Көбейту ережесі комбинаториканың негізгі формулаларына да жатады. Теориядан бастайық. Бізге бірнеше әрекеттерді орындау керек делік (а): бірінші әрекет c1 тәсілмен, екіншісі с2 әдісімен, үшіншісі с3 әдісімен және т.б.сәдістерде орындалған соңғы а-әрекетке дейін орындалады. Содан кейін бұл әрекеттердің барлығы (бізде барлығы бар) N тәсілмен орындалуы мүмкін. Белгісіз N санын қалай есептеуге болады? Бұл үшін бізге формула көмектеседі: N = c1 * c2 * c3 * ... * ca. Тағы да, теорияда ештеңе түсініксіз, көбейту ережесін қолданудың қарапайым мысалына көшейік. Он бес қыз бен он ұлмен бірге жиырма бес класты алыңыз. Тек осы жолы бізге екі қызметші таңдау керек. Олар тек ұлдар мен қыздар немесе ұл мен қыз болуы мүмкін. Мәселенің қарапайым шешіміне көшейік. Біз бірінші кезекшіні таңдаймыз, соңғы абзацта шешкендей, біз жиырма бес мүмкін нұсқаны аламыз. Екінші кезекші қалған адамдардың кез келгені бола алады. Бізде жиырма бес студент болды, біз біреуін таңдадық, яғни екінші кезек қалған жиырма төрт адамның кез келгені болуы мүмкін. Ақырында, біз көбейту ережесін қолданамыз және екі қызметшіні алты жүз жолмен таңдауға болатынын білеміз. Біз бұл санды жиырма бес пен жиырма төртке көбейту арқылы алдық.
Пермутация
Енді біз басқа комбинаторлық формуланы қарастырамыз. Мақаланың бұл бөлімінде біз ауыстырулар туралы айтатын боламыз. Біз мәселені бірден мысалмен қарастыруды ұсынамыз. Бильярд шарларын алайық, олардың n-ші нөмірі бар. Біз оларды ретімен орналастырудың, яғни реттелген жиынтығын құрудың қанша нұсқасы бар екенін есептеуіміз керек.
Бастайық, егер бізде доптар болмаса, онда бізде нөлдік орналастыру опциялары бар. Ал егер бізде бір доп болса, онда орналасу да бірдей (математикалық түрде былай жазуға болады: Р1 = 1). Екі шарды екі түрлі орналастыруға болады: 1.2 және 2.1. Демек, Р2 = 2. Үш шарды алты жолмен орналастыруға болады (Р3 = 6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3.2.1; 3,1,2. Ал егер мұндай үш доп болмаса, он немесе он бес? Барлық ықтимал нұсқаларды тізімдеу өте ұзақ уақытты алады, содан кейін комбинаторика бізге көмекке келеді. Орналастыру формуласы біздің сұрағымызға жауап табуға көмектеседі. Pn = n * P (n-1). Егер формуланы жеңілдетуге тырыссақ, онда мынаны аламыз: Pn = n * (n - 1) *… * 2 * 1. Ал бұл бірінші натурал сандардың туындысы. Мұндай санды факториальды деп атайды және n деп белгілейді! Мәселені қарастырайық. Кеңесші күн сайын таңертең өз тобын сапқа тұрғызды (жиырма адам). Командада ең жақсы үш дос бар - Костя, Саша және Леша. Олардың қатар тұру ықтималдығы қандай? Сұраққа жауап табу үшін нәтиженің жалпы санына «жақсы» нәтиже ықтималдығын бөлу қажет. Орын ауыстырулардың жалпы саны - 20! = 2,5 квинтлион. «Жақсы» нәтижелердің санын қалай есептеуге болады? Костя, Саша және Леша бір супермен делік. Сонда бізде он сегіз пән ғана бар. Бұл жағдайда ауыстыру саны 18 = 6,5 квадриллион. Осының барлығымен Костя, Саша мен Леша өз бетінше бөлінбейтін үшеуіне ауыса алады, ал бұл тағы 3! = 6 нұсқа. Бұл дегеніміз, бізде барлығы 18 «жақсы» келісімдер бар! * 3! Біз тек қажетті ықтималдықты табуымыз керек: (18! * 3!) / 20! Бұл шамамен 0,016 тең. Егер пайызбен аударылса, бұл тек 1,6%құрайды.
Енді біз комбинаториканың тағы бір өте маңызды және қажетті формуласын қарастырамыз. Орналастыру - бұл біздің келесі сұрақ, оны біз мақаланың осы бөлімінде қарастыруды ұсынамыз. Біз жағдайды күрделендіреміз. Біз мүмкін болатын ауыстыруларды қарастырғымыз келеді делік, тек барлық жиыннан (n) емес, кішіден (m). Яғни, біз n элементтің m -ге ауыстыруын қарастырамыз.
Комбинаториканың негізгі формулалары оларды жаттап қана қоймай, оларды түсінуге тұрарлық. Олар күрделене түссе де, бізде бір емес, екі параметр бар. M = 1, содан кейін A = 1, m = 2, содан кейін A = n * (n - 1) делік. Егер біз формуланы одан әрі жеңілдетіп, факториалды қолдану арқылы жазуға көшетін болсақ, онда біз мүлдем лаконикалық формуланы аламыз: A = n! / (n - m)!
Комбинация
Біз комбинаториканың барлық негізгі формулаларын дерлік мысалдармен қарастырдық. Енді комбинаториканың негізгі курсын қарастырудың соңғы кезеңіне өтейік - комбинациямен танысу. Енді біз m бар элементтерді n -ден таңдаймыз, ал біз барлық мүмкін болатын жолдарды таңдаймыз. Сонымен, бұл орналасудан қалай ерекшеленеді? Біз тапсырысты санамаймыз. Бұл реттелмеген жиын комбинация болады. Белгілеуді бірден енгізіңіз: C. n -ден m шарлардың орналасуын алыңыз. Біз тапсырысқа назар аударуды тоқтатамыз және қайталанатын комбинацияларды аламыз. Комбинациялар санын алу үшін орналастыру санын m -ге бөлу керек! (m факторлық) Яғни, С = А / м! Осылайша, барлық шарларды таңдауға болатын көптеген шарларға тең келетін n шарды таңдаудың бірнеше әдісі бар. Мұның логикалық өрнегі бар: аз таңдау - бәрін дерлік лақтырып жіберумен бірдей. Сонымен қатар, элементтердің жартысын таңдауға тырысқанда комбинациялардың максималды санына қол жеткізуге болатынын атап өткен жөн.
