? Что вы видите слева, в окне программы? Слева в окне программы представлены данные о фигурах. Здесь вы можете увидеть координаты всех точек, уравнения прямых и площади многоугольников, составляющих пирамиду и призму. Поможет ли вам эта информация при нахождении объема фигуры? При этом алгоритм, по которому должны действовать учащиеся при вычислении объема пирамиды, выглядит так:
57
1. Нужно найти расстояние от плоскости основания до плоскости сечения; 2. Нужно найти высоту пирамиды; 3. Вычислить коэффициент подобия; 4. Найти площадь основания пирамиды; 5. Найти объем пирамиды. Для нахождения объема призмы нужно: 1. Найти ее высоту; 2. Найти объем призмы. Данное задание предназначено для закрепления формул нахождения объемов пирамиды и призмы. Если есть возможность работы на компьютере, то ученикам следует предложить самим поработать с динамическими чертежами, перемещая их площади сечений и изменяя начальные параметры, которые задают многогранник (площадь основания, высота и т.д.). Далее ученикам необходимо выполнить проверочную работу. Проверочная работа 1.
основания проходит сечение. Докажите, что объем пирамиды равен ?????? =
???????????? 3 3?????? 2 , если площадь сечения равна ??????, высота пирамиды – ??????, расстояние между плоскостью сечения и плоскостью основания – ??????. 2.
На ребре пирамиды дана точка. Через эту точку параллельно плоскости основания проходит сечение. Докажите, что объем части пирамиды, заключенный между плоскостью сечения и плоскостью основания равен ?????? =
??????(?????? 3 −?????? 2 ??????+?????? 3 )
2 , если площадь сечения равна ??????, высота пирамиды – ??????, расстояние между плоскостью сечения и плоскостью основания – ??????. Выполнение представленной проверочной работы способствует закреплению навыка применения интегрированного метода при решении некоторого вида задач на доказательство. 58
Затем следует изучение объема усеченной пирамиды. Пропедевтика изучения объема усеченной пирамиды была проведена ранее. В проверочной работе была предложена задача на доказательство формулы, по которой находится часть пирамиды, ограниченная плоскостью сечения, параллельной основанию пирамиды. Учащимся следует предложить эту задачу снова. Учащиеся доказывают данную формулу у доски. Затем учитель, опираясь на задачу, вводит определение усеченной пирамиды и предлагает доказать формулу иным, более традиционным, способом: Дано:
?????? – площадь нижнего основания, ?????? 1 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды, ℎ – высота усеченной пирамиды. Доказать: ??????
у.п. = 1 3 ℎ(?????? + ?????? 1 + √S?????? 1 ).
Доказательство: объем усеченной пирамиды рассматриваем как разность объемов полной пирамиды и той, что отсечена от нее плоскостью, параллельной основанию. По условию ℎ – высота усеченной пирамиды, тогда (ℎ + ??????) – высота полной пирамиды. Поэтому ??????
у.п. = 1 3 ??????(ℎ + ??????) − 1 3
1 ?????? =
1 3 ??????ℎ + 1 3 (?????? − ?????? 1 )?????? (1). Из равенства ??????
?????? 1 = (ℎ+??????) 2 ?????? 2 находим ?????? = ℎ√??????
1
√S −√?????? 1
. Подставим это выражение для ??????
в формулу (1), ??????
у.п. = 1 3 ??????ℎ + 1 3
1 ) ℎ√?????? 1
√S −√?????? 1
= 1 3 ??????ℎ + 1 3 (√S + √?????? 1 )ℎ√?????? 1 =
1 3 ??????ℎ + 1 3 ?????? 1 ℎ + +
1 3 ℎ√S?????? 1 =
1 3 ℎ(?????? + ?????? 1 + √S?????? 1 ). Теорема доказана. Затем следует решение задач на закрепление полученных знаний. На следующих уроках – уроках закрепления изученного материала – основное внимание необходимо уделять решению задач:
на нахождение элементов пирамиды по заданному объему. В качестве примера, предлагаем следующие задачи: 59
1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой равной ?????? и острым углом в 30 0 . Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45 0 . Найти объем пирамиды. 2. В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом
45 0 . Среднее по величине боковое ребро равно ??????. Найти объем пирамиды. 3. Определить объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если ее диагональ равна 18 см, а длины сторон оснований 10 см и 14 см. 4. В треугольной усеченной пирамиде высота равна 10 м, стороны одного основания – 27 м, 29 м и 52 м, а периметр другого основания равен 72 м. определить объем усеченной пирамиды. 5. Каждое боковое ребро четырехугольной пирамиды образует с высотой угол
??????. Основание пирамиды – прямоугольник с углом ?????? между диагоналями. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна ℎ. 6. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Боковые ребра пирамиды равны и их длины составляют 13 см. Найдите объем пирамиды. 7. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой равной ??????, и острым углом 30 0 . через гипотенузу нижнего основания и вершину прямого угла верхнего основания, проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол в 45 0
объем треугольной пирамиды, отсеченной от призмы плоскостью. Перед проведением контрольной работы необходимо провести урок обобщения и систематизации знаний по теме «Объемы многогранников». На данном уроке следует отказаться от групповой работы и предоставить возможность каждому ученику работать индивидуально. Изучение объемов многогранников завершается проведением контрольной работы, которая включает в себя следующие задания:
60
Контрольная работа I вариант. 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 6 см и образует с боковыми гранями углы 30 0 и 45 0 . Найдите объем параллелепипеда. 2. Основание призмы прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и острым углом 30 0 . Боковая грань, содержащая катет противолежащий данному углу является квадратом и наклонена к плоскости основания под углом 45
. Найдите объем призмы. 3. Основание пирамиды – прямоугольник с меньшей стороной 5 см и углом между диагоналями 60 0 . Каждое боковое ребро равно 13 см. Найдите объем пирамиды. 4*. В наклонной треугольной призме площадь сечения, проходящего через середины боковых ребер, равна ??????. Боковое ребро имеет длину ?????? см и составляет с плоскостью основания угол 30 0
ограниченной сечением.
