Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| K ( x , s ) < p ( s ) d s = f ( x )
(141) а Вольтерраның 1 -текті интегралдық теңдеуі деп белгілейік. Мына интегралдық тендеулердің біртекті-біртекті емес, сызықтық-сызыкты емес жағдайларын жэне қандай топқа жататынын анықтаңыз. і 0.1. (р{х) = ЛJ (х 2 + xs)cp(s)ds + cos х. 0 1 0.2. q?(x) = (x 2 + s(p{x))(p{s)ds + sin 2x. о 0.3. (p(x) = /if(In — + 1 п - ) ^ ( а ) с / а + x 2. о 5 X 3 0.4. (p{x) = A j (x - s)yj 144 0.5. (p(x) = A J \lS(p{x) + x(p{s)\is - 2x. I 2 0.6. (p{x) = A J \ cos 5 + s(p(s)\is + x e ~x. 0.7. (p{x) = Aj 1 A \ns + 2 In l y/S J (p2 (s) +sx(p(s) ds. 0.8. (p(x) = A j x ^ s ) - s)ds + —. о 2 0.9. cp(x) = A jlx( i L 0. 10. ^ ( x 2s-\)cp(s)ds = e 2x. 0 0.11. J (xs2(p(s)- X2 s)ds = ~ e2- к 0.12. (p(x) = 2J cos(x - s)(p{s)ds + x. о n 2 0.13.#>(x) = - 3 js in (x - s)(p{s)ds. о j I . 2 2 0.14. f+ ^ + f» (s)a !s = 2 x \ о x +1 X 0.15. Д ху ^ х ) - 2(p(s)\ls. 0 Бұдан былай жоғарғыдағы интегралдық теңдеулердегі берілген бос мүше / ( х ) пен K ( x , s ) -ті өзекті үзіліссіз немесе квадраттарымен интегралданатын функциялар деп ] \ f ( x ) \ 2dx < +оо, (142) һ һ J J|A^( x ,5 )| dxds < +оо, (143) яғни / ( х ) , K ( x , s ) е L 2[a,b] деп ұйғарамыз. (143) шартын қанағаттандыратын K ( x , s ) функциясын Фредгольм өзегі деп атайды. Енді Фредгольм өзектеріне мысалдар келтірейік. 1 -мысал. К ( х , s) = x s , a < x , s < b , мұндағы, а , Ъ -ақырлы сандар. 145 j J x 2s 2dxds = ^ x 2d x ^ s 2ds = - ( b 2 - a 3)2. и и a a 9 Егерде a,b сандарының ең болмағанда біреуі шексіз болса, онда жоғарғы тұжырым дұрыс болмайды. 2-мысал. K ( x , s ) = Ендеше, 2 . 2 X + S , а = 0, b = 1 болсын. і і ! ! ( І 2 Н 2) 2 2 о J o ( x 2 + 5 2) 4 I і сЬс 'rd( х 2 + 1) х 2 х 2 +1 демек, бұл өзек Фредгольм өзегі болмайды, ал егер а = - 1, 6 = 1 болса, онда ол Фредгольм өзегі болады, себебі XS 1 1 1 -dxds = — f xdx (" ( x 2 + s 2)2 2 J, J, d ( x 2 4 - s 2) (x 2 + s 2) 2 яғни бұл жағдайда - Фредгольм өзегі. х 2 + s 2 Төмендегі берілген функциялардың Фредгольм өзегі болатын немесе болмайтынын анықтаңыз. ЕЕ Е2. ЕЗ. Е4. Е5. Е6. Е7. Е 8. Е9. 1 у / х + S 1 y / x - S - S е V х + 1 - S е у/х + 1 - \ , Ь = 00. - 0 , Ь = 00. , а =1 , Ь = 2 . , а = 1 , Ь = 2. , а = 0, b =оо. , а = 0, b = с < -і-оо. = Е b =оо. х + cos s, 0, b =00 О < X , 5 < — . 2 146 1. 10. x + tgs, 0 < x, s < — 2 1. 11. sin xv, 0 < x, s < — 2 Берілген функцияның интегралдық тендеуді қанағаттандыратынын көрсету. 1-мысал. <р(х) = sin х функциясы (р(х) л 4 } 2 - I cos(x - s)(p(s)ds---- cosx Л о Л Фердгольмнің 2-текті интегралдық тендеуінің шешімі болатынын анықтау керек. Шешуі. Тендеуге (р(х) - si nx функциясын қоямыз л 4 } . 2 2 (р{х) - — I cos(x - ^ )sin s d s ---- cosx <=> sin x = cosx + Л о Л 7Г -\— Jfcosxcos^ + sinx sin s]sin.vc/v Л 0 2 4 si nx = ---- cosx + — л Л 1 Л . —cosx H— sinx 2 4 16 <=> sinx = sin X . 2-мысал. [ (x + s)(p(s)ds = — x 2 теңдеуінің шешімі ( p ( x ) - y f x екенін о 15 көрсетейік. Расында да, белгісіз функцияның орнына у[х шешімін қойсақ ]6 ^ 15 5 х X2 = |( x + 5)V5t/v 16 15 2 ^ 2 x — s 1 + — S ‘ Л 16 = — X". 15 2 \ Л 3-мысал. J cos(x + s)(p{s)ds = - cos x ----sin x тең деуінің шешімі (p(x) = 0 2 4 = s i nx функциясы болады. Тексеріп көрейік: J cos(x + s) sin sds = J (cosx cos ^ - s i n x sin s) sin sds = co sx ( cos 2s V si nx s s i n 2.v 2 ~ 4 n 2 1 Л . = — c o s x ---- sinx. 2 4 Берілген функциялар мына интегралдық тендеулердің шешімі болатынын анықтаңыз: 147 1. ф(х)= 2. <р(х) = 3. <р(х) = 4. <р(х) = 5. (р(х) 6. <7?(х) = 7. <р(х) = б | —— S-(p{s)ds + (7х — 1 6) jc 2 +1, (р(х) ~ \ - х 2. о 5 + 1 X J c tg s ( p ( s ) d s , (р(х) = s in х. о ' , 3 5 , 1 3| (1 -sx)(p(s)ds + х 2 + — х ---- , (р{х) = х 2 + —. о 2 2 2 f г - v 3 J — j ^ x p { s ) d s - х \ (р{х) = 6 х 2. о Л/ S * 1 ] f 7----- = = /г, <р(х) = о y / x - S J x s i n X (p (x )d s = —, #?(x) = COSX. о 2 3 I 3 r — - J ( x.v + V x )(p {s)d s — x , (p (x ) = v x . 2 о 5 z 8. #>(x) = J s i n x I n - s I (p(s)ds + x, (p{x) — x + 7iy s i n X. 1 . f s i n x c o s S0>(5)<& + 1 — s i n x , (p{x) = 1 + s i n x . n 2 — I ^X. + (p{s)ds + V x - V x + 1, (p(x) = V x . 2 о Vl + X 9. (p{x) 10. 1 1. (p{x) 12. p(x) 13. 14. j e 0 дг 1 j 15. #?(x) - I . — -= V x , ^?(x) - - . о V x - s 2 = - j (3x5 - 4 s 2 }p(s)ds, = j ex s(p{s)ds + e , О x * = j xs(p(s)ds + x, (p(x) = xe - . ( x 1 \ — + 1 . V 7 § 8.2. Интегралдық және дифференциалдық тендеулер арасында» ы байланыс 1. Тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеулер үшін Кошндің кейбір есептерін Вольтерраның екінші текті интегралдық теңдеуіне келтіру: 1 мысал. у \ х ) + /? ( х ) /( х ) + Ф ) у ( х ) = f i x ) ( 1 44) 148 теңдеуінің У(0)=а0, / ( 0) = я, бастапқы шарттарын қанағаттандыратын шешімін табу керек. Ол үшін у " ( х ) = (р{х) белгілеуін енгізіп, бүдан х у ' ( * ) = я, + J (p(s)ds 0 жоне х у(х) - а 0 + <з,х + J(x - s )(p (s )d s 0 теңціктерін аламыз.Енді осы өрнектерді (144) теңдеуіне қоямыз: (145) ф(х) + 1 p{x)(p(s)ds о + а хр{х) + a()q ( x ) + axxq(x) + g (x )J(х - s)(p{s)ds = / (х), О яғни өзегі ал бос мүшесі К(х, s ) - р(х) + (х - ^)^(х), Ғ ( х ) = / ( х ) - а хр ( х ) - (а0 + axx)q(x) болатын Вольтерраның 2 текті тендеуін аламыз: (р(х) = J K{x,s)(p{s)ds = F(x). о 2 мысал. у w + x 2y" + 4x7 = x e *, У (0) = 1, / ( 0 ) = -1, У (0 ) = 0 Коши есебіне сэйкес келетін интегралдық теңдеуін табайық. Ол үшін у т( х ) = (р{х) белгілеуін енгізіп х X * ^ у ”(х) = J (p(s)ds, у \ х ) +1 = J ( x - s) (х) - 1 + х = J ---- — L^p(s)ds 0 о 0 2 теңдіктерін аламыз. Енді бүл өрнектердегі у( х) , у (х), у (х) функцияларын интегралдармен алмастырсақ, х (р(х) + J [х2 2х(х - spp{s)ds - хе х + 4х(1 - х) о 2-текті Вольтерра тендеуін аламыз. 149 Төменде берілген Коши есептеріне сэйкес келетін интегралдық тендеулерді табыңыз. 2. 1. у ' + 2ху = е х, у ( 0 ) = \. 2.2. у ' - 2 у ' + у = 0 , у ( 2 ) = 1, / ( 2 ) = - 2 . 2.3. у" - sin ду' + е ху = х , у (0) = 1, у '( 0) = - 1 . 2.4. у " + ху = е ' , у (0) = 1, У (0) = / ( 0 ) = 0. 2.5. y ' v + у" - у = 0 , у (0) = У ( 0) = у "(О) = 0, у "( 0) = 1 • 2.6. У + дсу = jc + 1, у (0) = 1. 2.7. у" - х 2у = 4х - х 2, у (0) - 1, У (0 - 0 . 2.8. у т- 2 х 1у' + 4 у = 2 х 2 + 8, у (0) = 2, / ( 0 ) = 0 , / ( 0 ) = -1 . 2. Дифференциалдық теңдеу үшін берілген кейбір шекаралық есептерді Грин функциясы арқылы интегралдық тендеуге келтіруге болады. Бұл мэселені жалпы жағдайда келтірейік. у \ х ) + р{х)у' {х) + q( x) y( x) = f ( x ) (146) тендеуін у( а) = А , у ( Ь ) = В (147) шекаралық шарттарымен бірге қарастырайық. Кэдімгі дифференциалдық тендеулер курсында ( 146)-( 147) есебінің шешімі Грин функциясы арқылы у ( х) = J G ( x , s ) f ( s ) d s (148) a түрінде жазылады. Егер (146) өрнектегі f { x ) функциясы f { x , ( p ( x )) түрде белгісіз функцияға да тәуелді күрделі функция болса, онда (148) формуладан у( х) = j G ( x , s ) f ( s , y ( s ) ) d s интеградық тендеуін аламыз. 1 -мысал. у ” = Ау + х 2 УІ 0) = У ( к ^ ) = 0 шеттік есебі берілсін. Бүл есепті интегралдық теңдеуге келтірейік. Шешуі. Алдымен / = 0, у (0) = 4 1 j = 0 150 біртекті есеп үшін Грин функциясын анықтайық. у"(0) = 0 теңдеуінің шекаралық к шарттарын қанағанттандыратын у ] (х) = х , у 2 (х) = х - — сызық-тық тэуелсіз шешімдері болатындықтан Грин функциясы У М У г ( £ ) G ( x , & = Щ ) , 0 < х < £ , түрінде жазылады, мұндағы, А ( й = # * - § 1 1 П 2 Демек, f [тг ( 2 <5-\\х, 0 < х < £, \ х - 1 IV я" ) £ £ < * < п Енді осы Грин фукциясын интегралдық теңдеудің өзегі деп қабылдасақ, онда бұл есеп үшін интегралдық тендеу У(х) = / О ) - G(x,g)y(€)d<*, мұндағы, № = I С Ц х , & Ч 4 = I f — - 1W + № - 1W lrf0 o V ^ У о \ л ) 12 П5 Л х - 8 Мысал. Шеттік есеп y ’ - k 2y = f ( x , y ) , у(0) = у(\) = 0, k = const берілсін. Бұл есепті Грин функциясы арқылы интегралдық тендеуге келтірейік. Біртекті у" - к 2у = 0 теңдеуінің екі сызықтық тэуелсіз шешімдері = е кх, у 2 = е ь , ал шекаралық шарттарды қанағаттандыратын сызықгық тәуелсіз шешім- дері у х (х) = е* - е ь , у 2 (х) - е Цх' п - е к{х' х\ Сондықтан: 151 л G(x,g) = С,(4){еь - е ^ \ 0 < х < 4 , С Л 4 І I ^ ^ 2 ’ G(x, J;) үзіліссіз функция, демек, C,(4)(el£ - e и ) = С 1( 4 І е Щ и _ е кЦ-\) туындысы G '(£ ,x ) функциясының х = £ нүктесінде үзілісті ( ---------секірмелі), яғни олай болса, P i t ) - С \ к е ц + к е кі) + С гк{ещ " +С2(е*({‘" +е-щ -І)) - С , ( е ‘4 + е~‘#) = 1 Д = 2(е‘ - е ‘ ), С ,(£) = 7Ц е вд-', - е - ад- Д С2(^) = Х ( е “ - е * ) М А:Д Демек, Грин функциясы G ( x , & = 1 2к(ек - е к) \ е кх - е-кх \ е щ ~" - ), 0 < х < £ (ец - е~ц \ е к(х-Х) - е~к(х~Х)\ % < х < 1. Олай болса, берілген есепті y (x) = j G ( x , 4 ) f ( 4 , y ( 4 ) ) d 4 0 интегралдық теңдеуге келтірдік. Мына шеттік есептерді интегралдық теңдеулерге келтіріңіз: 2.2. 1. у ” = Лу + ех, у(0)= у ( 1) = 0 . 2.2.2. у ІУ=Лу + 1, у (0 )= у '(0 ) = 0, У*(1) = У"Г(1 ) = 0. 2.2.37 у ' = Ау + е х, у(0)= у ’(0) = 0, у (1 )= у '(1 ). 3. Көп жағдайда Вольтерраның 2-текті интегралдық теңдеулерін жай диф- ференциалдық теңдеу үшін Коши есебіне келтіруге болады. Мысал. х (р(х) - sin х + j sin(x - s)q>{s)ds о теңцеуш шешу керек. 152 (149) Бұл теңдеуді біртіндеп дифференциаддайық: X (р'{х) - c o s x + J cos(x - s)(p {s )d s , о ( р \ х ) - - s in х + ср(х ) - J s i n ( x - s)q)(s)ds. о (150) (151) (149) пен (151) тендеулерінен Jsin(x - s)(p (s)d s интегралын жойсақ, ф{х) О функциясы үшін (р"{х) = 0 тендеуін аламыз. Ал (149), (150) тендеулерінен cp(fy = = 0, (рХ0) = 1 бастапқы шарттарды анықтаймыз, яғни <р\0) = 0, ф(0) = 0, <р'(0) = 1. Біз Коши есебіне келдік. Ал бұл есептің шешімі ф(х) = х. Мына төменде берілген Вольтерраның интегралдық тендеулерін кэдімгі дифференциалдық тендеулерге келтіріп шешіңіз: 2.9. ф(х) = [ / S + \ 2 < p{s)ds + х. о (х + 1) X 2. 10. j е х Ss = х. 0 х 2 .11. (р{х) = Jsin(x - s)(p{s)ds + х 2. О X 2. 12. j cos(x - s)cp(s)ds = 2 sin x + x. 0 X 2.13. (p(x) = e x + J (p{s)ds. 0 X 2.14. (p (x) = 1 + \ s ( p ( s ) d s . 0 1 x 2.15. #?(x) -- ------ - + f sin(x - s )(p { s )d s . 1 +x о X 2.16. (p{x) = e x c o s x - J c o s x e {x s)(p{s)ds. 0 x 2.17. 0>(x) = 4 ^ r + +3x - 4 - j (x - s )(p { s )d s . 2 . 1 8 . ф { х ) = x - 1 + J ( x - s )(p { s )d s . 0 1 x 2 . 1 9 . ф ( х ) = s i n x + - J ( x - s ) 2 2 о x 2 . 2 0 . ф ( х ) = c h x — J ^ ( x - s ) ( p ( s ) d s . о 153 2.21. (p(x ) = x+|,( 4 sin(x-s)-x + ,s,)0>(1s)*/.s. 0 x 2.22. (p(x) = 1 + J [(x - ^ ) 2 - (x - s)\p(s)ds. о жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|