Глава 3. Методика применения интерактивных технологий

39 

 

(Рис. 2). Если 

∆ ?????? достаточно мало, то 

слой 

∆?????? 

можно 

рассматривать 

приближенно  как  прямой  цилиндр  с 

высотой 

∆ ??????. 

Поэтому 

∆ ?????? =

??????(?????? + ∆??????) − ??????(??????) ≈ ??????(??????)∆??????, 

∆??????

∆??????

≈ ??????(??????).    

 

(2) 

Устремив  к  нулю 

∆ ??????,  получаем 

равенство 

??????

′

(??????) = ??????(??????). [2] 

Применим  эту  теорему  к  нахождению  объемов  куба,  параллелепипеда  и 

произвольной призмы. 

Теорема 2. 

Объем квадрата равен 

?????? = ??????

3

, 

?????? – ребро куба. 

Доказательство. 

Все  сечения  куба,  параллельными 

плоскостями его основания, равны. (Рис. 3, 

Приложение  6)  Поэтому  все  их  площади 

равны  площади  основания  куба 

??????

2

. 

Следовательно,  уравнение 

(1)  для  куба 

имеет  вид: 

??????

′

(??????) = ??????

2

.  Функция 

??????(??????), 

производная которой постоянна и равна 

??????

2

, 

является линейной функцией и имеет вид: 

??????(??????) = ??????

2

?????? + ??????. 

Воспользовавшись тем, что 

??????(0) = 0, получим: 

0 = ??????

2

∙ 0 + ??????, т.е. ?????? = 0. 

Итак, 

??????(??????) = ??????

2

??????, а объем куба 

?????? = ??????(??????) = ??????

2

∙ ?????? = ??????

3

. 

Теорема доказана. 

 

Воспользовавшись 

Теоремой 

1, 

докажем 

формулу 

объема 

параллелепипеда. 

Рисунок 2 

Рисунок 3 

40 

 

Теорема 3. 

Объем  параллелепипеда  равен 

?????? = ??????ℎ??????,  ??????  –  ребро  параллелограмма 

основания, 

ℎ  –  высота  параллелограмма  основания,  ??????  –  высота 

параллелепипеда. 

Доказательство. 

Все  сечения  параллелепипеда,  параллельными  плоскостями  его 

основания,  равны.  Поэтому  все  их  площади  равны  площади  основания 

параллелепипеда 

??????ℎ.  (Рис.  4,  Приложение  7)  Следовательно,  уравнение  (1) 

для 

параллелепипеда 

имеет 

вид: 

??????

′

(??????) = ??????ℎ. Функция ??????(??????), производная 

которой постоянна и равна 

??????ℎ, является 

линейной  функцией  и  имеет  вид: 

??????(??????) = ??????ℎ?????? + ??????. 

 

Воспользовавшись тем, что 

??????(0) = 0, получим: 

0 = ??????ℎ ∙ 0 + ??????, т.е. ?????? = 0. 

Итак, 

??????(??????) = ??????ℎ??????, а объем параллелепипеда 

?????? = ??????(??????) = ??????ℎ ∙ ?????? = ??????ℎ??????. 

Теорема доказана. 

 

Обобщим рассмотренные формулы для случая произвольной призмы. 

 

Теорема 4. 

Объем произвольной призмы равен  произведению площади основания и 

высоты: 

?????? = ????????????, 

?????? – площадь основания, ?????? – высота призмы. 

Доказательство. 

Рисунок 4 

41 

 

Все сечения призмы, параллельными плоскостями его основания, равны. 

(Рис. 5, Приложение 8) 

Поэтому  все  их  площади 

?????? (??????)  равны 

площади 

основания 

??????.  Следовательно, 

уравнение 

(1)  для  призмы  имеет  вид: 

??????

′

(??????) = ??????.  Функция  ??????(??????),  производная 

которой  постоянна  и  равна 

??????,  является 

линейной функцией и имеет вид: 

??????(??????) = ???????????? + ??????. 

Воспользовавшись тем, что 

??????(0) = 0, получим: 

0 = ?????? ∙ 0 + ??????, т.е. ?????? = 0. 

Итак, 

??????(??????) = ????????????, а объем произвольной призмы 

?????? = ??????(??????) = ????????????. 

Теорема доказана. 

 

Пирамида: тетраэдр, четырехугольная пирамида, 

произвольная пирамида 

Воспользуемся  Теоремой  1,  для  доказательства  формулы  объема 

тетраэдра, четырехугольной и произвольной пирамиды. 

Докажем теорему об объеме тетраэдра. 

Теорема 5. 

Объем  тетраэдра  равен 

?????? =

1

6

??????ℎ??????,  ??????  – 

сторона  основания  тетраэдра, 

ℎ  –  высота 

основания  тетраэдра,  опущенная  к  стороне 

??????, 

?????? – высота тетраэдра. 

Доказательство. 

Сечение тетраэдра плоскостью параллельной 

основанию,  подобно  основанию.  (Рис.  6, 

Приложение 9)  

Рисунок 5 

Рисунок 6 

42 

 

Если  плоскость  проходит  на расстоянии 

??????  от вершины, то коэффициент 

подобия  равен 

??????

??????

.  Поэтому  площадь  сечения 

??????(??????)  такой  плоскостью  равна 

??????(??????) = (

??????

??????

)

2

∙

1

2

??????ℎ,  где  ?????? =

1

2

??????  –  площадь  основания  тетраэдра.  Так  как 

??????, ℎ и ??????  –  постоянные  для  данного  тетраэдра,  то  уравнение  (1)  для  объема 

тетраэдра имеет вид: 

??????

′

(??????) = ????????????

2

, где 

?????? =

??????ℎ

2??????

2

. 

Функция 

??????(??????), производная которой равна ????????????

2

, имеет вид: 

??????(??????) =

1

3

 ????????????

3

+ ??????. 

Воспользовавшись тем, что 

??????(0) = 0, получим: 

0 =

1

3

с ∙ 0 + ??????, 

т. е. 

?????? = 0. Поэтому ??????(??????) =

1

3

????????????

3

, а объем тетраэдра 

?????? = ??????(??????) =

1

3

????????????

3

=

1

3

∙

??????ℎ

2??????

2

∙ ??????

3

=

1

6

??????ℎ??????. 

Теорема доказана. 

Докажем теорему об объеме четырехугольной пирамиды. 

Теорема 6. 

Объем  произвольной  пирамиды  равен 

?????? =

1

3

????????????,  ??????  –  площадь  основания 

пирамиды, 

?????? – высота пирамиды. 

Доказательство. 

Сечение  пирамиды  плоскостью  параллельной  основанию,  подобно 

основанию. (Рис. 7, Приложение 10) 

Если плоскость проходит на расстоянии 

??????  от  вершины,  то  коэффициент  подобия 

равен 

??????

??????

.  Поэтому  площадь  сечения 

??????(??????) 

такой плоскостью равна 

??????(??????) = (

??????

??????

)

2

∙ ??????,  где  ??????  –  площадь 

основания произвольной пирамиды. 

Рисунок 7 

43 

 

Так как 

?????? и ?????? – постоянные для данной пирамиды, то уравнение (1) для 

объема пирамиды имеет вид: 

??????

′

(??????) = ????????????

2

, где 

?????? =

??????

??????

2

. 

Функция 

??????(??????), производная которой равна ????????????

2

, имеет вид: 

??????(??????) =

1

3

 ????????????

3

+ ??????. 

Воспользовавшись тем, что 

??????(0) = 0, получим: 

0 =

1

3

с ∙ 0 + ??????, 

т. е. 

?????? = 0. Поэтому ??????(??????) =

1

3

????????????

3

, а объем произвольной пирамиды 

?????? = ??????(??????) =

1

3

????????????

3

=

1

3

∙

??????

??????

2

∙ ??????

3

=

1

3

????????????. 

Теорема доказана. 