II вариант. 1. Диагональ боковой грани прямоугольного параллелепипеда равна 5√2
см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью этой грани угол 45 0 , а с плоскостью основания – 30 0
2. Основание призмы прямоугольный треугольник с острым углом 60 0 . Боковая грань, содержащая катет, прилежащий к данному углу, является квадратом с площадью 36 см 2 и образует с плоскостью основания угол 30 0 . Найдите объем призмы. 3. Основание пирамиды – прямоугольник с большей стороной 6√3 см и углом между диагоналями 120
0 . Каждое боковое ребро пирамиды равно 10 см. Найдите объем пирамиды. 4*. На ребре пирамиды дана точка. Через эту точку параллельно плоскости основания проходит сечение. Найдите объем части пирамиды,
61
заключенный между плоскостью сечения и плоскостью основания, если площадь сечения равна ??????, высота пирамиды – ??????, расстояние между плоскостью сечения и плоскостью основания – ??????.
Задание 4* является дополнительным, его выполнения оценивается отдельно. Вовремя изучения темы объемов многогранников следует предложить учащимся творческое задание. Используя программуGeoGebra создать свой динамический чертеж, на котором можно демонстрировать те или иные свойства многогранников их объемов. Данное задание оценивается дополнительно, так как изучение программы GeoGebra не является обязательным. При изучении темы «Объемы многогранников» использование интерактивных технологий и динамических чертежей не является целью обучения. Использование интерактивных технологий направлено на достижение наилучшего понимания и усвоения данной темы.
Нами был проведен эксперимент, который заключался в проведении четырех различных уроков в двух 11 классах. Два урока изучения нового материала на тему «Объем призмы», оставшиеся два урока – изучение нового материала на тему «Объем пирамиды». Преподавание одного из уроков каждой темы осуществлялось на основе традиционного подхода, а другого – на основе использования интерактивных технологий и динамических чертежей. Первыми были проведены уроки по изучению объема призмы. В первом случае была введена теорема об объеме наклонной призмы, во втором введению данной теоремы предшествовало введение теоремы о зависимости объема от площади сечения. При объяснении нового материала 62
в качестве наглядных средств, в первом случае, использовались обыкновенные чертежи, во втором случае – динамические чертежи. После проведения уроков, учащимся была предложена проверочная работа. 1. На ребре наклонной призмы дана точка. Через эту точку параллельно основанию проходит сечение, площадь которого ?????? = ?????? 2 . Расстояние между плоскостями оснований – ??????. Докажите, что объем призмы ?????? = ?????? 2 ??????.
