Кездейсоқ шамалар түрлері. Дискретті кездейсоқ шамалар және сандық сипаттамалары

Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы және орташа квадраттық ауытқуы

жүктеу/скачать 137,89 Kb.

бет	3/3
Дата	21.12.2023
өлшемі	137,89 Kb.
	#141966

1 2 3

Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы және орташа квадраттық ауытқуы
Математикалық күту кездейсоқ шаманы толығымен сипаттамайды. Кездейсоқ шаманың қабылдайтыны мүмкін мәндері өзінің математикалық күтудің айналасына қалай топтасқанын білу үшін дисперсия ұғымын пайдаланамыз.
Х – дискретті кездейсоқ шама, M(x) – осы кездейсоқ шаманың математикалық күтуі болсын. Бұл жағдайда X-M(x) айырмасын, кездейсоқ шама мәндерінің математикалық күтуден ауытқуы деп аталады. Кездейсоқ Х шамасының таратылу заңы

			…
			…

берілсін.
Бұл жағдайда ауытқудың үлестірім заңы

			…
			...

болады.

Теорема. Ауытқудың математикалық күтуі нөлге тең, яғни
Анықтама. ауытқу квадратының математикалық күтуі кездейсоқ Х шаманың дисперсиясы деп аталатын және дисперсияны D(x) деп белгілейміз.
Сонымен .
Егер кездейсоқ Х шаманың үлестіру заңы

			...
			…

белгілі болса, онда шамасының үлестіру заңы төмендегідей болады:

			...
			...

дисперсияның анықтамасы бойынша

Мысал. Кездейсоқ х шамасының үлестіру заңы

	1	2	3
	0,1	0,4	0,5

берілсін.
Математикалық күтудің анықтамасы бойынша

Сонда шамасы

мәндерін қабылдайды.
Бұл жағдайда - шамасының үлестірім заңы

	1,96	0,16	0,36
	0,1	0,4	0,5

болар еді.
Дисперсияның анықтамасы бойынша

Дисперсияны есептеу формуласы
Практикалық есептерді шығарғанда , көбінше «дисперсияны есептеу формуласы» деп аталатын формула қолданылады. Оны келесі теоремадан көреміз.
Теорема. Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы сол кездейсоқ шама квадратының математикалық күтуі мен оның математикалық күту квадратының айырмасына тең:

3-мысал. Дискретті кездейсоқ х шаманың үлестірім заңы

	2	3	5
	0,2	0,3	0,5

берілген. Кездейсоқ Х шаманың дисперсиясын анықтау керек.
Шешуі. Математикалық күтудің анықтамасы бойынша

Кездейсоқ шамасының таратылу заңы

	4	9	25
	0,2	0,3	0,5

болады.
Тағы да математикалық күтудің анықтамасы бойынша

Сондықтан
Дисперсияның қасиеттері
1-қасиет. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең:

2-қасиет. Тұрақты көбейткіш дисперсия белгісінің алдына квадратталып шығады:

3-қасиет. Тәуелсіз екі кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең:

1-салдар. Егер өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса, онда

2-салдар. Тұрақты шамамен кездейсоқ шаманың қосындысының дисперсиясы кездейсоқ шаманың дисперсиясына тең болды.

Тәуелсіз сынаулардағы оқиғаның пайда болуы санының дисперсиясы
Теорема. Егер әрбір дербес сынаулардағы А оқиғасының болу ықтималдығы тұрақты және р-ға тең болса, онда n тәуелсіз сынаулардағы оқиғаның пайда болу санының дисперсиясы сынаулар саны n – мен р – ықтималдық және оқиғаның пайда болмай ықтималдығы сандарының көбейтіндісіне тең болады, яғни .
4-мысал. Әрбіреуінде оқиғаның пайда болу ықтималы 0,3 болатын 15 тәуелсіз сынау жүргізілсін. Осы сынаулардағы оқиғаның пайда болу саны – Х шамасының дисперсиясын табу керек.
Шешуі. Есептің шарты бойынша олай болса .
Сондықтан, іздеп отырған дисперсиямыз
.
Дискретті кездейсоқ шаманың орташа квадраттық ауытқуы
Дискретті кездейсоқ Х шамасының орташа ауытқуы дегеніміз – осы шаманың дисперсиясының квадрат түбірін, яғни
5-мысал. Кездейсоқ шамасы

	1	3	9
	0,1	0,4	0,5

тартылу заңдылығымен берілсін.
Орташа квадраттық ауытқуын табу керек.
Шешуі. Математикалық тосудың анықтамасы бойынша

Сондықтан
іздеп отырған орташа квадраттық ауытқу болады.
Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының орташа квадраттық ауытқуы
Теорема. Егер өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалары беріліп және олардың орташа квадраттық ауытқулары белгілі болса, онда

1-теорема. Егер өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың математикалық күтулері бірдей болса, яғни онда .
2-теорема. Егер өзара кездейсоқ шамалардың дисперсиялары бірдей болса, яғни
онда

3-теорема. Егер өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалар үшін теңдігі орындалса, онда кездейсоқ шамаларының арифметикалық ортасының квадраттық орташа ауытқуы шамасына тең болады, яғни .

ЕСЕП 1. Дискретті кездейсоқ шама мына үлестіріммен берілсін:

Сандық сипаттамаларын тап.
ЕСЕП 2. Дискретті кездейсоқ шама мына үлестіріммен берілсін

Сандық сипаттамаларын тап.
ЕСЕП 3.

X	2	4	7	9	12
р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Сандық сипаттамаларын тап.

ЕСЕП 4.

X	2	5	7	10
р	0,2	0,4	0,2	0,2

Сандық сипаттамаларын тап.
ЕСЕП 5.

Х	3	7	11	13	16
р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Сандық сипаттамаларын тап.

жүктеу/скачать 137,89 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3