 

3. 2. Различия между традиционным и интерактивным  

изучением темы «Объемы многогранников» 

Для  того  чтобы  не  быть  голословными  в  изложении  различий  между 

традиционным  и  интерактивным  изучением  объемов  многогранников,  в 

качестве 

примеров 

будем 

рассматривать 

учебники 

геометрии 

Погорелова А.В. и Александрова А.Д., Вернера А.Л. и Рыжика В.И. 

Подход,  изложенный  в  учебнике  Александрова,  будет  являться  основой 

для  использования  интерактивных  технологий  при  изучении  объемов 

многогранников. 

Изучение объемов тел начинается с изучения объема прямого цилиндра. 

Доказательство  проводится  в  несколько  шагов.  Сначала  верность  данной 

формулы показывают на примере прямоугольного параллелепипеда, затем на 

примере  прямой  треугольной  призмы  (путем  перестраивания  треугольной 

призмы  в  прямоугольный  параллелепипед),  далее  распространяют  эту 

формулу для прямой 

?????? -угольной призмы. Завершающим и ключевым этапом 

доказательства является: при 

?????? → ∞ объем ?????? - угольной призмы стремится к 

объему прямого цилиндра. 

44 

 

Для доказательства остальных формул нахождения объемов используется 

«зависимость  объема  тела  от  площадей  его  сечения»,  которая  выражается 

формулой: 

??????

′

(??????) = ??????(??????),  

 

 

 

 

 

(1) 

где 

??????(??????) и ??????(??????) – объем части тела, заключенного между плоскостями ?????? и 

α(

??????) и площадь сечения для любого ?????? из промежутка [0; ??????] соответственно, 

??????  –  высота тела. Таким же  образом доказывается  формула  для  нахождения 

объема  произвольного  цилиндра,  в  частности  произвольной  призмы, 

формула  для  нахождения  объема  произвольного  конуса,  в  частности 

произвольной пирамиды.  

Благодаря  тому,  что  в  основе  всех  теорем  об  объемах  многогранников 

лежит  теорема  о  зависимости  объема  фигуры  от  площади  сечения,  то 

доказательства этих теорем подобны. 

Интерактивные  технологии  заключаются  в  постоянном  взаимодействии 

участником  процесса  обучения  между  собой.  Поэтому  при  доказательстве 

каждой  теоремы  учитель  должен  играть  роль  «Почемучки»,  и  создавать 

такую обстановку, в которой ученик чувствует себя центральным звеном на 

уроке.  Каждый  шаг  в  доказательстве  теоремы  учитель  делает  благодаря 

ответам учащихся. 

Таким  образом,  применение  интерактивных  технологий  при  изучении 

объемов многогранников характеризуют следующие утверждения: 

1)

 

Постоянное поддержание внимания учащихся; 

2)

 

Благодаря непрерывному диалогу при доказательстве теорем, учащиеся 

прочно  усваивают  алгоритм  доказательства  каждой  теоремы  об  объеме 

многогранника; 

3)

 

Доказав  одну  из  формул  нахождения  объемов  многогранников, 

учащиеся по аналогии смогут доказать формулы для других многогранников; 

4)

 

Применение динамических чертежей, выполненных в среде  GeoGebra, 

также являются средством повышения познавательных интересов учащихся; 

45 

 

5)

 

У  учеников  возникает  ощущение  доминантного,  а  не  рецессивного 

участия  в  процессе  обручения,  тем  самым  снимается  страх  перед  уроком 

геометрии, как непонятным и абстрактным школьным предметом. 

Рассмотрим традиционный подход на примере учебника Погорелова А.В. 

Этот  учебник  представляет  собой  систематический  курс  стереометрии, 

изложенный на высоком научном уровне.  

Изучение  объемов  многогранников  начинается  с  прямоугольного 

параллелепипеда.  Рассматриваются  два  параллелепипеда  с  общим 

основанием  и  различными  высотами.  Объем  параллелепипеда 

??????  с  меньшей 

высотой 

ℎ  искомый.  Затем  происходит  деление  высоты  большего 

параллелепипеда 

??????  на  ??????  -  частей  и  разбиение  его  на  равные 

параллелепипеды,  объемы  которых  равны 

??????

??????

, 

??????  -  число  точек  деления  на 

меньшем параллелепипеде. Выходит, что меньший параллелепипед содержит 

первые 

?????? –  параллелепипедов  и  содержится  в  (?????? + 1)  параллелепипедах. 

Мы  видим,  что  отношение  объемов  и  высот  большего  и  меньшего 

параллелепипедов  отличаются  на 

1

??????

,  а  так  как 

?????? → ∞,  то  эти  отношения 

равны. Затем берется единичный куб и три прямоугольных параллелепипеда 

с  измерениями 

??????, 1, 1;  ??????, ??????, 1;  ??????, ??????, ??????.  Для  каждого  из  них  записывается 

доказанное  отношение,  затем  эти  три  выражения  перемножаются,  и 

получается искомая формула. 

При  традиционном  подходе  изложение  материала  происходит  в  форме 

монолога учителя, учащиеся являются пассивными слушателями. При таком 

подходе учитель доминирует над учениками. 

Далее  доказывается  утверждение,  что  объем  любого  параллелепипеда 

равен  произведению  площади  основания  на  высоту.  Это  утверждение 

доказывается 

геометрическим 

(т.е. 

синтетическим) 

способом 

без 

использования элементов алгебры. 

Объем произвольной призмы доказывается следующим образом. Сначала 

разбирается 

случай 

треугольной 

призмы. 

Ее 

достраивают 

до 

46 

 

параллелепипеда.  Затем  доказывают,  что  площадь  основания  треугольной 

призмы равна половине площади основания достроенного параллелепипеда. 

Тем  самым  получается,  что  объем  треугольной  призмы  находится  по 

формуле  произведение  площади  основания  на  высоту.  Далее  это  суждение 

распространяется  до  случая  многоугольной  призмы,  так  как  основания 

призмы  можно  одинаковым  образом  триангулировать,  при  этом  получить 

разбиение произвольной призмы на треугольные, то площадь основания этой 

призмы будет равна сумме площадей основания получившихся треугольных 

призм. 

Формула  объема  пирамиды  доказывается  в  два  шага.  Сначала 

треугольная  пирамида  дополняется  до  призмы  с  тем  же  основанием  и 

высотой, объем пирамиды составляет одну треть от объема этой треугольной 

призмы.  Затем  рассматривается  случай  многоугольной  пирамиды,  которую 

можно разделить на треугольные пирамиды, путем триангуляции основания. 

Далее этот шаг сводится к первому шагу. 

Таким  образом,  традиционный  подход  при  изучении  объемов 

многогранников характеризуют следующие утверждения: 

1)

 

Доказательство  теорем  происходит  независимым  друг  от  друга 

способом; 

2)

 

Практически весь урок проходит в форме монолога учителя; 

3)

 

Теоремы  об  объемах  многогранников  (за  исключением  теоремы  об 

объеме  прямоугольного  параллелепипеда)  доказываются  на  наглядно-

интуитивной основе; 

4)

 

При доказательстве используются двумерные чертежи; 

5)

 

Учитель доминирует над учениками на протяжении всего урока. 

На  основании  того,  что  мы  рассмотрели  характерные  черты 

традиционного  и интерактивного обучения, выделим различия между ними. 

Преимуществом  применения  интерактивных  технологий  является 

поддержание  диалога  на  протяжении  всего  урока.  Применение 

интерактивных  технологий  заключается  в  создании  комфортных  условий 

47 

 

обучения, то есть условий, при которых ученик чувствует свою успешность, 

свою  интеллектуальную  состоятельность,  что  делает  продуктивным  сам 

процесс  обучения.  Суть  интерактивного  обучения  состоит  в  такой 

организации  учебного  процесса,  при  которой  практически  все  учащиеся 

оказываются  вовлеченными  в  процесс  познания,  они  имеют  возможность 

понимать и рефлектировать по поводу того, что они знают и думают. 

