ным фокусом.
.
240
Гл. X. Применение отражения и преломления света
Проведем через точки M и M
плоскости, к а с а т е л ь-
н ы е к преломляющим поверхностям линзы. Эти касательные
плоскости (перпендикулярные к плоскости чертежа) пересекутся
под некоторым углом θ, причем угол θ весьма мал, так как
Рис. 195. Преломление в линзе луча
P M
, параллельного главной опти-
ческой оси. (Толщина линзы и высота
h
изображены преувеличенными
по сравнению с расстояниями
R
1
,
R
2
и
f
; в соответствии с этим и углы
γ
1
,
γ
2
и
θ
на рисунке чрезмерно велики.)
рассматриваемая нами линза — тонкая. Вместо преломления
луча P M M
F
в линзе мы, очевидно, можем рассматривать
преломление того же луча в тонкой призме BAB
, образованной
проведенными нами в точках M и M
касательными плоско-
стями.
Мы видели в § 86, что при преломлении в тонкой призме
с преломляющим углом θ луч отклоняется от первоначального
направления на угол, равный
α = (n
− 1)θ,
(88.1)
где n есть показатель преломления вещества, из которого сдела-
на призма. Очевидно, угол α равен углу ϕ (рис. 195), т. е.
ϕ = α = (n
− 1)θ.
(88.2)
Гл. X. Применение отражения и преломления света
241
Пусть C
1
и C
2
— центры сферических преломляющих поверх-
ностей линзы, а R
1
и R
2
— соответственно радиусы этих по-
верхностей. Радиус C
1
M перпендикулярен к касательной плоско-
сти AB, а радиус C
2
M
— к касательной плоскости AB
. По из-
вестной теореме геометрии угол между этими перпендикуляра-
ми, который мы обозначим ψ, равен углу θ между плоскостями:
ψ = θ.
(88.3)
С другой стороны, угол ψ, как внешний угол в треугольнике
C
1
N C
2
, равен сумме углов γ
1
и γ
2
, образуемых радиусами R
1
и R
2
с осью:
ψ = γ
1
+ γ
2
.
(88.4)
Таким образом, с помощью формул (88.2)–(88.4) находим
ϕ = (n
− 1)(γ
1
+ γ
2
).
(88.5)
Мы предположили, что h м а л а по сравнению с радиусами
сферических поверхностей R
1
и R
2
и с расстоянием f
точки F
от оптического центра линзы. Поэтому углы γ
1
, γ
2
и ϕ также
малы, и мы можем заменить синусы этих углов самими углами.
Далее, благодаря тому, что линза тонкая, мы можем пренебречь
ее толщиной, считая C
1
O = R
1
; C
2
O = R
2
, а также пренебречь
разницей в высоте точек M и M
, считая, что они расположены
на одной и той же высоте h над осью. Таким образом, мы можем
п р и б л и ж е н н о считать, что
γ
1
≈ sin γ
1
=
h
R
1
,
γ
2
≈ sin γ
2
=
h
R
2
,
ϕ
≈ sin ϕ =
h
f
.
(88.6)
Подставляя эти равенства в формулу (88.5), найдем
h
f
= (n − 1)
h
R
1
+
h
R
2
,
(88.7)
или, сокращая на h,
1
f
= (n − 1)
1
R
1
+
1
R
2
,
(88.8)
отсюда
f
=
1
(n −
1
)
1
R
1
+
1
R
2
.
(88.9)
Весьма существенно, что h
н е в х о д и т в о к о н ч а-
т е л ь н ы й р е з у л ь т а т. Это означает, что л ю б о й луч, па-
раллельный главной оптической оси линзы, встречающий линзу
на любом, но д о с т а т о ч н о м а л о м по сравнению с R
1
и R
2