2. В наклонной треугольной призме площадь сечения, проходящего через середины боковых ребер, равна ??????. Боковое ребро имеет длину ?????? см и составляет с плоскостью основания угол в 30 °
призмы, ограниченной сечением равен ?????? = ?????? ∙ ?????? 4
В эксперименте участвовало два класса: 11А и 11Б. У 11А – использовался традиционный подход, у 11Б – применялись интерактивные технологии. Для проведения анализа результатов было отобрано по 17 работ учащихся с одинаковым уровнем успеваемости из каждого класса. В классе, где при объяснении нового материала использовался учебник А.В. Погорелова, оба задания были выполнены верно у 14 учеников, трое учеников допустили ошибку во втором задании. В другом классе, где при объяснении нового материала использовался учебник А.Д. Александрова, первая задача была решена верно во всех семнадцати работах; вторая задача также была решена верно 16 учащимися (один ошибся). Этот
этап показал
положительные результаты применения интерактивных технологий при изучении темы «Объемы многогранников» и использования при этом динамических чертежей. На следующем этапе были проведены уроки на тему «Объем пирамиды». В первом случае, использовался традиционный подход, была введена теорема об объеме пирамиды (сначала треугольной, затем многоугольной), 63
во втором - введению данной теоремы предшествовала актуализация теоремы о зависимости объема от площади сечения. При объяснении нового материала в качестве наглядных средств, в первом случае также, использовались чертежи, во втором случае – динамические чертежи. Для закрепления изученного материала в первом случае были использованы задачи на нахождение объема пирамиды традиционного характера, во втором – традиционные задания были разбавлены задачами, основанными на использовании динамических чертежей. После проведения уроков, учащимся была предложена проверочная работа. 1. На ребре пирамиды дана точка. Через эту точку параллельно плоскости основания проходит сечение. Докажите, что объем пирамиды равен ?????? =
???????????? 3 3?????? 2 , если площадь сечения равна ??????, высота пирамиды – ??????, расстояние между плоскостью сечения и плоскостью основания – ??????. 2. На ребре пирамиды дана точка. Через эту точку параллельно плоскости основания проходит сечение. Докажите, что объем части пирамиды, заключенный между плоскостью сечения и плоскостью основания равен ?????? = ??????(?????? 3 −??????
2 ??????+?????? 3 )
2 , если площадь сечения равна ??????, высота пирамиды – ??????, расстояние между плоскостью сечения и плоскостью основания – ??????. В эксперименте участвовало два класса: 11А и 11Б. У 11А – использовался традиционный подход, у 11Б – использовались интерактивные технологии и динамические чертежи. Для проведения анализа результатов было отобрано, также как и на предыдущем этапе, по 17 работ учащихся с одинаковым уровнем успеваемости из каждого класса. В классе, где при объяснении нового материала использовался учебник А.В. Погорелова, оба задания были выполнены верно у 12 учеников, четверо учеников допустили ошибку во втором задании, один ученик – в первом. В другом классе, где при объяснении нового материала использовался учебник А.Д. Александрова и 64
интерактивные технологии, обе задачи были решены верно в 13 работах, двое учеников допустили ошибки в первом задании, двое учеников решили неверно вторую задачу. На данном этапе мы подтвердили результаты первого этапа и получили положительные результаты. На основании результатов проведенного эксперимента нами были сформированы следующие выводы:
учащиеся справились с проверочной работой;
Динамические чертежи, используемые на экспериментальном уроке, повысили познавательный интерес учащихся;
проведение серии уроков, в результате чего у учеников сформируется более прочные знания по изученной теме в частности, и по геометрии в целом;
использовании интерактивных технологий позволит учащимся решать не только традиционные геометрические задачи на вычисление объёмов, но и обобщенные задачи, более высокого уровня сложности.
65
Целью данной работы было рассмотрение методических рекомендаций к применению интерактивных технологий при изучении объемов многогранников, разработка динамических чертежей для изучения данной темы, проведение исследования зависимости степени усвоения учащимися материала от использования интерактивных технологий на уроках математики в старшей школе. В процессе выполнения исследования были выполнены следующие задачи: 1.
Описаны возможности интерактивных технологий обучения математике. Использование интерактивных технологий позволяет реализовать такие развивающие цели обучения, как развитие мышления (пространственного, алгоритмического, интуитивного, творческого, теоретического), развитие умений осуществлять экспериментально-исследовательскую деятельность (например, за счет
реализации возможностей компьютерного моделирования), формирование информационной культуры, умений осуществлять обработку информации. 2.
Рассмотрены различия между традиционным и интерактивным подходами при изучении темы «Объемы многогранников» Рассмотрены особенности традиционного и интерактивного подходов при обучении теме «Объемы многогранники», выделены их преимущества и недостатки. В Приложении 2 представлены характерные черты традиционного и интерактивного подходов при изучении темы. 3.
Изложены методические рекомендации к использованию интерактивных технологий при изучении объемов многогранников. Систематизированы методические рекомендации к изучению объемов многогранников с использованием интерактивных технологий. Приведены
66
задания для наилучшего усвоения данной темы, а также рекомендации к использованию динамических чертежей. 4.
Проведено исследование зависимости уровня математических знаний учащихся от использования интерактивных технологий на уроках математики. Разработаны и проведены традиционные уроки и уроки с использованием интерактивных технологий, при объяснении нового материала на этих уроках использовались динамические чертежи. Результаты проведенного эксперимента показали, что учащиеся экспериментальной группы, при обучении которой были использованы интерактивные технологии, усвоили новый материал лучше, также было отмечено повышение познавательной активности при использовании динамических чертежей. Результаты нашего исследования были представлены на Итоговой научно-практической конференции студентов 2015 г. В приложениях представлены сравнительные таблицы, планы-конспекты экспериментальных уроков и динамические чертежи к урокам.
|