Следующее  различие  заключается  в  скорости  усвоения  учащимися 

учебного материала. При интерактивном обучении ученики из-за постоянной 

рефлексии  усваивают  материал  быстрее,  при  традиционном  –  уходит  много 

времени для того, чтобы донести изучаемый материал и добиться от каждого 

понимания. 

Если учащимся при помощи интерактивных технологий и динамических 

чертежей  доказать  теорему  об  объеме  цилиндра  (в  частности  призмы),  они 

смогут доказать теорему об объеме конуса (в частности пирамиды). Если же 

мы  попытаемся  проделать  эту  операцию  при  традиционном  подходе,  из-за 

полученного в готовом виде доказательства, учащиеся не смогут доказать эту 

теорему. 

Несмотря  на  преимущества  интерактивного  обучения,  традиционный 

подход,  приведенный  в  учебнике  Погорелова А.В.,  удовлетворяет 

требованиям Федерального Государственного Образовательного Стандарта и 

используется при преподавании геометрии в школе. 

 

 

 

 

 

48 

 

3.3. Методические рекомендации к применению интерактивных 

технологий при изучении объемов многогранников  

с использованием динамических чертежей 

3.2.1. Призма: параллелепипед, произвольная призма 

Тема  «Объемы  многогранников»,  в  соответствии  с  программой  по 

математике, изучается в курсе геометрии 11 класса. На изучение этой темы 

отводится 15-19 часов, количество часов зависит от учебника. 

Основные цели изучения данной темы: 



 

Ввести понятие объема тела; 



 

Рассмотреть свойства объемов; 



 

Ввести  теорему  об  объеме  прямого  цилиндра  (прямоугольного 

параллелепипеда в частности); 



 

Ввести  теорему  о  зависимости  объема  от  площади  сечения 

многогранника (Теорема 1) (формула для нахождения объема тел с помощью 

определенного интеграла); 



 

Ввести теорему об объеме произвольной призмы; 



 

Показать  верность  теоремы  для  уже  известных  формул  нахождения 

объемов некоторых многогранников (например, для куба); 



 

Использование динамических чертежей для иллюстрации теорем. 

Первой  структурной  единицей  этого  раздела  является  введение  понятия 

объема, его свойств и теоремы об объеме прямого цилиндра. На ее изучение 

целесообразно отвести три урока. 

На  наш  взгляд,  перед  изучением  определения  «объем»  необходимо 

актуализировать знания по теме «Многогранники и его элементы». Для этого 

следует провести небольшой опрос: 

1. Дайте определение: 

а) многогранник; 

б) поверхность многогранника; 

в) выпуклые и невыпуклые многогранники. 

49 

 

2.  Назовите  известные  вам  выпуклые  многогранники.  Назовите 

количество граней, вершин и ребер у каждого из них. 

3.  Две  четырехугольные  пирамиды  имеют  общее  основание  и 

расположены  по  разные  стороны  от  него.  Сколько  вершин,  ребер,  граней 

имеет данный многогранник? 

4.  Верно  ли,  что  многогранник,  полученный  объединением  выпуклых 

многогранников, всегда является выпуклым. Обоснуйте свой ответ. 

При изучении нового материала целесообразно разбить класс на группы и 

осуществлять работу с каждой группой, как с единым целым. Перед тем как 

ответить  на  поставленный  вопрос,  каждая  группа  должна  посоветоваться  и 

вынести общее решение. 

После введения понятия объема многогранника его свойств и начинаются 

отличия  интерактивного  обучения  от  традиционного,  поэтому  следует 

поменять  тактику  использования  интерактивных  технологий.  Далее 

необходимо  ввести  теорему  об  объеме  прямого  цилиндра.  В  учебнике  [3] 

введению  данной  теоремы  предшествует  введение  теорем  об  объеме 

прямоугольного параллелепипеда и  прямой  призмы,  в  учебнике  [2]  теорема 

вводится сразу после введения понятия объема и его свойств. 

