Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| 2
k hJiaD Дәлелдеуі. Эрине, егер / ( / ) мен g(t) гүпнұсқалары s, мен s2 өсу көрсеткіш- ті түпнұсқа болса, онда f { t ) g { t ) көбейтіндісі де көрсеткіші s = s l + s 2 тұпнүсқа болады. Лаплас түрлендіруін қолданып, 00 00 Г 1 а+,'°° ] j f ( O g ( t ) e ~ P'dt = jN — J F ( q ) e 4'dq \g(t )e-p'dt = 0 0 [ Z .7 T I a -joo J 1 6 + 1 0 0 f 00 ) 1 6 + / 0 0 = — J F ( q ) \ \ g ( t ) e - ^ )‘d t \ d q = = — \ F ( q ) G ( p - q ) d q . 2 m hL І0 J 2 m hi*> 3. В о льтер р ан ы ң и н тегр ал д ы қ тевдеуі. 1) Лапластың түрлендіруін х (р{ х) = Ц К ( х - s)(p{s)ds + f ( x ) a интегралдық тендеуіне қолданайық. 133 К( х ) пен f ( x ) функциялары (x > 0) үзіліссіз функциялар жэне тұпнұскалар болсын. Егер АГ(лг)| < M xe s'x, | / ( jc )| < М 2е гХ болса, онда тендеудің шешімі <р(х)- ті \(р{х)\< М ^ е ' \ 53 > m ax { s,,s2} түрінде бағалау қиын емес. Демек, <р(х) функция- сы да тұпнұсқа. (р{х) = ф{р), К ( х ) = К ( р ) , f { x ) = Ғ ( р ) болсын. Берілген тендеудің екі жағы- на да Лаплас түрлендіруін қолданып, оған (124) өрнегін пайдалансақ, ф(р) = ф(р) = Ак(р)ф(р) + Ғ(/?)тендеуін аламыз. Бүдан Ф(Р) = Ғ ( р ) 1 - Ак(р) (125) Бұл өрнектегі ф(р) функциясы R e p = s > s 2 жарты жазыктығында анали- тикалық болуы үшін (125)-тің бөлімінің R e p > s 3 жартыжазықтығында түбірлері болмауы керек. Лапластың (Меллинше кері түрлендіріп) тұпнұсқа табу формуласын пайдаланып, 1 1 ' Т Ғ ( р ) 2т 5 ,, 1 - Ак(р) е р'dp, s > s } функциясын анықтаймыз. (125) теңдігін ф(р) - Ғ { р ) = , Щ , - s Ғ ( р ) 1 - Ак(р) 1 - Ак(р) түрінде немесе ф(р) - F ( p ) + A R( p ; A) F( p ) түрінде жазуға болады, мүндағы, R(p;A) = к( р) І - А к ( р ) Егер R(p;A) = R(t;A) екені белгілі болса, онда берілген теңдеудің шешімін (р{х) = f ( x ) + A J R(x - л-; A ) f (s)ds 0 түрінде табамыз, мүндағы, R(x;A) теңдеу ядросының резольвентасы. х 1 -мысал. (р{х) = cosx + 1 е Нхч)(p(t)dt тендеуін шешу керек. 0 Шешуі. е ' = ------ болғандықтан, теңдеуге Лаплас түрлендіруін қолданып р + \ 134 / p ф{р) = + p +9 p + 9 ФІР) өрнегін аламыз. Бұдан Ф(Р) = + 1 р 2 + 9 р 2 + 9 Соңғы өрнектен түпнұсқа тауып, интегралдық тендеудің шешімін 1 . (о(х) = cos Зх + - sin Зх 3 түрінде анықтаимыз. 1-текті х J К ( х - s)(p(s)ds = / (х) интегралдық тендеуін қарастырайық. бұған Лаплас түрлендіруін қолданып, К ( р ) ф ( р ) = Ғ ( р ) өрнегін аламыз. Бұдан Ф(р) = Ғ { Р ) К ( р ) Егер АГ(0) * 0 болса, онда соңғы өрнекке Лапластың кері түрленуін қолда- нып, тендеудің шешімін ± J F ( p ) Г 2 m . L K ( түрінде табамыз. j : 2-мысал. 1-текті х 4 = + 6xt - l t 2)(p{t)dt интегралдық теңдеудің шешімін 0 х табайық. Ядро K ( x , t ) = S ( x - t ) t - ( x - t ) 2. Сондықтан тендеуді x 4 = J ( x - О JC x - t ) 2(p(t)dt + 8j ( x - t)t(p{t)dt түрінде жазып, одан кейін х(р(х) = ф*(р) екенін ескеріп, соңғы тендеуден 4і з 8 4 = 4 - ф ( р ) - — ф '( р ) р р р і— 4 / ч 4х С өрнегін аламыз. Бұдан ф(р) = с \ ] р + жэне (р(х) - — + — түрінде теңдеудің 3 Р ‘ шешімін аламыз. 135 |