Л. Н. Гумилев атындагы ЕҮУ, 2007. ~ 102 б
§2. М е т р и к а л ы қ к е ң іс т ік т е р
жүктеу/скачать 2,98 Mb. Pdf көрінісі
|
| §2. М е т р и к а л ы қ к е ң іс т ік т е р
М атем атикалы қ анализдегі ец негізгі үгы м дарды ң бірі бүл шск жәпе үзіліссіздік үгымы. Б ү л үгы мдарды аны қтау үшін түзудіц, ж азы қты қты ң , кеңістіктің бойы ндагы екі нүктенің aj>a қаш ы қты гы үгы м ы н білу керек. С ондықтан, шск, үзіліссіздік үгы мдары н элементтері әр түрлі объектілср- ден түраты н кеңірек ж и ы п д арга ж алпы лау үшін, осы объсктілердіц арақа- ш ы қты гы туралы үгым аны қтау керек. "А рақаш ы қты қ"үгы м ы ны ң магы- насы элементар үш аксиома (тенс-теңдік, сим м етриялы қ және үшбүрыш) 15 арқы лы ж ақсы түсіндіріледі. "А рақаш ы қты қ"үғы м ы н ж алпы лау арқы лы метрика үғы мы на, сосыи м етри калы қ кецістік үгы м ы на келеміз. М етрика үгымы тізбектердің, қатарларды ң ж инақталуы и зерттеуге және ф ункция- ларды ц үзіліссіздігіи, д иф ф ереиц иялдануы н зерттеуге көмектеседі. 2 .1 . М е т р и к а л ы қ к е ң іс т ік т ің а н ы қ т а м а с ы Е кез келген бос емес ж иы н болсын. 2 .1 .1 - а н ы қ т а м а . Егер Е ж иы ны ны ң кез келген ж, у элементтсрініц жу- бына теріс емес пакты р е { х , У) саны сәйкес қойылса, ж эне Р е { х , у) төмендегі ш арттарды 1- Р е {Я)У) > 0; р е { х , у ) = 0 & х = у (тегіе-тендік аксиомасы); 2- р е { х , у ) = р е { у , х ) (сим м етриялы қ аксиомасы); 3. (\fx, y , z € Е ) : р е ( х , у ) < p e { x , z ) + Р е { ^ , у ){үш бүрыш аксиомасы) қан агаттапды раты н болса, онда р е { х , у ) санын Е ж иы ны ны ц х. у элемеит- теріпіц ара цашыцтыгы немесе Е жиыныныц метрикасы, жоне жоі'ары- дагы корсетілген 1)-3) ш арттарды метрикаиыц аксиомалары деп атайды. Ал Е ж иы ны мен осы ж и ы н д а аны қталған р е {х - у ) жүбын Е ме трикалыц кеңістігі деп атайды. А лда Е кеңістігі нақты кеңістік болгаи ж агдайда р е ( х , у )~тіц орнына р(х, у) дсп ж азам ы з. 2 .1 .1 - л е м м а . Е м етри калы қ кеңістігінің кез келген х, у. z элсменттері үшін Ip ( x , y ) - p { z , y )I < p { x , z ) , ягни кері үш бүрыш теңсіздігі орындалады. Д ә л е л д е у і. М етриканы ң үшіпші аксиомасы бойынша (Vx, у, z e Е ) : р{х\ у)) < р(х, z) + p(z, у)). Осыдан р { х , у ) ~ p {z , y ) < p {x , z ) . (7) (7) теңсіздіктегі х. z элементтерінің орнын ауыстыру арқы лы p(z, у) - р{ж, у) < p { z , ж) = p(ж, z) немесе - M s , y ) “ p ( z , y ) ) < p { x . z ) (8) теңсіздігін алам ыз. Осы (7) мен (8) теңсіздіктеріиен Ip { x , y ) - p {z, y ) \ < p ( x , z ) ш ыгады. Метрика л и ц кецістгкке мысалдар 2 .1 .1 - м ы с а л . Е — R - Евклид түзуі (нақты сандар жиыны). (—ос. + с с ) сан өсіндегі екі х жонс у нүктслерінің ара қаш ы қты ғы н р{х, у) = \х - у I түріиде аны қтауға болады. р(х, у) м етриканы ң б арл ы қ аксиомаларын қа- н агаттанды рады . Ш ы ны нда 1) Р(я, У) = \х - УІ > 0; р{х, у) - 0 ф» |а? - у\ = 0 4Ф х - у\ 2) р ( х , у ) = \х - у\ = |( - 1 ) ( у - ж)( = |г/ - х\ = р(у, х); 3) (V.x. у, z е R) : р{х, у) = |х - у\ - |ж - z + z - у\ < !х - z \ + \ z - у\ - p ( x , z ) + p ( z , y ) . Сопдықтан, R ксністігі - м етрпкалы қ кеңістік. 2 .1 .2 - м ы с а л . Е вкли д ж азы қ ты ғы Е = R 2 болсын. Л і(ж і: ?уі) және А 2( х 2) у%) £ Е нүктелерініц ара қаш ы қты ғы н р(Аі, А 2) = уД (®2 - ^і)2 + (г /2 - Уі)2 түрінде аны қтауга болады. р ( А і , А 2) м етриканы ц б арл ы қ аксиомаларын қа- пағаттанды ратыны н оцай көрсетуге болады. R 2 ж азы қты ғы м он р { А \ , А 2) метрикасының ж үбын екі өлшемдг евклид к е ц і с т ш дсп атайды . Дол осы сияқты координаталары рсттелген нақты сандардан түратын нуктслер ж иы ны р { М , М ) — 5> - У,’)2, (^і(® 1}®2?-.,® п). Л 2{уі,У2}...,Уп)) і=1 метрикасы арқы лы п - өлшемді вбклид кецістігін аны қтайды . 2 .1 .3 - м ы с а л . Е = N натурал сандар ж иы ны p(m , n) = \m — n | метрикасымен м етри калы қ кеңіс/гік қүрайды . 2 .1 .4 - м ы с а л . Екі нүктеніц ара қаш ы қты ғы Ш ы ны нда да, р ( т , п ) ~ 1 Л с< 0 , т = п i + sfe - т ^ п түрінде аны қталаты н натурал^сандар ж иы ны метр икал ы қ кеңісті к қүра іі д ы . ■ і ■: ■ р С И Т в Т І \ 1 . р ( п , т ) > 0 ; р ( п , т ) = 0 т = п; а л ы ғ ы 1 Т Т Е Р І , . Г 0. m — п f 0, п — т , ч 2 . р К п ) = | 1 + ^ m # n = ( 1 + . л _ „ # т = Р ( п , т ) ; 3. (Vm, n , q е N ) ( m < q < п) : а) т = q = п болсын. оида р ( т, q) = p{q, n ) = р(тг, т ) (9) оры ндалады . б) гп < q < п болсын, онда 1 1 1 р ( т , g) + р(д, п) = 1 + — — 4 - 1 + — — > 1 -f — — = р ( т , п) ( 1 0 ) т 4- q q + п т 4- п теңсіздігі оры ндалады . (9), (Ю)-нан келесіпі аламыз: (Vm, п, q € N ) { m < q < п) : p(m , n) < p (m , g) 4- p(g, n). Сонымен p ( m ; n) м етриканы ң барлы қ аксиомалары н қанағаттанды рады . О лай болса, натурал сандар жиыны осы м етрика арқыльт м етрикалы қ кеңістікті ан ы қтай д ы . Соңғы екі мысалдан бір ж иы нда әртүрлі метрика кіргізугс болатынын кордік. Енді еш қапдай әдіс арқы лы метрика кіргізуге болмайтын ж иын бар м а деген сұрақ туады. Оған келесі мысалдың тұж ы ры м ы жауап береді. 2 .1 .5 - м ы с а л . К ез келген бос емес Е ж иыны Р (х ,у ) 1 » х ф у 0 , х = у метрикасымен м етрикалы қ кеңістж құрайды. Е \ ж иы ны мстрикасы Р е {%, у) арқы лы аны қталаты н Е ж иы ны ны ң ішкі ж иы ны болсын. Е і ж иы ны нда метриканы рдДж, у) — р е { х , у ) дси анықтай- ық. О пда Е і ж иы ны д а м стрикалы қ кецістік қүрайды . Оны Е жиыныныц ішкі кеңістігі деп атайды . Бүл ж ағд айда Е \ кецістігінің метрикасын Е ж иы ныныц метрикасынан туы ндалған метрика дейді. 