Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики
Глава 2. Интеграция геометрии и алгебры
жүктеу/скачать 0,88 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 2.2. Анализ учебников геометрии по теме «Объемы многогранников»
| Глава 2.
Интеграция геометрии и алгебры в курсе математики старшей школы 2.1. Использование элементов алгебры на уроках геометрии Одной из актуальных проблем школьного математического образования на современном этапе является проблема интеграции математических знаний, формирования целостных представлений учащихся о математике как науке. Особенно важно решение данной проблемы для основной школы, где изучаются две математические дисциплины: алгебра и геометрия. Использование элементов алгебры на уроках геометрии проявляется в различных формах:
лемм и т.д.);
Алгебраические преобразования выражений (использование производной для нахождения геометрических величин, определенный интеграл и др.);
Алгебраический метод (по отношению к школьному курсу математики) трактуется как метод, заключающийся в употреблении букв и буквенных выражений, над которыми по определенным правилам производятся преобразования. Его называют еще методом буквенных вычислений. Проанализировав учебники геометрии, мы выявили, что одни и те же геометрические утверждения могут
быть доказаны различными алгебраическими способами, при этом приходя к одинаковым выводам. Даже если автор доказывает теорему на основе наглядных представлений, чисто геометрическим способом, то он, в любом случае, не может обойтись без использования элементов алгебры. Рассмотрим первую из выделенных нами форм использования элементов алгебры на уроках геометрии.
21
Геометрия для многих учащихся является предметом школьной программы, в котором решаются задачи на доказательство тех или иных математических утверждений. Трудно представить доказательство задачи без использования символьной, то есть алгебраической записи выражений. Она необходима для обозначения геометрических фигур, тел, их элементов и для краткого описания отношений между ними. Преимущества применения алгебраической записи геометрических утверждений заключается в:
краткости записи;
однозначном определении различных геометрических фигур и их элементов;
выражения. Вторая форма использования элементов алгебры на уроках геометрии заключается в алгебраическом преобразовании выражений. Геометрия в переводе с древнегреческого означает «землемерие». То есть это наука об измерении величин. На протяжении всего курса геометрии учащиеся учатся измерять, или точнее, находить длины отрезков, углы между прямыми, плоскостями, площади и объемы фигур и прочее. Нахождение этих величин нуждается в применении различных формул, которые не всегда представлены в том виде, который необходим для решения конкретно взятой задачи. Для этого в геометрии и необходимы алгебраические выражения и их преобразования. Решение некоторых задач полностью заключается в манипуляциях с формулами, после совершения которых ученики приходят к выводу о верности или неверности своего предположения. Эти задачи, чаще всего, являются задачами на доказательство. Примером может послужить задача на доказательство об отношениях сторон треугольника. 22
Эта форма также является неотъемлемым атрибутом решения задач на нахождение численного значения величины какого-либо геометрического элемента. На третьей форме остановимся подробнее. Синонимом алгебраического метода решения геометрических задач является координатный метод. Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач. Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Алгебраические методы решения задач включают в себя не только метод координат, но и интерпретацию некоторых алгебраических формул (например, формул сокращенного умножения) для доказательства некоторых теорем и решения с помощью них задач. Рассмотрим примеры таких интерпретаций на плоскости и в пространстве. Формула квадрата суммы чисел ?????? и ??????, записанная на алгебраическом языке, выглядит следующим образом: (?????? + ??????) 2 = ??????
2 + 2???????????? + ?????? 2 .
квадрата со стороной – (?????? + ??????) равна сумме площадей квадрата со стороной ??????, квадрата со стороной ?????? и площадей двух равных прямоугольников со сторонами ?????? и ??????. Это утверждение имеет место, так как площадью квадрата является квадрат его стороны (в нашем случае ?????? 4
2 , ?????? 1= ??????
2 , ?????? 2 = ??????
2 ),
а площадью прямоугольника – произведение его длины и ширины (в нашем случае
?????? 3= ????????????). На Рисунке 1 наглядно представлена геометрическая интерпретация этого выражения. Интеграцию алгебры и геометрии можно представить наиболее 23
выигрышно с использованием интерактивных технологий. Площади равных фигур, для наглядности, залиты одинаковыми цветами.
Рис. 1
По аналогии можно представить другие формулы сокращенного умножения на плоскости. Перейдем к пространственному случаю и рассмотрим формулу куба суммы двух чисел. (?????? + ??????) 3 = ?????? 3 + 3?????? 2 ?????? + 3?????? 2 ?????? + ?????? 3 .
