83
Доказательство.
Сечение пирамиды плоскостью параллельной основанию, подобно
основанию. (Рис. 1)
Если
плоскость
проходит
на
расстоянии
??????
от
вершины,
то
коэффициент подобия равен
??????
??????
.
Чему равна площадь сечения такой
плоскостью?
Площадь сечения
??????(??????) такой плоскостью равна ??????(??????) = (
??????
??????
)
2
∙ ??????, где ?????? –
площадь основания произвольной пирамиды.
?????? и ?????? – постоянные для данной пирамиды. Какой вид будет иметь
уравнение
??????
′
(??????) = ??????(??????) для объема пирамиды?
Это уравнение имеет следующий вид:
??????
′
(??????) = ????????????
2
, где
?????? =
??????
??????
2
.
Как будет выглядеть функция
??????(??????), если ее производная равна ????????????
2
?
Функция
??????(??????), производная которой равна ????????????
2
, имеет вид:
??????(??????) =
1
3
????????????
3
+ ??????.
Воспользовавшись тем, что
??????(0) = 0, получим:
0 =
1
3
с ∙ 0 + ??????,
т. е.
?????? = 0. При ?????? = 0, какой вид имеет функция ??????(??????)?
??????(??????) =
1
3
????????????
3
. Отсюда найдите объем произвольной пирамиды.
?????? = ??????(??????) =
1
3
????????????
3
=
1
3
∙
??????
??????
2
∙ ??????
3
=
1
3
????????????.
Теорема доказана.
Есть ли вопросы по доказательству теоремы?
4.
Закрепление изученного материала.
Рисунок 1
84
Обратите внимание на экран. Здесь представлены динамические чертежи
пирамиды и призмы.
Задание.
Известно, что площадь сечения пирамиды параллельного плоскости
основания, равна
??????
1
=1, и площадь сечения призмы также параллельного
плоскости основания
??????
2
= 4. Найдите объем пирамиды и призмы.
Достаточно ли вам данных? Что вы видите слева, в окне программы?
Слева в окне программы представлены данные о фигурах. Здесь вы можете
увидеть координаты всех точек, уравнения прямых и площади
многоугольников, составляющих пирамиду и призму. Поможет ли вам эта
информация при нахождении объема фигуры? (Нужно найти расстояние от
плоскости основания до плоскости сечения и высоту пирамиды. Затем
вычислить коэффициент подобия и найти площадь основания пирамиды,
после чего можно найти объем пирамиды. Для нахождения объема призмы
нужно найти ее высоту.)
Все справились с заданием?
Теперь открываем учебники и решаем задачу № 27.19 (а, б).
№27.19 (а, б)
Вычислите объем треугольной пирамиды
????????????????????????, у которой все ребра
основания
?????????????????? равны 2, ребро ???????????? = 3 и при этом: а) ?????? проектируется в
точку
??????; б) ?????? проектируется в середину ребра ????????????.
Решение №27.19 (а).
Т.к.
?????? - проекция точки ??????, значит, ????????????┴(??????????????????),
???????????? - высота пирамиды ????????????????????????.
Рассмотрим
∆ ??????????????????. Он прямоугольный, т.к.
????????????┴(??????????????????). По теореме Пифагора найдем ????????????.
???????????? = 2, ???????????? = 3, тогда:
???????????? = √3
2
− 2
2
= √5.
Найдем площадь основания, т.е. площадь
Рисунок 1
85
∆ ?????????????????? по формуле Герона:
?????? =
?????? + ?????? + ??????
2
=
2 + 2 + 2
2
= 3,
?????? = √??????(?????? − ??????)(?????? − ??????)(?????? − ??????) = √3(3 − 2)
3
= √3.
Найдем объем пирамиды
?????? =
1
3
?????? ∙ ????????????:
?????? =
1
3
∙ √3 ∙ √5 =
√15
3
.
Решение №27.19 (б).
Пусть точка
?????? середина ????????????, т.к. ?????? - проекция
точки
??????, значит, ????????????┴(??????????????????), ???????????? - высота пирамиды
????????????????????????. Так как ∆ ?????????????????? – равносторонний, то ???????????? -
является биссектрисой (по условию) и высотой.
Найдем
????????????:
???????????? = √2
2
− 1
2
= √3.
Рассмотрим
∆ ?????????????????? - он прямоугольный. Найдем
???????????? по теореме Пифагора:
???????????? = √3
2
− √3
2
= √6.
Площадь
∆ ?????????????????? находили в предыдущем пункте, ?????? = √3.
Найдем объем пирамиды
????????????????????????:
?????? =
1
3
?????? ∙ ???????????? =
1
3
∙ √3 ∙ √6 = √2.
Ответ: а)
√15
3
, б)
√2.
5.
Рефлексия.
Что нового вы сегодня узнали на уроке? Чему научились? Все ли было
понятно?
Сейчас вам необходимо выполнить проверочную работу, которая
покажет: насколько хорошо вами был усвоен материал урока.
Рисунок 2
86
Проверочная работа
1.
На ребре пирамиды дана точка. Через эту точку параллельно плоскости
основания проходит сечение. Докажите, что объем пирамиды равен
?????? =
????????????
3
3??????
2
,
если площадь сечения равна
??????, высота пирамиды – ??????, расстояние между
плоскостью сечения и плоскостью основания –
??????.
2.
На ребре пирамиды дана точка. Через эту точку параллельно плоскости
основания проходит сечение. Докажите, что объем части пирамиды,
заключенный между плоскостью сечения и плоскостью основания равен
?????? =
??????(??????
3
−??????
2
??????+??????
3
)
3??????
2
, если площадь сечения равна
??????, высота пирамиды – ??????,
расстояние между плоскостью сечения и плоскостью основания –
??????.
8.
Домашнее задание.
Пункт 27.2. № 27.19 (в, г, д), №27.23.
Спасибо за урок, до свидания!
87
Заключительный лист
Подпись автора_______________________
Дата_________________________________
Квалификационная работа допущена к защите
Назначен рецензент
__________________________________________________________________
(фамилия, имя, отчество, ученая степень, ученое звание)
Заведующий кафедрой ____________________ Л.Р. Шакирова
Дата ____________________________________
Защита в ГАК с оценкой «________________»
Дата ________________
Секретарь ГАК _________
Достарыңызбен бөлісу: |