2.2. М е т р и к а л ы қ к е ң іс т ік т е к е з д е с е т ін г е о м е т р и я л ы қ ү ғ ы м д а р а деп Е ж иы пы нан таидап алынған нүктені, ал г дсп кез келген оц санды белгілейік. 2 .2 .1 - а н ы қ т а м а . 5 г(а) = {х Е Е : р(а, х ) < г } ж иы ны н радиусы г сапына тең, центрі а нүктесінде орналасқан Е метрика- л ы к кеңістігіндегі т үйь щ шар деп атайды. 18 2.1.5 - мы салда аны қталған Е ж иы ны үшін г < 1 болганда бір нүкте (шардын центрімен беттесетін ); ал г > 1 болганда Е ж иы иы ны ң өзі осы кецістіктегі түйы қ ш арды анықтайды. 2 .2 .2 - а н ы қ т а м а . 5Г(«) = {х £ Е : р(а.х) < г} жиынын радиусы г саныиа тец, цснтрі а пүктесінде орналасқан Е метрика- лык, кецістігіндегі ашыц тар деп атайды. 2 .2 .3 - а н ы қ т а м а . о г {°) = {ж 6 Е : р(а,х ) = г} жиыиын радиусы г саны на тец, цснтрі а иүктесіндс ориаласқаи Е метрика- л ы к кецістігіндегі сфера деп атайды. Элбетте, Sr(a ) = Sr(a ) U оү(а) болады. М ысалы, сф ера арқы лы шепел- ген кәдімгі шар үш өлш емді кецістікте; шеңбер арқы лы ілсиелген дөцгелек ж азы қты қта; кесіпді түзуде ж аб ы қ шарды аиықтайды. Кәдімгі сф ера - кецістікте, шецбер - ж азы қ ты қ та, екі иүктсдеи түратын жиып - түзуде сф еран ы аны қтайды . 2.1.5-мысалда аиы қталган Е кецістігі үшін r f 1 болганда радиусы r-re тең, центрі о. нүктесінде орналасқан сф ера бос жиынды береді, ал г = 1 болганда сф ера Е ж иы ны нан а нүктссін алын тастаганда ш ыгатын ж и ы нды қүрайды. 2 .2 .4 - а н ы қ т а м а . Егер г = е > 0 (е-оц оте кіш кентай сан) тең болса, онда S£(a) жиынын а пүктесіпіц е мацайы деп атайды. Алдагы уақы тта керск болатын маңайдың кейбір қасиеттеріп қарастырай- 2 .2 .1 - л е м м а . К ез келген нүкте озіпің б арлы қ мацяйы нда ж атады . Ш ы пы нда да, егер е > 0, онда р(а,а ) = 0 < е. Сонды қтан, а 6 Ss(a). 2 .2 .2 - л е м м а , а пүктесінің кез келген екі маңайыпың қиылысуы д а осы нүктеніц мацайын аны қтайды . Ш ы ны нда да, erei> £i < болса, онда S£l(a) П Se.2(а) = 5е,(о). 2 .2 .3 - л е м м а . Е ж и ы ны ны ц әртүрлі екі пүктесінің қиы лыспайтын мацайлары болады. Д ә л е л д е у і. Va, Ь е Е ) и, ф 6, р(а,Ь) = г болсын. е = | деп алып, S e(a) жәпе S£(b) м аңайлары ны ц қиы лыспайты ны н көрсетейік. Ксрі жориық, я г ни S£(a) және S£(b) қиы лы саты и болсын. О ларды ц ортақ нүктесіп х деп 19 белгілейік. О нда р ( а , х ) < г, p(b, x) < e болады. С ондықтан, метриканың үшбұрыш аксиомасы бойынш а 2 т p(tt, b) < p{a, x ) + p{x, b) = p(a, x ) + p(b, x) < 2e = ү < r, бүл - қайш ы лы қ. А лы нган қайш ы лы қ леммаиыц түж ы ры м ы ны ң дүрыс скеніи көрсетеді. 2 .2 .5 - а н ы қ т а м а . Е м етрикалы қ кеңістігініц элементтерінен түраты н М ж иы ны н шенелгеп ж и ы н дсп атайды, сгерде М ж иы ны н қам титы н Е м етрн калы қ кеңістігінен аш ы қ ш ар табылатын болса. 2.2.5' - а н ы қ т а м а . Бгерде ( З К > 0)(Vx, у е М С Е ) : р{Х) у ) < К , онда М ж иы ны н шенелгеп жи ын деп атаймыз. 2 .2 .1 - е с к е р т у . Е м етрпкалы қ кеңістігініц элеменгтерінен түрагы н М ж иы ны осы ксңіс'і ікте енгізілген бір метрика үшін шенелген, ал екінші мет рика үшін ш енелмеген болуы мүмкін. Мысалы. 2.1.3-мысалда қарасты ры - лған м етрика арқы лы аны қталган натурал сандар ж иыны шенелмеген, ал 2.1.4 - м ы салда қарасты ры лган метрика арқы лы шенелген, өйткені бүл ж аг- д ай да Р (х>п ) = т~Г~ + 1 < 2 (Vn ^ 1 + п ягни барлы қ нақты сандар центрі 1 нүктесінде орналасқан, радиусы 2-ге тец болатын ш арды ң ішінде ж атады . 2 .3 . М е т р и к а л ы қ к е ң іс т ік т е г і ж и н а қ т ы л ы қ Енді ме’і'рикалы қ кеңістіктердегі м атем атнкалы қ анализдің негізгі үгым- дары н аны қтауга көшейік. Ең алгаш қы үгым - бүл м етри калы қ кецістіктің элементтерінен түраты н тізбектің ж инақталуы . С анды қ тізбектің ж инақта- луы ара қаш ы қты қ үгы м ы на байланысты болгандықтан, кез келгсн метри- кал ы қ кеңістікке бүл үгы мды дәлме - дәл көшіруге болады. Е м етрикалы қ кецістігінің элеменггерінен түраты н {жп} тізбегін қарасты- райық. 2 .3 .1 - а н ы қ т а м а . Е м етрикалы қ кеңістігінің х элементін {:сГІ} тізбегінің шсгі деп атайды , егер (V e > 0 ) ( 3 A r ( c ) ) ( V n : n > [Аг( е ) ] ) : р е { х п , х ) < £ болса, және оны қы сқаш а былай белгілейді: lim х п = х. П-400 20 Егер {ж’71} тізбегініц п оо кезде шсгі бар болса, онда оны осы метрнка- л ы қ кеңістіктің метрикасы бойынш а х £ Е нуктесіне ж и кақтал аты н тізбек дейді. Ал егер {ж„,} тізбегі Е м етрикалы қ кеңістігінің ешбір нүктесіне жи- нақталмайтып болса, онда оны ж инақталм айты н тізбек дсп атайды. Кез келген м етри калы қ кецістіктегі шек аны қтам асы н санды қ тізбектің ш еі’і туралы ан ы қ там аға келтіруге болады. 2.3.1' - а н ы қ т а м а . Е метрикальтқ кеңістігіпіц х элементін {.?;„} тізбс- гіпіц шсгі деп атайды , егер р е { х п , х ) саиды қ тізбегі п —> эо кезде нөлге үмтылатын болса, ягни lim рЁ{хп,х) = 0. п— »эс 2 .3 .1 - м ы с а л . C L і[0,1] кеңістігінен алынган (;с„(£) = і.п} функционал- д ы қ тізбегініц шегі Ө(і) = 0 ф ункниясы на ж и нақталаты п ы и көрсетіңдер. Ш ынында да, бүл кеңістікте і і Р е ( х п , Ө) = [ |ж„(£) - 0(t)\dt = [ tf'dt = — ~ г - J J п + 1 о о Сондықтан, lim p c l { x „,0 ) = lim — — = 0. 7J->OC П-ЮО n 1 Олай болса, 2.2.1' - ан ы қтам а бойынш а { t n} тізбегі C L i [ 0 , l \ кецістігіндо ж ннақталаты н тізбск ж әнс Ө{і) = 0 ф ункциясы оның шегі болын табылады. Б ір ақ бүл тізбск С [ 0 .1] кеңістігінде Ө{£) — 0 ф ун кц и ясы н а ж инақталм ай- ды. өйткені lim рс(хп, Ө) = lim m ax j£n| = lim 1 = 1 -^> 0. n— > ОС ПН-ОС 71— юс E м етрикалы қ кеңістігінде ж и н ақтал аты н {x,t} тізбегінің кейбір қасиет-терін келтіріп кетейік. 2 .3 .1 - л е м м а . К ез келген ж и нақталаты н тізбектіц шегі ж алгы з. Д ә л е л д е у і. Е м етри калы қ ксцістігініц { хп} тізбегініц бір - біріне тец емес екі шегі бар деп үйгарайы қ. ягни lim х п = х, lim х п = у І1~>00 7і->00 және х у , онда 2.3.17 - ан ы қтам а бойынш а lim Р е { х п , х ) = lim Р е { х п , у ) = 0. 71-400 П— >00 ‘21 Сондықтан. м етриканы ң үш бұрыш аксиомасы бойынш а п өте үлкен болган кездс 0 < р ( х , у ) < р { х , х п ) + р ( х п , у ) = р ( х п , х ) + р ( х п , у ) < £ тецсіздігі оры ндалады . х ж әне у нүктелері м етрикалы қ кеқістіктің таңдап алынган нүктелсрі, ал £ - өте кіш кентай оц сан болғандықтан, ж огары дагы теңсіздік р ( х } у ) = 0 болган кезде оры ндалады . Бүдаи метриканың теис-теңдік аксиомасы бойын ш а х = у. Бүл - қайш ы лы қ. ейткені х ф у. 2 .3 .2 - л е м м а . М етрикалы қ кеңістіктегі кез келген ж и нақталаты н тізбек шенелген. Д ә л е л д е у і. Л ем м аны ң ш арты бойынша l i m х п = х. п—юо Сондықтан. 2.2.1 - ан ы қтам а бойынша (Ve > 0)(ЭіҮ! = [N (e)])(V n £ N : п > N i ) : р Е { х п , х) < е < 1. 1, р е { х ъ х ), р е ( х 2 > х ) , . . . , р Е ( х 1\ , х ) сандарыныц ішіндегі ең үлкенін К деп белгілейік, ягни К = m a x { l , p E { x u x ), p E { x 2 , x ) , /э£ ( . г, ү, ж ) } . Элбетте, кез келген п үшін р Е { х п, х ) < К тецсіздігі оры ндалады , ягни қа- расты ры лы н отырган {жп} тізбегінің барлы қ нүктелері радиусы К -га тец, цснтрі х нүктесінде орналасқан түйы қ ш ардың ішіпде ж атады . Д емек, { х п} тізбегі - шенелгеи тізбек. Е с к е р т у . Тізбектің шенелгендігінсп ж алпы ж аід ай д а оның ж и пақтала- ты нды гы ш ықпайды. М ысалы, { х п = ( —1)п} тізбегі шенелген. бірақ жи- нақталмайды. 2 .3 .3 - л е м м а . Егер Е м етрикалы қ кеңістігінде {ж„} және {уп} тізбектері ж инақталаты н болса, онда l i m р Е { х п, у п ) = Р е { И т х п , І і т у п). п ~>оо п-+оо гг-> ос Д ә л е л д е у і. Модулдің қасиеті бойынша \Р е Ы , У п ) ~ P e ( x , ij )\ < \рЕ { х П)у п) - р Е { х , у п) + р Е { х ) Уп) - р { х , у ) \ < < \ р е ( х п , у п) - рЕ { х , у п)I + \ р е { х ,У п ) ~ р в { х , у ) \ . Осы алы нғап тецсіздікке 2.3.1 - лемманы ң түж ы ры м ы и пайдаланып, I Р е ( х п , у п) ~ Р е {х , у ) ) < р е ( х п, х ) + Р е ІУ п , у ) теңсіздігін аламыз. Осы теңсіздіктен п —> оо кезде l i m I Р е { х п ,У п ) - Р е { х , у )\ = 0 П-+СО шыгады. Де.мек l i m Р е { х п , у п) = р е { l i m х п, l i m у п). п —>00 П4 СС И —>00 2 .3 .2 - а н ы қ т а м а . {.rn} - Е метри калы қ кеңістігінің элементтерінен тура- тын тізбек, ал к\ < к 2 < ... < к п < ... - өспелі натурал сандардыц тізбегі болсын. {ж қ} — ...} тізбегін тізбегінің тізбекшесі дсп атайды. Егер {ж*,,} тізбекшесі ж и н ақтал аты н болса, онда оныц шегін { х г,} тізбе- гінің дербес иісгі деп атайды. 2 .3 .4 - л е м м а . Егер {жп} тізбегі E м етрикалы қ кеністігінде жинақта- латы н болса, онда оныц тізбекшесі {як„}-де ж н н ақтал ад ы жоне оның шеті { х п} тізбсгіпің шегіне тең болады. Д ә л е л д е у і. Л ем м аны ң ш арты бойынш а { х п} тізбегі Е метрнкалық кеңістігінде ж и нақталады . Оның шегін х € Е деп белгілейік. яғни J i m р е { х п, х ) = 0 . Сондықтан, (Vs > 0)(3iY = [Ar(c)j)(V n : п > N ) : р е ( х Пі х ) < е. Әлбетте, к п > п, сонды қтан (Ve > 0)(3A r = JV(e))(Vfcn : к„ > п > N ) : р е { х н , х ) < е, l i m р е ( х һ л> х") = 0 l i m Хкп = х. Д емек, { я * „ } - тізбекш есі ж и нақталады , 71— >00 ” П— >00 ж әнс оның шегі {жп} тізбсгінің шегіне тең. М етрикалы қ кеңістіктердегі ж и н ақ ты л ы қ қ а м ы салдар келтірейік. 2 .3 .1 - м ы с а л . С [ 0 , 1] кецістігіндегі ж и н ақты л ы қты қарасты райы қ. С [ 0 , 1] кеңістігінің элементтерінен түраты н, x ( t ) ф ункц иясы на ж и нақтала- тын {жп(£)} тізбегі берілсін, ягни (\ /s > 0)(ЗА г = [Ar(e)])(Vn > N ) : p ( x n ( t ) yx ( t ) ) < е p ( x n ( t ) , x ( t ) ) = m ax I x n ( t ) - x(£)| < e. (11) 23 (11) теңсіздіктси [ 0 ,1] кесітідісінде ж атқан б арлы қ t үшііі |x n (t) — x(t)\ < е екендігін көреміз. Сонымен, оры ндалады . Б үл дегеніміз м атем атикалы қ анализден белгілі бірқалыпты ж и н ақты л ы қты ң аны қтам асы бойынша {х п(£)} тізбегінің x{t) ф ункциясы па бірқалы пты ж и нақ-талаты н ы н көрсетеді. Д емек, С [ 0 ,1] м етри калы қ кеңісті- гіндегі ж и н ақ ты л ы қ - бірқалыпты ж инақты лы қ. 2 .3 .2 - м ы с а л . R " 1 кецістігіндегі ж и нақты лы қты қарасты райы қ. {х„ = (СГ)^ 2 1!-” > £ т )} тізбегі R m мотрикасы бойынша R m кеңістігініц х элементіне ж и н ақталаты н болсын, ягни Д ем ек, R m м етри калы қ кеңістігіндегі ж и н ақты л ы қ - коордннаталар бойын- ш а ж н нақ-ты лы қ. 2 .4 . М е т р и к а л ы қ к е ң іс т ік т е г і а ш ы қ ж ә н е т ү й ы қ ж и ы н д а р a - ж азы қ ты гы н д а берілген X жиынын қарасты райы қ. Осы а ж азы қты - ғы ны ң барл ы қ нүктелері X ж иы ны на қаты сты 3 кл асқ а бөлінеді. М ысалы, а нүктесі - іш кі, b нүктесі - сыртқы, ------------- ал с нүктесі ш екаралы қ пуктс болады. Д әл осы сияқты м стрикалы қ кеңістіктің кез келген ішкі ж иы ны на қаты- сты оның кез келген нүктелерін классиф икациялауга болады. Енді осы үгы м дарга байланысты аны қтам аларды келтірейік. X жиыны Е м етри калы қ кеңістіктің қандай да бір ішкі ж иыны болсын, ягни X С Е. 2 .4 .1 - а н ы қ т а м а . Е м етрикалы қ ксңістігінің а нүктесін X жиыны үшіп ішкі н ү к те деп атайды , егер ол өзінің қандай д а бір маңайымен осы X ж иы ны нда толыгы-мсн ж ататы н болса, ягни (Ve > 0)(3(e))(V n > N ) : |x n (f) - x(£)| < e m Сонды қтан, rn « • lim (e? - ft) = о lim er = &, < - 1 , 2 ,.. 1l—>OQ П-ЬОд ., n. (3S e(o)) : S£(a) С X . 2 .4 .2 - а н ы қ т а м а . Е м етри калы қ кещ стігінің Ь нүктесін X ж иы ны үшін сыртцы нүкта деп атайды. егер де оның X жиынымен қиылысуы бос бола- тын қандай д а бір е мацайы табы латы н болеа, ягни 2 .4 .3 - а н ы қ т а м а . Е м етри калы қ кеңістігінің с нүктесін X жиыны үшін шакаралыц и ү к те деп атайды , егер де с нүктесініц кез келген е маңайында X ж иы ны нда ж ататы н да. ж атпайты н д а нүктелср табы латы н болса. X ж иыныныц ба]>лық ш ск аралы қ нуктелер ж иы ны н А" ж иы ны ны ц шекарасы деп атайды жопе д Х деп белгілейді. Осы аны қтам алардан мы нандай қорытынды ж асауға болады: Е м етрикалы қ кеңістігінің кез келген нуктесі X ж иы ны үшін не сыртқы, не ішкі, не ш екаралы қ нукте болады. Сонымсн катар. А” жиыныныц бар- л ы к ішкі нүктелері Л" ж иы ны нда ж атады , ал сы ртқы пүктелері ж атпайды. Ш екаралы қ нуктелері өзінде ж атуы да, ж атпауы д а мүмкін. 2 .4 .1 - е с к е р т у . X ж и ы ны ны ц іпікі пүктесі оныц ш екаралы қ нүктесі бо- лып қалуы мүмкін, егер Е метрикальіқ кецістігі X ж пы ны н қамтитын басқа метрикалы қ ксцістікнен ауьістырылса, мысалы, Лг = R ж иы ны ны ц кез кел ген нүктесі R м етри калы қ кецістігіне байланысты іш кі иүкте. бірақ егер X — R жныны ж азы қ ты қ ты ц ( R 2) бөлігі ретінде карасты ры лса, онда X жиыныныц барлы қ нүктелері оның ш екаралы қ нуктелері болады. өйткені X жиыныныц кез келген пуктесініц м ацайы нда огап ж ататы н да, жатпай- тын д а ж азы қты қтан нүктслер табылады. 2 .4 .1 - м ы с а л . X — Q ж иы ны үшін Е = R м етри калы қ кецістігініц барлы қ нүктелері ш екаралы қ нуктелер болады. Ш ынында да, R ж иы ны ны н х күктесінің коз келген мацайынан рационал сандпр да, иррационал сандар д а табылады. 2 .4 .2 - м ы с а л . болсын. жо(t) — I t ф ункцнясы X ж иы ны ушін сыртқы нукте болатынын көрсетіндер. Д э л е л д е у . Радиусы е = \ болатын хо(і) ф ункциясы ны ц мацайын, ягни 5.1.(гсо) ж иыныіі қарасты райы қ. Егер V.x(t) G S).(xо) болса, онда X = { x { t ) е С [ - 1,1] : x{t) < 3} С С [ - 1,1] Бүдан Vi- е [ - 1 ,1 ] : Ix ( t ) - X0(t)\ |®(1) - 2 ! < ^ =» 25 2 < ^ 2 ^ > 9 ^ х ^ ^ Сонымен, 5і(а:о) м аңайы ны ң кез келген нүктесі X ж иы ны нда ж атпайды . О лай болса, xq (£) ф ункц иясы - X жныны үшін сы ртқы нүкте. 2 .4 .4 - а н ы қ т а м а . X ж иы ны Е метрикалы қ кеңістігінің ішкі жиыны болса, онда Е \ Х = С Х ж иы ны н Е метрикалы қ кецістігініц толыцтауыш жи ы н ы деи атайды . Әлбстте, X U С Х = Е болады. 2 .4 .1 - л е м м а . X ж иы ны ны ң шекарасы.мен С X ж и ы ны ны ц ш екарасы беттессді, яғни Ә Х = сЮХ. Д ә л е л д е у і. а нуктесі X ж иы ны ны ц ш екаралы қ нүктесі болсын, ягни а € д Х . онда осы пүктеніц кез келген маңайынан X ж и ы ны на ж ататы н да. ж атпайты н д а нуктелер табы лады . Соидықтан, X ж иы ны нда ж атпайты н а нүктесініц мацайы С Х ж и ы ны нда ж атады да, ал С Х ж и ы н ы н д а ж атп ай тын а нүктесінің мацайы X ж иы ны нда ж атады . О лай болса, а нүктесі С Х ж иы ны ны ц ш ек аралы қ нүктесі, д Х с д С Х . Керісінш е де дәл осылай дәлслденеді. {X Q} деп Е м етри калы қ кецістігінен алынган ж иы ндар тобын белгілейік. 2 .4 .2 - л е м м а . а) Егер а нүктесі Х а ж иы ндары ны ц кем дегенде біреуініц ігикі нүктесі болса, онда ол осы ж и ы нд ард ы ц бірігуінен тураты н Л' = 1J Х а ж иы ны үшіи (1 де ішкі нүкте болады. б) Егер ArQ ж и ы ндары н ы ц саны ақырлы болса, онда осы ж и ы ндарды ц П әрбірсуіне сы ртқы нукте болаті.ін b нүктесі X = |J Х а ж иы ны үшін до Q = 1 сыртқы нукте болады. Д ә л е л д е у і. а) Лемм аиы ц ш арты бойынш а а нүктесі A'rt) € {А'а } жиыны үшін ішкі нүкте. Олай болса. 2.4.1 -аны қтам а бойынша (З О Д а)) : Os(a) € Х аі. Х аі С X — U X Q болганды қтан, Os(a) мацайы X ж и ы ны нда тольиъімеп ж ататы н нүктелерден түрады . Сондықтан, а нүктссі X ж ны ны үшін дс ішкі нүкте болады. б) Л см м аны ц ш арты бойынша Ь иүктесі - A i, A i , .., Х п ж иы ндары пы н эр- бірі үшін сы ртқы нукте. Олай болса, 2.4.2- аны қтам а бойынш а (3 0 ^ (6 ), О ф ) , .... O s j b ) ) : 0 Sl(b) i 0 6я(Ь) <£ X n. 8 = m i n { d i , do, •••; деп белгілейік. О нда b нуктссініқ радиусы Л -га тсц бо- латы н маңайында Х і , Х ъ , ■ •, Х п ж иы ндары ны ц еш қандай нүктелері болмай- П ды. Демек, А” — [J Х а ж иы ны ны ц ешбір нүктесі b нуктесініц <$-мацайында 0 = 1 ж атпайды . Олай болса, 2.4.2 - аны қтам а бойынша b нүктесі - X ж иы ны үшін сыртқы нукте. Шекаралыц пүктел ердщ ксйиір цасиеттері X және Ү ж и ы н д ары Е м етрнкалы қ кецістігініц ішкі ж иы ндары болсын. X U Ү = Z деп белгілейік. 