Введение  теоремы  должно  осуществляться  при  постоянном  диалоге 

учителя  и  учеников.  Сначала  учитель  должен  мотивировать  учащихся  к 

изучению  теоремы,  затем  при  доказательстве  каждого  предложения  должен 

создавать атмосферу живого общения. Ученики должны осознавать, что без 

участия каждого из них урок не будет успешным. 

Теорема  2  лежит  в  основе  доказательства  последующих  формул  для 

нахождения  объемов  многогранников.  На  наш  взгляд  в  учебнике  [2] 

используется  более  рациональный  подход,  нежели  в  учебнике  [3].  Поэтому 

рекомендуем введение формулы об объеме прямого цилиндра осуществлять 

на  основе  учебника  [2].  Для  иллюстрации  второго  шага  доказательства 

теоремы по учебнику [2] мы разработали динамический чертеж (Приложение 

50 

 

11), на котором наглядно показано перестроение прямой треугольной призмы 

в прямоугольный параллелепипед.  

После введения теоремы, для того чтобы проверить глубину ее усвоения 

рекомендуется  воспользоваться  следующим  приемом.  Учитель  поочередно 

спрашивает  у  каждого  ученика  этап  алгоритма  доказательства  теоремы. 

Например,  первый  ученик  говорит  что  дано,  второй  –  что  нужно  доказать, 

третий говорит о первом шаге доказательства и т.д. 

Для  первичного  закрепления  полученных  знаний,  необходимо  решение 

задач  на  нахождение  объема  прямого  цилиндра  и  его  частных  случаев,  на 

свойства  объемов  многогранников.  В  основном  используются  задачи  из 

учебника,  но  предпочтительно  было  бы  использовать  и  дополнительную 

литературу, для разностороннего освещения данного вопроса. 

Для  того  чтобы  ученики  находились  в  постоянном  взаимодействии, 

возможно использование следующего приема. 

В  классе  три  ряда,  на  каждом  из  них  по  два  варианта.  Учитель  должен 

подготовить  шесть  задач  (для  каждого  варианта  каждого  ряда).  Получив 

задачу,  каждый  первый  ученик  пишет:  что  дано  и  что  нужно  доказать. 

Следующий ученик, сформировавшейся группы, пишет первый шаг решения 

задачи  и  т.д.  Если  задача  будет  решена  на  первых  этапах,  то  следующие 

ученики  должны  проверить  правильность  решения  задачи  и  сказать  о 

готовности команды. Если же задача не будет решена и последним учеником, 

то решение очередного шага переходит к первому ученику. 

Целесообразно использовать задачи следующего типа: 

1.

 

Осевое  сечение  прямого  кругового  цилиндра  –  квадрат  со  стороной 

3см. Найдите объем цилиндра. 

2.

 

Центры 

??????

1

 и ??????

2

  оснований  цилиндра  имеют  координаты:  (0;  0;  0)  и 

(2; 0;  0),  а  одна  из  точек  окружности  основания  с  центром 

??????

1

  имеет 

координаты (3; 0; 4). Найдите объем цилиндра. 

51 

 

3.

 

Стороны  основания  прямоугольного  параллелепипеда  6  см  и  8 см,  а 

диагональ  меньшей  боковой  грани  равна  10  см.  Найдите  объем 

параллелепипеда. 

4.

 

Периметр  боковой  грани  правильной  четырехугольной  призмы  равен 

14  см,  а  периметр  сечения  призмы,  проведенного  через  противоположные 

стороны оснований, равен 16 см. Найдите объем призмы. 

5.

 

Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 3 

см  и  4  см.  Объем  призмы  равен  72 

см

3

.  Найдите  площадь  боковой 

поверхности призмы.  

6.

 

Основание  прямого  параллелепипеда  –  ромб  с  периметром  16  см  и 

тупым углом 

150

0

. Высота параллелепипеда равна 8 см. Найдите ребро куба, 

равновеликого данному параллелепипеду. 

7.

 

Найдите стороны основания прямого параллелепипеда, объем которого 

равен  3360 

см

3

,  площади  полной  и  боковой  поверхности  равны 

соответственно 1416 

см

2

 и 1080 

см

2

, а большая диагональ параллелепипеда – 

29 см. 