куба, сторона которого равна – (?????? + ??????), представляет собой сумму объемов различных кубов со стороной ?????? и со стороной ??????, трех прямоугольных параллелепипедов с измерениями ??????, ?????? и ??????, трех
прямоугольных параллелепипедов с измерениями ??????, ?????? и ??????. Эта формула также справедлива, так как объем куба равен кубу его стороны ( ??????
1 = ??????
3 , ?????? 2 = ??????
3 , ?????? 5 = (?????? + ??????) 3 ), объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех его измерений ( ??????
3 = ??????
2 ??????, ?????? 4 =
2 ??????). На Рисунке 2 представлена геометрическая интерпретация формулы сокращенного умножения, а именно куба суммы двух чисел. При изучении объемов многогранников, а именно параллелепипеда и куба будет полезным разработанное наглядное средство. ?????? 2
????????????
???????????? ??????
2
?????? + ??????
24
Тела, имеющие равные объемы, залиты одинаковыми цветами для того, чтобы данная форма представления была наиболее наглядной. Рис. 2
На Рисунке 2 красный куб имеет сторону длины ??????, синий куб – длины ??????. Соответственно желтые параллелепипеды обладают измерениями ??????, ?????? и ??????, а зеленые - ??????, ?????? и ??????. Эти два изображения были созданы в интерактивной программе Maple (Приложение 5), с помощью команд poligonplot и cuboid; первый из них для построения на плоскости, второй – в пространстве. Для построения этих объектов необходимо задать координаты всех вершин в первом случае и координаты двух вершин, являющихся концами диагонали – во втором. В некоторых программах элементы алгебры в геометрии используются по другому принципу. Рассмотрим, как возможно применять элементы алгебры на уроках геометрии с помощью программного пакета GeoGebra. GeoGebra – это динамическая математическая программа для всех уровней образования, включающая в себя геометрию, алгебру, таблицы, графы, статистику и арифметику, в одном удобном для использования пакете. В программе GeoGebra при построении точки автоматически определяется ее координата, при построении отрезка, определяются точки
25
концов отрезка и прямая, которой принадлежит данный отрезок, при построении геометрических фигур, определяются прямые, содержащие сторону этой фигуры, и координаты точек, которые задают вершины данной геометрической фигуры. Описываемая программа является наиболее ярким примером наглядного представления зависимости геометрических построений от их аналитической интерпретации. Из представленных примеров мы видим, что, применяя интерактивные технологии при создании наглядных средств, наиболее полно можно представить использование элементов алгебры на уроках геометрии. В обучении недопустим отрыв геометрии от алгебры. Напротив, когда нужно придать ясность отвлеченным фактам и отношениям, когда нужны новые, доступные для понимания, не синтетические методы решения задач, приходят на помощь элементы алгебры.
«Объемы многогранников» Мы будем подвергать анализу пять учебников геометрии старших классов: Александрова А.Д, Атанасян Л.С., Погорелова А.В., Смирнова В.А. и Шарыгина И.Ф. Перед началом работы определим критерии, по которым будет осуществляться анализ. Схема анализа учебника:
Название и авторы учебника;
Краткая справка о структуре учебника;
Последовательность изложения приоритетных вопросов;
Методы, используемые при доказательствах теорем;
Выводы. 26
Первым будет рассмотрен учебник «Геометрия. 10-11 классы», авторами которого являются Александров А.Д., Вернер А.Л. и Рыжик В.И. Несколько слов об учебнике. Данный учебник предназначен для общеобразовательных организаций и может быть использован как на базовом, так и на профильном уровнях обучения математике. Четкая структура, высокая научность, доступность изложения, простота и краткость – отличительные черты этого учебника. Авторы представляют геометрию, как науку тесно связанную с окружающим миром. Появлению абстрактного понятия
предшествует реальная картина, которая
аргументирует необходимость этой абстракции. К каждому параграфу дается набор задач. Среди них выделены задачи базового уровня, то есть обязательные для всех, и задачи углубленного уровня. К главам имеются задачи «Применяем компьютер» с использованием среды «Живая математика». В данном учебнике геометрии интересующие нас вопросы расположены в следующей последовательности:
Объемы тел вращения;
Объемы многогранников;
Площади поверхности тел вращения. Тема площади поверхностей многогранников явно не рассматривается в данном учебнике. При введении понятия многогранника говорится о его развертке, затем при изучении площадей поверхности тел вращения о площади поверхности многогранника говорится как об известном факте. Начнем с объемов тел вращения. Первым вводится объем прямого цилиндра. Доказательство формулы объема прямого цилиндра проводится в несколько шагов. Сначала верность данной формулы показывают на примере прямоугольного параллелепипеда, затем на примере прямой треугольной призмы (путем перестраивания треугольной призмы в прямоугольный параллелепипед), далее распространяют эту формулу для прямой ?????? - угольной призмы. Завершающим и ключевым этапом доказательства
27
является: при ??????→∞ объем ?????? - угольной призмы стремится к объему прямого цилиндра. Для доказательства остальных формул нахождения объемов используется «зависимость объема тела от площадей его сечения», которая выражается формулой: ??????
′ (??????) = ??????(??????), (1)
где ??????(??????) и ??????(??????) – объем части тела, заключенного между плоскостями α и α( ??????) и площадь сечения для любого ?????? из промежутка [0; ??????] соответственно, ?????? – высота тела. Таким же образом доказывается формула для нахождения объема произвольного цилиндра, в частности произвольной призмы, формула для нахождения объема произвольного конуса, в частности произвольной пирамиды, также доказательство формулы для нахождения объема шара не составляет труда. Для доказательства формулы площади поверхности сферы используется лемма об объеме описанного многогранника, которая представляет собой алгебраическое соотношение: ??????(??????) = 1 3 ??????(??????)??????,
(2) Где
?????? – произвольный многогранник, ??????(??????) - объем многогранника ??????, ??????(??????) - площадь поверхности многогранника ??????, а ?????? - радиус шара вписанного в многогранник ??????.
При доказательстве формул для нахождения площадей поверхности цилиндра и конуса используется метод, при котором данное круглое тело вписывается в соответствующий ему многогранник, затем при неограниченном увеличении количества граней, объем и площадь поверхности многогранника стремятся к объему и площади поверхности круглого тела. В основе доказательства всех формул для нахождения объемов всех представленных пространственных тел лежит теорема о зависимости объема от площади сечения тела.
28
Следующий учебник «Геометрия. 10-11 классы», авторами которого являются Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и другие. Несколько слов об учебнике. Данный учебник предназначен для общеобразовательных организаций и может быть использован как на базовом, так и на профильном уровнях обучения математике. Этот учебник является наиболее распространенным по сравнению с другими учебниками геометрии. Авторам приходится излагать изучаемый материал в краткой форме, учитывая, что он должен быть доступен для учеников с разным уровнем восприятия информации и подготовленности по предмету. Авторский коллектив профессора Л.С. Атанасяна – акцентирует свое внимание на развитии умений и навыков учащихся, на доступности изложения, считая, что каждый элемент курса геометрии должен опираться на возможно более простое и ясное наглядное представление. В представленном учебнике геометрии вопросы расположены в следующей последовательности:
Площади поверхности тел вращения;
Объемы многогранников;
Объемы тел вращения. Понятие площадь поверхности многогранника рассматривается в данном учебнике одновременно с введением очередного многогранника. При изучении прямой ?????? - угольной призмы площадь полной поверхности призмы вводится как сумма площадей всех ее граней. Затем дается теорема о площади боковой поверхности ?????? - угольной прямой призмы, которая равна произведению периметра основания на высоту призмы. Доказательство проводится следующим образом: боковые грани прямой призмы прямоугольники, они равны и их измерениями являются сторона основания и высота призмы. Площадь боковой поверхности представляет собой сумму произведения этих измерений, далее выносится за скобки общий множитель и в скобках остается сумма длин сторон основания, а это и есть периметр.
