Курсы оқу құралы
D(A) (215) мұндағы, D( x, s , A
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| D(A)
(215) мұндағы, D( x, s , A ) , О(Л) жоғарыда ескертілгендей Л -га қатысты бүтін функциялар жоне О(Л) * 0 , олар D(x,s'A) = l + B J x . s U ’ , 71 п\ (216) CC / 1 Ч П D U ) = 1 + Y ~ C , A n 1 (217) Бұл екі өрнектегі: B0(x,s) = K { x , s ) , K{ x , s ) K ( x , s ])...K(x,sn) ь һ Bn(x,s) = \ . . . \ K ( s ], s ) K ( s ], sl)...K(sv sn) dsxds2...dsn, a a п K( s „, s ) K( s n, S])...K(sn, sn) ь һ с . = Н /:(5 р 5,) а :(5 і ,52)... а :(5,,5п) K ( s 2, s ) K ( s 2, s 2)...K(s2, s n) K ( s n, S]) K( s n, s 2)...K(sn, s n) d . s . d s , . . . d s . (218) • Ескерту. Ьұлар теорияда толық беілген. Ал, мұндағы, D(x,s\ Л) - Фредгольм миноры, О(Л) - Фредгольм анықтауышы деп аталады. һ һ Егер ^ K 2{x,s)dsdx < +оо болса, онда (216), (217) қатарлары Л -ның барлық и и мэндерінде жинақты болады. 1 мысал. Өзегі K( x, s ) = xe ' интегралдау шекаралары « = о,Ь = 1 болатын инте- гралдық теңдеудің резол ьвентасы н табу керек. 1Я£ Шешуі: # 0(x,s) = K(x, s) = xe~\ В I (*,$) = { xe xe s y s xe ds. = 0, S2(*,s) = jj о о xe xe xe sy s^e 1 sy s 2e~s s2e~s' s^e~ ds.ds2 = 0, ’T~ . , 2 K B}(x,s) = 0 ,...,Bn(x,s) = 0, i I C, = J К (.v,, .V, )ds] = I s^e~s'ds\ = 1 < JJ 2 e о 0 s te 1 ste s2e~'] s2e C3 = 0,...,CP = 0 dstds2 = 0, Демек, D(x,s;A) = xe \ D(A) = 1 - (1 - 2e')A, олай болса, fi(x,s;A) = xe ( 1 - 2 е~')А' Егер өзегі K( x , s ) = xe~s болатын 1 (p{x) = xe ' Фредгольмнің 2-текті интегралын анықтауыш эдісімен шешу керек болса, онда жоғарыдағы резольвентаны пайдаланып, теңдеудің шешімін анықтаймыз ср(х ) = е х + 2 f ------ — -----т— esds = ех + Ү J 1 - (1 - 2е“' )2 2х 1 - (1 - 2 е ) 1-ескерту. Жоғарыдағы (218) өрнектерді бірнеше рет интегралдау қажет болатындықтан пайдалану қолайсыздық тудырады, сондықтан оның орнына и Bn(x,s) = CnK ( x , s ) - w j K ( x , s i)Bn_i(sl, s)dsl, n = 0,1,2,..., мұндағы, B0(x,s) = K( x, s) , C 0 = 1, b C n = \ B n_ \ ( x , x ) d x , n > 0 a өрнегін пайдаланса, элдеқайда қолайлы жоне = A n = \ K { x , x ) d x , п - 1,2,... өрнектерін де тиісті жерлеріне пайдаланған кейбір жағдайда тиімді. 