Также нужно включать задачи на готовых чертежах. 

После  решения  предложенных  задач,  на  следующем  уроке,  необходимо 

перейти к решению задач более высокого уровня сложности, как в учебнике 

[2]. 

Для  формирования  понятия  объема  тела  и  усвоения  теоремы  об  объеме 

прямого  цилиндра  авторы  учебника  [2]  предлагают  задачи,  которые 

разделяют на два вида: 



 

Задачи на объем цилиндра; 



 

Задачи на объем прямой призмы. 

Задачи  на  нахождение  объема  цилиндра  включают  в  себя  следующие 

типы задач: 



 

Задачи  на  зависимость  изменения  объема  от  изменения  начальных 

параметров цилиндра; 



 

Задачи на нахождение объемов частей цилиндра. 

52 

 

Задачи  на  нахождение  объема  прямой  призмы  включают  в  себя 

следующие типы задач: 



 

Задачи  на  нахождение  объема  прямой  призмы  и  ее  частных  случаев 

(куб, прямоугольный параллелепипед, прямая треугольная призма и т.д.); 



 

Задачи на вычисление интервала, в котором лежит численное значение 

объема призмы; 



 

Задачи  на  нахождение  объемов  частей  прямой  призмы  и  ее  частных 

случаев. 

Нетрудно заметить, что большинство задач предложенных в учебнике [2] 

имеют исследовательский характер.

 

На последующих уроках следует отрабатывать навык нахождения объема 

прямого  параллелепипеда  на  задачах  различного  уровня  сложности,  в  том 

числе и на задачах, встречающихся в ЕГЭ. 

Можно предложить следующие задачи: 

1.

 

а) В детали цилиндрической формы сделали сквозное цилиндрическое 

отверстие. Его радиус равен половине радиуса цилиндра. Какая часть объема 

детали  осталась?  б)  С  цилиндрической  заготовки  сняли  при  обработке  0,1 

части радиуса. Какая часть объема цилиндра осталась? 

2.

 

Площадь  боковой  грани  правильной  треугольной  призмы  равна  1.  В 

каких границах лежит ее объем? 

3.

 

Чему  равен  объем  прямоугольного  параллелепипеда,  диагональ 

которого 

??????  составляет с плоскостью основания  угол  ?????? ,  а с боковой гранью 

угол 

??????. 

4.

 

Сторона  основания правильной  треугольной  призмы равна 

??????. Боковая 

поверхность равновелика сумме оснований. Найдите ее объем. 

5.

 

Основанием  прямой  призмы  является  равнобедренный  треугольник, 

равные  стороны  которого  имеют  длину 

??????  и  образуют  между  собой  угол  ??????. 

Диагональ  грани  противолежащей  этому  углу,  образует  с  другой  боковой 

гранью угол равный 

??????. Найдите объем призмы. 

53 

 

Далее  необходимо  перейти  к  ключевому  этапу:  введению  теоремы  о 

зависимости  объема  тела  от  площади  его  сечения  в  учебнике  [2]  или 

формулы нахождения объема тел с помощью интеграла [3]. Представленные 

формулы  являются  различными  представлениями  одного  математического 

факта. 

Перед  введением  данного  факта  необходимо  актуализировать  знания  о 

производной или об определенном интеграле. 

К  примеру,  для  актуализации  знаний  о  производной  можно  предложить 

следующее  задание:  назовите  определение  производной  непрерывной 

функции и найдите производную функции 

??????(??????) = ??????

2

 по определению. 

Доказательство теоремы должно происходить в постоянном диалоге, для 

того  чтобы  ученик  не  теряли  интерес  к  изучаемому  материалу  и  лучше  его 

усвоили. Для этого учитель должен выступать в роли «почемучки», который 

постоянно  задает  вопросы,  перед  тем  как  сделать  очередной  шаг  в 

доказательстве. 

После доказательства данной теоремы следует сделать вывод: 

Формулу объема любого многогранника можно доказать, благодаря этой 

теореме. 

