Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| +1
қолданып, ф^ ( р ) - Ғ ( р ) + — ф2 (/?), ф , ( р ) = G ( p ) + — ф (р ), алгебралық Р ‘ Р + 1 теқдеулері жүйесін аламыз. Бұдан Ф1( р ) = П р ) + - ғ ( р ) + ғ ^ - 0 ( р ), Р Р Фг ІР) = — Ғ ІР) + G(p) + \ G(p) Р Р' екенін анықтаймыз. Бұл өрнектерге ұйысу операциясын қолданып, <рх ( х ) = f ( x ) + j (х - t ) f ( t ) d t + } g(x - of 1 + * — d t , о о V 2 j X X (Рг (*) = g(*) + j ( x - t ) g { t ) d t + J f ( t ) d t түрінде берілген жүйенің шешімін табамыз. 136 3) Интегро-дифференциалдық теңдеуді шешу. Мына интегро-дифферен- циалдық ср(п)(х) + а,ф(п ')(х) + ... + а пф(х) + ^ J К j( х - s V J)(s)ds = f (x) ( 126) j=0 о тендеуінің ^ О ) = % , q>\0) = = <Р, , 0 2 7 ) шарттарын қанағаттандыратын шешімін табу керек. Мүнпя К. (х), / (х) функ- циялары тұпнұсқа функциялар болсын, сонда тендеудің шешімі <р(х) -те тұпнұсқа болады. (p)if ( t ) + F ( p ) , K i (x)-¥Ki (p) болсын (126) тендеуіне Лаплас түрлендіруін қолданып, Ф ( р ) [ р ' + а і Р- ' +... + an + Y j K / ( p ) p J] = F ( p ) 7 = 0 өрнегін аламыз, мұндағы, Ғ ( р ) белгілі функция. Соңғы тендеуден Ф (Р) = Ғ{ р ) Р П + РР"~' +••• + «„ +1ЬК ; ( Р ) Р ] 7=1 Бұл өрнекке Лапластың кері түрлендіру формуласын қолданып, (126) теңдеуінің (127) шарттарын қанағаттандыратын шешімін табамыз: . . 1 а+Р F(p)er'dt <РМ = ~ 7 J ---------------------------- ;----------- 2 т р" +а,р"~' + - + an+ ’£ dK /( p ) p ‘ 7=1 4-мысал. ( р \ х ) + J sin(x - t)[ + (p(t)]dt = 2 cos* теңдеуінің (p(Q) = о = (р\0) = 0 шарттарын қанағаттандыратын шешімін табу керек. Шешуі. sin;t + — 1— , cos x -■— -j— — болғандықтан тендеуге Лаплас түрлен- / 7 + 1 р +1 діруін қолдансақ, р 2Ф ( р ) + -~!— . [ р 2Ф( р ) + Ф(/>)] Р +1 2/? / 7 2 + 1 137 өрнегін аламыз. Бұдан Ф(/?) = ---- - — , яғни ( Р 2 + О 2 берілген шарттарды қанағаттандыратын шешімі болады. 4) Әлсіз ерекшелігі бар ядролы Вольтерраның интегралдык теңдеуін шешу. (р(х) = Л\ 0 K {)( x ~ s ) (x - s ) a + / ( х ) , О < а < 1 (128) тендеуін қарастырайық. Мұндағы, /С0( х ) ,/( х ) функциялары берілген тұпнұска функциялар болсын: f (х) = + Ғ ( р ) және К ()(х) + К {І(р). Енді — функциясының х" Лаплас түрлендіруін табайық: /• \ сіх =| рх = / |= р а ' Г ( \ - а ) - демек, К f r l һ+һ0 - 4 ^ - Г(1 - a ) j K„(q){p - dq = Н ( р ) , % Ь-ІОо мұнда, b > 0 . Олай болса, (128) теңдеуіне Лаплас түрлендіруін колдансақ, Ф (р) = ЛН( р) Ф( р) + Ғ { р ) , бұдан Ф (Р) = П р ) 1 - Л Н { р У яғни (р(х) = 1 J Ғ( Р) 2т ,, L 1 - ЛН(р) € РХСІХ берілген тендеудің шешімі болады. 5-мысал. (р(х) = Л\ ~--~-ds + / ( х ) о V х - S тецдеуін қарастырайық. ' і = 4 1 0 e ^ d t у ГІ Р 138 болғандықтан теңдеу Ф(/?) = Ғ ( р ) + Л j—Ф (р) түрінде жазылады, ал бұдан 1 Р Л л ф (р) = Ғ ( р ) + П р ) , 1 - л 1 - л Х Л " ( - у /2 п I р Бұл өрнекке кері түрлендіру формуласын қолданып, тендеудің шешімін аламыз: (р{х) = / ( х ) + J| R(x - t) f (,t)dt, ^ { Л л [ л х ) " мұнда, R{ x ) = 2^----у------ я -1 хГ п 6-мысал. Абельдің интегралдық X I 4>{t) УІХ- t d t - sinx тендеуін шешу керек. т і . . 1 \ Й 1 Шешуі. sin х -■— ----- -Гх \ р Р 2 + 1 болғандықтан берілген тендеуден К Ф(Р) = — — :> бұдан Ф( р) = - ^ - 2 р р +1 d n р + 1 f co st 7 * -7= , демек, (p{x) = — \ - = = 1 yj p Л о у / x - t dt 1 } cos(x - /) немесе ) = — ------ 7=---- dt. n I, V t §7.3. М еллин түрлендіруі және оны қолдану Қолданбалы есептерде жоғарыдағы Лаплас түрлендіруімен бірге екіжақты Лаплас түрлендіруі 00 F (p ) (129) қолданады, мұндағы, / ( / ) функциясы тендіктің оң жағындағы интеграл анықтала- тындай болып тандап алынады. 139 e~*, / < 0 болса, бұл функциядан алынған Ғ ( р ) функциясы |Re/?| > а облысында аналити- калық функция болады. (129) формуласы мен анықталған Лапластың екіжақты түрлендіруі де жоғарыдағы Лапластың біржақты түрлендіруін-дегідей Меллиннің кері түрлендіру формуласымен Мысалы, егер Д О ^ 1 а+іоо т = — j ц - jco (130) тікелей байланысты. Егер (129) бен (130) формулаларында р -ны - р - ғ а /-ны т = е' функциясына ауыстырсақ, онда ол түрлендірулер F ( - p ) = \ f ( Іп г)е ' һ' 0 СІТ 1 — , / ( 1пг) = — г 2 л 7 і Т l I Ғ( - р) е P'nidp түрінде жазылады. Бұлардан / ( l n r ) = g ( r ) жэне Ғ ( —р) = G ( p ) деп белгілесек, G(p) = \ g ( t ) t p~'dt, (сj + irj = p ) 0 g(t) = - Ц J G(p) t rdp,t > 0 z m a - iq o (131) Меллин түрлендіруін аламыз. 1. Бұл түрлендіруді де Лаплас түрлендіруіндей төмендегі қасиеттерге ие болады: 1°. а р 2° t ag(t) + G ( p + ay, и + ІО О 3° f ( t ) g ( t ) + \ F ( q ) G ( p - q ) d q . (132) Мына төмендегі туындыны түрлендіру туралы теоремаға арнайы тоқталайық. 4°. Егер lim /'' '# (/) = l i m / ''1g ( t ) = 0 болса, онда I >0 I ->оо g'(t) + - ( p - \ ) G ( p - \ ) . (133) Дәлелдеуі. Меллин түрлендіруін g(t) функциясының туындысына қолданып, 140 s X ‘ ) * [ g ' ( t ) t , - ' d t = g ( t ) t ' - ' О ( p - l ) J g ( r ) / ''- V ; О ~ { p - \ ) G ( p - \ ) . (133) формуласын қайталап (131) түрлендіруін кез келген жоғарғы ретті туынды үшін анықтауға болады. (132) жэне (133) өрнектерінен: егер t p g ( t ) |" = 0 болса, tg'{t) + - p G { p ), егер t p" g ' { t ) \ ; = t pg { t ) \ l = 0 болса, * 2g ”( t ) + p ( p + \)G(p). 5°. Егер f ( t ) мен g ( t ) функцияларының Меллин түрлендірулері сойкес түрде Ғ ( р ) мен G ( p ) болса, онда: \ m g \ - \ ~ ^ F ( p ) G ( P ). (134) Дәлелдеуі. Меллин түрлендіруін қолданып, аи / оо I j f ( T) g Vo t ^ d r ^ t p d t = t, = ] ^ - d r I \ g { t x) t xP ' d t x о Г тр~'т = F( p) G( p) . 2. Меллин түрлендіруінің қолданылулары. (134) формуласын ip(t) = l\ \^ Р + Д / ) (135) интегралдық тендеуді шешуге қолданады. (p{t ), f (t ), K{t) функциялары үшін Мел лин түрлендіруі орынды болсын, яғни (p(t) + Q>{p),f{t) + F ( p ) , K ( t ) + K ( p ) анық- талған болсын, мұндағы, Ғ ( р ) мен К ( р ) ортақ <т, < R e p = cr< cr, облысында аналитикалық функциялар болсын. (135) теңдеуінің екі жағына Меллин түрлен- діруін қолдансақ, Ф(/?) = Ғ ( р ) + Я К ( р ) Ф ( р ) , бұдан демек, Ф (Р) = Ғ { р ) 1 - Л К ( р ) o ( 0 = ± J J ^ P) , pdp 2 m aL \ - Z K ( p ) жоғарыдағы (135) теңдеуінің шешімі. Мысал ретінде Фокстың интегралдық теңдеуін қарастырайық: 141 (p(x) = / ( x ) + ^K{xj)(p(t)dt. (136) 0 Бұл тендеудің екі жағында х р ' функциясына көбейтіп, одан кейін х бойын- ша 0-ден со -ке кейін интегралдап, J x p ' = J x p 1 / (x)dx + ^(p(t)dt^xp ' K( x , t ) dx О 0 0 0 тендігін аламыз. Бұған Меллин түрлендіруін қолдансақ, Ф ( p ) = F ( p ) + K ( p ) \ < p ( t ) f d t . о Мұндағы, J t~p(p(t)dt = Ф (1 - p) болғандықтан, алдыңғы өрнекті о Ф(/?) = Ғ { р ) + Ф(1 - р ) К ( р ) түрінде аламыз. Бұл теңдік р - ны 1 - р - ғ а ауыс- тырсақ, Ф(1 - р ) = Ғ ( 1 - р ) + Ф ( р ) К ( \ - р ) . Соңғы өрнектерден Ф (/>) = Ғ ( р ) + Ғ ( \ - р ) К ( р ) 1 - К { р ) К { \ - р ) (137) Енді (137) теңдігіне Меллиннің кері түрлендіру формуласын қолданып, (136) теңдеуінің шешімін анықтаймыз: ф ) = — Т Ғ ( Р ) + Ғ (1 ~ Р ) К ( Р ) х ' d p . 2 m , L \ - К ( р ) К ( \ - р ) Мысал. (р(х) = / ( х ) + Л J — • J (p(t) cos xtdt интегралдық теңдеуін шешу керек. V Я" о Шешуі. cosx функциясының кескінін анықтайық. К ( р ) = Л cosxdx, ол үшін со І П f e ,xx p ' d x = e ү Р Г ( р ) о формуласын қолданып, мұндағы нақты жэне жорамал бөліктерді өзара теңестіріп: оо ■ -і 00 f x '"1 cosxdx = Ғ ( р ) co s— , \ х р-' sinxdfr = Ғ ( р ) sin — J 9 J о 142 екенін анықтаймыз. Сондықтан Ү 'г К ( р ) - • \ х р 1 co sxdx = Яд/— ■ Г ( р ) co s— . я- п V я- 2 Бұдан кейін /Хх)/Х1 - х) = ------- екенін пайдалансақ, sin ^ r К(/7)К(1 - р) = Д Д ■ Д р ) c o s ^ - я Д . Д 1 - р) sin ^ = V я- 2 \ п 2 — г (р ) Д 1 - / 0 cos ^ sin ^ я- 2 2 = Я2 Демек, (137) теңдігінен ф(/>) = И/>)+^<і - р ) к ( р ) і |я| * і екенін анықтаймыз. Бұдан <р(х) = 1 СГ+Іао 2 т ( ] - Л 2) „ Ғ ( р ) + Д 1 - р)Л, - ■ Ц р ) cos ^ V п 2 х р dp — 1 СГ+Ісс 2 / О 1 СГ+Ісо f Х~" F(p)dp + - - - - - } х- "Г ( р) Г ( \- p)cos^-cJp. — / о о 1 At \ 7Z Іт a-к 2тп(\ - Я2) 1 <7- іс с <7 + /00 Ал — ;------ — \х~р F{p)dp = / ( х ) , sf ( t ) d t = Ғ ( \ - s) болғандықган 2я7'(1 — Я ) а-іоо 0 , V / ( * ) 12 (р(х) = ------ г + Я , . f ( x t y pF { p ) c o s ^ \ ] f ( t ) d t W 1-Д2 \л 2 от (1-/ і 2) Л 2 U 1 Бұл жерде 1 а+іс° 7Ю — : J (хі)~р Г ( р ) co s— dp = co sxt 2m (T— iao 2 екенін пайдалансақ, берілген теңдеудің шешімін ф )= т З +ғ і ' & тсоіх‘ түрде анықтаймыз. 143 8. И Н Т Е Г Р А Л Д Ы Қ Т Е Ң Ц Е У Л Е Р Г Е Е С Е П Т Е Р жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|