Коммерциялық емес акционерлік қоғам

48 

12-Дәріс. Грин функциясы арқылы Дирихле есебін шешу 

 

Дәріс  мақсаты:  жартылай  кеңістік  үшін  және  дөнгелек  үшін  Дирихле 

есебін шешу әдістерімен таныстыру. 

 

I. Жартылай кеңістік үшін Дирихле есебі. Шектік есебінің шешімін табу 

керек 

 

 

Бұл  есепте    кеңістікті  шексіздікте  түйіқталанатың 

  жазықтығы 

ретінде қарастыруға болады. Грин функциясын табу үшін электростатикалық 

аналогияны қолданамыз. 

Егер  q  нүктелік  заряд  өткізгіш  жерге  тұйықталған 

  жазықтығы 

жанында  орналасса,  онда 

  нүктесіне 

  теріс  заряд 

орналастырып 

  облысында  электростатикалық  өрістің  потенциалын 

табуға болады. 

Ізделінді  потенциал  q  және 

 

зарядтар  потенциалдарының 

қосындысына тең болғандықтан, Грин функциясын келесі түрде анықтаймыз: 

 

, 

мұндағы: 

 

, 

 

 

. 

 

 кеңістігінде 

 болады, сондықтан 

 

. 

 

Енді    кеңістігіне  сыртқы  нормаль  бойынша 

  функциясының 

туындысын аламыз:  

 

. 

 

Онда жартылай кеңістік үшін Дирихле есебінің шешімі:  

 

.         (12.1) 

 

49 

(12.1)  теңдеуінін  оң  жағындағы  интеграл  жартылай  кеңістік  үшін 

Пуассон интегралы деп аталады. 

 

II. Дөнгелек үшін Дирихле есебі. Айталық 

 жазықтығында радиусы 

  тең  центрі  бас  нүктеде  орналасқан  шеңбер  берілісін.  Бұл  шеңберде  кайсы 

бір 

 функциясы анықталсын, мұндағы   – полярлық бұрыш.  

Есептің  қойылуы:  шеңберде  және  оның  шекарасында  үзіліссіз,  шеңбер 

ішінде 

 Лаплас теңдеуін қанағаттандыратың және шекарасында: 

 

                                               (12.2) 

 

берілген мәндер қабылдайтын 

 функциясын табу керек. 

Есепті  полярлық  координаталарда  шешеміз,  онда  Лаплас  теңдеуінін 

жазылуы: 

 

немесе 

. 

 

Шешімін  Фурье  әдісімен  іздейміз: 

,  оның  нәтижесінде 

Штурм-Лиувилль есебін шешіп, келесі шешім аламыз: 

 

.         (12.3) 

 

(12.2)  шарттарын  қанағаттандыратын 

  және 

  тұрақтыларды 

таңдаймыз. Енді (12.3) теңдікке 

 қойып (12.2) шарттың негізінде аламыз: 

 

.           (12.4) 

 

(12.4)  теңдік  орындалуы  үшін 

  функциясы 

  аралығында 

Фурье  қатарына  жіктелуі  тиіс  және  оның 

  және 

  коэффициенттері 

Фурье  қатарының  коэффициенттері  болуы  керек.  Сондықтан 

  және 

 

келесі формулалар бойынша анықталуы қажет: 

 

 .       (12.5) 

 

Сонымен, (12.5) формулалар бойынша анықталған коэффициенттері бар 

(12.3) қатары шеңбер үшін Дирихле есебінің шешімі болады, егер ол   және   

бойынша  мүшелеп  екі рет  дифференциалданса. 

  және 

  коэффициенттері 

орнына  (12.5)  формулалары  бойынша  анықталған  мәндерін  қойып, 

50 

тригонометриялық  түрлендірулер  орындап  шеңбер  үшін  Дирихле  есебінің 

шешімін Пуассон интегралы түрінде аламыз: 

 

. 

 

Мысал. 

  (

  –  полярлық  координаталар)  және 

шекарасында 

 функциясы: 

 

 

 

мәнін  қабылдайтын  дөнгелек  болғанда 

  Лаплас  теңдеуі  үшін  Дирихле 

есебін шешіңіз. 

 

Шешуі. Фурье әдісі бойынша шешімін келесі түрде іздейміз: 

 

,

 

 

мұндағы 

 

–  шекаралық  шарттар  арқылы  анықталатын 

коэффициеттер. 

Белгілеу еңгіземіз: 

. 

 

Егер 

 болса, онда соңғыдан аламыз: 

 

, 

 

 

яғни 

  функцияның  Фурье  қатарына  жіктелуі 

 

функцияның  Фурье  қатарына  жіктелуінен 

 

көбейткішінде  ғана 

айырмашылығы  бар.  Сондықтан  дөнгелектегі 

  Лаплас  теңдеуі  үшін 

Дирихле  есебінің  шешімін  алу  үшін 

  көбейткішін 

 

функциясының  сәйкес  жіктеу  мүшелеріне  қосу  керек.  Есептің  берілуі 

бойынша шекаралық шарты:  

 

 

 

яғни n=7 деп аламыз да, Дирихле есебінің шешімін табамыз: 

 

. 

 

 

Жауабы: 

 

жүктеу/скачать 1,79 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: