Кіріспе бөлім. 1 «Прогрессиялар» тақырыбының тарихына қысқаша шолу

Прогрессиялардың, ғылымның әр саласында,ауыл шаруашылығында,өнеркәсіпте , банктегі есептеулерде, табиғатта тарихи есептерде кездесуі.

Есеп №1

АВС үшбұрышының В  төбесінен BD биіктігі және  ВЕ биссектрисасыжүргізілген. ВЕС, АВD, АВЕ  және САВ бұрыштарының шамалары көрсетілген ретпен арифметикалық прогрессияны құрайды. Үшбұрыштың  А төбесінен жүргізілген биіктігінің ұзындығын табу керек, мұндағы  АС=1 см.

Шешуі:                          

a_n = a₁ + d(n – 1)(арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша)

Сонымен біздің прогрессия мынадай түрде: ÷1,1+d,1+2d,1+3d.

∆АВЕ қарастырамыз.Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қасиеті бойынша былай болады

1=3+4 =>1=21+5d=>        1=-5d               

∆ABD қарастырамыз.

Біз екі айнымалысы бар, екі теңдеу алдық, оны бір жүйеге жазамыз.

1=-5d           1=-5d           1=-5d     1=75°

1+2d=45°    -5d+2d=45° -3d=45°     d=-15°

Бұдан алатынымыз   2=60°, 3=45°, 4=30°

3-биссектриссасы   АВС бұрышыныңда (шарт бойынша)бұдан  В=90°,ал   АВ-  ВС қабырғасына түсірілген биіктік.

∆АВС – тік бұрышты, ендеше ВС=АС/2=0,5 см (30° бұрышқа қарсы жатқан қабырғаның қасиеті бойынша).

АС²=АВ²+ВС²(  Пифагора теоремасы бойынша)

АВ²=АС²-ВС²

АВ²=1-0,25

АВ=

АВ=0,5см.

Жауабы: АВ=0,5см.

Есеп №2.

ABCDтрапециясының (AD- табаны)   АС және BD диагоналдары жүргізілген, олар О нүктесінде қиылысады.   AOB,ACB,ACD,BDC  және ADB шамалары көрсетілген ретпен арифметикалық прогрессияны құрайды. Трапецияның  AD табанын табу керек,егер АС=1.

Шешуі:    ADB,ACB,ACD,BDC,ADB бұрыштарын белгілейміз 1,2,3,4,5.

∆COD қарастырамыз: 4+3+1=180°(үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қасиеті бойынша)

an = a1 + d(n – 1)( арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша)

1+3d+1+2d+1=180°

31+5d=180° (1)

1+d+1+4d-1=0

1+5d=0 (2)

(1)  31+5d=180° – 1+5d=0

21=180°

(2)1+5d=180°  90°+5d=180° d=-18°=>    2=72°

1=90°          1=90°             1=90°   3=54°

4=36°

1=90° яғни трапеция тең бүйірлі.

∆ACD қарастырамыз: 4+5=3 бұдан ∆ACD тең бүйірлі,яғни AC=AD=1 см.

 Жауабы:  AD=1 см.

Есеп №3

 Сүйір бұрыштың ішіне n дөңгелек сызылған. Осы дөңгелектердің радиустарының ұзындықтары геометриялық прогрессия құрайтынын дәлелдейік және геометриялық прогрессияның еселігі мен сүйір бұрыштың арасындағы тәуелділікті көрсетейік.

Шешуі:    Сүйір бұрыш – α болсын

Дөңгелектердің центрі арқылы өтетін түзу, α бұрышының биссектрисасы.

Дөңгелектердің радиустарын бұрыштың бір қабырғасына перпендикуляр болатындай етіп жүргізейік

Қабырға мен радиустардың қиылысу нүктелерін  А₁,А₂,А₃,А_4…А_n  деп белгілейміз.

Бұдан = = = =…== tg =k, яғни r₁,r₂,r₃,r₄…r_n  геометриялық прогрессияны құрайды, q= tg.

Осыдан прогрессияның еселігі мен сүйір бұрыштың арасындағы тәуелділікті көрсеттік.

Жауабы:  q= tg.