-Дәріс. Толқындық теңдеуі үшін Коши есебі

42 

Екінші теңдікті интегралдап, аламыз: 

 

,                           (10.4) 

 

мұндағы C − тұрақты. 

(10.3)  және  (10.4)  теңдіктерден 

  және 

  функцияларын 

анықтаймыз: 

 

, 

 

 

. 

 

Алынған өрнектерді формулаға қойып Коши есебінің шешімін аламыз: 

  

. 

 

Мысал. 

Бастапқы 

шарттары 

, 

 

қанағаттандыратың 

 теңдеуі үшін Коши есебін шешіңіз  

Шешімі. Берілген теңдеу гиперболалық типті: 

 

. 

 

Сипаттамалық теңдеуі:  

 

. 

Оның шешімі: 

 

. 

 

Айнымалыларын  алмастырып 

,  қажетті  дербес 

туындыларын табамыз: 

 

     

     

, 

 

     

     

, 

 

     

 

 

, 

 

43 

     

 

 

, 

 

     

 

 

. 

 

Берілген 

  теңдеуге  анықталған  екінші  ретті 

дербес туындыларын қойып, аламыз: 

 

, 

 

сонда канондық түрі: 

. 

 

 

Коши есебінің жалпы шешімінің түрі: 

 

 

 

Берілген бастапқы шарттарты қолданамыз: 

 

 

 

және 

 

 

 

Келесі теңдеулер жүйесін аламыз: 

 

 

 

Бұл жүйенін екінші теңдеуін интегралдап, аламыз: 

 

, 

онда: 

. 

Осыдан: 

, 

 

44 

. 

Сонымен: 

, 

 

. 

 

 

Берілген Коши есебінің жалпы шешімі: 

 

 

 

. 

 

 

11-Дәріс.  Эллипстік  типті  теңдеулер.  Лаплас  және  Пуассон 

теңдеулері. Грин функциясы арқылы есептерді шешу 

 

Дәріс  мақсаты:  Стационар  Лаплас  және  Пуассон  эллипстік  типті 

теңдеулерді қарастыру, есептерді Грин функциясы көмегімен шешу. 

 

Әртүрлі  физикалық  стационарлық  процестерін  зерттеу  кезінде 

(тербелістер,  жылу  өткізгіштік,  диффузия  және  т.б.)  әдетте  эллипстік  типтегі 

теңдеулер  пайда  болады.  Осы  типтегі  кеңінен  таралған  теңдеу  -  Лаплас 

теңдеуі: 

 

.                                                     (11.1) 

 

Анықтама.  Егер    функциясы  Т  аймағында  2-ші ретті туындыларымен 

бірге үздіксіз болса және Лаплас теңдеуін қанағаттандырса, онда бұл функция 

Т аймағында гармониялық деп аталады.  

Анықтама.  Лаплас  теңдеуін  қанағаттандыратың  функция  гармониялық 

функция деп аталады. 

Егер жылу көздері болса, келесі теңдеуді аламыз: 

 

,         

,                                     (11.2) 

 

мұндағы  F  -  жылу  көздерінің  тығыздығы,  k  -  жылуөткізгіштік 

коэффициенті. 

Біртекті емес Лаплас (11.2) теңдеуін Пуассон теңдеуі деп атайды. 

(11.1)  Лаплас  теңдеуін  қарастырайық.  Лаплас  операторының  келесі 

координаттар жүйелерінде анықталынуы: 

декарттық координаттар жүйесінде 

 

45 

,                                                  (11.3) 

 

цилиндрлік координаттар жүйесінде: 

 

,                                 (11.4) 

 

сфералық координаттар жүйесінде: 

 

.        (11.5) 

 

Лаплас  және  Пуассон  теңдеулері  үшін  есептерді  шешуде  сфералық 

немесе  цилиндрлік  симметриясы  бар  Лаплас  теңдеуінің  шешімдері  маңызды 

рөл атқарады. 

  функциясы  тек 

  нүктесінен  координаталарының  бас 

нүктесіне  дейінгі 

  қашықтыққа  байланысты  болғанда 

сфералық симметрия  шартын қанағаттандыратын  Лаплас теңдеуінін шешімін 

табайық.  

Сфералық координаталар жүйесінде Лаплас теңдеуінің түрі: 

 

                                        (11.6) 

 

(11.6) теңдеуін интегралдап, аламыз: 

  

,         

,         

. 

 

 және 

 болғанда, келесі функцияны аламыз 

 

.                                                  (11.7) 

 

Бұл  функция 

  нүктесінен  өзге  нүктелерде  Лаплас  теңдеуін 

қанағаттандырады,  тек 

  нүктесінде  (11.7)  функциясы  шексіздікке 

айналады.  

(11.7) функциясы кеңістіктегі Лаплас теңдеуінің фундаменталды (іргелі) 

шешімі деп аталады. 

Осьтік  симметрия  есебінде  цилиндрлік  координаталар  жүйесіндегі  u 

функциясы    және  z  тәуелсіз  болған  кезде  Лаплас  теңдеуі  келесі  түрде 

жазылады: 

 

.                                     (11.8) 

46 

(11.8) теңдеуді интегралдап, аламыз: 

 

,       

,       

. 

 

 және 

 деп ұйғарып, аламыз 

 

,         

.                                          (11.9) 

 

Бұл  функция  жазықтықтағы  Лаплас  теңдеуінің  фундаменталды  шешімі 

деп аталады. 

Грин  функциясы.  Лаплас  теңдеуі  үшін  Дирихле  есебін  шешу.  Дирихле 

есебінің: 

 

                                      (11.10) 

 

Грин  функциясы  деп  келесі  шеттік  есебінің  жалпыланған  шешімі 

болатын 

 функцияны айтады: 

 

         (11.11) 

 

мұндағы 

  –  үздіксіз 

  функциясы  анықталған  түйық  бетімен 

шектелген аймақ. 

  Грин  функциясы 

  ерекшілігіне  ие  болғандықтан,  оны 

мына түрде жазуға болады: 

 

, 

 

мұндағы 

  -  келесі  шеттік  есебінің  шешімі  болатың  гармониялық 

функция: 

. 

 

Гриннін  екінші  формуласын  жазайық,  мұнда  u  функциясы  ізделінді 

(11.10) Дирихле есебінің шешімі және 

:  

 

.                   (11.12) 

 

Енді 

47 

 

 

ескерсек және   облыста 

 

    және    

 

 

болатының ескерсек, онда (11.12) формуладан аламыз: 

 

. 

 

Бұдан: 

.                         (11.13) 

 

Бұл  формула 

  Грин  функциясы  белгілі  болғанда  Дирихле 

есебінің кез келген 

 нүктесіндегі шешімін береді. 

Грин функциясының анықтамасын қолдана отырып, Дирихле есебі үшін 

Грин 

функциясының 

келесі 

электростатикалық 

түсіндірмесін 

(интерпритациясын) береміз. 

Айталық  q  нүктелік  заряд  өткізгіш  жерге  тұйықталған  беттің  ішіндегі 

 нүктесінде орналассын (сурет 11.1). 

 Грин функциясын P бетінің 

ішіндегі 

 нүктесіне орналастырылған  нүктелік заряд 

 нәтижесінде 

пайда болатын өрістің потенциалы ретінде қарастыруға болады. 

 

 

11.1 сурет  

 

Бұл  өрістің  потенциалы  q  нүктелік  заряд  өрісінің  потенциалынан  және 

қарама-қарсы таңбалы P бетінде индукцияланған зарядтар нәтижесінде пайда 

болатын өрістің потенциалынан тұрады. Мұндай электростатикалық ұқсастық 

электростатика  мәселелерін  шешуді  қолдана  отырып,  қарапайым  формалар 

(жартылай кеңістік, шеңбер) үшін Грин функцияны құруға мүмкіндік береді. 

жүктеу/скачать 1,79 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: