§ 89. Изображение в линзе точек, лежащих на главной оп-
тической оси. Формула линзы. Пусть точечный источник
света находится в точке S на главной оптической оси линзы, на
расстоянии a от ее оптического центра O (рис. 197). Рассмот-
рим, как будет преломляться в линзе у з к и й п у ч о к лучей,
примыкающий к прямой SO, являющейся осью этого пучка
1
).
Пусть один из лучей (SM ) светового пучка падает на первую
преломляющую поверхность линзы в точке M , находящейся на
высоте h над осью. То обстоятельство, что мы ограничиваем-
ся узким пучком лучей, означает, что h мало по сравнению
с расстоянием a от источника до линзы. С другой стороны,
так же как и в § 88, будем считать, что h мало по сравнению
с f
, а следовательно, и по сравнению с радиусами R
1
и R
2
ограничивающих линзу поверхностей. Угол, образуемый лучом
SM с осью, обозначим γ. Так как h мало, то и угол γ мал. Пре-
ломленный луч пойдет по направлению M M
и, преломившись
снова на второй ограничивающей линзу поверхности, выйдет из
линзы по направлению M
S
, составляющему с осью угол γ
.
1
) Такие пучки обычно называют параксиальными (приосевыми).
244
Гл. X. Применение отражения и преломления света
Обозначим через a
расстояние от оптического центра линзы до
точки S
, в которой преломленный луч пересекает главную ось.
Как и в предыдущем параграфе, проведем через точки M
и M
плоскости, касательные к преломляющим поверхностям
линзы. Эти плоскости образуют тонкую призму BAB
с прелом-
ляющим углом θ. Вместо того чтобы рассматривать преломление
луча SM M
S
в линзе, будем рассматривать преломление того
же луча в тонкой призме BAB
.
Выбранный нами луч после преломления отклонится от пер-
воначального направления на угол α, который по формуле тонкой
призмы равен
α = (n
− 1)θ,
(89.1)
где n — показатель преломления вещества, из которого сделана
линза.
Рис. 197. Преломление в линзе луча
SM
, выходящего из точки
S
на
оси. Угол
BAB
и толщина линзы сильно преувеличены
Рассмотрим также луч P M , идущий параллельно главной
оси и падающий на линзу в точке M . Преломление такого луча
уже рассмотрено в § 88 (условие малости h здесь соблюдено).
Мы знаем, что после преломления в линзе этот луч выйдет из
точки M
под углом ϕ к оси и пройдет через главный фокус
F
на расстоянии f
от оптического центра. Точки M
и M
очень близки друг к другу, так что призмы, образованные ка-
сательными в точке M и точках M
или M
, практически не
различаются и имеют один и тот же преломляющий угол θ.
Угол α
, на который отклонится этот луч от первоначального
направления после преломления в тонкой призме, равен опять
Гл. X. Применение отражения и преломления света
245
(n − 1)θ, т. е. равен углу α. С другой стороны, этот угол α
равен,
очевидно, углу ϕ (рис. 197). Таким образом, получаем
α
= α = ϕ.
(89.2)
Но угол α как внешний угол в треугольнике SN S
равен сумме
γ + γ
. Итак, имеем
γ + γ
= ϕ.
(89.3)
Лучи SM , M
S
и M
F
идут под небольшими углами к оси,
т. е. углы γ, γ
и ϕ малы. Заменяя, как и в предыдущем парагра-
фе, синусы малых углов самими углами и пренебрегая толщиной
линзы и разницей в высоте точек M , M
и M
над осью, можно
приближенно написать:
γ
≈ sin γ =
h
a
,
γ
≈ sin γ
=
h
a
,
ϕ
≈ sin ϕ =
h
f
.
(89.4)
Подставляя эти приближенные равенства в формулу (89.3), на-
ходим
h
a
+
h
a
=
h
f
,
(89.5)
или, сокращая на общий множитель h,
1
a
+
1
a
=
1
f
.
(89.6)
В правой части полученного выражения стоит величина 1/f
, ко-
торая, как мы видели в предыдущем параграфе, зависит т о л ь-
к о о т с в о й с т в л и н з ы — от показателя преломления ве-
щества, из которого сделана линза, и от радиусов кривизны ее
преломляющих поверхностей.
То обстоятельство, что в формулу (89.6) не входит величина
h, позволяет сделать очень в а ж н ы е в ы в о д ы, а именно, что
не только луч SM , но и всякий другой луч, выходящий из точки
S, пройдет после преломления в линзе через одну и ту же точку
S
, хотя каждый из этих лучей падает на линзу на р а з н о й
высоте над осью. Единственное, но весьма существенное огра-
ничение, которое мы накладываем на рассматриваемые л у ч и,
состоит в том, что все о н и с о с т а в л я ю т с о с ь ю л и н з ы
м а л ы е у г л ы.
Таким образом, все лучи узкого пучка, выходящие из точ-
ки S, соберутся после преломления в линзе снова в одной точке
S
, являющейся изображением точки S. Мы доказали, следова-
тельно, что образующееся в тонкой линзе изображение точеч-
ного источника, лежащего на главной оси линзы, полученное
с помощью достаточно узкого пучка лучей, является точкой.
246
Гл. X. Применение отражения и преломления света
Изображения, при получении которых выполнено условие
передачи к а ж д о й т о ч к и объекта о д н о й т о ч к о й изоб-
ражения, носят название стигматических. Изображения, у ко-
торых это условие не соблюдено, носят название астигматиче-
ских
1
).
Отметим, что в силу закона обратимости световых лучей
(§ 82) положения источника света S и его изображения S
о б-
р а т и м ы, т. е., поместив источник в S
, мы получим его изоб-
ражение в точке S. Точки S и S
называются сопряженными.
В геометрической оптике особое значение имеет задача по-
лучения стигматических изображений. Степень стигматичности
изображений определяет качество служащих для их получения
оптических систем. Нарушение оптической системой стигматич-
ности падающих на нее световых пучков ведет к расплывча-
тости изображения. В дальнейшем при изучении простейших
оптических систем мы будем уделять большое внимание вопросу
о стигматичности даваемых ими изображений.
Полученная нами формула (89.6) связывает между собой
расстояния от оптического центра трех точек, находящихся на
главной оси линзы: источника S, его изображения S
и фоку-
са F
. Это — основная формула тонкой линзы.
Достарыңызбен бөлісу: |