Л. Н. Гумилев атындагы ЕҮУ, 2007. ~ 102 б


§2.  М е т р и к а л ы қ   к е ң іс т ік т е р



жүктеу 2.98 Mb.
Pdf просмотр
бет2/6
Дата06.03.2017
өлшемі2.98 Mb.
1   2   3   4   5   6
§2.  М е т р и к а л ы қ   к е ң іс т ік т е р
М атем атикалы қ  анализдегі  ец  негізгі  үгы м дарды ң  бірі  бүл  шск  жәпе 
үзіліссіздік  үгымы.  Б ү л   үгы мдарды   аны қтау  үшін  түзудіц,  ж азы қты қты ң , 
кеңістіктің  бойы ндагы  екі  нүктенің  aj>a  қаш ы қты гы   үгы м ы н  білу  керек. 
С ондықтан,  шск,  үзіліссіздік  үгы мдары н  элементтері  әр  түрлі  объектілср- 
ден  түраты н  кеңірек  ж и ы п д арга  ж алпы лау  үшін,  осы  объсктілердіц  арақа- 
ш ы қты гы   туралы   үгым  аны қтау  керек.  "А рақаш ы қты қ"үгы м ы ны ң  магы- 
насы  элементар  үш  аксиома  (тенс-теңдік,  сим м етриялы қ  және  үшбүрыш)
15

арқы лы   ж ақсы   түсіндіріледі.  "А рақаш ы қты қ"үғы м ы н  ж алпы лау  арқы лы  
метрика  үғы мы на,  сосыи  м етри калы қ  кецістік  үгы м ы на  келеміз.  М етрика 
үгымы  тізбектердің,  қатарларды ң  ж инақталуы и  зерттеуге  және  ф ункция- 
ларды ц  үзіліссіздігіи,  д иф ф ереиц иялдануы н  зерттеуге  көмектеседі.
2 .1 .  М е т р и к а л ы қ   к е ң іс т ік т ің   а н ы қ т а м а с ы
Е   кез  келген  бос  емес  ж иы н  болсын.
2 .1 .1   -  а н ы қ т а м а .  Егер  Е   ж иы ны ны ң кез  келген  ж,  у элементтсрініц жу- 
бына теріс емес пакты  
р е
{
х
, У)  саны сәйкес қойылса,  ж эне Р
е
{
х
, у)  төмендегі 
ш арттарды
1-  Р
е
{Я)У)  >   0; 
р е
{
х
,
у
)  =   0  &   х  =  у  (тегіе-тендік  аксиомасы);
2- 
р е
{
х
,
у
)  =  
р е
{
у
,
х
)  (сим м етриялы қ  аксиомасы);
3. 
(\fx, y , z   €  Е )   : 
р е
(
х
,
у
)  < 
p e
{
x
,
z
)  +   Р
е
{ ^ ,
у
){үш  бүрыш  аксиомасы) 
қан агаттапды раты н  болса,  онда 
р е
{
х
,
у
)  санын  Е   ж иы ны ны ц  х.  у  элемеит- 
теріпіц  ара  цашыцтыгы  немесе  Е   жиыныныц  метрикасы,  жоне  жоі'ары- 
дагы   корсетілген  1)-3)  ш арттарды   метрикаиыц  аксиомалары  деп  атайды. 
Ал  Е   ж иы ны   мен  осы  ж и ы н д а  аны қталған 
р е
{х - 
у
)  жүбын  Е   ме трикалыц 
кеңістігі деп  атайды.
А лда  Е   кеңістігі  нақты   кеңістік  болгаи  ж агдайда 
р е
(
х
,
у
)~тіц  орнына 
р(х, у)  дсп  ж азам ы з.
2 .1 .1   -  л е м м а .  Е   м етри калы қ  кеңістігінің  кез  келген  х,  у.  z   элсменттері 
үшін
Ip ( x , y )   -   p { z , y )I  <   p { x , z ) ,  
ягни  кері  үш бүрыш   теңсіздігі  орындалады.
Д ә л е л д е у і.  М етриканы ң  үшіпші  аксиомасы  бойынша
(Vx, у, z e   Е )   :  р{х\ у))  <  р(х, z)  +  p(z, у)).
Осыдан
р { х , у )   ~   p {z , y )   <  p {x , z ) .  
(7)
(7)  теңсіздіктегі  х.  z  элементтерінің  орнын  ауыстыру  арқы лы
p(z, у)  -   р{ж, у)  <  p { z , ж)  =   p(ж, z)
немесе
- M s , y )   “   p ( z , y ) )   <  p { x . z 
(8)
теңсіздігін  алам ыз.  Осы  (7)  мен  (8)  теңсіздіктеріиен
Ip { x , y )   -   p {z, y ) \   <  p ( x , z )
ш ыгады.

Метрика л и ц   кецістгкке  мысалдар
2 .1 .1   -  м ы с а л .  Е   —  R -   Евклид түзуі  (нақты  сандар  жиыны).  (—ос. + с с ) 
сан  өсіндегі  екі  х   жонс  у  нүктслерінің  ара  қаш ы қты ғы н
р{х, у)  =  \х  -   у I
түріиде  аны қтауға  болады.  р(х,  у)  м етриканы ң  б арл ы қ  аксиомаларын  қа- 
н агаттанды рады .  Ш ы ны нда
1)  Р(я, У)  =  \х  -   УІ  >   0;  р{х, у)  -   0  ф»  |а?  -  у\  =   0  4Ф  х   -   у\
2)  р ( х , у )   =   \х -   у\  =   |( - 1 ) ( у   -   ж)(  =   |г/  -   х\  =   р(у, х);
3)  (V.x. у, z   е   R)  :  р{х, у)  =  |х  -   у\  -   |ж  -    +     -  у\  <   !х  - z \  +  \ z -   у\  -  
p ( x , z )   + p ( z , y ) .
Сопдықтан,    ксністігі  -  м етрпкалы қ  кеңістік.
2 .1 .2   -  м ы с а л .  Е вкли д  ж азы қ ты ғы   Е   =  R 2  болсын.  Л і(ж і: ?уі)  және 
А 2( х 2) у%)  £  Е   нүктелерініц  ара  қаш ы қты ғы н
р(Аі, А 2)  =  уД
(®2
 -  ^і)2 + (г
/2
 -  
Уі)2
түрінде аны қтауга болады.  р ( А і , А 2)  м етриканы ц б арл ы қ  аксиомаларын  қа- 
пағаттанды ратыны н  оцай  көрсетуге  болады.  R 2  ж азы қты ғы м он  р { А \ , А 2) 
метрикасының  ж үбын  екі  өлшемдг  евклид  к е ц і с т ш  дсп  атайды .
Дол  осы  сияқты   координаталары   рсттелген  нақты   сандардан  түратын 
нуктслер  ж иы ны
р { М М )   —
5>  
-   У,’)2,  (^і(® 1}®2?-.,® п).  Л 2{уі,У2}...,Уп)) 
і=1
метрикасы  арқы лы   п   -  өлшемді  вбклид  кецістігін  аны қтайды .
2 .1 .3   -  м ы с а л .  Е   =  N   натурал  сандар  ж иы ны
p(m , n)  =  \m  — n |
метрикасымен  м етри калы қ  кеңіс/гік  қүрайды .
2 .1 .4   -  м ы с а л .  Екі  нүктеніц  ара  қаш ы қты ғы
Ш ы ны нда да,
р ( т , п )   ~  
1
Л  с<
0

т   =   п
i   +  sfe - 
т ^ п
түрінде аны қталаты н  натурал^сандар ж иы ны  метр икал ы қ кеңісті к қүра 
іі 
д ы .
■  і  ■:   ■ 
р С И Т в Т І   \
1
.  р ( п , т )  >  
0
;  р ( п , т )  =  
0
 
т   =   п;
а л ы ғ ы  

Т Т Е Р І



Г 
0. 
m   —  п  
f 
0, 
п   — т  
, 
ч
2 .
р
К
п
)  =   |   1 +  ^
  m # n   =
( 1  +  . л _  
„ # т   = Р ( п , т ) ;
3. 
(Vm, n , q   е   N ) ( m   <  q  <  п)  :
а)  т  =   q  =  
п
  болсын.  оида
р ( т,  q)  =   p{q, n )  =   р(тг, т )  
(9)
оры ндалады .
б)  гп  <  q  <  п   болсын,  онда
1
1
1
р ( т ,  g)  +  р(д, п)  =  
1
  +   — —  
4 - 1
  +   — —   >  
1
  -f  — —   =   р ( т ,  п) 
(
1 0

т  4- 
q + п  
т  4-  п
теңсіздігі  оры ндалады .  (9),  (Ю)-нан  келесіпі  аламыз:
(Vm, п, q  €   N ) { m   <  q  <  п)  :  p(m , n)  <   p (m , g)  4- p(g, n).
Сонымен  p ( m ; n)  м етриканы ң  барлы қ  аксиомалары н  қанағаттанды рады . 
О лай  болса,  натурал  сандар  жиыны  осы  м етрика  арқыльт  м етрикалы қ 
кеңістікті  ан ы қтай д ы .
Соңғы  екі  мысалдан  бір  ж иы нда  әртүрлі  метрика  кіргізугс  болатынын 
кордік.  Енді  еш қапдай  әдіс  арқы лы   метрика  кіргізуге болмайтын  ж иын  бар 
м а деген  сұрақ  туады.  Оған  келесі  мысалдың  тұж ы ры м ы   жауап  береді.
2 .1 .5  
-  м ы с а л .  К ез  келген  бос  емес 
Е
 