2 .4 .3 - л е м м а . Z ж иы ны ны ц ш екарасы X жоне Y ж иы ндары н ы ц шека- ралары ны ц бірігуінен ш ығатын ж иы нны ц ішкі ж иы ны болады. ягни 0 Z С д Х U д У =» д { Х U Y ) С д Х U дУ. (12) Д ә л е л д е у і. Е м етри калы қ кецістігініц а нүктесі A”, Ү жиы ндары ны ц ш екарасында ж атп ай ты н болсын, ягни а £ д Х , а £ д Ү . О нда а нүктесі X , Ү ж иы ндары ны ц кем дегенде біреуі ушін ішкі немесе екі ж иын үшін де сыртқы нүкте болады. Сондықтан. 2.4.2 - лемма бойынш а бірінші ж агд ай д а а нүктесі Z = А 'и У ж иыны үшін ішкі, ал екінші ж агд ай да сыртқы нүкте болады. Олай болса, а нүктссі Z ж иыны үнтін ш екаралы қ нүкте бола алм айды . Сонымен, егер а нүктесі X , Ү ж иы ндары ны ц ш екаралары и ы ц бірігуінен ш ыгатын жиын д а ж атп аса. онда ол Z ж иы ны ны ц д а ш екарасы нда ж атпай ды. Сондықтан д ( Х U У ) С д Х U д У болады. 2 .4 .2 - е с к е р т у . 2.4.3 - лсмманы ц туж ы ры м ы кез келген ж иы ндарды ц ақы рлы қосындысм үшін де оры ндалады . Б ірақ, ол ж и ы н д ард ы ц ақы рсы з қосындысы үшін оры ндалмауы мүмкін. М ысалы, центрі О нуктесінде орна- ласқан, радиустері 1 — ^ = г п саны на тец, бірініц ішіне бірі енетін жа- зы қты қтагы S Tn( 0 ) дөцгелектердіц бірігуі центрі О нүктесінде орпаласқан, радиусы 1 саны на тец аш ы қ дөцгелекті береді. ягпи СС U S,„(0) = Si(0). 71=1 5 і(0 ) дөцгелектіц ш екарасы , ягпи центрі О нүктесінде орналасқан, ради усы 1 саны на тец шецбер 5 Гп(0) децгелектердіц ш екаралары иы ц бірігуінеи ос т ү р а т ы н 1J 5 Гп(0) ж и ы н ы н ы ц іііік і ж и ы н ы б о л м а й д ы . П=1 27 2 .4 .4 - л е м м а . X ж иы ны ны ц кез келген а ш екаралы қ нүктесі ушін осы нүктеге ж и н ақтал аты н X ж иы ны ны ц элементтерінен түраты н { х п} тізбегі табы лады , ягни (Va G д Х ) ( 3 { х п} Г С X ) : lim х п = а. П-> 00 Д э л е л д е у . а нүктееі X ж иы ны үшін ш екаралы қ нүкте болғандықтан, оныц кез келген маңайынан X ж иы ны нда ж ататы н нуктелер табылады . О лай болса, радиусы 5п = £ болатын а нүктесініц мацайы нда д а X ж и ы ныныц нүктесі болады. Ол нүктені х п деп белгілейік. п -ге 1 ,2 ,3 ,... санда- рын беру арқы лы а нүктесініц мацайы нда ж ататы н X ж иы ны ны ц иукте- лерінен түраты н {жі, ж з,. . . , х п, .. . } тізбегін алам ыз. р е { х п , о ) < ^ болгаи- ды қтан, lim р е { х п, о ) = 0 болады. Сондықтан, 2.3.1 - аны қтам а бойынша 7 1 -4 ОС lim х п = a. гг->оо 2 .4 .5 - л е м м а . Егер X ж иы ны ны ц элементтерінен түраты н {жп} тізбегі Е м етри калы қ кецістігініц a нүктесіне ж и н ақталаты н болса, онда a нүктесі X ж иы ны үшіп не ішкі. не ш екаралы қ нукте болады. Д э л е л д е у . Л ем м аны ц ш арты бойынш а lim х п — а. Сондықтан, а нүк- П-+00 тесініц кез келген мацайы нда {жп} тізбегініц нүктелсрі, ягни X ж иы ны ны ц нүктслері болады. Д емек, а нүктесі - X ж иы ны үшін не ішкі, не ш екаралы қ нукте. Барлыц жерде т,ыгыз орналасцап ж и ы н жэнс, оныц кейбір цасиеттері. Сепарабелді кеңістіктер 2 .4 .5 - а н ы қ т а м а . Егер Е м етрикалы қ кецістігініц кез келгеп a нүктесі X ж иы ны үшін ішкі немесе ш екаралы қ нукте болатын болса. ягни Е = X U д Х , онда X ж иы ны Е м етри калы қ кецістігіне барлыщ эісерде тыеыз ориаласцаи. эісиын деп аталады. Осы аны қтам адан мынадай түж ы ры м ж асауга болады. X ж иыны Е мет- рикалы қ кеңістігіне б арлы қ ж ерде ты ғы з ориаласуы үшін Е метрикалы қ кецістігініц кез келген a нүктесініц мацайы нда кем дегенде X жиыны ныц бір нүктесі бар болуы қаж етті және ж еткілікті. 2 .4 .3 - м ы с а л . X = Q рационал сандар ж иы ны - R метрикалы қ кецісті- гіне барлы қ жерде ты ғы з орналасқан жиын. Ш ы ны нда да, Q рационал сандар ж иы ны - R м етри калы қ кецістігіне бар- лык, ж ерде ты ғы з орналасқан жиын, өйткені 2.4.3-мысалдыц тұж ы ры м ы о о бойынш а Q ж иы ны үшін R кецістігінің нүктслерінід барлы гы ш окаралық нукте. 2 .4 .6 - а н ы қ т а м а . f ( x ) ф ункциясы [a. b] кесіндісіндо бөлік-сызьщты функция леи аталады , егер де [а, Ь] кесіндісінің f ( x ) ф ункциясы орбір бөлі- гінде сызықты болатын бөліндісі табы латы н болса, ягни (3 a = xq < . . . < х п = b) : f ( x ) - [x):, 1 ], (k = 0 , 1 . . . . n — 1) кесіндісінде сы зы қты функция. Б ар л ы қ [a, b] кесіндісінде бөлік-сы зы қты ф ун кц и ял ар ж иы ны н X ja . b] деп белгілейік. 2 .4 .4 - м ы с а л . Х [ а , 6] - бөлік - сы зы қты ф у н кц и ял ар ж иыны С[а, b] мет- рикалы қ кецістігіне барлы қ ж ерде ты гы з орналасқан ж н ы н екенін долел- дендер. Д э л е л д е у . f ( x ) 6 С[а, 6 ] болсын. О нда Вейерш трасс теоремаеы бойынша f ( x ) ф ункциясы ны ц [а, 6] кесіндісінде ец үлксн, ец кіші мондсрі бар болады. Оларды сойкесінше М = m ax f ( x ) , т = m in f ( x ) деп белгілейік. Сонды- a:e[a;ii] J:6[a,6j қтан, [a. b] кесіндісініц ~ nik < £ (VA-) болаты ндай a — xq < . . . < x n = b бөліндісі табы лады . М үндагы, A/;., m/. - сәйкесіише f ( x ) функциясыныц кесіндісіндегі ец үлкен. ец кіші мәндері. (® о,/(*о)).(® і> /(® і)). •••> (®n>/(®n)) нүктелерін кесінділер арқы лы қос- сақ. онда осы [a, 6] кесіндісінде бөлік-сы зы кты болатын қандайда бір ір(х) ф ункцияны ц граф игін аламыз. Әлбетте, Vx € [a, b] үшін I/(ж ) - (р(ж)І < s теңсіздігі болады. Сондықтан. P c { f { x ) , v { x ) ) < г. Демек, ip(x) G 0 £( f ) ф ункциясы f ( x ) ф ункциясы ны ц радиусы г санына тец болатын м ацайы нда ж атады . Олай болса, ЛГ[а, Ь] ж иы ны - м етрикялы қ кецістікке б арлы қ ж ерде ты гы з орналасқан ж иы н. 2 .4 .1 - т е о р е м а . X ж иы ны Е м етри калы қ кецістігіне барл ы қ жерде ты гы з орналасқан ж иы н болуы үшін Е м етри калы қ ксңістігініц кез келген а нүктесіне ж нм ақталаты н X ж иы ны нан {ж„} тізбегініц табылуы қаж етті жоие ж еткілікті. Д э л е л д е у . Қ аже тті лі к . X ж иы ны Е м етри калы қ кеңістігіне барлы қ ж ерде ты гы з орналасқан жиын болсын. Онда 2.4.5 - ан ы қ там а бойынша Е м етри калы қ кецістігініц кез келген а нүктесі X ж ны ны үшін ішкі, не ше- кар ал ы қ нукте болады. Егер а X ж иы ны үшін іш кі нукте болса, онда {ж„} тізбегі ретінде {a, a , . . . , a , . . . } ж иы ны н ал уга болады. Егерде а X жиы ны үшін ш екаралы қ нукте болса. онда 2.4.4 - лем м а бойы нш а а нүктесіне жи- нақталаты н X ж иы ны нан {ж„} тізбегі табы лады . 29 Ж е т к т к т і л т . Е м етрикалы қ кецістігінің кез келген а нүктесіне жи- нақталаты н X ж иы ны нан {жгг} тізбсгі табы латы н болсын. О нда 2.4.5 - лем ма бойынш а а нүктесі X ж иы ны үшін не іінкі, не ш ек аралы қ нүкте болады. Сондықтан, 2.4.5 - ан ы қтам а бойынша X жиыны - Е м етри калы қ кеңістігіне б арлы қ ж ерде ты гы з орналасқан жиын. 2 .4 .2 - т е о р е м а . Егер У ж иыны X жиынына, ал X ж иы ны Е м етрикалы қ кецістігіне б арлы қ ж ерде ты гы з орналасқан ж иы н болса, онда У ж иы ны Е м етри калы қ кеңістігіне б арлы қ жерде ты гы з ориаласқан ж иы н болады. Д э л е л д е у . Теорема дәлелденеді, егер де біз Е м етри калы қ кецістігінің кез келген а нүктесінің мацайы нда Ү ж иы ны ны ц кем дегенде бір нүктесі болаты нды гы н көрсетсек. Е м етри калы қ кеңістігіпіц кез келген а нүктесінің кез келген 5 мацайын қарасты райы қ. X ж иы ны Е метрикалы қ кеңістігіне б арлы қ ж ерде ты гы з орналасқан ж и ы н болгандықтан, S$(a) жиынынан X ж и ы ны нда өз мацай- ымен толыгымен ж ататы н кем дегенде бір Ъ нүктесі табы лады . Ягни (36 € X ) : S Sl{b) С 5 , (а). Ү ж иы ны X ж иы ны на б арлы қ жерде ты гы з орналасқап ж иы н болганды- қтан, Ssi (Ь) ж иы ны нан У ж иы ны нда ж ататы н кем дегенде бір с нүктесі Е м етрикал ы қ кецістігінде табы лады . Элбетте, с Е Ss(a), ягни а нүктесініц м ацайы нда У ж и ы ны ны ц кем дегенде бір с нүктесі болаты нды гы н көрсет- тік. О лай болса, У ж иы ны - Е м етрикалы қ кецістігіне б арлы қ ж ерде ты гы з орналасқан жиын. Сепарабелъді кеңістіктер жэне оган мысалдар 2 .4 .7 - а н ы қ т а м а . Егер X жиынымен N н атурал сандар ж иы ны тец түрпатты ж и ы нд ар болса, онда X ж иыны саналымды ацырсыз ж и ы н деп аталады . А қы рсы з саналм айты н ж иындарды саналымсыз ацырсыз жиындар деп атайды. М ысалы, X = Q рационал сандар ж иыны - саналы м ды ақы рсы з жиын, өйткені Q мен N сандар ж иы ны ны ц арасы нда өзара бірмәнді сойкестік J ( n ) = - : n e N - + - e Q , q e Z , n e N n n табы лады . С онды қтан, олар - тец түрпатты ж иы ндар. 2 .4 .8 - а н ы қ т а м а . Егер Е м етрикалы қ кецістігіне б арлы қ жерде тыгыз ішкі саналы м ды ж и ы н табы латы н болса, онда Е м етри калы қ кецістігін се- парабелъді метрикалъщ кеңістік деп атайды. 2 .4 .8 ’ - а н ы қ т а м а . Е м етри калы қ коцістігін сепарабельді кецістік деп атайды, огср де Е м етри калы қ кеңістігіксн тізбекшесі Е м етрнкалы қ кецісті- гінің х элемеитіне ж и н ақтал аты н {ж„} тізбегі табы латы и болса, ягни (3{.тп} С Е ) (V.r Е Е ) : lim Хи = х. п—Юо 2 .4 .4 - м ы с а л . R нақты сандар ж иы ны - сепарабельді кецістік, өйткепі Q рационал сандар ж иы ны - R кецістігіне б арл ы қ ж ерде ты гы з ішкі сана лымды жиын. 2 .4 .5 - м ы с а л . R m - т өлш смді кеңістік - сепарабельді кеңістік, өйткені R m кецістігіпіц рационал сандардан тұраты н нүктелер ж иы ны - R rn кецісті- гіне барлы қ жердс ты гы з ішкі саналы мды жиын. 2 .4 .6 - м ы с а л . С [ 0 ,1] - үзіліссіз ф ун кц и ялар кеңістігі - сепарабельді ксңістік, өйткені коэфициенттері рационал сандардан түраты н Со барлы қ көпмүшеліктер ж иы ны - С [0,1] кецістігінс барлы қ ж ерде ты гы з ішкі сана лымды жиын. Д ә л е л д е у і. 1) Со ж иыны - саналы м ды жиын; 2)Yx(t) Е C [ 0 .1] болсын, онда Вейерш трасс теоремасы бойынша (Vs > 0)(Э P ( t ) ) ( W t S [0,1]) : p E ( P ( t ) , x ( t ) ) = m a x |* (t) - P (« )| < 3) екінші ж ағы нан ( V s > 0)(3fi,(<))(V f e [0,1]) : Р е Ш ) , P ( t ) ) = m ax | P ( t ) - P „(i)| < Сондықтан, (2)-(3) нунктінен мынаны аламыз: (Ve > 0 )(3 Po{t))(Vt E [0,1]) : pE (P0{ t ) , x ( t ) ) = max. \x{t) - P0(t)\ < e. oo 2 .4 .7 - м ы с а л . lp = {{ж,,} : |ж„|р < oo, x n E R} ден элемеиттері нақты n = 1 сандардан қүралган ж әне осы элементтердің модульдерініц р дорсжесінен қүралаты н қатар ж и н ақтал аты н б ар л ы қ сан тізбектерінен түраты н ж иынды белгілейік. Ір кецістігініц сепарабсльді ксцістік болатынын долелдецдер. Д ә л е л д е у і. 1) X = {ж Е Ір : х = { г і , 7*2, ...,7’п, 0 ,0 ,...} } , мүндағы г* - кез келген рационал сандар, ал п - кез келген натурал сан. Б үл жиын - саналымды жиын. 31 2) X ж иы ны Ір ксңістігіне б арлы қ жерде ты гы з ішкі ж иы н болатындыгын СЮ көрсстейік. Vx = {&•} 6 1Р болсын. ^ і£і|;' ж и нақталаты н қатар болганды- і = 1 қтан, lim Rn = 0 ( R n - қатарды ң қалды қ мүшесі), ягни 71—У ОС OO (Ve > 0 )(3 n i) (Vn : n > щ ) : [ 6 :Г < ry г'=7і+1 71 3) ]C I —Гк\р < т болаты ндай етіи, = { п , г г ,. . . , г„, 0 . 0 , . . . } элементін А~1 тандаи аламыз. 4) X ж иы ны нан алы нган жо нүктесімен Ір- дан алынган х нүктесінің ара қаш ы қты гы н қарасты райы қ: 00 71 оо ( р е ( х , х о ) ) » = £ f e - Г * ) " = ] Г | 6 - п Г + £ І& І» < L + L = lsp. к = 1 * = 1 * = « + 1 Бүдан, р е ( х , х о) < е. Б үл дегеиіміз 2.4.5-анықтама бойынш а X ж иыны Ір кецістігіне б арлы қ ж ерде ты гы з жиын болатындыгын көрсетеді. Соны- мен, X ж иы ны - Ір кеңістігіне б арлы қ жерде ты гы з саналы мды ж иы н. Олай болса, 2.4.8 - ан ы қтам а бойынш а 1Р - сепарабельді кецістік. Л шыц жэ п е т у й ы ц жиындар. цасиегптері Ж а зы қ т ы қ т а аш ы қ ж әпе түйы қ дөцгелектер. аш ы қ ж әне түйы қ квадрат- тар, т.с.с., дол осы сияқты түзудің бойында аш ы қ (интервал) ж әне түйы қ (кесінді) арал ы қтар болады. Б үл ж иы ндарды ң бір-бірінен айы рмаш ы лы гы біріншісі өзінің ешбір ш екаралы қ нүктелерін қамты м айды, ал екіншісі өзінің барл ы қ ш екаралы қ нүктелерін қамтиды. Д әл осы сняқты кез кслген метри- кал ы қ кеңістіктің элементтерінен түраты н ж иы ндарды классиф икациялауга болады. 2 .4 .9 - а н ы қ т а м а . Е м стри калы қ кецістігінің өзінің барлы қ ш екаралық нүктелерін қам титы н X ж иы ны н тү й ь щ ж и ы п деп атайды , ягни д Х С X . 2 .4 .1 0 - а н ы қ т а м а . Е м стри калы қ кеңістігіиің өзінің ешбір ш екаралық нүктелерін қам ты м айты н, ягни тек ішкі нүктелерінен түраты н X жиынын ашыц эісиын деп атайды . Д емек, д Х П X = 0 . 10 2 .4 .1 1 - а н ы қ т а м а . Ж и ы н мен оның ш екаралы қ нүктелерінен тураты н ш екарасының бірігуіиен ш ы ғаты н ж иы нды, яғни X U дХ-ті X ж иы ны ны ң т үй ы ц та ма с и ден атайды , ж әне оны былай белгілейді: X = X U д Х . 2.4.9 - аны қтамам ен 2.4.11 - аны қтам адан X ж иы ны тұйы қ ж иы н болады, егер X — X болса ( X ж и ы ны ны ц тұйы қтам асы ж и ы нны ц өзінс тец болса). 2 .4 .1 2 - а н ы қ т а м а . Егер Ү С X ( Ү ж иы ны X ж и ы ны ны ц түйықтама- сыныц ішкі ж иы ны ) болса, онда. X ж иы ны н Ү ж и ы н ы н а тыгыз ішкі оюиыи деп атайды. 2 .4 .1 3 - а н ы қ т а м а . Егер X ж иы ны ны ц түйы қтам асы Е метрикалы қ кеңістігімен беттесетін болса, ( X = Е) , онда X жиынын Е м етри калы қ кецістігіне барльщ эісерде тыгыз ішкі жи ы н деп атаііды. 2 .4 .1 4 - а н ы қ т а м а . Егер Е м етрикалы қ кецістігініц кез келген шары X жиыны-ныц элементтері ж атпайты н ш арды қам титы н болса, онда X жиы- пын Е м етрикалы қ кецістігіне еш жерде тыгыз емес ж и ы н деп атайды. Е м етрикалы қ кецістігініц ш екаралы қ нүктелерінен түраты н жиын бос ж иын болгандықтан, ягни д Е = 0, д Е С Е , д Е П Е = 0 болады. Вүл де- геніміз Е м етри калы қ кецістігі бір уақы тта аш ы қ ж әне тү й ы қ ж иы н болады дегенді білдіреді. Д әл осы қасиет бос ж иын үшін де оры ндалады . Ашық та, түй ы қ та болмайтын ж иы ндар бар. М ысалы, нақты сандардан түраты н (0,1] аралы гы аш ы қ та, түйы қ та ж иы н емес, ойткені оныц бір ш зкаралы қ нүктесі өзінде. ал екіншісі өзінде ж атпайды . 2 .4 .8 - м ы с а л . К ез келген Е метрикалы қ кецістігінде аш ы қ ш ар аш ы қ ж иы нды аны қтайд ы . Ш ы ны нда да, м аңайды ц қасиеті бойынша 5 г(ж) ш ары ны ц кез келген пүк- тесі үшін осы ш арды ц ішінде толыгымен ж ататы н мацай табы лады , ягни S r (x) ш арыныц кез келген нүктесі оныц ішкі нүктесі болады. Сондықтан, ол - аш ы қ жиын. 2 .4 .9 - м ы с а л . К ез келген Е метрикалы қ кецістігіпде түй ы қ ш ар түйы қ ж иы нды аны қтайды . Д ә л е л д е у і. b <£ S r (a). О нда p s(6 , a) > r. р е {Ь, сі ) — r = S деп белгілейік. О нда (Уж € S 5{b)) : р{а. b) < р(а, ж) + р{ж, Ь) немесе р{ж, а) > р ( а , 6) — р(х, Ь) > р(а, Ь) — 8 = г, 33 ягни а нүктесінің мацайы нда ж атпайты н Ь нүктесініц мацайы табылады. Сондықтан, х S r (a) жоне S r (a) П Ss(b) = 0. осыдан b нүктесі - S r(a) ж иы ны үшін сы ртқы нүкте. Сонымен S r(a) ж иы ны нда ж атпайты н нукте - S r(a) үшін сы ртқы нукте. Олай болса. S r (a) - туйы қ жиын. 2 .4 .3 - т е о р е м а . Е м етрикалы қ кецістігініц ішкі X ж иы ны түйы қ жиын болуы үшін X ж иы ны ны ц элементтерінен туратын ж инақталаты н {.тГ|} тіз- бегініц шегі X ж и ы ны нда ж атуы қаж етті және ж еткілікті. Д ә л е л д е у і. Қ а ж е т т і іиаргп. Егер Е метрикалы қ кецістігінің ішкі X ж иыныныц эле- менттерінен түраты н { х п} тізбегі ж инақталаты н болса, онда 2.4.5 - лемма бойынш а оныц шегі X ж иы ны үшін не ішкі. не ш екаралы қ нукте болады. Л ем м аны ц ш арты бойынша X түйы қ жиын болғандықтан, { х п} тізбегініц шегі X ж иы ны ны ц өзінде ж атады . Жетпкілікті utapm. X ж иы ны ны ц элементтерінен тураты н {.тп} тізбегініц шегі оныц өзіпде жатсын. О нда 2.4.5 - лемма бойынша Е м стри калы қ кецісті- гініц кез келген а нүктесі X ж иы ны үшін тек ішкі нукте болады. Сондықтан, X ж иы ны өзініц барлы қ ш екаралы қ иүктелерін қамтнды. Олай болса, X ж иы ны - түйы қталган жиын. Ашъщ Ждпс түйыц жиындардыц цасисттері Қ андай д а бір X ж иы ны Е\ метрикалы қ кецістігі үшіп аш ы қ (түйық), ал екінші бір Е 2 м етрикалы қ кецістігі үшін керісінше аш ы қ (түйық) емес болуы мүмкін. М ысалы, интервал - R 1 үшін аш ық. ал R 2 үшін аш ы қ емес жиын. Сонда келесі түж ы ры м дүрыс. 2 .4 .6 - л е м м а . Егер X ж иы ны Е \ м етрикалы қ кецістіктігініц ішкі ж иы ны, ал Е і м етрикалы қ кецістігі Ео м етрикалы қ кецістігініц ішкі бөлігі және X ж иы ны Ео м етрикалы қ кецістігінде түйы қ жиын болса, онда ол Е \ мет- рикалы қ ксцістігінде дс түйы қ ж иын болады. Д ә л е л д е у і. Кері жоримыз, ягни X жиыиы Е\ м етрикалы қ кеңісгігінде түйы қ жиын болмасын. Онда X ж иы ны нда ж атпайты н, бірақ ол үшін ше- каралы қ нукте болатын Е \ метрикалы қ кецістігінен бір а нүктесі табылады. Е і С Е% болгандықтаи, a G Е ^ . Сопдықтан, Е ч м етрикалы қ кецістігінде ж атқан а нүктесі X ж иыны үшін ш екаралы қ иүкте болады. а (р X ж ат пайтын болгандықтан, X ж иы ны Е 2 м етрикалы қ кецістігінде түйы қ жиын емес екендігі шыгады. Алынган қайіттылық лемманы ц түж ы ры м ы ны ц дурыс екендігіи дәлелдейді. 2 .4 .7 - л е м м а . Егср Е і кецістігі Е 2 м етрикалы қ кецістігініц бөлігІ жоне Е 2 кецістігінен алынган X ж иы ны осы м етрикалы қ ксцістік ушін аш ы қ жиын болса, онда Х п Е і ж иы пы Е \ м етрикалы қ кецістігі үшін аш ы қ жиын болады. Д ә л е л д е у і. а € А" П E \ болсын. О нда a £ X . X ж иыны Е-> метрика- лы к кеңістігі үшін аиіы қ жиын болғандықтан, а нүктесінің X ж иы ны нда толыгымен ж ататы н Ss{a) манайы табы лады , ягни S s ( a ) С А . Сондықтан, S$(a) С X Г) Е\ . Д ем ек, о, нуктесі - X П Еі ж иы ны ны ц іііік і иүктесі. Олай болса, А П Е і ж иы ны ны ц кез келген а нүктесі - Е \ ж иы ны үшін іиікі нукте. Сондықтан, А' П Е \ ж иы ны - Е і кеңістігінде аш ы қ ж иы н. 2.4.1 - с а л д а р . Егер А' С Е \ С Е<> жоне X ж иы ны Е 2 метрикалық ксңістігі үшін аш ы қ ж иы н болса, онда ол Е і м етри кал ы қ кецістігі үшін дс аш ы қ жиын болады. 2 .4 .8 - л е м м а . М етрнкалы к кецістіктегі ж иы н аш ы к болуы үшін о і і ы ң толықта-уыш ж иы ны туй ы қ болуы қаж етті ж әпс ж еткілікті. Д ә л е л д е у і. К ез келген м етрикалы қ кецістіктіц ішкі А ж иыны мен оныц толықта-уыш СХ ж иы ны ны ц ш екаралары беттесетіндігі белгілі. Сондықтан. егер X ж ны ны Е метр икал ы қ кецістігі ушін аіпы қ ж иы н болса, онда д Х <£ X . Демек, ол толы қтауы ш ж и ы нд а ж атуы керек, өйткені A U С Х — Е. Ал д Х — д С Х болгапды қтан, д С Х С С Х . Бүл дегеніміз түііы қ жиынныц анықтамасы бойынш а СХ ж иы ны ны ц тұйы қ ж иы н скендігін көрсетеді. Дол осы сііяқты, егер X ж иы ны Е м етри калы қ кецістігі үшін түй ы қ жиын болса, онда СХ толы қтауы ш ж ны ны Е метрнкалык, кецістігі үшін аш ы қ жиын болады. 2 .4 .9 - л е м м а . К ез келген м етрикалы қ ксцістікте оныц кез келген туйық ж иы нда-ры ны ц ақы рлы қосындысынан ш ы кқан ж и ы н д а түй ы қ жиын. Д ә л е л д е у і. Е метрнкалык, ксцістігініц ішкі ж иы ндары болатын А і , А 2 ,..., А п ж и ы ндары түй ы қ ж иы ндар болсын. О н д а туйы к жиынныц анықтамасы бойынш а д Х і с А^, дХо С X?, . . . . д Х п С Х п болады. 2.4.3 - лемма бойынша d ( X i U Х 2 U . . . U Х п) С d X i U д Х 2 U . . . U д Х п . Олай болса, д { Х \ U А 2 U . . . U Х п) С A i U А 2 U . . . U Х п . Б ү л түйы қ ж иы нны ц аны қтамасы бойынш а A i U AT2U . . . U Х п ж иы ны тұйы қ дегенді білдіреді. Е с к е р т у . Е м етри калы қ кецістігініц ақы рсы з түй ы қ ж иы ндары ны ц бірі- гуі түй ы қ ж иы н болады деген түж ы ры м дуры с емес. М ысалы, R метрика- л ы к ксцістігініц [^, 1], п — 1, 2 , . . . , ақы рсы з түйы қ ж и ы ндары н ы ц бірігуінен ш ыққан ж иы н - (0,1] түйы қ ж иы н емес. 2 .4 .1 0 - л е м м а . М етрикалы қ ксцістіктегі кез келген аш ы қ ж иы ндарды ц бірігуі-нен ш ы ққан жиын д а аш ы қ ж иы н болады. 35 Д ә л е л д е у і. {АГа } тобы Е м етрикалы қ кеңістігінің кез келген аш ы қ ж иы н д ары ны ц тобы болсын, ж әне А = [J Х а. X ж и ы ны ны ц аш ы қ екендігін tt дәлелдейік. a £ X ж атсы н. О нда а нүктесі {А п} ж иы ндары н ы ц кем дегенде біреуінде ж атады . М ысалы. а £ X Ql ж атсын. Л ем м аны ц ш арты бойынша Х й1 ж иы ны - аш ы қ ж иы н. Сондықтан, Х аі ж иы ны нда толыгымен ж ататы н а нүктесініц Sg(a) мацайы табылады. Д емек Ss(a) С А д, с X . О нда а нук- тесі 2.4.2 - лем м а бойынш а X ж иыны үшін ішкі нукте болады. Олай болса. А" жиыны - Е метрикалы қ кецістігі үшін атпык. жиын. 2 .4 .1 1 - л е м м а . М етрнкалы к кеңістіктегі кез келген аш ы қ ж иы ндарды ц акы рлы қиылысуынан ш ыққан жиын д а аш ы қ ж иын болады. 11 Д ә л е л д е у і. X = f] Х а болсын. Мундагы Х а , а = 1 . . . . . п. Е метрика- а =1 __ лык, кеңістігінін ішкі аш ы қ ж иы ндары . Де Морган ережесі (екі ж ақ ты л ы қ қагидасы) бойынш а П П СХ = C ( f | Ха) = U с х а. « = 1 а = 1 A q , a = 1 , . . . ,7i, - аш ы к ж иы ндар болғандықтан. 2.4.8 - лем маны ц түж ы - рымы бойынша С Х а - туйы қ ж иы ндар болады. Сондықтан, 2.4.9 - лемма бойынш а С Х ж иыны д а түйы қ ж иын болады. Олай болса, С Х ж иы ны ны ц П толы қтауы ш ы - А = f ) Х а жиыны ашык, жиын болады. а = 1 2 .4 .1 0 - м ы с а л . ж иы ны ж азы қ ты қ та аш ы к ж иы н болатындыгын көрсетіцдер. 1. D \ = {(х , у ) : х -f- у > 5} - аш ық жиын, Do = { (^ ; 2/) : х 2 + у 2 > 36} - ашык, ж иы н, өйткені D\ - аш ы қ ж арты ж азы қты қ. ал D 2 - аш ы қ дөцгелек. Сондықтан, 2.4.11 - лем м а бойынша X — D \ П Do жиы ны - аш ы қ жиын. Е с к е р т у . 2.4.11 - лемм аны ц түж ы ры мы Е м етрикалы қ кецістігініц аш ық ж иы ндары ны ц ақы рсы з қиылысуынан шыгатын ж иы н үшін дурыс бола бер- мейді. М ысалы, R м етри калы қ кецістігініц (—~, 1 + ^), (п Е N ) аш ы қ жиын болатын интервалдары ны ц қиылысуы [0,1] кесіндісін, ягни түйы қ жиынды анықтайды. 2 .4 .1 1 - л е м м а . М етрикалы қ кецістіктегі кез келген түйы қ лсиындардыц қиылысуынан ш ы гаты н ж иы н д а туйы қ жиын болады. т |