Он является ключевым звеном для изучения объемов тел. 

На  основании  этой  теоремы  доказывается  теорема  об  объеме 

произвольной  призмы.  При  доказательстве  необходимо  использовать 

динамический чертеж (Приложение 8). Доказательство теоремы разбивается 

на три этапа: 

1)

 

Нахождение площади сечения; 

2)

 

Нахождение функции под знаком производной; 

3)

 

Вычисление значения функции в точке 

??????. 

Учащиеся  должны  четко  понимать  структуру  доказательства.  На 

интерактивном чертеже учитель должен показать, что площадь основания и 

площадь любого сечения параллельного основанию совпадают. Данный факт 

демонстрируется  следующим  образом:  учитель  с  помощью  мыши 

54 

 

перемещает  опорную  точку  сечения  по  ребру  призмы,  тем  самым  она 

пробегает  все  значения  от  вершины  одного  основания  до  вершины  другого 

основания. Таким образом, в некоторый момент времени плоскость сечения 

совпадает с плоскостью основания, отсюда учащиеся наблюдают совпадение 

площади основания с площадью сечения. 

После  доказательства  данной  теоремы  следует  задать  вопрос:  если 

количество  вершин  основания  призмы  устремить  к  бесконечности,  какую 

фигуру  получим?  Учащиеся  отвечают,  что  при  таком  условии  получим 

цилиндр.  Далее  необходимо  сделать  вывод  о  том,  что  призма  является 

частным случаем цилиндра (не обязательно кругового).  

В  качестве  упражнения,  учащимся  следует  с  помощью  предыдущей 

теоремы  доказать  теорему  об  объеме  для  частных  случаев  цилиндра 

(например,  для  куба).  Благодаря  такому  приему,  учащиеся  самостоятельно 

смогут составить алгоритм доказательства теоремы об объеме пирамиды. 

Затем  для  проверки  глубины  усвоения  изученного  материала  следует 

провести проверочную работу: 

Проверочная работа. 

1.

 

На  ребре  наклонной  призмы  дана  точка.  Через  эту  точку  параллельно 

основанию  проходит  сечение,  площадь  которого 

?????? = ??????

2

.  Расстояние  между 

плоскостями оснований –

??????. Докажите, что объем призмы ?????? = ??????

2

??????. 

2.

 

В наклонной треугольной призме площадь сечения, проходящего через 

середины  боковых  ребер,  равна 

??????.  Боковое  ребро  имеет  длину  ??????  см  и 

составляет  с  плоскостью  основания  угол  в 

30

??????

.  Докажите,  что  объем  части 

призмы, ограниченной сечением равен 

?????? = ?????? ∙

??????

4

. 

В  качестве  одного  из  заданий  на  дом  следует  предложить  доказать 

теорему об объеме параллелепипеда, используя Теорему 3. 

На  последующих  уроках  данной  темы  предлагается  решать  задачи 

следующих типов: 

55 

 



 

на  нахождение  объема  произвольной  призмы  с  различными  данными 

элементами; 



 

на нахождение элементов призмы, по данному объему. 

Первый тип задач составляет основную часть заданий предложенных для 

усвоения данной темы. 

После  завершения  изучения  данной  темы  следует  предложить 

самостоятельную работу для оценки уровня усвоения знаний: 

Самостоятельная работа. 

1.

 

Найдите  диагональ  прямоугольного  параллелепипеда,  если  периметр 

его основания равен 16 см, а площадь полной поверхности 168 

см

2

 и объем – 

108 

см

3

. 

2.

 

Основание призмы – равнобедренный треугольник с основанием 10 см 

и  боковой  стороной  13  см.  Боковое  ребро  призмы  равно  большей  высоте 

основания  и  составляет  с  высотой  призмы  угол  в 

60

0

.  Найдите  объем 

призмы. 

3.

 

Все грани наклонного параллелепипеда ромбы со стороной 

?????? и острым 

углом 

60

0

. Найдите объем параллелепипеда. 

 

жүктеу/скачать 0,88 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: