Прогрессиялардың қолданыс аясы.
Геометриялық есептерді шешуде қолданылады.
Прогрессиялардың, ғылымның әр саласында,ауыл шаруашылығында,өнеркәсіпте , банктегі есептеулерде, табиғатта тарихи есептерде кездесуі.
Есеп №1
АВС үшбұрышының В төбесінен BD биіктігі және ВЕ биссектрисасыжүргізілген. ВЕС, АВD, АВЕ және САВ бұрыштарының шамалары көрсетілген ретпен арифметикалық прогрессияны құрайды. Үшбұрыштың А төбесінен жүргізілген биіктігінің ұзындығын табу керек, мұндағы АС=1 см.
Шешуі:
ВЕС=1
АВD=2
ABE=3
CAB=4 бұрыштары, көрсетілген ретпен арифметикалық прогрессияны құрайды: ÷1,2,3,4
an = a1 + d(n – 1)(арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша)
Сонымен біздің прогрессия мынадай түрде: ÷1,1+d,1+2d,1+3d.
∆АВЕ қарастырамыз.Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қасиеті бойынша былай болады
1=3+4 =>1=21+5d=> 1=-5d
∆ABD қарастырамыз.
BDA=90° =>4+2=90°( Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы туралы теорема бойынша) => 1+2d=45°
Біз екі айнымалысы бар, екі теңдеу алдық, оны бір жүйеге жазамыз.
1=-5d 1=-5d 1=-5d 1=75°
1+2d=45° -5d+2d=45° -3d=45° d=-15°
Бұдан алатынымыз 2=60°, 3=45°, 4=30°
3-биссектриссасы АВС бұрышыныңда (шарт бойынша)бұдан В=90°,ал АВ- ВС қабырғасына түсірілген биіктік.
∆АВС – тік бұрышты, ендеше ВС=АС/2=0,5 см (30° бұрышқа қарсы жатқан қабырғаның қасиеті бойынша).
АС2=АВ2+ВС2( Пифагора теоремасы бойынша)
АВ2=АС2-ВС2
АВ2=1-0,25
АВ=
АВ=0,5см.
Жауабы: АВ=0,5см.
Есеп №2.
ABCDтрапециясының (AD- табаны) АС және BD диагоналдары жүргізілген, олар О нүктесінде қиылысады. AOB,ACB,ACD,BDC және ADB шамалары көрсетілген ретпен арифметикалық прогрессияны құрайды. Трапецияның AD табанын табу керек,егер АС=1.
Шешуі: ADB,ACB,ACD,BDC,ADB бұрыштарын белгілейміз 1,2,3,4,5.
∆COD қарастырамыз: 4+3+1=180°(үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қасиеті бойынша)
an = a1 + d(n – 1)( арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша)
1+3d+1+2d+1=180°
31+5d=180° (1)
1+d+1+4d-1=0
1+5d=0 (2)
(1) 31+5d=180° – 1+5d=0
21=180°
1=90°
(2)1+5d=180° 90°+5d=180° d=-18°=> 2=72°
1=90° 1=90° 1=90° 3=54°
4=36°
5=18°
1=90° яғни трапеция тең бүйірлі.
∆ACD қарастырамыз: 4+5=3 бұдан ∆ACD тең бүйірлі,яғни AC=AD=1 см.
Жауабы: AD=1 см.
Есеп №3
Сүйір бұрыштың ішіне n дөңгелек сызылған. Осы дөңгелектердің радиустарының ұзындықтары геометриялық прогрессия құрайтынын дәлелдейік және геометриялық прогрессияның еселігі мен сүйір бұрыштың арасындағы тәуелділікті көрсетейік.
Шешуі: Сүйір бұрыш – α болсын
Дөңгелектердің центрі арқылы өтетін түзу, α бұрышының биссектрисасы.
Дөңгелектердің радиустарын бұрыштың бір қабырғасына перпендикуляр болатындай етіп жүргізейік
Қабырға мен радиустардың қиылысу нүктелерін А1,А2,А3,А4…Аn деп белгілейміз.
tg = = = = =…= осылай жазуға болады (бұл қатынастар өзара тең себебі tg өзгеріссіз қалады.
Бұдан = = = =…== tg =k, яғни r1,r2,r3,r4…rn геометриялық прогрессияны құрайды, q= tg.
Осыдан прогрессияның еселігі мен сүйір бұрыштың арасындағы тәуелділікті көрсеттік.
Жауабы: q= tg.
Достарыңызбен бөлісу: |