Кіріспе бөлім. 1 «Прогрессиялар» тақырыбының тарихына қысқаша шолу

Бұл жұмыста, прогрессияның күнделікті өмірдегі алатын орны жайлы айтылады. Ол үшін әр түрлі авторлардың жазған алгебра оқулықтарындағы прогрессияға берілген есептер талданды. Тізбектерге байланысты байланысты тарихи мәліметтер жинақталды. Әр түрлі шаруашылықтардағы прогрессияның қолданылуына мысылдар келтірілді. Геометриялық прогрессияның,  жер бетіндегі тірі ағзалардың  көбеюіне, әсеріне талдау жасалды.

Баяндаманың көкейтестілігі: Тізбек ұғымы қашан пайда болды, неліктен?

Біздің күнделікті өмірімізде алатын орны қандай? – деген сұрақтарға жауап береді.

Осы сұрақтарға жауап тауып, математика өте көне ғылым және ол адамдардың күнделікті қажеттілігінен туындағанын тағыда бір дәлелдегім келді.

Формула бойынша мүшелерін тауып үйрендім; алғашқы мүшелерінің қосындысын таптым. Оқып үйрене келе, көптеген сұрақтар туындады.

Сол сұрақтарға әсіресе, прогрессия шын мәнінде күнделікті өмірімізде маңызды орын алама? – деген сұраққа жауап табуға тырыстым.

1.Төмендегі мәселелерді анықтадым.

– Қашан және қандай қажеттіліктен, адамдарда тізбек ұғымы пайда болды?

– Біздің жағдайымыздағы прогрессия

– Зерттеліп отырған мәселені шешуде, қай ғалымдар, үлкен үлес қосты.

2. Әр түрлі оқулықтардағы прогрессияға байланысты есептерді оқып үйрендім.

3. Бактериялардың белсенді көбеюіндегі, медицинадағы,   фармакологиядағы, ауыл шаруашылығындағы, геометриялық прогрессияның, қолданыс аясының кеңдігін көрсеттім.

Зерттеу барысында:1. Мектеп оқулықтарын, математикалық анықтамалық әдебиеттерін, математика тарихына байланысты әдебиеттерді, интернет материалдарын талдадым.2.Мектеп оқулықтарындағы есептерді сараладым.3.Биология, экология оқулықтарынан және медициналық анықтамалықтардан алынған мәліметтерді жалпыладымЗаманауи оқулықтардағы практикалық мазмұнды есептерді қарастырдым.

Сонымен, прогрессия термині латын тілінен алынған, (progression, алға жүру дегенді білдіреді) және рим авторы Боэци (VI ғ) енгізген.

Бұл терминмен алғашында әр түрлі заңдылықтар бойынша бір бағытта жалғаса беретін, әр түрлі тізбектерді атайтын болған. Қазір прогрессия термині алғашқы мағынасында қолданылмайды. Ең маңызды екі прогрессия арифметикалық және геометриялық прогрессия өз атын сақтап қалды. Арифметикалық және геометриялық атаулары ежелгі гректер оқып үйренген үзіліссіз пропорциялар теориясынан ауысты. Прогрессияларға байланысты алғашқы мәліметтер, бізге Ежелгі Грецияның құжаттарынан жетті.

Ежелгі Египетте б.э.д Vғасырда гректер прогрессиялар және олардың қосындылары жайлы білді:

1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).

Прогрессияға қатысты кейбір формулалар, қытайлық және үнділік ғалымдарға да белгілі болды (V ғ.)

Кез келген шектеулі геометриялық прогрессияны қосудың жалпы ережесі, 1484 жылы жарыққа шыққан Н. Шюктің «Сандар туралы ғылым» кітабында кездеседі. Германияда жас ғалым Карл Гаусс (1777-1855) әп – сәтте 1 ден 100ге дейінгі сандардың қосындысын, бала күнінде есептеп шығарды           

1+2+3+4+…+98+99+100  = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101×50 =5050.

Кез кеген шектеусіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табу формуласын  17-ғасырдың бірінші жартысында бірнеше математиктер ұсынды, олардың ішінде франсуз математигі Пьер Фермада бар еді.

Жекелеген арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың мысалдарын тіпті ежелгі вавилиондық және гректік төрт мыңжылдық және одан да көп жыл бұрынғы  жазбалардан кездестіруге болады. Ежелгі грецияда б.э.д бес жүзжыл бұрын мынадай қосындылар белгілі болды:

1+2+3+…+n=  n(n+1);

1+3+5+…+(2n-1)=n²;

2+4+6+…+2n=n(n+1).

Б.э.д екінші мыңжылдыққа қатысты, Вавилиондық кестелерде,сол сияқты египеттік папирустарда , арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың мысалдары кездеседі. Бізге ежелден жеткен прогрессияның есептері адамдардың күнделікті тіршілігімен тығыз байланысты: тағамдарды бөлісу, енші бөлу т.с.с.

Ертеде есепшілер көбіне тастардың көмегімен санады, оларды  дұрыс фигуралар түрінде жинай білді.

Ертедегі Индияның  патшасы Шерам, шахматты ойлап тапқан өнертапқыш Сетаны өзіне шақырып, осындай тамаша ойынды ойлап тапқаның үшін не сыйлайын деп сұрапты. Сонда өнертапқыш,  патшадан шахмат тақтасының бірінші клеткасына 1 дән, екіншісіне – 2 дән, үшіншісіне  – 4, төртіншісіне – 8 және т.с.с.., яғни әр клеткаға, алдыңғыдағыдан екі есе артық дән салуын сұрапты.

Алғашында патша осыншалық аз сұранысқа таң қалады да, тезірек Сетаның өтінішін орындауды бұйырады.

Алайда патша сарайындағы «қор» бұл өтінішті орындауға қауқарсыз болып шығады.

Шын мәнінде бұл өтінішті орындау үшін, мына қосындыға тең дән керек еді 1 + 2 + 2² +.. + 2⁶³, ал бұл қосынды 18446744073709551615 ке тең. Егер1 пуд дән  40000 дәннен тұратынын ескерсек, өтініш орындалу үшін  230 584 300 921 369 пуд дән керек . Егер жылына   1 000 000 000 пуд дән жиналады деп ұйғарсақ,  өткізу керек (бір де бір дән шығын болмаған жағдайда).

Шахматты ойлап тапқаны үшін өнертапқыш,

S₆₄=2⁶⁴-1=18446744073704551615  дән алар еді.

Барлық дән: 18 квинтиллион 446 квадриллион 744 триллион73 миллиард (биллион) 709 миллион 551мың 615

Бұл санның стандарт түрі:    

S ₆₄ = 2⁶⁴ – 1 = 1,84 · 10¹⁹