29
Далее рассматривается ?????? - угольная пирамида и вместе с ней площадь ее полной поверхности. При доказательстве теоремы о площади боковой поверхности правильной ?????? - угольной пирамиды проводятся такие же рассуждения как и в случае с правильной призмой. Площадь полной поверхности прямых цилиндра и конуса вычисляется, используя их развертки. В отличие от подхода Александрова, в учебнике Атанасян прежде изучаются объемы многогранников, а затем объемы тел вращения. В доказательстве формулы объема прямоугольного параллелепипеда рассматриваются два случая: все измерения параллелепипеда представляют собой конечные десятичные дроби и хотя бы одно из измерений представляет собой бесконечную десятичную дробь. В первом случае, каждое измерение, умножив на некоторую степень десяти, превращают в целое число, то есть ?????? ∙ 10 ?????? , ?????? ∙ 10 ?????? , ?????? ∙ 10 ?????? . После чего разбивают каждое ребро на равные части длины 1 10 ?????? и через эти точки проводят плоскости перпендикулярно ребру. Тем самым параллелепипед разбивается на ?????????????????? ∙ 1 10 3?????? кубов, объем каждого из которых равен 1 10
. Суммированием объемов всех этих кубов получается объем прямоугольного параллелепипеда. Во втором случае приходят к неравенству вида: ?????? ??????
?????? ??????
?????? ??????
≤ ?????????????????? ≤ ?????? ??????
′ ??????
?????? ′ ?????? ?????? ′ ,
(3)
где измерения без индексов – начальные данные, измерения с нижними индексами получены из начальных отбрасыванием в каждом из них цифр после запятой, начинай с (?????? + 1) - ой, а измерения с нижними и верхними индексами удовлетворяют уравнению: ??????
?????? ′ = ?????? ?????? + 1 10 ??????
,
(4)
где ?????? = ??????, ??????, ??????. Левая часть неравенства (3) представляет собой объем параллелепипеда, содержащегося в искомом, а правая часть – содержащего искомый. Опять же, 30
при неограниченном увеличении ??????, то есть ?????? → ∞, число 1 10 ?????? будет
становиться сколь угодно малым, а число ??????
?????? ??????
?????? ??????
?????? будет сколь угодно мало отличаться от числа ??????
?????? ′ ?????? ?????? ′ ?????? ?????? ′ . Отсюда в силу неравенства (3) объем ?????? будет сколь угодно мало отличаться от числа ??????????????????, значит, они равны: ?????? = ??????????????????. Следствиями из этой теоремы являются: 1)
основания на высоту; 2)
Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту. Первое следствие доказывается на основании равенства произведения двух измерений прямоугольного параллелепипеда площади его основания, при том, что третье является его высотой. Второе следствие доказывается путем достроения прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, до прямоугольного параллелепипеда. Формула объема прямой ?????? - угольной призмы доказывается путем разбиения ее на прямые призмы, основаниями которых является прямоугольный треугольник. Элементы алгебры в данном случае необходимы лишь для преобразования формулы. Формула объема цилиндра доказывается путем вписывания в него и описывания вокруг него прямой ?????? - угольной призмы. При неограниченном увеличении ??????, то есть ?????? → ∞, объемы этих призм будут стремиться к объему цилиндра, следовательно, объем прямого цилиндра равен произведению площади основания на высоту. При вычислении объемов наклонных призмы, пирамиды, цилиндра и конуса используется способ вычисления объемов тел, основанный на понятии определенного интеграла, который известен ученикам из курса алгебры и начала анализа. Формула объема шара и площади поверхности сферы в данном учебнике доказываются так же как в учебнике Александрова.
31
Рассмотрев учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и других, мы также увидели некоторые различия и некоторые сходства с подходом представленным в учебнике А. Г. Александрова. Перейдем к рассмотрению учебника «Геометрия. 10-11 классы», написанный А.В. Погореловым. Несколько слов об учебнике. Учебник представляет систематический курс стереометрии, изложенный на высоком научном уровне. Данный учебник предназначен для общеобразовательных организаций и может быть использован как на базовом, так и на профильном уровнях обучения математике. В учебнике в отдельный параграф внесены вопросы планиметрии, предусмотренные программой старшей школы. Еще одной важной чертой является наличие вопросов и заданий для повторения после каждой главы. Стиль изложения материала четкий и немногословный, что позволяет учащимся пользоваться этим учебником как справочником при подготовке к ЕГЭ. Обратимся к структуре изложения приоритетных вопросов:
Площади поверхности многогранников;
Объемы многогранников;
Объемы тел вращения;
Площади поверхности тел вращения. Обратим внимание на то, что мы рассматриваем третий учебник, а последовательность вопросов еще не повторялась. Обратимся к первому вопросу из списка. Изучение площадей поверхности многогранников начинается с площади поверхности прямой ?????? - угольной призмы, также как и в учебнике Атанасян. Вводятся абсолютно идентичные теоремы о площади боковой поверхности прямой ?????? - угольной призмы и прямой ?????? - угольной пирамиды, доказываются аналогично. В отличие от учебника Атанасян, в данном учебнике площади поверхностей круглых тел вводятся в последнюю очередь.
32
Далее рассматривается объем прямоугольного параллелепипеда. Принцип доказательства схож с принципом доказательства в учебнике Атанасян. Рассматриваются два параллелепипеда с общим основанием и различными высотами. Объем параллелепипеда ?????? с меньшей высотой ℎ искомый. Затем происходит деление высоты большего параллелепипеда ?????? на ?????? - частей и разбиение его на равные параллелепипеды, объемы которых равны ??????
?????? , ?????? - число точек деления на меньшем параллелепипеде. Выходит, что меньший параллелепипед содержит первые ?????? – параллелепипедов и содержится в (?????? + 1) параллелепипедах. Мы видим, что отношение объемов и высот большего и меньшего параллелепипедов отличаются на 1 ?????? , а так как ?????? → ∞, то эти отношения равны. Затем берется единичный куб и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями ??????, 1, 1; ??????, ??????, 1; ??????, ??????, ??????. Для каждого из них записывается доказанное отношение, затем эти три выражения перемножаются, и получается искомая формула. Далее доказывается утверждение, что объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Объем произвольной призмы доказывается следующим образом. Сначала разбирается случай
треугольной призмы.
Ее достраивают до параллелепипеда. Затем доказывают, что площадь основания треугольной призмы равна половине площади основания достроенного параллелепипеда. Тем самым получается, что объем треугольной призмы находится по формуле произведение площади основания на высоту. Далее это суждение распространяется до случая многоугольной призмы, так как ее можно триангулировать, то площадь основания этой призмы будет равна сумме площадей основания получившихся треугольных призм. Формула объема пирамиды доказывается в два шага. Сначала треугольная пирамида дополняется до призмы с тем же основанием и высотой, объем пирамиды составляет одну треть от объема этой треугольной призмы. Затем рассматривается случай многоугольной пирамиды, которую 33
можно разделить на треугольные пирамиды, путем триангуляции основания. Далее этот случай сводится к первому шагу. Формулы нахождения объемов цилиндра и конуса доказываются так же как в учебнике геометрии Атанасян. Формула для нахождения объема шара доказывается следующим образом. Рассматривается полушар, он делится на слои плоскостями параллельными его основанию. Таких плоскостей ?????? – штук. Получившиеся слои описывают цилиндры, высота которых равна отношению радиуса шара к количеству слоев - ??????
?????? . Получается некое тело, описанное около полушара. Опустим это тело на расстояние ??????
?????? , тогда все цилиндры, начиная со второго, окажутся внутри полушара. Далее с помощью алгебраических вычислений находят объемы всех этих цилиндров и суммируют их. При ?????? → ∞ объем этой фигуры будет совпадать с объемом полушара. Тогда объем полушара равен ?????? =
2 3 ???????????? 3 , а объем всего шара равен ?????? = 4 3 ???????????? 3 . Формулы для нахождения площадей боковых поверхностей цилиндра и конуса доказываются следующим образом: в круглое тело вписывается соответствующий ему многогранник (в цилиндр вписывается призма, в конус - пирамида). Затем неограниченно увеличивается число граней и площадь поверхности многогранника стремится к площади поверхности круглого тела. А так как были доказаны формулы для нахождения площадей боковых поверхностей данных многогранников, необходимо лишь подставить в эти формулы значения периметров основания круглых тел. После некоторых алгебраических преобразований получаются формулы нахождения площади боковой поверхности круглого тела. Доказательство формулы для нахождения площади поверхности сферы отличается от ранее рассмотренных. Около сферы описывают многогранник с достаточно малыми гранями. Разбивают этот многогранник на пирамиды, общей вершиной которых является центр сфера, а площадями основания площадь сферы. Тогда уже известную нам формулу объема подставляют в
34
полученное тождество, при стремлении к бесконечности числа граней описанного многогранника, и выражают площадь поверхности сферы. Четвертый, рассматриваемый нами учебник, «Геометрия. 10-11 классы». Авторами данного учебника являются И.М. Смирнова и В.А. Смирнов. Несколько слов об учебнике. Рассматриваемый учебник двухуровневый: с учетом параграфов со звездочкой он соответствует профильному уровню, без их учета – базовому. Наряду с традиционными вопросами геометрии пространства в качестве дополнительного в учебник включен материал научно-популярного и прикладного характера, а также помещены нестандартные и исследовательские задачи, исторические сведения. Большое внимание уделяется использованию средств наглядности. Обратимся к структуре изложения приоритетных вопросов:
Объемы тел вращения;
Объемы многогранников;
Площади поверхности многогранников;
Площади поверхности тел вращения. Первым вводится формула для нахождения объема прямого цилиндра. Затем вводится принцип Кавальери, с помощью которого остальные формулы для нахождения объемов фигур доказываются очень просто. Принцип Кавальери гласит: если при пересечении двух фигур Ф 1 и Ф 2 в пространстве плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечении получаются фигуры ??????
1 и
?????? 2 одинаковой площади, то объемы исходных пространственных фигур равны. Доказательство основано на разбиении этих фигур на тонкие слои одинаковой толщины, которые получаются при пересечении фигур Ф 1 и Ф 2 плоскостями, параллельными заданной плоскости. Считая эти слои прямыми цилиндрами, из равенства их площадей основания и высот вытекает равенство слоев, а, следовательно, и равенство объемов фигур Ф 1
Ф 2 . 35
Формулы для нахождения объема наклонной призмы и кругового цилиндра являются следствиями формулы нахождения объема наклонного цилиндра. Формула нахождения объема пирамиды доказывается так же, как и в учебнике Погорелова. Доказательство формулы для нахождения объема конуса проводится на основании принципа Кавальери, рассматривая для данного конуса, пирамиду с той же площадью основания и высотой. Из принципа Кавальери вытекает и доказательство формулы нахождения объема шара. В данном случае авторы не смогли обойтись без алгебраических преобразований формул. Введение понятия площади поверхности многогранника осуществляется в краткой текстовой форме, после чего рассматривается доказательство формулы площади полной поверхности цилиндра, используя развертку цилиндра. Формула площадь поверхности конуса доказывается аналогично. Формула площади поверхности сферы доказывается так же, как и в учебнике геометрии Погорелова. Последний рассмотренный нами учебник «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень. 10-11 классы», автором является И.Ф. Шарыгин. Несколько слов об учебнике. Учебник входит в учебно-методический комплекс по математике для 10-11 классов и реализует авторскую наглядно- эмпирическую концепцию построения курса по стереометрии. Особое внимание уделено методам решения геометрических задач, а также реализовано дифференцированное изложение учебного материала. Обратимся к последовательности изложения приоритетных вопросов:
Объемы многогранников;
Объемы тел вращения;
Площади поверхности тел вращения;
Площади поверхности многогранников. 36
Первой доказывается формула объема прямоугольного параллелепипеда. Доказательство в учебнике Шарыгина совпадает с доказательством в учебнике Атанасян, за исключением того, что Атанасян рассматривает два случая, а Шарыгин – четыре. Подход, использованный для доказательства формулы нахождения объема произвольной призмы, встречался в учебнике Атанасян. Формула для нахождения объема произвольной призмы доказывается с помощью ее специального разбиения (обозначают середины ребер, соединяют их, разрезают) на две равные пирамиды и две равные треугольные призмы. Если искомый объем равен ??????, то объемы малых пирамид равны (по принципу подобия) 1 8 ??????. Затем, используя формулы для нахождения объема призмы, вычисляют объемы треугольных призм, которые равны 1 8
Суммированием получившихся объемов получают искомый объем пирамиды. Если данная формула верна для треугольной пирамиды, то она верна и для многоугольной пирамиды. Автор данного учебника не ограничивается стандартным набором формул, как это было в предыдущих учебниках. Здесь так же рассматриваются различные формулы
для вычисления объемов многогранников. Подход, используемый в данном учебнике для доказательства формул для нахождения объема конуса и объема цилиндра, идентичен подходу в учебнике Александрова. Формула для нахождения объема шара доказывается на основании принципа Кавальери так же, как и в учебнике Смирновых. Для доказательства формул нахождения площадей поверхности конуса и цилиндра используются развертки этих фигур, как в учебниках Атанасян и Смирновых; формула для нахождения площади поверхности сферы доказывается абсолютно так же, как и в учебниках Погорелова и Смирновых.
37
Проанализировав пять учебников, мы отметили, что ни в каких двух из них не были использованы одинаковые подходы к изучению объемов многогранников, совпадали лишь способы доказательства некоторых теорем.
|