ж иыны
Р (х ,у )
1
» 
х ф у
,  х   =  у
метрикасымен  м етрикалы қ  кеңістж   құрайды.
Е \   ж иы ны   мстрикасы  Р
е
{%, у)  арқы лы   аны қталаты н  Е   ж иы ны ны ң  ішкі 
ж иы ны   болсын.  Е і   ж иы ны нда  метриканы  рдДж, у)  — 
р е
{
х
,
у
)  дси  анықтай- 
ық.  О пда  Е і   ж иы ны   д а   м стрикалы қ  кецістік  қүрайды .  Оны  Е   жиыныныц 
ішкі  кеңістігі деп  атайды .  Бүл  ж ағд айда Е \  кецістігінің метрикасын  Е  ж иы ­
ныныц  метрикасынан  туы ндалған  метрика дейді.
2.2.  М е т р и к а л ы қ   к е ң іс т ік т е   к е з д е с е т ін   г е о м е т р и я л ы қ   ү ғ ы м д а р
а
 
деп 
Е
 
ж иы пы нан  таидап  алынған  нүктені,  ал 
г
 
дсп  кез  келген  оц  санды 
белгілейік.
2 .2 .1  -  а н ы қ т а м а .
5 г(а)  =   {х  Е 
Е  

р(а, х
)  <   г }
ж иы ны н  радиусы 
г
 
сапына тең,  центрі 
а
 
нүктесінде  орналасқан 
Е
 
метрика- 
л ы к  кеңістігіндегі  т үйь щ  шар деп  атайды.
18

2.1.5 
-  мы салда  аны қталған 
Е
 
ж иы ны   үшін  г  <   1  болганда  бір  нүкте 
(шардын  центрімен  беттесетін  );  ал 
г
 
>   1  болганда 
Е
 
ж иы иы ны ң  өзі  осы 
кецістіктегі  түйы қ  ш арды  анықтайды.
2 .2 .2   -  а н ы қ т а м а .
5Г(«)  = 

 £ 
Е
 : 
р(а.х)
  < г}
жиынын  радиусы 
г
 
саныиа  тец,  цснтрі 
а
 
пүктесінде  орналасқан 
Е
 
метрика- 
лык,  кецістігіндегі 
ашыц  тар
 
деп  атайды.
2 .2 .3   -  а н ы қ т а м а .
о г {°)
 = {ж 6 
Е
 : 
р(а,х
)  = г}
жиыиын  радиусы  г  саны на тец,  цснтрі 
а
 
иүктесіндс  ориаласқаи 
Е
 
метрика- 
л ы к  кецістігіндегі 
сфера
 
деп  атайды.
Элбетте, 
Sr(a
)  =  
Sr(a
)  U  оү(а)  болады.  М ысалы,  сф ера  арқы лы   шепел- 
ген  кәдімгі  шар  үш  өлш емді  кецістікте;  шеңбер  арқы лы   ілсиелген  дөцгелек 
ж азы қты қта;  кесіпді  түзуде  ж аб ы қ  шарды  аиықтайды.
Кәдімгі  сф ера  -  кецістікте,  шецбер  -  ж азы қ ты қ та,  екі  иүктсдеи  түратын 
жиып  -  түзуде  сф еран ы   аны қтайды .  2.1.5-мысалда  аиы қталган 
Е
 
кецістігі 
үшін r  f   1 болганда  радиусы r-re  тең,  центрі  о.  нүктесінде орналасқан  сф ера 
бос  жиынды  береді,  ал  г  =   1  болганда  сф ера 
Е
 
ж иы ны нан 
а
 
нүктссін  алын 
тастаганда  ш ыгатын  ж и ы нды   қүрайды.
2 .2 .4   -  а н ы қ т а м а .  Егер  г   =   е  >  0  (е-оц  оте  кіш кентай  сан)  тең  болса, 
онда 
S£(a)
 
жиынын 
а  пүктесіпіц  е  мацайы
 
деп  атайды.
Алдагы уақы тта керск болатын  маңайдың кейбір қасиеттеріп  қарастырай-
2 .2 .1   -  л е м м а .  К ез  келген  нүкте  озіпің б арлы қ  мацяйы нда  ж атады .
Ш ы пы нда да,  егер 
е
 > 
0,  онда 
р(а,а
)  = 


е.
 
Сонды қтан, 
а
 

Ss(a).
2 .2 .2   -  л е м м а , 
а
 
пүктесінің  кез  келген  екі  маңайыпың  қиылысуы  д а  осы 
нүктеніц  мацайын  аны қтайды .
Ш ы ны нда  да,  erei>  £i  <  
болса,  онда
S£l(a)
 П 
Se.2(а)  =
 5е,(о).
2 .2 .3   -  л е м м а . 
Е
 
ж и ы ны ны ц  әртүрлі  екі  пүктесінің  қиы лыспайтын 
мацайлары  болады.
Д ә л е л д е у і.  Va, Ь  е  
Е ) 
и,  ф  6, 
р(а,Ь) 
=  г  болсын.  е  =   |   деп  алып,  S e(a) 
жәпе 
S£(b)
 
м аңайлары ны ц  қиы лыспайты ны н  көрсетейік.  Ксрі  жориық,  я г ­
ни 
S£(a)
 
және 
S£(b)
 
қиы лы саты и  болсын.  О ларды ц  ортақ  нүктесіп 
х
 
деп
19

белгілейік.  О нда  р ( а , х )  <   г,  p(b, x)  < 
e
  болады.  С ондықтан,  метриканың 
үшбұрыш  аксиомасы  бойынш а
т
p(tt, b)  <  p{a, x )  +  p{x, b)  =  p(a, x )  +  p(b, x)  <  2e  =   ү   <  r,
бүл  -  қайш ы лы қ.  А лы нган  қайш ы лы қ  леммаиыц  түж ы ры м ы ны ң  дүрыс 
скеніи  көрсетеді.
2 .2 .5  
-  а н ы қ т а м а .  Е   м етрикалы қ  кеңістігініц  элементтерінен  түраты н 
М   ж иы ны н  шенелгеп  ж и ы н   дсп  атайды,  сгерде  М   ж иы ны н  қам титы н  Е  
м етрн калы қ  кеңістігінен  аш ы қ  ш ар  табылатын  болса.
2.2.5'  -  а н ы қ т а м а .  Бгерде
( З К   >   0)(Vx, у  е   М   С  Е )  :  р{Х) у )  <  К ,
онда  М   ж иы ны н  шенелгеп  жи ын   деп  атаймыз.
2 .2 .1   -  е с к е р т у .  Е   м етрпкалы қ  кеңістігініц  элеменгтерінен  түрагы н  М  
ж иы ны   осы  ксңіс'і ікте  енгізілген  бір  метрика  үшін  шенелген,  ал  екінші  мет­
рика  үшін  ш енелмеген  болуы  мүмкін.  Мысалы.  2.1.3-мысалда  қарасты ры - 
лған  м етрика  арқы лы   аны қталган  натурал  сандар  ж иыны  шенелмеген,  ал
2.1.4 -  м ы салда қарасты ры лган  метрика арқы лы   шенелген,  өйткені  бүл  ж аг- 
д ай да
Р (х>п )  =   т~Г~  +   1  <   2  (Vn  ^
1  +  
п
ягни  барлы қ нақты  сандар  центрі  1  нүктесінде орналасқан,  радиусы  2-ге тец 
болатын  ш арды ң  ішінде  ж атады .
2 .3 .  М е т р и к а л ы қ   к е ң іс т ік т е г і  ж и н а қ т ы л ы қ
Енді  ме’і'рикалы қ  кеңістіктердегі  м атем атнкалы қ  анализдің  негізгі  үгым- 
дары н  аны қтауга  көшейік.  Ең  алгаш қы   үгым  -  бүл  м етри калы қ  кецістіктің 
элементтерінен  түраты н  тізбектің  ж инақталуы .  С анды қ  тізбектің  ж инақта- 
луы  ара  қаш ы қты қ  үгы м ы на  байланысты  болгандықтан,  кез  келгсн  метри- 
кал ы қ  кеңістікке  бүл  үгы мды   дәлме  -  дәл  көшіруге  болады.
Е   м етрикалы қ кецістігінің элеменггерінен түраты н  {жп}  тізбегін қарасты- 
райық.
2 .3 .1   -  а н ы қ т а м а .  Е   м етрикалы қ кеңістігінің х   элементін  {:сГІ}  тізбегінің 
шсгі деп  атайды ,  егер
(V e   >   0 ) ( 3 A r ( c ) ) ( V n   : 
n  >
  [Аг( е ) ] )   : 
р е
{
х п
,
х
)  <   £ 
болса,  және  оны  қы сқаш а  былай  белгілейді:
lim   х п  =   х.
П-400
20

Егер  {ж’71}  тізбегініц  п
оо  кезде  шсгі  бар  болса,  онда  оны  осы  метрнка- 
л ы қ   кеңістіктің  метрикасы   бойынш а 
х
 
£ 
Е
 
нуктесіне  ж и кақтал аты н   тізбек 
дейді.  Ал  егер  {ж„,}  тізбегі 
Е
 
м етрикалы қ  кеңістігінің  ешбір  нүктесіне  жи- 
нақталмайтып  болса,  онда  оны  ж инақталм айты н  тізбек  дсп  атайды.
Кез  келген  м етри калы қ  кецістіктегі  шек  аны қтам асы н  санды қ  тізбектің 
ш еі’і  туралы   ан ы қ там аға  келтіруге  болады.
2.3.1'  -  а н ы қ т а м а . 
Е
 
метрикальтқ  кеңістігіпіц 
х
 
элементін  {.?;„}  тізбс- 
гіпіц  шсгі  деп  атайды ,  егер 
р е
{
х п
,
х
) 
саиды қ  тізбегі  п   —>  эо  кезде  нөлге 
үмтылатын  болса,  ягни
lim  
рЁ{хп,х) 
=  0.
п—
»эс
2 .3 .1   -  м ы с а л .  C L і[0,1]  кеңістігінен  алынган  (;с„(£)  =   і.п}  функционал- 
д ы қ тізбегініц  шегі  Ө(і)  =   0  ф ункниясы на  ж и нақталаты п ы и  көрсетіңдер.
Ш ынында  да,  бүл  кеңістікте
і 
і
Р
е
(
х
п , Ө)  =     |ж„(£)  -   0(t)\dt  =  [  tf'dt  =   — ~ г -  


п + 1
о 
о
Сондықтан,
lim  
p c l
{
x
„,0 )  =   lim   — —   =   0.
7J->OC 
П-ЮО n 
1
Олай  болса,  2.2.1'  -  ан ы қтам а  бойынш а  { t n}  тізбегі  C L i [ 0 , l \   кецістігіндо 
ж ннақталаты н  тізбск  ж әнс  Ө{і)  =   0  ф ункциясы   оның  шегі  болын  табылады.
Б ір ақ бүл  тізбск  С [ 0 .1]  кеңістігінде  Ө{£)  —  0  ф ун кц и ясы н а  ж инақталм ай- 
ды.  өйткені
lim   рс(хп, Ө)  =  lim  m ax j£n|  =   lim   1  =   1  -^>  0.
n—
> ОС 
ПН-ОС 
71—
юс
E  м етрикалы қ кеңістігінде ж и н ақтал аты н   {x,t}  тізбегінің кейбір қасиет-терін 
келтіріп  кетейік.
2 .3 .1   -  л е м м а .  К ез  келген  ж и нақталаты н  тізбектіц  шегі  ж алгы з.
Д ә л е л д е у і. 
Е
 
м етри калы қ ксцістігініц 
{ хп}
 
тізбегініц бір - біріне тец емес 
екі  шегі  бар  деп  үйгарайы қ.  ягни
lim  
х п 

х,
 
lim 
х п
 
=  
у
І1~>00 
7і->00
және
х 
у
,
онда  2.3.17  -  ан ы қтам а  бойынш а
lim   Р
е
{
х п
,
х
)  =  lim   Р
е
{
х п
,
у
)  =   0.
71-400 
П
>00
‘21

Сондықтан.  м етриканы ң  үш бұрыш   аксиомасы  бойынш а  п   өте  үлкен  болган 
кездс
0   <  
р ( х ,  у
)  <  
р { х ,  х
п )  +  
р ( х
п , 
у )   =   р ( х п , х )
  +  
р ( х п , у )   <   £
тецсіздігі  оры ндалады . 
х
 
ж әне 
у
 
нүктелері  м етрикалы қ  кеқістіктің  таңдап 
алынган  нүктелсрі,  ал  £  -  өте  кіш кентай  оц  сан  болғандықтан,  ж огары дагы  
теңсіздік
р ( х } у )
  =   0
болган  кезде оры ндалады .  Бүдаи  метриканың теис-теңдік  аксиомасы  бойын­
ш а 
х  
=  
у.
 
Бүл  -  қайш ы лы қ.  ейткені 
х  ф   у.
2 .3 .2   -  л е м м а .  М етрикалы қ кеңістіктегі  кез  келген  ж и нақталаты н  тізбек 
шенелген.
Д ә л е л д е у і.  Л ем м аны ң  ш арты  бойынша
l i m  
х п
  =  
х.
п—юо
Сондықтан.  2.2.1  -  ан ы қтам а  бойынша
(Ve  >   0)(ЭіҮ!  =   [N (e)])(V n  £  N   : п >   N i )   : 
р Е { х п

х)  <  е  <  1.
1, 
р е
{
х ъ
 
х
), 
р е
(
х 2

х
) , . . . ,  
р Е ( х 1\ ,  
х
)
 
сандарыныц ішіндегі ең үлкенін 
К
 
деп 
белгілейік,  ягни
К   =
  m a x { l ,  
p E { x
u
 
x
), p E { x
2 , 
x
)
,
/э£ ( . г, ү,   ж ) } .
Элбетте,  кез  келген 
п
 
үшін 
р Е { х п, х )   <   К
 
тецсіздігі  оры ндалады ,  ягни  қа- 
расты ры лы н  отырган  {жп}  тізбегінің  барлы қ  нүктелері  радиусы  К -га  тец, 
цснтрі 
х
 
нүктесінде  орналасқан  түйы қ  ш ардың ішіпде ж атады .  Д емек, 
{ х п}  
тізбегі  -  шенелгеи  тізбек.
Е с к е р т у .  Тізбектің  шенелгендігінсп  ж алпы   ж аід ай д а  оның  ж и пақтала- 
ты нды гы   ш ықпайды.  М ысалы, 
{ х п
 
=   ( —1)п}  тізбегі  шенелген.  бірақ  жи- 
нақталмайды.
2 .3 .3   -  л е м м а .  Егер 
Е
 
м етрикалы қ кеңістігінде {ж„}  және  {уп}  тізбектері 
ж инақталаты н  болса,  онда
l i m  
р Е { х п, у п
)  =  
Р
е
{
 
И т  
х п ,
 
І і т  
у п).
п ~>оо 
п-+оо 
гг-> ос
Д ә л е л д е у і.  Модулдің  қасиеті  бойынша

е
Ы , У
п
)  ~   P
e
(
x
,
ij
)\  <   \рЕ { х П)у п)  -   р Е { х , у п)  + р Е { х ) Уп)  -   р { х , у ) \   <
<   \
р е
(
х п
,
у
п)  -   рЕ { х , у п)I  +   \
р е
{
х

п
)  ~   р в { х , у ) \ .

Осы  алы нғап  тецсіздікке 
2.3.1 
-  лемманы ң түж ы ры м ы и   пайдаланып,
I
Р
е
(
х
п , у п)  ~   Р
е
{х ,  у
) )   <  
р е
(
х
п, х )
  +  
Р
е
ІУ
п

у
) 
теңсіздігін  аламыз.  Осы  теңсіздіктен  п   —> оо  кезде 
l i m   I
Р
е
{
х п

п
)  -   Р
е
{
х
,
у
)\
  =   0
П-+СО
шыгады.  Де.мек
l i m  
Р
е
{
х
п , 
у п) 
=  
р е
{
 
l i m  
х п, 
l i m  
у п).
п
—>00
 
П4 СС 
И
—>00
2 .3 .2  
-  а н ы қ т а м а .  {.rn} - 
Е
 
метри калы қ кеңістігінің элементтерінен тура- 
тын  тізбек,  ал 
к\  

к 2
 
<   ...  <  
к п
 
<   ...  -  өспелі  натурал  сандардыц  тізбегі 
болсын.  {ж қ}  — 
...}  тізбегін 
тізбегінің  тізбекшесі дсп
атайды.
Егер  {ж*,,}  тізбекшесі  ж и н ақтал аты н   болса,  онда  оныц  шегін  { х г,}  тізбе- 
гінің  дербес  иісгі деп  атайды.
2 .3 .4  
-  л е м м а .  Егер  {жп}  тізбегі 
E
 
м етрикалы қ  кеністігінде  жинақта- 
латы н  болса,  онда  оныц  тізбекшесі  {як„}-де  ж н н ақтал ад ы   жоне  оның  шеті 
{ х п}  тізбсгіпің  шегіне  тең  болады.
Д ә л е л д е у і.  Л ем м аны ң  ш арты   бойынш а  { х п}  тізбегі 
Е
 
метрнкалық 
кеңістігінде  ж и нақталады .  Оның  шегін  х   €  
Е
 
деп  белгілейік.  яғни
J i m  
р е
{
х
п, 
х
)
  =   0 .
Сондықтан,
(Vs  >   0)(3iY   =   [Ar(c)j)(V n  : 
п   >  N )
  : 
р е ( х Пі х )   <   е.
Әлбетте, 
к п 
>  п,  сонды қтан
(Ve  >   0)(3A r  =   JV(e))(Vfcn  : 
к„  >   п
  >  
N )
  : 
р е
{
х н
,
х
)  <   е, 
l i m  
р е ( х һ л> х")
  =  

l i m  
Хкп  =  
х.  Д емек, 
{ я * „ }   - 
тізбекш есі  ж и нақталады ,
71—
>00 
” 
П
>00
ж әнс  оның  шегі  {жп}  тізбсгінің  шегіне  тең.
М етрикалы қ  кеңістіктердегі  ж и н ақ ты л ы қ қ а  м ы салдар  келтірейік.
2 .3 .1  
-  м ы с а л .  С [ 0 ,
1] 
кецістігіндегі  ж и н ақты л ы қты   қарасты райы қ. 
С [
0 ,
1] 
кеңістігінің  элементтерінен  түраты н, 
x ( t )
  ф ункц иясы на  ж и нақтала- 
тын  {жп(£)}  тізбегі  берілсін,  ягни
(\ /s
  >   0)(ЗА г  =   [Ar(e)])(Vn  >  
N )   :  p ( x n ( t ) yx ( t ) )   <  е
p ( x n ( t ) ,  x ( t ) )
  =   m ax   I
x n ( t )   -
  x(£)|  <  
e.
 