187 2-ескерту. Кейбір жағдайда өзектері K( x, s ) = Уі(-х) - f 2(s) және һ \ f \ ( x ) f 2(x)dx = A болатын D(A) = 1 Я A, D(x,s;A) = / j ( x ) - f 2(s) a интегралдық теңдеудің шешімі (x ) + ^ ~ ^ f , { s ) f 2{s)ds a болады. Фредгольмнің анықтауыштарын пайдаланып, мына өзектердің резольвен- таларын табыңыз: 6.1. K( x, s ) = 2 x - s , 0 < s < 1, 0 < s < 1. 6.2. K( x, s ) = X 2 s - xs2, 0 < x < 1, 0 < 5 < 1 . 6.3. К(х, s) = s i n х c o s w , 0 < x < 2к, 0 < s < 2л. 6.4. K( x , s ) = xs, 0 < х < 1 , 0 < 5 < 1 . 6.5. K( x, s ) = s in x - sin.v, 0 < х < 2 л \ 0 < 5 < 2 л \ 6 .6 . K( x, s ) = c o s x + cos.v, 0 < 5 < 2л% 0 < 5 < 2 л \ 6.7. K( x, s ) = Sin 2 х - Sin 2s, 0 < Х < 7 Г , 0 < S < 7 T . 6 .8 . K( x, s ) = s i n x + sin.v, 0 < x < 2к, 0 < s < 2 л . Енді жоғарыда берілген 1 -ескертуге мысал келтірейік. Өзегі K( x, s ) = x - s айнымалар 0 < х < 1, 0 < 5 < 1 өзгерген жағдайда: демек, і С0 = 1, С, = | Л 0(5,5) с А, 0 ' ' ( В] = BQ(x - 5, )(.V, - s)dS\ = (Х5, - 5,2 - Х5 + s {s)ds{ = - X + 5 1 ---------- xs — 2 3 C 2 = - / ( j - j 2 = ^ , В2 = ~ (х — 5 ) + 2J (х 5 , )( 5 , + 5 1 ■V - - ) ^ і = 1 . . XV , Х 5 = - ( x - , ) + 2j - 1 + \ Х 5 , 5 X .V, 5 , 5 2 5 , ------1---- — + 5. 5 + — 3 2 2 3 х + 3 ds, = О, Я2 ( D{X) = 1 -----, £>( х ,5;Я) = х - 5 + 1 + Я 6 V П ------- xs — 2 3 X - 5 + Я /?(х,л;Я) = х + 3 - xs - 2 3 Я2 Рекуренттік қатыстарды пайдаланып, мына өзектерге сәйкес резольвенттерді табыңыз: 6.9. К ( Х , 5 ) = 3X5 + 1, 0 < Х < 1 , 0 < 5 < 1 . 6.10. К (х,5') = х(4л’ — х), 0 < Х < 1 , 0 < 5 < 1. 6.11. K( x, s ) = c ", 0 < Х < 1 , 0 < 5 < 1 . 6.12. K( x, s) = cos(x + s), 0 < х < 2л, 0 < 5 < 2 л \ 188 10. И Н Т Е Г Р А Л Д Ы Қ Т Е Н Д Е У Л Е Р Д ІЖ У Ы Қ Т А У Ә Д ІС ІМ Е Н Ш ЕШ У Интегралдық тендеулерді сандық жуықтау әдісімен шешудің әртүрлі жол- дары бар. Ол эдістерді һ (р{х)~ K(x,s)cp{s)cls = f { x ) (219) a Фредгольнің 2-текті интегралдық тендеуін сандық жуықтау әдісімен шешу арқылы түсіндірейік. § 10.1. Ш ектелген қосы лғы ш тар әдісі Бұл эдіс анықталған интегралды һ п j F{x)dx = МіҒ(хі) + RF (220) а / = 1 квадраттық функционалды жуықтап есептеуге негізделген, мұндағы, м { і = 1,2,...,«) - [a,b] кесіндідегі х(/ = 1,2,...,«) нүктелерінде тұрақты ғ(х) функцияға тэуелсіз коэффициенттер, ал RF- пайдаланып отырған әдіске байланысты болатын қатенің шамасы. Бірдей қашықтықтағы х, =а + (і-і)һ,һ = - —- ,( / = 1,2,...,«) нүктелері үшін (220) « функционалдағы м, еселіктері мынадай мағыналы: 1) тіктөртбұрыштың функционалы үшін: М, = //,,/ = 1,2,...,«-1,Л„ =0; 2) трапециялардың жалпы функционалы үшін: а = а п - | , л 2 = а 3 = ... = 4 , - і = /?; 3) Симпсонның « = 2т +1 болғандағы жалпылама функционалы үшін: Һ . л 4 Һ Д — ^2т + \ — у ’^ 2 ~ ^4 — ■■■ — Л2т — ^ , , 1Һ А 3 — А 5 — ... - А 2ш-| - . Мынадай <Р(Х, ) = <Р,Л U , Xj ) = К .., /(* ,. ) = / , / , j = 1,2,- • •, n 189 белгілеулерін енгізіп, (220) функционалын пайдалана отырып, (219) тендеуінен эрбір х, нүктедегі белгісіз щ функциялары үшін 9 , = / , / = 1 , 2 , . . . , « ( 2 2 1 ) 7 I алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз. Бұл (221) тендеулер жүйесі алгебрадағы белгілі эдістердің біреуімен шешіледі. Міне, осы (221) жүйесінен ц>і функциясын тауып, (р[х) үшін жуық анали- тикалық = f ( x ) + M jK {X’Xj )р, і I шешімін анықтаймыз. Мысал. п = 3 үшін Симпсонның квадраттық функционалын пайдаланып, і (р{х)~ 0 , 5 | xes = е 0 интегралдық теңдеуін шектелген қосылғыштар эдісімен шешейік. Шешуі. Бірдей қашықтықтағы х, = 0 ,х 2 = 0,5, х , = 1 нүктелерін белгілеп алайық. Тендеудегі K ( x , s ) = x e ' өзегі мен f ( x ) = e х белгілі функциясының (x(. , j y ) жэне хі нүктедегі мәндері төмендегі кестеде көрсетілген: V — — — 0 0,5 1 0 0 0,5 1 0,5 0 0 ,8 2 4 4 1,6487 1 0 1,3592 2 ,7 1 8 3 / = /(*,) 0 0,5 1 I 1 0 ,6 0 6 5 0 ,3 6 7 9 Бұл мысал үшін Симпсонның квадраттық функционалы һ 1 [ F{x)dx = - [ F ( 0 ) + 4 Ғ ( 0 ,5 ) + Ғ(І)\ J 6 себебі А = —,Л,= — = —,л2= — = —,Л, = — = —. 2 3 6 2 3 3 3 6 Енді (р(х) шешімінің & / = 1,2,3 мэндерін (221) функционалы бойынша табу үшін кестеде берілген Kir f мондерін пайдалансақ, онда 190 У\ =1 < у 2 - % ^ - ( 0 ,5 V, + 3 ,2 9 7 6 V, + 1 ,3 5 9 2 v , ) = 0 ,6 0 6 5 , о Уз - ~ (>’, + 6,5948^2 + 2,71 8 3 V,) = 0 ,3 6 7 9 I 6 алгебралық тендеулер жүйесін аламыз. Осы теңдеулер жүйесінен <р} = \,<р2 = 1,1079, ^ = 1,3706. Демек, интегралдық тендеудің жуық шешімі < р(х) = е х + 1,003х болады. • Ескерту. Осы талдаған әдісімізді ь ( р { х ) ~ A ^ s ^ s ) ^ = f { x \ a < х < b и Вольтерраның 2-текті интегралдық тендеуіне де қолдануға болады, бірақ мұнда тендеудің өзегі К 0 = 0, j > і. Себебі өзегі А'(*,<>) болатын Вольтерра тендеуін ( , [л :(х ,5 ),а < 5 < х , К П / [0, х < s өзекті Фредгольмнің 2-текті тендеуіне келтіріледі. жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|