Курсы оқу құралы
§ 8 .7 . Ш е к а р а с ы (
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
§ 8 .7 . Ш е к а р а с ы ( x ,+ qo ) б о л ғ а н В о л ь т е р р а н ы ң и н т е г р а л д ы қ т е қ д е у л е р і М ына ф ) = f ( x ) + $K( x- t ) (166) Вольтерраның интегралдық теңдеуін Лаплас түрлендіруімен шешуге болады. Лапласт түрлендіруінің қасиеті бойынша со fK (x-0 < p (,0 Л * К ( - р Ш р ) (167) орынды, мұндағы, X 165 К(-р) = \ к { - х ) е рх(1х, ф(р) = <р(і). 0 Интегралдық (166) теңдеуге Лаплас түрлендіруін қолданып, өрнегін аламыз, бұдан ф(р) = Ғ( р ) + К( - р) ф( р) Ф(р) Һ р ) і - к ( - РУ (К(-р)*1). Егер K ( - p ) , f ( p ) функциялардың аналитикалық функциясы болатын аймак- тары бір-бірімен қиылысып жататын болса, онда берілген теңдеудің жеке шешімі үшін А + іао <Р(Р) = Ғ{р) -срх dp. (168) Мысалы. (р{р) = х + J е 2х '(p(t)dt интегралдық теңдеуіне Лаплас түрлендіруін пайдалансақ, демек, - — ф ( р )=> ф ( р ) = 2 - P Р - 2 Р2( Р - 1 ) ’ <Р(Х) = 1Г-. J \ 2т А + і со 9рх А - іс с Р - 2 Р - 1 dp (О < Л < 2 ) . Мұны шегерінді эдісімен шешіп (р = 0, р = 1 - еркше нүктелер), нотижесінде тендеудің шешімі (р{х) = 2х + 1 + Сех, С = const. Мына интегралдық тендеулерді шешіңіз: 00 7.1. tp{x) = е х + j х 00 7.2. (р(х) = е ' + j e x '(p(s)ds. X 00 7.3. (р(х) - cos jc + J ex '(p(s)ds. X 00 7.4. cp(x) = 1 + J e“(x s (p(s)ds. (a > 0). 166 9. ФРЕДГОЛЫ УІНІҢ И Н Т Е Г Р А Л Д Ы Қ Т Е Н Д Е У Л Е Р І §9.1. Фредгольмнің 2-текті интегралдық теңдеулерін біртіндеп жуықтап шешу Мына һ (р(х)- \ к и . s)(p{s)ds = f { x) (169) a Фредгольмнің 2-текті интегралдық тендеуін қарастырайық, мұндағы, АГ(х,лОөзегі мен f ( x) бос мүшесі [а,/>] кесіндіде берілген функциялар. Егер а < х < s болғанда, АГ(х,.?) = о болса, онда (169) тендеу Вольтерраның 2- текті интегралдық теңдеуіне айналады. (169) тендеуіндегі K ( x , s ) , f ( x ) функциялар: һ ь J | | K( x, s) \2 dxds = В~ < +оо, (170) a a \ \ f ( * t d x < +со, (171) теңсіздіктерін, яғни K { x , s ) , f ( x ) е L2[a,b\ шарттарын қанғаттандырсын. Әдетте, (169) тендеудің бір өзі емес п (р{х) - K(x,s)(p{s)ds = f ( x) (172) түріндегі Л параметріне тәуелді теңдеулер жиыны қарастырылады. Бұл тендеудің щ < \ ( |73> шартын қанағаттандырғанда ғана жалғыз шешімі болады. Ол шешімді біртіндеп жуықтау одісімен табады. Ол үшін (172) тендеуін һ (р{х) = f(x) + X^K(x,s)(p(s)ds a түрінде жазып, одан кейін нөлдік жуық шешімі үшін <р0(х) функциясын қалағаны- мызша тандап алып, жуық шешімдерінің фп(х) , п = 0,1,2,... тізбегін құрамыз, мұнда 167 b = f ( x ) + Aj K(x,s) n e N. Егер мұндағы, Л параметрі (173) шартын қанағаттандырса, онда {(рпі х )} жуықтау тізбегі жағдайда <р{х) шешімге жинақты болады. Мысалы. I 1 (pn{x) = - - \ ( p { s ) d s sin лх тендеуін біртіндеп жуықтау әдісімен шешейік. Шешуі. Берілген тендеуді (172) тендеуімен салыстырсак, Л = K( x, s ) = 1; f { x ) = sin лх немесе I I В 2 = И I K( x, s) 1 2dxds = 1, о 0 олай болса, Л = — < 1, J s i n 27Dcds < +00. Енді (pQ{x) = s in ;c t нөлдік жуық шешімі десек, онда (P\(x ) = sin Л Х + — j s i n лх = sin дх + — , 2 о л (р7(х) = sin лх + — Г (sin ns + — )ds = sin лх + — + — , «■ л 2л , . 1 , , , . 1 1 1 = sin лх f — (s)ds = sin лх + — + — h ------ , 2 л 2л Ал I f 1 " 1 1 = sin лк + - I (p„_{(s)ds = sin лх + — У — . ^ о л *-o 2 Я Ғ Н И 1 ” 1 1 2 Бұдан lim^7M(jc) = sin/Df + — Y —- = sin / dm — к k о 2 n (p{x) = sin ЯХ + —. л Мына төменде берілген Фредгольмнің 2-текті интегралдық тендеулерін біртіндеп жуыктау одісімен шешіңіз: і 1 .1 . (р{х ) - 1 xs = 2х. 0 1 * 1 .2 . (р(х ) н— [ c o s 2 s(p(s)ds - 1. л { 168 1.3. (p(x) - л"|(1 - x)sin 2ns = —(1 - jc ). 0 2 1 n 1.4. (p{x) — f s sin x(p(s)ds - 2sin x. 2 n J о 1 n 1.5. (p(x) + —-J[cos(x + s) + cos(x - s)\p(s)ds A T I 0 I 1.6. (p{x) = X + A^x2s2(p{s)ds. I Жауабы: cp{x) = x + 5.v2,erep %{х) = х. 5 1 — JC + — 6 2 5 1 1 1.7. (p(x) = — л- + — I xs(p(s)ds. n / *1 Жауабы: (p{x) = x, erep (p{)(x) = 0. COS X. Қ айталанған өзекпен резольвентаны куру Егер нөлдік жуық моні үшін (172) интегралдық тендеудегі (p0(x) = f(x) болса, онда п -жуықтау шешімі үшін: Мұндағы тізбектелген өзектер: K ](x,s) = K(x,s), п Kj ( x , s ) = J K ( x , t ) K j = 2,3,. (175) өрнектерімен анықталған. Егер 1 < — орындалса, онда: R( x , s ;A) = '£ j A i 'K j ( x , s ) 7=1 (176) қатар жинақты болады. Бұл (176) өрнегі (172) интегралдық теңдеуінің резольвен- тасы деп аталады. Сонымен, оо жағдайда болса, (174) жуықтау шешімдер тізбегі и ср{ х) = / ( jc ) + R( x, s ; A) f ( s ) ds (177) өрнегіне жинақталады. Бұл алынған (177) өрнегі жоғарыдағы берілген (172) интегралдық тендеуінің шешімі болады. Мысал. Тізбектелген өзектер арқылы 169 (p{x) - ~ [ ~ ^ - 1 = 1 + In 2 { 1 + 5 интегралдық тендеуінің резольвентасын және шешімін табайық: K x{x,s) = K( x, s) = 1 + 5^ K 2ix,s) = \Kix,l)K,(,l,S)dt = \ ~ ~ d l = і {\ + г 1 + 5 In 2 х K J x , S) = \ K ( XJ ) K 2 ( K s ) d l = ]^ \ ~ ~ d l = і 2 І 1 + Г 1 + 5 2 1 + 5 - Оп2^ V. + 1 + 5 - I К j ( x, s) = J K ( x , t ) K J_l(l,s)dt Оп2^ V . z / 1 + 5 2 •> Сондықтан бұл тендеудегі өзектің резольвентасы R(x,s;A) = £ aj ~'K j ( x , s ) = Я ln2V"‘ /I г-1 1 + 5 - 1 - *п— л 1 2 + 5" ал бұл қатар \л\ < - - теңсіздігін қанағаттандырғанда жинақты болады. Екінші жағынан, в 2 = }}|л:(лгХ>| d + Ц , о о о о \1 + $ / dxds = ^ ^ 24 (178) Ендеше (173) шартын бұл тендеу үшін w <2£ 5 - (,79) түрінде жазамыз. Ал <]п2 болғандықтан, (178) мен (179) теңсіздіктерден алынған қатардың жинақтылық аймағы резольвентаның жинақтылық аймағынан кең болады. Берілген интегралдық тендеуде A = — болғандықтан In 2 R х ,5 ; 1 ^ In 2 = 2 х 1 + 5' Олай болса, теңдеудің шешімі 170 / \ і 2 I f 2x 2 / , 2x -> P(x) = l + x + —— I - ----- y (l + s~)ds = 1 + —— + x~, In 2 - 1 + s Я Ғ Н И = 1 + ----- X + x 2. In 2 In 2 Өзектерді тізбектей анықтау эдісімен мына тендеулердің резольвенталарын есептеңіз жэне тендеулерді шешіңіз: 1 П 1 .6 . <р(х) - — ^(p(s)ds = sin х. as = х. 1 1 1 1 .7 . <р(х) — — f 2 x"'(p(s)ds 2 о 1 1 .8 . <р(х) + ; r j x s i n 2 7zs = c o s2 ^ x . о 1 г 1.9. (р(х) --- j xes (p(s)ds = е х . 2 о 7 1 2 1 .1 0 . <£>(х) - J s i n x c o s s ^ ) ^ = 1. о § 9.2. Өзегі қарапайым Фредгольмнің 2-текті интегралдық тендеулерін шешу Анықтама. Егер K( x , s ) өзегін K ( x , s ) = Y j P/ (x)qj (s) і =і түрінде өрнектеуге болса, онда оны қарапайым деп атайды. Мына һ ф(х) - h^K{x,s)(p(s)ds = / ( х ) (180) (181) интегралдық теңдеудің шешімін табайық. (181) тендеудің (180) өзегі қарапайым кезде болады. Бұл тең деуді * / п Л (р(х) - J Z pf l j (*) = /(х) a V 2 (182) vt x ) - ' £ P i (x)ZJ = f ( x ) (183) / = 1 171 түрінде жазамыз, мұндағы, һ z j = \qj(s) j = 1,2 n. (184) a Егер (183) теңдеуінің екі жағын да q^x), j = l,2,...,n. функцияларына көбейтіп, одан кейін а -дан Ь -ға дейін х айнымалысы бойынша интегралдасак, онда біз Z г j = 1,2,..., п. белгісіз коэффициенты анықгайтын п һ Zj - Y j \qi(x)Pj (x)z ld x ) = \ q j {x)f ( x) dx, j = l,2,...,n. (185) ;=t алгебралық сызықтық тендеулер жүйесін аламыз. Енді һ һ a,j = \ q, ( x) Pl {x)dx,fi = ^qj { x) f { x) dx (186) a a деп белгілесек, онда (185) тендеулер жүйесі I - " ' / • ' /=I l ,2 ,...,n . (187) түрінде жазылады. Немесе мұны матрица түрінде жазатын болсақ, онда (. E - A ) S = F , (188) мұндағы, Е - бірлік матрица, S = (Z], z 2,...,zn)T, A = (as X i - r t = U'f> Егер Z , , Z 2,...,Z n шамалары (187) тендеулер жүйесінің кез келген шешімі болса, онда (183) тендеуге байланысты vKx) = f ( x ) + Y iPJ(x)ZJ / | функциясы берілген интегралдық тендеудің шешімі болады. Егер (187) тендеулер жүйесінің бір монді шешімі болмаса, онда (181) интегралдық теңдеудің де бірмонді шешімі болмайды. Мысалы, <р(х)~ ГІ — sin ^sin s + s (p(s)ds = sin 2x JA Я беріпген одіспен шешейік: теңдеуін жоғарыда 172 K ( x , s ) - s i n x s i n .v + .v -қарапайым өзек, олай болса /J(x) = —sin .г, Я , ( х ) = 1, 71 л ( 1 . 4\\s ) - — sm .v, q2(s) = s деп алсақ, онда (186) өрнегі бойынша о п = f — s i n 2 xdx = 1, о ,, = [ — s in xdx - 0, \ n J л f X 71 o 2, = f — S in x i/t = 2, o „ = fx Л J -л -n * П f\ = \ sin x sin 2 xdx = 0, J2 = f x s in 2x<& = -л-. -71 - л Сондықтан (187) тендеулер жүйесі ' 0 0' (z Л ( 0 л v-2 1, VZ2y түрінде жазылып, оның жалпы шешімі z, = С, z 2 = - к + 2С болады, демек, <р(х) = s i n 2 x + С 1 . s i n x + 2 \ л - Я , яғни осындай кез келген функция берілген интегралдық тендеудің шешімі болады. Мына төмендегі өзегі қарапайым Фредгольмнің 2-текті интегралдық теңдеу- лерін шешіңіз немесе олардың ішіндегі шешімі жоқ теңдеулерін көрсетіңіз: Г " л 1 1п 2 . 1 . (р(х) ----- [ c o s x s in .s ^ ( .s ) i/v = s in x . 7 Т J 2 . 2 . (р(х)~— ----- ^chxq>(s)ds = 1 . 2.3. ( p { x ) - ^ \ ^ - x 2\ \ - ^ \ p { s ) d s 7 о V 2 J і 2 . 4 . <р(х) - J (1 + х) c o s 2 7K(p{s)ds = х. 0 1 2 . 5 . (p(x)-^x(p(s)ds = c o s 2 x. 0 1 2 . 6 . (p(x) - 4 | xs2(p{s)ds = 0. 0 I 2 . 7 . #>(x) + J e xscp{s)ds = 0. x. 173 2.8. (p(x) - j ( 2 x - s)(p(s)ds = cos2^x. 0 I 1 2.9. (p(x ) - f(l + 2xs)(p{s)ds = — (x + З). • 6 I ' 'j \ 2 .1 0 . (p( x) - ^ — ху + jc 2(. s - 1) = 0. жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|