(11)
23

(11)  теңсіздіктси  [ 0 ,1]  кесітідісінде  ж атқан   б арлы қ  t  үшііі  |x n (t)  —  x(t)\  <  е 
екендігін  көреміз.  Сонымен,
оры ндалады .  Б үл   дегеніміз  м атем атикалы қ  анализден  белгілі  бірқалыпты 
ж и н ақты л ы қты ң  аны қтам асы   бойынша  {х п(£)}  тізбегінің x{t)  ф ункциясы па 
бірқалы пты   ж и нақ-талаты н ы н  көрсетеді.  Д емек,  С [ 0 ,1]  м етри калы қ кеңісті- 
гіндегі  ж и н ақ ты л ы қ  -  бірқалыпты  ж инақты лы қ.
2 .3 .2  
-  м ы с а л .  R " 1  кецістігіндегі  ж и нақты лы қты   қарасты райы қ.  {х„  =  
(СГ)^
2
1!-” > £ т )}   тізбегі  R m  мотрикасы  бойынша  R m  кеңістігініц  х   элементіне 
ж и н ақталаты н   болсын,  ягни
Д ем ек,  R m  м етри калы қ  кеңістігіндегі  ж и н ақты л ы қ -  коордннаталар  бойын- 
ш а  ж н нақ-ты лы қ.
2 .4 .  М е т р и к а л ы қ   к е ң іс т ік т е г і  а ш ы қ   ж ә н е   т ү й ы қ   ж и ы н д а р
  -  ж азы қ ты гы н д а  берілген    жиынын  қарасты райы қ.  Осы  а   ж азы қты - 
ғы ны ң  барл ы қ  нүктелері    ж иы ны на  қаты сты   3  кл асқ а  бөлінеді.
М ысалы,  а  нүктесі  -  іш кі,  b  нүктесі  -  сыртқы, 
-------------
ал  с  нүктесі  ш екаралы қ  пуктс  болады.
Д әл  осы  сияқты   м стрикалы қ  кеңістіктің  кез  келген  ішкі  ж иы ны на  қаты- 
сты  оның  кез  келген  нүктелерін  классиф икациялауга  болады.
Енді  осы  үгы м дарга  байланысты  аны қтам аларды   келтірейік.
  жиыны  Е   м етри калы қ  кеңістіктің  қандай  да  бір  ішкі  ж иыны  болсын, 
ягни    С  Е.
2 .4 .1  
-  а н ы қ т а м а .  Е   м етрикалы қ ксңістігінің  а  нүктесін    жиыны  үшіп 
ішкі  н ү к те   деп  атайды ,  егер  ол  өзінің  қандай  д а   бір  маңайымен  осы   
ж иы ны нда  толыгы-мсн  ж ататы н  болса,  ягни
(Ve  >   0)(3(e))(V n  >   N )   :  |x n (f)  -  x(£)|  <   e
m
Сонды қтан,
rn
« •  lim  
(e? 
-  ft)  =  
о 
lim  
er 
=   &, 
< -
1
,
2
,..
1l—>OQ 
П-ЬОд
., 
n.
(3S e(o))  :  S£(a)  С  X .

2 .4 .2  
-  а н ы қ т а м а .  Е   м етри калы қ  кещ стігінің  Ь  нүктесін    ж иы ны   үшін 
сыртцы  нүкта деп  атайды.  егер де оның   жиынымен  қиылысуы  бос  бола- 
тын  қандай  д а  бір  е  мацайы  табы латы н  болеа,  ягни
2 .4 .3  
-  а н ы қ т а м а .  Е   м етри калы қ  кеңістігінің с  нүктесін    жиыны  үшін 
шакаралыц  и ү к те  деп  атайды ,  егер  де  с  нүктесініц  кез  келген  е  маңайында 
  ж иы ны нда  ж ататы н   да.  ж атпайты н  д а  нүктелср  табы латы н  болса.   
ж иыныныц  ба]>лық  ш ск аралы қ  нуктелер  ж иы ны н  А"  ж иы ны ны ц  шекарасы 
деп  атайды  жопе  д Х   деп  белгілейді.
Осы  аны қтам алардан  мы нандай  қорытынды  ж асауға  болады:
Е   м етрикалы қ  кеңістігінің  кез  келген  нуктесі    ж иы ны   үшін  не  сыртқы, 
не  ішкі,  не  ш екаралы қ  нукте  болады.  Сонымсн  катар.  А”  жиыныныц  бар- 
л ы к   ішкі  нүктелері  Л"  ж иы ны нда  ж атады ,  ал  сы ртқы   пүктелері  ж атпайды. 
Ш екаралы қ  нуктелері  өзінде  ж атуы   да,  ж атпауы   д а   мүмкін.
2 .4 .1
 
-  е с к е р т у . 
X
 
ж и ы ны ны ц  іпікі  пүктесі  оныц  ш екаралы қ  нүктесі  бо- 
лып  қалуы  мүмкін,  егер  Е   метрикальіқ кецістігі   ж пы ны н  қамтитын  басқа 
метрикалы қ  ксцістікнен  ауьістырылса,  мысалы,  Лг  =     ж иы ны ны ц  кез  кел­
ген  нүктесі    м етри калы қ  кецістігіне  байланысты  іш кі  иүкте.  бірақ  егер 
  —    жныны  ж азы қ ты қ ты ц   ( R 2)  бөлігі  ретінде  карасты ры лса,  онда   
жиыныныц  барлы қ  нүктелері  оның  ш екаралы қ  нуктелері  болады.  өйткені 
  жиыныныц  кез  келген  пуктесініц  м ацайы нда  огап  ж ататы н   да,  жатпай- 
тын  д а  ж азы қты қтан  нүктслер  табылады.
2 .4 .1
 
-  м ы с а л . 
X   — 
Q  ж иы ны   үшін  Е  
=  
  м етри калы қ  кецістігініц 
барлы қ  нүктелері  ш екаралы қ  нуктелер  болады.
Ш ынында  да,    ж иы ны ны н  х   күктесінің  коз  келген  мацайынан  рационал 
сандпр  да,  иррационал  сандар  д а  табылады.
2 .4 .2   -  м ы с а л .
болсын.  жо(t)  —  I t   ф ункцнясы     ж иы ны   ушін  сыртқы  нукте  болатынын 
көрсетіндер.
Д э л е л д е у .  Радиусы   е  =     болатын  хо(і)  ф ункциясы ны ц  мацайын,  ягни
5.1.(гсо)  ж иыныіі  қарасты райы қ.  Егер  V.x(t)  G  S).(xо)  болса,  онда
X   =   { x { t )  е   С [ - 1,1]  :  x{t)  <   3} 
С  
С [ - 1,1]
Бүдан
Vi-  е   [ - 1 ,1 ]   :  Ix ( t )   -   X0(t)\ 
|®(1)  -   2 !  <   ^   =»
25

2
  <  
^   2  ^  
>   9  ^   х ^   ^
Сонымен,  5і(а:о)  м аңайы ны ң  кез  келген  нүктесі    ж иы ны нда  ж атпайды . 
О лай  болса, 
xq
(£)  ф ункц иясы   -  X   жныны  үшін  сы ртқы   нүкте.
2 .4 .4  
-  а н ы қ т а м а .    ж иы ны   Е   метрикалы қ  кеңістігінің  ішкі  жиыны 
болса,  онда  Е \ Х   =   С Х   ж иы ны н  Е   метрикалы қ  кецістігініц  толыцтауыш 
жи ы н ы деи  атайды .
Әлбстте,   U С Х   =   Е   болады.
2 .4 .1   -  л е м м а .    ж иы ны ны ң  шекарасы.мен  С X   ж и ы ны ны ц  ш екарасы 
беттессді,  яғни
Ә Х   =  сЮХ.
Д ә л е л д е у і.  а  нуктесі    ж иы ны ны ц  ш екаралы қ  нүктесі  болсын,  ягни 
а  €   д Х .   онда  осы  пүктеніц  кез  келген  маңайынан    ж и ы ны на  ж ататы н   да. 
ж атпайты н  д а   нуктелер  табы лады .  Соидықтан,    ж иы ны нда  ж атпайты н  а 
нүктесініц  мацайы  С Х   ж и ы ны нда  ж атады   да,  ал  С Х   ж и ы н ы н д а  ж атп ай ­
тын  а  нүктесінің  мацайы    ж иы ны нда  ж атады .  О лай  болса,  а  нүктесі  С Х  
ж иы ны ны ц  ш ек аралы қ  нүктесі,
д Х  
с  
д С Х .
Керісінш е де  дәл  осылай  дәлслденеді.
{X Q}  деп  Е   м етри калы қ  кецістігінен  алынган  ж иы ндар  тобын  белгілейік.
2 .4 .2   -  л е м м а .
а)  Егер  а  нүктесі  Х а  ж иы ндары ны ц  кем  дегенде  біреуініц  ігикі  нүктесі
болса,  онда ол  осы  ж и ы нд ард ы ц бірігуінен  тураты н  Л'  =   1J Х а  ж иы ны   үшіи
(1
де  ішкі  нүкте  болады.
б)  Егер  ArQ  ж и ы ндары н ы ц  саны  ақырлы  болса,  онда  осы  ж и ы ндарды ц
П
әрбірсуіне  сы ртқы   нукте  болаті.ін  b  нүктесі  X   =   |J   Х а  ж иы ны   үшін  до
Q =  1
сыртқы  нукте  болады.
Д ә л е л д е у і.
а) 
Лемм аиы ц  ш арты  бойынш а  а  нүктесі  A'rt)  €  {А'а }  жиыны  үшін  ішкі 
нүкте.  Олай  болса.  2.4.1  -аны қтам а бойынша
(З О Д а))  :  Os(a)  €   Х аі.
Х аі  С  X   —  U X Q  болганды қтан,  Os(a)  мацайы    ж и ы ны нда  тольиъімеп 
ж ататы н  нүктелерден  түрады .  Сондықтан,  а  нүктссі    ж ны ны   үшін  дс  ішкі 
нүкте  болады.

б) 
Л см м аны ц  ш арты   бойынша  Ь  иүктесі -  A i, A i , .., Х п  ж иы ндары пы н  эр- 
бірі  үшін  сы ртқы   нукте.  Олай  болса,  2.4.2-  аны қтам а  бойынш а
(3 0 ^ (6 ), О ф ) , ....  O s j b ) )   :  0 Sl(b)  
i 0 6я(Ь)  <£  X n.
8  =
  m i n { d i ,   do,  •••; 
деп  белгілейік.  О нда 
b
 
нуктссініқ радиусы 
Л
-га  тсц  бо- 
латы н  маңайында  Х і , Х ъ ,   ■
 •, Х п  ж иы ндары ны ц  еш қандай  нүктелері  болмай-
П
ды.  Демек,  А”  — 
[J 
Х а  ж иы ны ны ц  ешбір  нүктесі 
b
 
нуктесініц  <$-мацайында 
0 = 1
ж атпайды .  Олай  болса,  2.4.2 -  аны қтам а бойынша 
b
 
нүктесі  -   ж иы ны   үшін 
сыртқы  нукте.
Шекаралыц  пүктел ердщ  ксйиір  цасиеттері
  және  Ү   ж и ы н д ары   Е   м етрнкалы қ  кецістігініц ішкі  ж иы ндары   болсын. 
 U Ү   = 
Z
 
деп  белгілейік.
2 .4 .3  
-  л е м м а . 
Z
 
ж иы ны ны ц  ш екарасы    жоне    ж иы ндары н ы ц  шека- 
ралары ны ц  бірігуінен  ш ығатын  ж иы нны ц  ішкі  ж иы ны   болады.  ягни
0 Z
 
С  д Х  U д У   =»  д { Х  U Y )   С  д Х  U  дУ. 
(12)
Д ә л е л д е у і.  Е   м етри калы қ  кецістігініц  а  нүктесі  A”,  Ү   жиы ндары ны ц 
ш екарасында  ж атп ай ты н   болсын,  ягни  а  £   д Х ,   а  £  д Ү .  О нда  а  нүктесі 
X ,   Ү   ж иы ндары ны ц  кем  дегенде  біреуі  ушін  ішкі  немесе  екі  ж иын  үшін  де 
сыртқы  нүкте  болады.
Сондықтан.  2.4.2 -  лемма бойынш а бірінші  ж агд ай д а а  нүктесі 
Z  
  А 'и У  
ж иыны  үшін  ішкі,  ал  екінші  ж агд ай да сыртқы  нүкте  болады.  Олай  болса,  а 
нүктссі 
Z
 
ж иыны  үнтін  ш екаралы қ  нүкте  бола  алм айды .
Сонымен,  егер  а  нүктесі  X ,   Ү   ж иы ндары ны ц  ш екаралары и ы ц  бірігуінен 
ш ыгатын  жиын д а   ж атп аса.  онда ол 
Z
 
ж иы ны ны ц д а  ш екарасы нда  ж атпай­
ды.  Сондықтан  д ( Х   U У )  С  д Х  U  д У   болады.
2 .4 .2  
-  е с к е р т у .  2.4.3  -  лсмманы ц  туж ы ры м ы   кез  келген  ж иы ндарды ц 
ақы рлы   қосындысм  үшін  де  оры ндалады .  Б ірақ,  ол  ж и ы н д ард ы ц   ақы рсы з 
қосындысы  үшін  оры ндалмауы   мүмкін.  М ысалы,  центрі  О  нуктесінде  орна- 
ласқан,  радиустері  1  —  ^
  =   г п  саны на  тец,  бірініц  ішіне  бірі  енетін  жа- 
зы қты қтагы   S Tn( 0 )   дөцгелектердіц  бірігуі  центрі  О  нүктесінде  орпаласқан, 
радиусы  1  саны на тец  аш ы қ  дөцгелекті  береді.  ягпи
СС
U  S,„(0) = Si(0).
71=1
5 і(0 )  дөцгелектіц  ш екарасы ,  ягпи  центрі  О  нүктесінде  орналасқан,  ради­
усы  1  саны на  тец  шецбер  5 Гп(0)  децгелектердіц  ш екаралары иы ц  бірігуінеи
ос
т ү р а т ы н  
1J  5 Гп(0) 
ж и ы н ы н ы ц  
іііік і
  ж и ы н ы   б о л м а й д ы .
П=1
27

2 .4 .4   -  л е м м а .    ж иы ны ны ц  кез  келген  а  ш екаралы қ  нүктесі  ушін  осы 
нүктеге  ж и н ақтал аты н     ж иы ны ны ц  элементтерінен  түраты н  { х п}  тізбегі 
табы лады ,  ягни
(Va  G  д Х ) ( 3 { х п} Г   С  X )   :  lim   х п  =  а.
П-> 00
Д э л е л д е у .  а  нүктееі    ж иы ны   үшін  ш екаралы қ  нүкте  болғандықтан, 
оныц  кез  келген  маңайынан    ж иы ны нда  ж ататы н  нуктелер  табылады . 
О лай  болса,  радиусы  5п  =  £  болатын  а  нүктесініц  мацайы нда  д а     ж и ы ­
ныныц  нүктесі  болады.  Ол  нүктені  х п  деп  белгілейік.  п   -ге  1 ,2 ,3 ,...  санда- 
рын  беру  арқы лы   а  нүктесініц  мацайы нда  ж ататы н    ж иы ны ны ц  иукте- 
лерінен  түраты н  {жі, ж з,. . . ,  х п, .. . }   тізбегін  алам ыз. 
р е
{
х п
,
о
)   <  ^  болгаи- 
ды қтан,  lim  
р е
{
х
п, 
о
  =   0  болады.  Сондықтан,  2.3.1  -  аны қтам а  бойынша
7 1 -4  ОС
lim   х п  =   a.
гг->оо
2 .4 .5   -  л е м м а .  Егер    ж иы ны ны ц  элементтерінен  түраты н  {жп}  тізбегі 
Е   м етри калы қ  кецістігініц  a  нүктесіне  ж и н ақталаты н   болса,  онда  a   нүктесі 
  ж иы ны   үшіп  не  ішкі.  не  ш екаралы қ  нукте  болады.
Д э л е л д е у .  Л ем м аны ц  ш арты   бойынш а  lim   х п  —  а.  Сондықтан,  а  нүк-
П-+00
тесініц  кез  келген  мацайы нда  {жп}  тізбегініц  нүктелсрі,  ягни    ж иы ны ны ц 
нүктслері  болады.  Д емек,  а  нүктесі  -    ж иы ны  үшін  не ішкі,  не  ш екаралы қ 
нукте.
Барлыц  жерде  т,ыгыз  орналасцап  ж и ы н  жэнс,  оныц  кейбір  цасиеттері. 
Сепарабелді  кеңістіктер
2 .4 .5   -  а н ы қ т а м а .  Егер  Е   м етрикалы қ  кецістігініц  кез  келгеп  a  нүктесі 
  ж иы ны   үшін  ішкі  немесе  ш екаралы қ  нукте  болатын  болса.  ягни
Е   =   X  U  д Х ,
онда    ж иы ны   Е   м етри калы қ  кецістігіне  барлыщ  эісерде  тыеыз  ориаласцаи. 
эісиын деп  аталады.
Осы  аны қтам адан  мынадай  түж ы ры м   ж асауга болады.    ж иыны  Е   мет- 
рикалы қ  кеңістігіне  б арлы қ  ж ерде  ты ғы з  ориаласуы   үшін  Е   метрикалы қ 
кецістігініц  кез  келген  a   нүктесініц  мацайы нда  кем  дегенде    жиыны ныц 
бір  нүктесі  бар  болуы  қаж етті  және  ж еткілікті.
2 .4 .3  
-  м ы с а л .    =   Q  рационал  сандар  ж иы ны   -    метрикалы қ  кецісті- 
гіне  барлы қ  жерде  ты ғы з  орналасқан  жиын.
Ш ы ны нда да,  Q  рационал  сандар ж иы ны   -    м етри калы қ кецістігіне бар- 
лык,  ж ерде  ты ғы з  орналасқан  жиын,  өйткені  2.4.3-мысалдыц  тұж ы ры м ы
о о

бойынш а  Q  ж иы ны   үшін    кецістігінің  нүктслерінід  барлы гы   ш окаралық 
нукте.
2 .4 .6  
-  а н ы қ т а м а .  f ( x )   ф ункциясы   [a. b]  кесіндісіндо  бөлік-сызьщты 
функция  леи  аталады ,  егер  де  [а, Ь]  кесіндісінің  f ( x )   ф ункциясы   орбір  бөлі- 
гінде  сызықты  болатын  бөліндісі  табы латы н  болса,  ягни  (3 a  
xq
  <  . . .   < 
х п  =  b)  :  f ( x )   -  [x):, 
1
],  (k  =   0 , 1 . . . .   —  1)  кесіндісінде сы зы қты   функция.
Б ар л ы қ  [a, b]  кесіндісінде бөлік-сы зы қты   ф ун кц и ял ар ж иы ны н  X ja . b]  деп 
белгілейік.
2 .4 .4  
-  м ы с а л .  Х [ а , 6]  -  бөлік  -  сы зы қты   ф у н кц и ял ар   ж иыны  С[а, b]  мет- 
рикалы қ  кецістігіне  барлы қ  ж ерде  ты гы з  орналасқан  ж н ы н  екенін  долел- 
дендер.
Д э л е л д е у .  f ( x )   6   С[а, 
6
]  болсын.  О нда Вейерш трасс теоремаеы бойынша 
f ( x )   ф ункциясы ны ц  [а, 6]  кесіндісінде ец үлксн,  ец  кіші  мондсрі  бар болады. 
Оларды  сойкесінше  М   =   m ax  f ( x ) ,   т   =   m in  f ( x )   деп  белгілейік.  Сонды-
a:e[a;ii] 
J:6[a,6j
қтан,  [a. b]  кесіндісініц 
~   nik  <  £  (VA-)  болаты ндай  a  — 
xq
  <  . . .   <  x n  =   b 
бөліндісі  табы лады .  М үндагы,  A/;.,  m/.  -  сәйкесіише  f ( x )   функциясыныц 
кесіндісіндегі  ец  үлкен.  ец  кіші  мәндері.
(® о,/(*о)).(® і> /(® і)).  •••>  (®n>/(®n))  нүктелерін  кесінділер  арқы лы   қос- 
сақ.  онда  осы  [a, 6]  кесіндісінде  бөлік-сы зы кты   болатын  қандайда  бір  ір(х) 
ф ункцияны ц  граф игін  аламыз.  Әлбетте,  Vx  €   [a, b]  үшін
I/(ж )  -   (р(ж)І  <   s 
теңсіздігі  болады.  Сондықтан.
P c { f { x ) , v { x ) )   <
  г.
Демек,  ip(x)  G  0 £( f )   ф ункциясы   f ( x )   ф ункциясы ны ц  радиусы  г  санына 
тец  болатын  м ацайы нда  ж атады .  Олай  болса,  ЛГ[а, Ь]  ж иы ны   -  м етрикялы қ 
кецістікке  б арлы қ  ж ерде  ты гы з  орналасқан  ж иы н.
2 .4 .1  
-  т е о р е м а .    ж иы ны   Е   м етри калы қ  кецістігіне  барл ы қ  жерде  ты ­
гы з  орналасқан  ж иы н  болуы  үшін  Е   м етри калы қ  ксңістігініц  кез  келген 
а  нүктесіне  ж нм ақталаты н    ж иы ны нан  {ж„}  тізбегініц  табылуы  қаж етті 
жоие  ж еткілікті.
Д э л е л д е у .  Қ аже тті лі к .   X   ж иы ны   Е   м етри калы қ  кеңістігіне  барлы қ 
ж ерде  ты гы з  орналасқан  жиын  болсын.  Онда  2.4.5  -  ан ы қ там а  бойынша  Е  
м етри калы қ  кецістігініц  кез  келген  а  нүктесі    ж ны ны   үшін  ішкі,  не  ше- 
кар ал ы қ  нукте  болады.  Егер  а  X   ж иы ны   үшін  іш кі  нукте  болса,  онда  {ж„} 
тізбегі  ретінде  {a, a , . . . ,  a , . . . }   ж иы ны н  ал уга  болады.  Егерде  а  X   жиы ны 
үшін  ш екаралы қ  нукте  болса.  онда  2.4.4  -  лем м а  бойы нш а  а  нүктесіне  жи- 
нақталаты н    ж иы ны нан  {ж„}  тізбегі  табы лады .
29

Ж е т к т к т і л т .   Е   м етрикалы қ  кецістігінің  кез  келген  а  нүктесіне  жи- 
нақталаты н    ж иы ны нан  {жгг}  тізбсгі  табы латы н  болсын.  О нда  2.4.5  -  лем­
ма бойынш а  а  нүктесі    ж иы ны   үшін  не  іінкі,  не  ш ек аралы қ  нүкте  болады. 
Сондықтан,  2.4.5 -  ан ы қтам а бойынша  жиыны  -  Е   м етри калы қ кеңістігіне 
б арлы қ  ж ерде  ты гы з  орналасқан  жиын.
2 .4 .2  
- т е о р е м а .  Егер У  ж иыны  жиынына,  ал   ж иы ны   Е  м етрикалы қ 
кецістігіне  б арлы қ  ж ерде  ты гы з  орналасқан  ж иы н  болса,  онда  У   ж иы ны   Е  
м етри калы қ  кеңістігіне  б арлы қ  жерде  ты гы з  ориаласқан  ж иы н  болады.
Д э л е л д е у .  Теорема  дәлелденеді,  егер  де  біз  Е   м етри калы қ  кецістігінің 
кез  келген  а  нүктесінің  мацайы нда  Ү   ж иы ны ны ц  кем  дегенде  бір  нүктесі 
болаты нды гы н  көрсетсек.
Е   м етри калы қ  кеңістігіпіц  кез  келген  а  нүктесінің  кез  келген  5  мацайын 
қарасты райы қ.    ж иы ны   Е   метрикалы қ  кеңістігіне  б арлы қ  ж ерде  ты гы з 
орналасқан  ж и ы н  болгандықтан,  S$(a)  жиынынан    ж и ы ны нда  өз  мацай- 
ымен  толыгымен  ж ататы н  кем  дегенде  бір  Ъ  нүктесі  табы лады .  Ягни
(36  €   X )   :  S Sl{b)  С  5 , (а).
Ү   ж иы ны     ж иы ны на  б арлы қ  жерде  ты гы з  орналасқап  ж иы н  болганды- 
қтан,  Ssi (Ь)  ж иы ны нан  У   ж иы ны нда  ж ататы н  кем  дегенде  бір  с  нүктесі  Е  
м етрикал ы қ   кецістігінде  табы лады .  Элбетте,  с  Е  Ss(a),  ягни  а  нүктесініц 
м ацайы нда  У   ж и ы ны ны ц  кем  дегенде  бір  с  нүктесі  болаты нды гы н  көрсет- 
тік.  О лай  болса,  У   ж иы ны   -  Е   м етрикалы қ кецістігіне  б арлы қ ж ерде  ты гы з 
орналасқан  жиын.
Сепарабелъді  кеңістіктер  жэне  оган  мысалдар
2 .4 .7
 
-  а н ы қ т а м а .  Егер 
X
 
жиынымен 
N
 
н атурал  сандар  ж иы ны   тец 
түрпатты   ж и ы нд ар  болса,  онда    ж иыны  саналымды  ацырсыз  ж и ы н  деп 
аталады .  А қы рсы з саналм айты н ж иындарды  саналымсыз  ацырсыз  жиындар 
деп  атайды.
М ысалы,    =   Q  рационал  сандар  ж иыны  -  саналы м ды   ақы рсы з  жиын, 
өйткені  Q  мен    сандар  ж иы ны ны ц  арасы нда  өзара  бірмәнді  сойкестік
J ( n )   =   - : n e N - + - e Q , q e Z , n e N  
n  
n
табы лады .  С онды қтан,  олар  -  тец түрпатты   ж иы ндар.
2 .4 .8   -  а н ы қ т а м а .  Егер  Е   м етрикалы қ  кецістігіне  б арлы қ  жерде  тыгыз 
ішкі  саналы м ды   ж и ы н  табы латы н  болса,  онда  Е   м етри калы қ  кецістігін  се- 
парабелъді  метрикалъщ  кеңістік деп  атайды.

2 .4 .8 ’  -  а н ы қ т а м а .  Е   м етри калы қ  коцістігін  сепарабельді  кецістік  деп 
атайды,  огср де Е  м етри калы қ кеңістігіксн тізбекшесі  Е  м етрнкалы қ кецісті- 
гінің  х   элемеитіне  ж и н ақтал аты н   {ж„}  тізбегі  табы латы и  болса,  ягни
(3{.тп}  С  Е )  (V.r  Е  Е )   :  lim   Хи  =   х.
п—Юо
2 .4 .4   -  м ы с а л .    нақты   сандар  ж иы ны   -  сепарабельді  кецістік,  өйткепі 
Q  рационал  сандар  ж иы ны   -    кецістігіне  б арл ы қ  ж ерде  ты гы з  ішкі  сана­
лымды  жиын.
2 .4 .5   -  м ы с а л .  R m  -  т   өлш смді  кеңістік  -  сепарабельді  кеңістік,  өйткені 
R m  кецістігіпіц рационал  сандардан  тұраты н  нүктелер  ж иы ны   -  R rn  кецісті- 
гіне  барлы қ  жердс  ты гы з  ішкі  саналы мды   жиын.
2 .4 .6   -  м ы с а л .  С [ 0 ,1]  -  үзіліссіз  ф ун кц и ялар  кеңістігі  -  сепарабельді 
ксңістік,  өйткені  коэфициенттері  рационал  сандардан  түраты н  Со  барлы қ 
көпмүшеліктер  ж иы ны   -  С [0,1]  кецістігінс  барлы қ  ж ерде  ты гы з  ішкі  сана­
лымды  жиын.
Д ә л е л д е у і.
1)  Со  ж иыны  -  саналы м ды   жиын;
2)Yx(t)  Е  C [ 0 .1]  болсын,  онда  Вейерш трасс  теоремасы  бойынша 
(Vs  >   0)(Э
P ( t ) ) ( W t
  S  [0,1])  : 
p E ( P ( t ) , x ( t ) )
  =   m a x   |* (t)  -   P (« )|  <
3) 
екінші  ж ағы нан
( V s   >
  0)(3fi,(<))(V f  e   [0,1])  : 
Р
е
Ш
) ,  P ( t ) )   =
  m ax  |
P ( t )
  -   P „(i)|  <
Сондықтан,  (2)-(3)  нунктінен  мынаны  аламыз:
(Ve  >   0 )(3 Po{t))(Vt  E  [0,1])  :  pE (P0{ t ) , x ( t ) )   =  max.  \x{t)  -   P0(t)\  <  e.
oo
2 .4 .7   -  м ы с а л .  lp  =  {{ж,,}  : 
|ж„|р  <   oo, x n  E  R}  ден  элемеиттері  нақты
n = 1
сандардан  қүралган  ж әне  осы  элементтердің  модульдерініц  р  дорсжесінен 
қүралаты н  қатар ж и н ақтал аты н  б ар л ы қ сан тізбектерінен түраты н  ж иынды 
белгілейік.  Ір  кецістігініц  сепарабсльді  ксцістік  болатынын  долелдецдер.
Д ә л е л д е у і.
1) 
X   =   {ж  Е  Ір  :  х   =   { г і , 7*2, ...,7’п, 0 ,0 ,...} } ,  мүндағы  г*  -  кез  келген 
рационал  сандар,  ал  п   -  кез  келген  натурал  сан.  Б үл  жиын  -  саналымды 
жиын.
31

2)    ж иы ны   Ір  ксңістігіне б арлы қ жерде ты гы з ішкі  ж иы н болатындыгын
СЮ
көрсстейік.  Vx  =   {&•}  6     болсын.  ^   і£і|;'  ж и нақталаты н  қатар  болганды-
і
= 1
қтан,  lim   Rn  =  0  ( R n  -  қатарды ң  қалды қ  мүшесі),  ягни
71—У ОС
OO
(Ve  >   0 )(3 n i)  (Vn  :  n   >  щ )   : 
[
6
:Г  <   ry
г'=7і+1
71
3)  ]C  I
Гк\р  <  т  болаты ндай етіи, 
=   { п , г г ,. . . ,  г„, 0 . 0 , . . . }  элементін
А~1
тандаи  аламыз.
4)    ж иы ны нан  алы нган  жо  нүктесімен  Ір-  дан  алынган  х   нүктесінің  ара 
қаш ы қты гы н  қарасты райы қ:
00 
71 
оо
(
р е
(
х
,
  х о  ) ) » =   £
 f e   -   Г * ) "   =   ] Г   | 6   -  
п Г  +
  £
  І& І»  
< L   +   L   =   lsp. 
к
= 1
 
* = 1
 
* = « + 1
Бүдан, 
р е
(
х
,
х
о)  <   е.  Б үл  дегеиіміз  2.4.5-анықтама  бойынш а    ж иыны 
Ір  кецістігіне  б арлы қ  ж ерде  ты гы з  жиын  болатындыгын  көрсетеді.  Соны- 
мен,    ж иы ны   -  Ір  кеңістігіне б арлы қ жерде ты гы з  саналы мды   ж иы н.  Олай 
болса,  2.4.8  -  ан ы қтам а  бойынш а    -  сепарабельді  кецістік.
Л шыц  жэ п е   т у й ы ц   жиындар.  цасиегптері
Ж а зы қ т ы қ т а  аш ы қ ж әпе түйы қ дөцгелектер.  аш ы қ ж әне түйы қ  квадрат- 
тар,  т.с.с.,  дол  осы  сияқты   түзудің  бойында  аш ы қ  (интервал)  ж әне  түйы қ 
(кесінді)  арал ы қтар  болады.  Б үл   ж иы ндарды ң  бір-бірінен  айы рмаш ы лы гы  
біріншісі  өзінің ешбір ш екаралы қ нүктелерін қамты м айды,  ал екіншісі өзінің 
барл ы қ  ш екаралы қ  нүктелерін  қамтиды.  Д әл  осы  сняқты   кез  кслген  метри- 
кал ы қ кеңістіктің элементтерінен түраты н  ж иы ндарды   классиф икациялауга 
болады.
2 .4 .9   -  а н ы қ т а м а .  Е   м стри калы қ  кецістігінің  өзінің  барлы қ  ш екаралық 
нүктелерін  қам титы н    ж иы ны н  тү й ь щ  ж и ы п деп  атайды ,  ягни
д Х   С  X .
2 .4 .1 0   -  а н ы қ т а м а .  Е   м стри калы қ  кеңістігіиің  өзінің  ешбір  ш екаралық 
нүктелерін  қам ты м айты н,  ягни  тек  ішкі  нүктелерінен  түраты н    жиынын 
ашыц  эісиын деп  атайды .  Д емек,
д Х  П   =  
0
.
10

2 .4 .1 1   -  а н ы қ т а м а .  Ж и ы н   мен  оның  ш екаралы қ  нүктелерінен  тураты н 
ш екарасының  бірігуіиен  ш ы ғаты н  ж иы нды,  яғни    U  дХ-ті  X   ж иы ны ны ң 
т үй ы ц та ма с и ден  атайды ,  ж әне  оны  былай  белгілейді:    =     U д Х .
2.4.9 -  аны қтамам ен  2.4.11  -  аны қтам адан    ж иы ны   тұйы қ ж иы н  болады, 
егер  X   —  X   болса  ( X   ж и ы ны ны ц тұйы қтам асы   ж и ы нны ц  өзінс  тец  болса).
2 .4 .1 2   -  а н ы қ т а м а .  Егер  Ү   С  X   ( Ү   ж иы ны     ж и ы ны ны ц  түйықтама- 
сыныц ішкі ж иы ны )  болса,  онда.   ж иы ны н  Ү   ж и ы н ы н а  тыгыз  ішкі оюиыи 
деп  атайды.
2 .4 .1 3   -  а н ы қ т а м а .  Егер    ж иы ны ны ц  түйы қтам асы   Е   метрикалы қ 
кеңістігімен  беттесетін  болса,
( X   =  Е) ,
онда   жиынын  Е   м етри калы қ кецістігіне  барльщ  эісерде  тыгыз  ішкі жи ы н  
деп  атаііды.
2 .4 .1 4   -  а н ы қ т а м а .  Егер  Е   м етрикалы қ  кецістігініц  кез  келген  шары   
жиыны-ныц  элементтері  ж атпайты н  ш арды  қам титы н  болса,  онда    жиы- 
пын  Е   м етрикалы қ  кецістігіне  еш  жерде  тыгыз  емес  ж и ы н  деп  атайды.
Е   м етрикалы қ  кецістігініц  ш екаралы қ  нүктелерінен  түраты н  жиын  бос 
ж иын  болгандықтан,  ягни  д Е   =   0,  д Е   С  Е ,   д Е   П  Е   =   0  болады.  Вүл  де- 
геніміз  Е   м етри калы қ кецістігі  бір уақы тта аш ы қ ж әне тү й ы қ ж иы н  болады 
дегенді  білдіреді.  Д әл  осы  қасиет  бос  ж иын  үшін де  оры ндалады .
Ашық  та,  түй ы қ  та  болмайтын  ж иы ндар  бар.  М ысалы,  нақты   сандардан 
түраты н  (0,1]  аралы гы   аш ы қ  та,  түйы қ  та  ж иы н  емес,  ойткені  оныц  бір 
ш зкаралы қ  нүктесі  өзінде.  ал  екіншісі  өзінде  ж атпайды .
2 .4 .8   -  м ы с а л .  К ез  келген  Е   метрикалы қ  кецістігінде  аш ы қ  ш ар  аш ы қ 
ж иы нды   аны қтайд ы .
Ш ы ны нда да,  м аңайды ц қасиеті  бойынша 5 г(ж)  ш ары ны ц  кез  келген  пүк- 
тесі  үшін  осы  ш арды ц  ішінде  толыгымен  ж ататы н  мацай  табы лады ,  ягни 
S r (x)  ш арыныц  кез  келген  нүктесі  оныц  ішкі  нүктесі  болады.  Сондықтан, 
ол  -  аш ы қ  жиын.
2 .4 .9   -  м ы с а л .  К ез  келген  Е   метрикалы қ  кецістігіпде  түй ы қ  ш ар  түйы қ 
ж иы нды   аны қтайды .
Д ә л е л д е у і.  b  <£  S r (a).  О нда  p s(6 , a)  >  r. 
р е
{Ь,
сі
)  — r   =   S  деп  белгілейік. 
О нда
(Уж  €   S 5{b))  :  р{а. b)  <  р(а, ж)  +  р{ж, Ь)
немесе
р{ж, а)  >  р ( а , 6)  — р(х, Ь)  >  р(а, Ь)  —  8  =   г,
33

ягни  а  нүктесінің  мацайы нда  ж атпайты н  Ь  нүктесініц  мацайы  табылады. 
Сондықтан,  х  
S r (a)  жоне  S r (a)  П  Ss(b)  =   0.  осыдан  b  нүктесі  -  S r(a) 
ж иы ны   үшін  сы ртқы   нүкте.  Сонымен  S r(a)  ж иы ны нда  ж атпайты н  нукте  - 
S r(a)  үшін  сы ртқы   нукте.  Олай  болса.  S r (a)  -  туйы қ  жиын.
2 .4 .3  
-  т е о р е м а .  Е   м етрикалы қ  кецістігініц  ішкі    ж иы ны   түйы қ  жиын 
болуы  үшін    ж иы ны ны ц элементтерінен  туратын  ж инақталаты н  {.тГ|}  тіз- 
бегініц  шегі    ж и ы ны нда  ж атуы   қаж етті  және  ж еткілікті.
Д ә л е л д е у і.
Қ а ж е т т і   іиаргп.  Егер  Е   метрикалы қ  кецістігінің ішкі    ж иыныныц эле- 
менттерінен  түраты н  { х п}  тізбегі  ж инақталаты н  болса,  онда  2.4.5  -  лемма 
бойынш а  оныц  шегі    ж иы ны   үшін  не  ішкі.  не  ш екаралы қ  нукте  болады. 
Л ем м аны ц  ш арты  бойынша    түйы қ  жиын  болғандықтан,  { х п}  тізбегініц 
шегі    ж иы ны ны ц  өзінде  ж атады .
Жетпкілікті  utapm.  X   ж иы ны ны ц элементтерінен тураты н  {.тп}  тізбегініц 
шегі оныц өзіпде жатсын.  О нда 2.4.5 - лемма бойынша Е  м стри калы қ кецісті- 
гініц кез келген а  нүктесі   ж иы ны  үшін тек ішкі нукте болады.  Сондықтан, 
  ж иы ны   өзініц  барлы қ  ш екаралы қ  иүктелерін  қамтнды.  Олай  болса,   
ж иы ны   -  түйы қталган  жиын.
Ашъщ  Ждпс  түйыц  жиындардыц  цасисттері
Қ андай  д а  бір    ж иы ны   Е\   метрикалы қ  кецістігі  үшіп  аш ы қ  (түйық),  ал 
екінші бір  Е 2  м етрикалы қ кецістігі үшін керісінше аш ы қ  (түйық)  емес болуы 
мүмкін.  М ысалы,  интервал  -  R 1  үшін  аш ық.  ал  R 2  үшін  аш ы қ  емес  жиын. 
Сонда  келесі  түж ы ры м   дүрыс.
2 .4 .6   -  л е м м а .  Егер    ж иы ны   Е \   м етрикалы қ  кецістіктігініц  ішкі  ж иы ­
ны,  ал  Е і   м етрикалы қ кецістігі  Ео  м етрикалы қ  кецістігініц ішкі  бөлігі  және 
  ж иы ны   Ео  м етрикалы қ  кецістігінде  түйы қ  жиын  болса,  онда  ол  Е \   мет- 
рикалы қ  ксцістігінде  дс  түйы қ  ж иын  болады.
Д ә л е л д е у і.  Кері  жоримыз,  ягни    жиыиы  Е\   м етрикалы қ  кеңісгігінде 
түйы қ  жиын  болмасын.  Онда  X   ж иы ны нда  ж атпайты н,  бірақ  ол  үшін  ше- 
каралы қ нукте болатын  Е \   метрикалы қ кецістігінен  бір  а  нүктесі  табылады. 
Е і   С   Е% 
болгандықтаи,  a 
G  Е ^ . 
Сопдықтан, 
Е ч 
м етрикалы қ  кецістігінде 
ж атқан   а  нүктесі    ж иыны  үшін  ш екаралы қ  иүкте  болады.  а  (р  X   ж ат­
пайтын  болгандықтан,    ж иы ны   Е 2  м етрикалы қ  кецістігінде  түйы қ  жиын 
емес екендігі  шыгады.  Алынган  қайіттылық лемманы ц түж ы ры м ы ны ц дурыс 
екендігіи  дәлелдейді.
2 .4 .7  - л е м м а .  Егср Е і   кецістігі Е 2 м етрикалы қ кецістігініц бөлігІ жоне Е 2 
кецістігінен  алынган    ж иы ны   осы  м етрикалы қ  ксцістік  ушін  аш ы қ  жиын 
болса, онда Х п Е і  ж иы пы   Е \   м етрикалы қ кецістігі үшін  аш ы қ жиын болады.

Д ә л е л д е у і.  а  €  А"  П  E \   болсын.  О нда  a  £   X .   X   ж иыны  Е->  метрика- 
лы к   кеңістігі  үшін  аиіы қ  жиын  болғандықтан,  а  нүктесінің    ж иы ны нда 
толыгымен  ж ататы н   Ss{a)  манайы  табы лады ,  ягни  S s ( a )  С  А .  Сондықтан, 
S$(a)  С  X   Г)  Е\ .   Д ем ек,  о,  нуктесі  -    П  Еі   ж иы ны ны ц 
іііік і
 
иүктесі.  Олай 
болса,  А  П Е і   ж иы ны ны ц  кез  келген  а  нүктесі  -  Е \   ж иы ны   үшін  іиікі  нукте. 
Сондықтан,  А'  П  Е \   ж иы ны   -  Е і   кеңістігінде  аш ы қ ж иы н.
2.4.1 
-  с а л д а р .  Егер  А'  С  Е \   С  Е<>  жоне    ж иы ны   Е 2  метрикалық 
ксңістігі  үшін  аш ы қ  ж иы н  болса,  онда  ол  Е і   м етри кал ы қ  кецістігі  үшін  дс 
аш ы қ жиын  болады.
2 .4 .8   -  л е м м а .  М етрнкалы к  кецістіктегі  ж иы н  аш ы к  болуы  үшін 
о і і ы ң
 
толықта-уыш   ж иы ны   туй ы қ  болуы  қаж етті  ж әпс  ж еткілікті.
Д ә л е л д е у і.  К ез  келген  м етрикалы қ  кецістіктіц  ішкі  А   ж иыны  мен  оныц 
толықта-уыш   СХ ж иы ны ны ц ш екаралары  беттесетіндігі белгілі.  Сондықтан. 
егер    ж ны ны   Е   метр икал ы қ  кецістігі  ушін  аіпы қ  ж иы н  болса,  онда  д Х   <£ 
X .   Демек,  ол  толы қтауы ш   ж и ы нд а  ж атуы   керек,  өйткені  A   U  С Х   —  Е. 
Ал  д Х   —  д С Х   болгапды қтан,  д С Х   С  С Х .   Бүл  дегеніміз  түііы қ  жиынныц 
анықтамасы  бойынш а  СХ  ж иы ны ны ц тұйы қ  ж иы н  скендігін  көрсетеді.  Дол 
осы сііяқты,  егер   ж иы ны   Е   м етри калы қ кецістігі  үшін түй ы қ жиын болса, 
онда  СХ  толы қтауы ш   ж ны ны   Е   метрнкалык,  кецістігі  үшін  аш ы қ  жиын 
болады.
2 .4 .9   -  л е м м а .  К ез  келген  м етрикалы қ  ксцістікте  оныц  кез  келген туйық 
ж иы нда-ры ны ц  ақы рлы   қосындысынан  ш ы кқан  ж и ы н  д а   түй ы қ жиын.
Д ә л е л д е у і. 
Е   метрнкалык,  ксцістігініц  ішкі 
ж иы ндары   болатын 
А і , А
2
,..., А п  ж и ы ндары   түй ы қ  ж иы ндар  болсын.  О н д а  туйы к  жиынныц 
анықтамасы  бойынш а  д Х і  
с 
А^,  дХо  С  X?,  . . . .   д Х п  С  Х п  болады.  2.4.3  - 
лемма бойынша
d ( X i  

Х 2 
U  . . .   U 
Х п) 
С  
d X i  

д Х 2 
U  . . .   U 
д Х п .
Олай  болса,
д { Х \   U А
2
 U  . . .   U Х п)  С  A i  U А 2  U  . . .   U Х п .
Б ү л  түйы қ ж иы нны ц аны қтамасы   бойынш а A i U AT2U . . .  U Х п  ж иы ны  тұйы қ 
дегенді  білдіреді.
Е с к е р т у .  Е   м етри калы қ  кецістігініц ақы рсы з  түй ы қ  ж иы ндары ны ц  бірі- 
гуі  түй ы қ  ж иы н  болады  деген  түж ы ры м   дуры с  емес.  М ысалы,    метрика- 
л ы к ксцістігініц  [^, 1],  п   —  1, 2 , . . . ,   ақы рсы з түйы қ ж и ы ндары н ы ц бірігуінен 
ш ыққан  ж иы н  -  (0,1]  түйы қ  ж иы н  емес.
2 .4 .1 0   -  л е м м а .  М етрикалы қ  ксцістіктегі  кез  келген  аш ы қ ж иы ндарды ц 
бірігуі-нен  ш ы ққан  жиын  д а  аш ы қ ж иы н  болады.
35

Д ә л е л д е у і.  {АГа } тобы 
Е
 
м етрикалы қ кеңістігінің кез келген аш ы қ ж иы н­
д ары ны ц  тобы  болсын,  ж әне  А   =   [J Х а.  X   ж и ы ны ны ц  аш ы қ  екендігін
tt
дәлелдейік.  a  £   X   ж атсы н.  О нда а  нүктесі  {А п}  ж иы ндары н ы ц кем дегенде 
біреуінде  ж атады .  М ысалы.  а  £  X Ql  ж атсын.  Л ем м аны ц  ш арты  бойынша 
Х й1  ж иы ны   -  аш ы қ ж иы н.  Сондықтан,  Х аі  ж иы ны нда толыгымен  ж ататы н 
а  нүктесініц  Sg(a)  мацайы  табылады.  Д емек  Ss(a)  С  А д,  с   X .   О нда  а  нук- 
тесі  2.4.2  -  лем м а  бойынш а    ж иыны  үшін  ішкі  нукте  болады.  Олай  болса. 
А"  жиыны  - 
Е
 
метрикалы қ  кецістігі  үшін  атпык.  жиын.
2 .4 .1 1  
-  л е м м а .  М етрнкалы к  кеңістіктегі  кез  келген  аш ы қ  ж иы ндарды ц 
акы рлы   қиылысуынан  ш ыққан  жиын  д а  аш ы қ  ж иын  болады.
11
Д ә л е л д е у і.  X   =  f]  Х а  болсын.  Мундагы  Х а ,  а   =   1 . . . . .  п. 
Е
 
метрика-
а =1 
__
лык,  кеңістігінін  ішкі  аш ы қ  ж иы ндары .  Де  Морган  ережесі  (екі  ж ақ ты л ы қ 
қагидасы)  бойынш а
П 
П
СХ =
  C ( f |  
Ха)
  =   U  
с х а.
« = 1
 
а
= 1
A q ,  a   =  1 , . . .   ,7i,  -  аш ы к  ж иы ндар  болғандықтан.  2.4.8  -  лем маны ц  түж ы - 
рымы  бойынша  С Х а  -  туйы қ  ж иы ндар  болады.  Сондықтан,  2.4.9  -  лемма 
бойынш а  С Х   ж иыны  д а  түйы қ  ж иын  болады.  Олай  болса,  С Х   ж иы ны ны ц
П
толы қтауы ш ы   -  А   =   f )   Х а  жиыны  ашык,  жиын  болады.
а
= 1
2 .4 .1 0   -  м ы с а л .
ж иы ны   ж азы қ ты қ та  аш ы к  ж иы н  болатындыгын  көрсетіцдер.
1. 
D \ 
  {(х , у )  :  х   -f- у   >  5}  -  аш ық  жиын, 
Do 
=   { (^ ; 2/)  :  х 2  +  у 2  >  36}  - 
ашык,  ж иы н,  өйткені  D\   -  аш ы қ  ж арты   ж азы қты қ.  ал  D
2
  -  аш ы қ  дөцгелек. 
Сондықтан,  2.4.11  -  лем м а  бойынша  X   — 
D \ 
П 
Do 
жиы ны   -  аш ы қ  жиын.
Е с к е р т у .  2.4.11  -  лемм аны ц түж ы ры мы   Е   м етрикалы қ  кецістігініц  аш ық 
ж иы ндары ны ц ақы рсы з  қиылысуынан  шыгатын ж иы н үшін дурыс бола бер- 
мейді.  М ысалы,    м етри калы қ кецістігініц  (—~,  1 +  ^),  (п  Е  )  аш ы қ жиын 
болатын  интервалдары ны ц  қиылысуы  [0,1]  кесіндісін,  ягни  түйы қ  жиынды 
анықтайды.
2 .4 .1 1  
-  л е м м а .  М етрикалы қ  кецістіктегі  кез  келген  түйы қ лсиындардыц 
қиылысуынан  ш ы гаты н  ж иы н  д а  туйы қ  жиын  болады.
т
1   2   3   4   5   6


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет