§4.  Н о р м а л а н г а н   к е ң іс т ік

11*11
  -   ІМІ  <   | | * - у | | -
Енді  ж  пен  у  оры ндары н  ауы сты ру  арқылы
ііу іН М І  ^  \\
у
~ х \\  =  ІК -Ш к -У ІІІІ  =  іі* - у іі  ^   il*ll —ііуіі  >  - ! ! * - у іі  (18)
теңсіздігін  аламыз.
(17)-(18)  теңсіздіктен  модульдің  қасиеті  бойынша  (16)  -  теңсіздікті  ала­
мыз.
4 .1 .2   -  л е м м а .
p ( x t y)  -   II®  - у | І  
(19)
тендігі  кез  келген  норм аланган  кецістікте  ме/гриканы  аны қтайды .
Д ә л е л д е у і.  (19)  ф ормуламен  аны қталатын  р ( х , у )  ф ункцняеы ны ң  мет­
рика  екепін  көрсетейік.
1
)  Н орманың  аны қтам аеы   бойынша  ||ж  — 
7
/||  >   0.  демек,  р ( х . у )   >   0.  Егер 
х   =  у  болса,  онда  сы зы қты қ  кеңістіктің  қасиеті  бойынша  х   —  у   =   Ө.  Сон- 
ды қтан,  р ( х , у )   =  
j|(9|| 
=   0.  р ( х , у )   =   0  болсын.  О нда  \\х  —  у\\  =   0.  Бұдан 
норманың  біріиші  қасиеті  бойынша  х   — у  =   Ө  немесе  х   =  у.  Сөйтіп,  мстри- 
каныц  бірінші  аксиомасы  орындалды.
2
)  С ы зы қты қ кеңістікте х  — у  —  (—1 )(у —х) тендігі кез келген ж, у  элемент- 
тері  үшін  оры ндалаты н  болгандықтан,  норманыц  екінші  қасиеті  бойынша
(V* ,у  
6
  L)  :  р { х ,у )   =   ||ж  -   у К  =   | | ( -
1
) ( у - ж ) ||  =   I  -   1J11 у  — ж||  =   р { у ,х ) . 
Сонымен  м етриканы ң  еимметриялы   аксиомасы  орындалды.
3)
(Уж, y , z   G  L)  :  р(ж, у)  =   Л ж  -   у ||  =   \\х  -   у  +  z  -   z\\  =
-  ||(*  —  z)  +   (z —  у) ||  <   I [ ж 
z||  -f-  \\z 
2 /11
  =   p ( x , z )   + p ( z , y ) .
Сонымен  м етриканы ң  ұш бурыш тар  аксиомасы  д а  орындалды.
4.1.2  -  лемманы ц  түж ы ры м ы нан  мынадай  қорытынды  ж асауга  бола­
ды.  Кез  келген  нормаланган  кецістік  м етрикалы қ  кецістік  болады.  Б ір ақ 
кері  тұж ы ры м   дұры с  емес,  ойткені  кез  келген  метрнкалык,  кецістік  сызы- 
қты  кеңістік  бола  бермейді.  Мысалы,  натурал  сандар  ж иы ны   метрнкалык, 
кецістік,  бірақ  ол  нормаланган  кеңістік  емес,  өйткені  ол  сы зы қты   кецістік 
емес.  Кез  келген  сы зы қты   м етрикалы қ  кеңістік  нормаланган  кеңістік  бола­
ды.
L  нормаланган  кеңістігіпіц  элементтерінен  тұраты н  {жТІ}  тізбегін  қарас- 
тырайық.
Будан
54

4 .1 .3   -  а н ы қ т а м а .  {х п}  тізбегін  L  нормаланган  кеңістігініц х   элементіне 
норма  бойынша  ж и н щ т а л а д ы  деп  атайды ,  егерде
(Ve  >   0)(ЗіҮі  =   N \ ( e ) ) ( y n   G 
N
 
:  n   >  Дгі)  :  ||x„  -   x\\  <  s
болса.  О ны  қы сқаш а  x n  =Ф-  x   деп  белгілейді.
Норма  бойынша  ж н н ақталаты н   {х п} 
С  
L   тізбегі  метрика  бойынша.  жи- 
нақталаты п  тізбек  сняқты
1
)  шегі  ж алгы з,
2
)  норма бойынша ж и н ақталаты п  тізбектіп кез келген тізбекшесі жинақта- 
лады ,  жоне  оның  шегі  тізбектің  шегіне тең.
3)  кез  келген  норма  бойынш а  ж и н ақтал аты н   тізбек  -  шенелген.
4 .1 .3 '  -  а н ы қ т а м а .  L  нормаланган  кецістігінін  X   ішкі  жиыны 
шенелген 
деп  аталады,  егерде
(3 К   >  0)(Va:  G  X )   :  ||х ||  <   К
болса.
4 .1 .4   -  а н ы қ т а м а .  L   нормаланган  ю^ңістігінің  элементтерінен  туратын 
{хп}  тізбегін  фундаментальды  немесе  өзінде  ж и н ацт ы   тгзбек деп  атайды, 
егерде
(Vs  >  0)(3iV
1
)(Vrz, т   G  N   :  п , т   >   N )  :  jja:n  — х т\\  <  е.
4 .1 .5   -  а н ы қ т а м а .  Егер  L  нормаланган  кеңістігінің элементтерінеи  тура­
тын  кез  келген  { х п}  ф ундам ентальды   тізбегі  осы  кецістіктің  қандай  да 
бір  элементіне  нор.\іа  бойынша  ж и нақталаты н  болса,  онда  L  нормаланган 
кецістігін  толыц  нормаланган  кецістік деп  атайды.
4 .1 .6   -  а н ы қ т а м а .  L   толы қ  нормаланган  кеңістігі  Б анах  кецістігі  деп 
аталады   ж эие  оны  В   деп  белгілейді.
Метрнкалык,  кеңіетік  сияқты   бір  сы зы қты қ  кеңістікте  әртүрлі  норма  кір- 
гізуге  болады.  Осыган  байланы сты   нормала{)дың  эквиваленттілігі  жөиіпде 
аиы қтам а беруге  болады.
4 .1 .7  -  а н ы қ т а м а .  L сы зы қты қ кеңістігінде екі порманы  эквивалент  нор- 
малар  дсп  атайды,  егерде  олар  бірдей  ж и н ақты л ы қты   анықтайтын  болса, 
ягни  бір  норма  бойынш а  ж и п ақтал аты н   {.т„}  С  L  тізбегі  екінші  норма  бой­
ы нш а  да  сол  шекке  ж и п ақталаты н   болса.
4 .1 .3  
-  л е м м а ,  jj  •  ||i  жоне  ||  • 
| | 2
  нормалары   бір-біріне  эквивалент  болуы 
үшін  оларды ң  қатынасы  томеннен  жоне  ж огары дан  шенелген  болуы  жет- 
кілікті,  ягни
(З С ь  Со  > 
0
)(V.t  ф  Ө  Е  L)  :
55

о   <   C l   <   | p
| Р  
< С 2 <
  о о  
С і Ц ж Ц г   <   І М І І   <  
С
2
\\х\\2'
II* 112
Д ә л е л д е у і.  L  -норм аланган  кецістіктіц элементтерінсн түраты н  {х71}  тіз- 
бегі осы кеңістіктің х  элемснтінс бірінші норма  !| • ||і  бойынш а ж инақталаты н 
болсын. 
ЯГІІИ
(Ус  >  
0
)(ЗЛ гі)(Утг. т   Е  N   :  п, т   >   ЛГі)  :  ||х „ ||і  <   £.
Енді  осы  {х п}  тізбегіпін,  х   элемеитінс  екінші  норма бойынша  ж нпақталаты - 
пын  көрсетейік.  Л ем м аны ң  ш арты  бойынша
! М Ь   <   ^ И І і
болгандықтан,
||*п  ~ * |І
2
  <   ^ г Ц я п - * ||ь
С ондықтаи,
(Ve,  =   C ,e)(3A T ,)(V «  е  
N
  : 
п >  N
x) :  ||* „  -   е | ,   <  
^ \ \ х п
  -   .т ||,  <  
~
  =   е ,.
Оі 
Оі
Б үл  {х п}  тізбегініи  х   элементіне  екінші  норма  бойынша  ж инақталаты ны н 
көрсетсді.  О лай болса, 4.1.7- аиы қтам а бойынша  ||-]!і  жәнс  І|-|І
2
 эк ви вал ен та 
нормалар.
Н ормаланган  кеңістіктерге  мысал  келтірейік.
4.1.1 
-  м ы с а л .  R n  - п -  олшемді  метрнкалы к кеңістік болсын.  R,n  -  кецісті-
71
гінің  X  =  ( £ і,
6
, ...,£п)  элементінің  нормасы  деп  \\х\\і  =   £   І&
1
>  ІИ І
2
  =
І= 1
Гп
||ж||з  =   m ax  |&|  сандарып  айтамыз.
У  г
= 1
 
'
Ж о га р ы д а  көрсетілгсн  нормалар  4.1.1  -  аны қтам ада  келтірілген  барлы қ 
аксномаларды   қанагаттанды рады .  ||ж||і-  санының  норманың  барлы қ  аксио- 
маларын  қанагаттанды раты ны н  көрсетейік.
1
)  ІМІі  — 
І&І  >  
ІІ*!Іі  =  
0
  болсын,  яғни
І= 1
71
Y J 161  =  
0
, => 
1 ^ 1
  =  
0
  => 
6
  =  
0
 
* {
0
) 
•••, 
0
}  =   Ө-,
і—1
71
егер  х  =   Ө  болса,  онда 
|£г-|  =   0  =>  ||а;||і  =   0.
1 
= 
1
2)  1|А®||1 = Ё|Лб| = Е|Л||ег-| =  |Л||И|1;
1= 1
 
г
= 1
56

Сонымен,  j|  •  |ji  норманыц б арл ы қ  аксиомаларын  қанағаттанды рады .  Эле- 
мснттерінің нормасы  ||  •  |ji  саны  арқы лы   аны қталаты н  R 7'  сы зы қты қ кеңісті- 
гін  jR"  деп белгілей-ді,  ал  ЦжЦі  нормасын  октаэдрлгк  норма деп  атайды.  Дәл 
осы  сияқты  II  •  I j 
2
 j  ||  •  ||з  сандары ны ц  да  R n  сы зы қты   кеңістігіпде  нормаиы 
анықтайтынын  көрсетуге  болады.
11 
ж I j 
2
  -  нормасын  it  Е вкли д  немесе  сф ерал ы қ  нормасы  деп,  ал  элемепт- 
терінің  нормасы  осы  норма  арқы лы   аны қталаты н  сы зы қты   /?/'  кеңістігін 
Евклид  кеңістігі деп  атайды   ж эне  оны  Щ   дегі  белгілейді.
||ж||з  -  нормасын  it  кубтік  норма  деп  атайды.  ал  элементтеріпін  нормасы 
осы  норма арқы лы   ан ы қ талаты н  сы зы қты қ  R n  кецістігін  R ^   ден  белгілейді.
4 .1 .1  
-  е с к е р т у .  R n  -сы зы қты қ  кецістікте қандай  норманы  алу ол  есептің 
берілуіне  байланысты  болады.
4 .1 .4  
-  л е м м а .  R n  -  n -өлшемді  сызықтьтқ  кецістіктегі  кез  келген  норма 
епклид  пормасына  пара-пар.
тсрі  R n-  сы зы қты қ  кеңістігіндс базисты  аны қтайты ны н  білеміз.  Сондықтан. 
R n  кеңістігінің  кез  келген  х   =   (£ ь £ 2) ■••Лп)  элсментіп
түрінде ж азуға болады.  (
2 0
)  теңдіктіц екі ж агы нан  кез  келген норма алайық:
мүндағы  С
‘2
  =   Це1!! 
4
-  ... 
4
-  ||е” ||  >  
0
.  Осы  теңсіздікке  кері  теңсіздік  болатын­
дыгын  корсету  үшін  алдымен  томендегі  лемманы  дәлелдейміз.
4 .1 .5  
-  л е м м а .  К ез  келген  нормаланган  L  кеңістікте  f ( x )  =   ||;с||  -  сызы- 
қты қ ф ункциясы   үзіліссіз  болады.
Д ә л е л д е у і.  е
1
  =   (1 ,0 , ..,0 ),  е
2
  =   (0 .1 ,..., 0),  ...,  еп  =  (0 ,0 ,.... 1)  элемент­
н о )
TX
11*11 =  II £  &еІІІ  -   fclli**! + !&ІІ|е2|
|
 + -  + І& ІІИ І-
(
2 1
)
болганды қтаи,  (
2 1
)  тецсіздіктен

Д ә л е л д е у і.  4.1.1  -  лемманы ц түж ы ры м ы   бойынш а
I/M  -  /(у)I =  !N I -  ІІУІІІ  <  II* -  y||.
Сондықтан,
(Ve  >   0 )(3 5  =   6 ( e ) ) ( V x ,y   G  L  :  | | x - y | |   <   6)  :  \ f { x ) - f ( y ) \   <   | | x - y | |   =   5  =  e.
Б үл  f ( x )   —  ||x||  санды қ  функциясы ны ц  L  нормаланган  кецістікте  үзіліс- 
сіздігін  корсетеді.
Енді  ксрісіншс  болатындыгы н,  ягни
(З С Х >  
0
) (Vx  G  L)  :  Сг\\х\\2  <  ||*||
оры ндалаты нды гы н  көрсетейік.  Ол  үніін  R n  кецістігіндс  аны қталған  радиу­
сы  бірге  тец,  центрі  Ө  нүктесінде  орналасқан
S i(0 )  =   {х  G  R n  :  11 х I j 
2
  =   1}
сф ерасы н  қарасты райы қ.  S \(0)  сферасы  R n  кеціс-тігіндо  іненслген  және түй- 
ы қ  жиын.  Вейерш трасс  теоремасы  бойынша  кез  келген  үзіліесіз  / ( х )   =  
||р |ү ||  санды қ  ф ункциясы   S \(6)  ж иы ны нда  озініц  ец  үлкен  ж әне  ец  кіші 
монін  қабы лдайды ,  ягни  (Зхо  G  S\(0))  :  f ( x о)  =  
inf  ^  ||pj|^||>  әлбетте
xG*Si (
0
)
/ ( x о)  =   C i  >   0,  өйткені  хо  ф  Ө.  Сондықтан.
(Vx  G  Я ")  :  | | ~ j - | |   >   Cj  =►  ||х||  >   С^ІхЦо.
Сонымеп
( 3
СиСг
  >   0)(V *  S  Я ” )  :  С , ||х ||2  <   ||.т||  <   С 2 ||*-||,.
Д емек.  II  •  У  псн  ||  •  ||г  пормалары  бір-біріне  пара-пар  нормалар.  ||  •  ||  кез 
келген  норма  блганды қтан.  R n  кеңістігіндегі  кез  келген  нормалар  бір-біріне 
пара-пар  нормалар  болады.
4 .1 .2   -  м ы с а л .  L  арқы лы   [а,Ь]  кесіндісінде  аны қталгаи,  модульініц доре-
жесі  р, 
1
  <   р  <   ос,  бойынша  интегралданатын  ф ункц иялар  жиынын
бслгілейік.  L   -  сы зы қты қ  кецістік  және  оныц  кез  келген  элемеіггі  үшін 
ь
f   |x (s )|pds  бар.  Сондықтан,  L  кецістігініц  кез  келген  элементіне  ||xj|  =
П
ь
(f  |x (s )|;’ds)p  санын  сойкес  қоюга  болады.  Енді  осы  санныц  норма болатып-
а
дыгы н  корсстейік.
6
 
1
1)  11*11  —  ( f  |x(s)pW s)j’  >   0,  ||x(I  =   0 
х  =   Ө:
58

2)  (Vx 
6
  L)(VA)  :  ||Ax||  =   (./'  |A * (s)|m ) i   =   ( /  |A|»>t®(s)^de) i   =   |A ||M ;
« 
a
3
)  Минковский  тсцсіздігін  қолдапып.  мынаны  алам ы з
ь 
(Vs, 
у £ L)
 : IIж 
= y\\ = (J
 |.ф) + 
y(s)\pds)* <
a
b 
b 
<   ( 
f
  |®(e)|pds)*  +   ( 
I
  |у (в )|РС?в)г  =   ||x ||  +   ||y||.
b
Сопымен  (J  |a:(.s)|pc/s)p  саньі  норманың  б арл ы қ  аксиомалары н  қанагаттан-
а
дырып тур.  Олай болса,  бүл  санды  L   кеңістігінің элемептінің нормасы  ретін- 
дс  қабылдауга  болады.
һ 
і
Нормасы  ||сс||  —  ( f   |x ( s ) |pd s )'’  санымен  аны қталаты н  L[a,b]  кеңістігі  -  то-
а
л ы қ   нормаланган  кецістік.  Оны  Ьр[а, Ь]  дсп  белгілсйміз.
Бүл  кецістіктегі  ж и н ақты лы қты   р   -орта  магыпадагы • жинацтылыц  доп 
атаііды,  р  =  
2
  болган  ж агд ай да оны  орта  шаршылы магынадагы  жинацты- 
лыц дсп  атайды.
ОС
4 .1 .3   -  м ы с а л .  Ір  дсчі  Е   161Р>  1  <  />  <   оо.  қатары   ж н н ақтал аты н   барлы қ 
і=і
х   —  (^ і,^
2
) •••, 
•••)  тізбектср  жиынын  белгілсйік.  Б ү л   -  сы зы кты к  кеңістік.
Норма былай  енгізілсін:
*  і.  = :
, «
| р -
і = 1
Енді  осы  санның  норманын  б арл ы қ  аксиомалары н  қанагаттанды раты ны н 
корсстейік.
!)  ||*||і, =  d  Е  І6 ІР > 0,  IN I  = 0 <=> X  = Ө:
2)(Vx  £  y (V A )  :  ЦАжj|  =   |А|||.т||;
3) 
А қырлы  қосынды  үшін  М инковский  теңсіздігін  пайдалансақ  п   >  т\
'  т 
\  
р
 
(   т 
\ r / m
 
\  
р
 
/   п 
\   р 
/   п 
4
Х
>
+
%
м
 
<  
Х
>
і р 
+  
E
W
"  
я
Е
й
'
 
+   E
W
'
Ч*= 1 
/  
\ к = 1 
/  
\ к = 1 
/  
\  1=1 
/  
V 2—1 
/
59

О іы дан  п   —>  ос  кезінде  шекке  көшсек,
( Е
і
Ь   +   П‘П
 
< I W k   +   M
v
00
Бүдан  Е   16  +   Vi\р  қатары ны ң  ж инакталаты нды гы   ш ыгады  (дербсс  қо-
г
= 1
сыидысы  шенелген  оң  қатар  ж инақталады   деген  Вейерш трасс  теоремасы 
бойынша).
Сондықтан  ж 
4
- у  €  Ір  ж әне
II*  + 
у\\іг =
  ^
 |6 + Tfc fj  <  ||®||/„ + 
\\у\\іғ.
Д емек,  Ір  -  нормаланган  кеңістік.
§5.  С к а л я р   к ө б е й т ін д і  ү ғ ы м ы   а н ы қ т а л ғ а н   к е ң іс т ік
А налнтнкалы қ  геометрнядан  белгілі,  n -әлшемді  R n  векторлы қ  кецістігін- 
де  векторларды   қосу  ж әне  векторларды   санга  көбейту  ам алы нап  басқа  екі 
вектордың  скаляр  көбейтіпдіеі  дегеп  амал  қарасты ры лады .  і^-к ең істігін д е 
векторларды ң  үзы нды гы   осы  амалды,  ягни  скаляр  көбейтіндіні  қолдану 
арқы лы   табы лады .
П 
'
М ысалы,  егер  х   —  (£і, 
6 2
, •••,
6
і)  болса,  онда  (ж, х)  = 
gf  =  |ж|2.
2=1
М атем атикалы қ анализде ф ункцняларды ң скаляр көбейтіндісі деген үіъім 
кеңінен  қолданы лады .  Сонды қтан,  скаляр  көбейтінді  аны қталган  сы зы қты  
кеңістіктерді  қарасты рган  өте  дүрыс.
5 .1 . 
Е в к л и д   к е ң іс т іг і
Е   ф  0  нақты   сы зы қты қ  кеңістік  болсын.
5 .1 .1   -  а н ы қ т а м а .  Е   сы зы қты қ  кеңістігінің  кез  келген  х,  у  элемент-тер 
ж үбы на  теріс  емсс  сапды  сойкес  қоятын  санды қ  ф ункцняиы   скаляр  көбей- 
■тіпді деп  атайды  жоне  оны  (х, у)  ден  белгілейді,  егер  ол  келесі  ш арттарды 
қанағаттанды раты н  болса:
1
)  (х , х)  >  0,  (х, х)  =   0  <=> х  =  Ө  (тепе-теңдік  аксиомасы);
2)  (Ух, у   Е  L)  :  (х , у )  =   ( у , х )   (еимметриялык  аксиомасы);
3)  (Yx 
€ 
L)(y
 
A 
6
  R )  :  (А х , у )   =   (.г*, А у)  =  X ( х , у )   (біртектілік  аксиомасы);
4)  (Ух.. y , z   е   L )  :  (x  +  y , z )   =   (х, z)  +   (у , z).
5 .1 .2   -  а н ы қ т а м а .  С к ал яр   кебсйтінді  үгымы  апы қталган  Е   нақты  сызы- 
қты қ  кедістік  Е в к л и д   кецістігі деп  аталады.
60

С каляр  көбейтінді  ұғы мы   -  екі  вектордың  скаляр  көбейтіндісі  үгымының 
ж алпы лам асы .
5 .1 .1   -  л е м м а .  Е вкли д  кецістігінің  кез  келген  ж,  у  элемеиттері  үінін
|(ж ,у)\  <  \ / { х . х )   •  у / (у , у) 
(
2 2
)
тецсіздігі  оры н д алад ы .
Д э л е л д е у  і.
а) 
(Ух, у  ф  Ө  €  L )(YA 
6
  R )  :  (х  -f  Ху, х   +  Ху)  >   0.  С к ал яр  көбейтіндініц 
аксиомаларын  пайдаланы п,
(ж, х )   +   А (ж, у)  +   А (у, х)  +   [А|
2
(?у, у)  > 
0
 
(23)
болгандықтан,  А  — 
деп  алып,  (23)  тсңсіздіктен  мынаны  аламыз:
(;х , х)  -  
+   -
1
—М г  >  
0
  «Ф  (ж, ж)  -   -- ---- у   >  
0
 |;г  у \2  <   (х   х )  •  (у  у)
[У, У) 
[У, У) 
( у,  У) 
v 
'
=*  |ж, у|  <   \/(ж , ж)  •  у Д у , у ) \  
б)  егер  у  —  Ө  болса,  онда
1
(ж
, # ) | 2
  =   (ж, ж) ( М ) -  
(ж  -   Ху, х   -   Ху)  >   0 
(ж, ж)  -   2А(ж, у)  +   А
2
(у, у)  >  
0
тсңсіздігінің  сол  ж агы н  А  саны на  байланысты  квад р ат  үш муш елік  ретінде 
қарастырсақ.  к вад р ат  үш мүш елік  б арлы қ  А  сандары  үшіп  теріс  емес  болуы 
үшін  оныц  дискриминанты   нөлден  кііні  немесе  тец  болуы  керск,  ягни
I (ж, у) 
| 2
  -   (ж, ж) (у, у)  <
0
«   і(ж ,у
) | 2
  <   (ж, ж) (у, у).
(
2 2
)  теңсіздікті  К о ш и -Б уп я к о вск и й   тпсисіздігі деп  атайды.
5 .1 .2  -  л е м м а .  К ез  келген  евклид  кецістігіпде
11*11  =   \ /  (*. *) 
(24)
формуласы  норманы  аны қтайды .
Д ә л е л д е у і.  Н ормаиы ң  алгагақы  екі  аксиомасыныц  оры ндалаты нды гы  
скаляр  көбейтіндініц  алгаш қы   скі  аксиомасынан  ш ыгады.  Еиді  норманың 
үшінші  аксиомасын  тексерейік:
(Уж,у 
6
  L)  :  ||ж +  у
| | 2
  =   (ж +  у , ж +  у)  =   (ж, ж)  +   2(ж, у)  +   (у, у)  <
< | | ж
| | 2
 +  
2
||ж ||||у||  +   ||у ||2.
61

Сондықтан,
\\х +  у\\  <   ||ж||  +   \\у\\.
(24)  тсндікті  пайдаланы п,  К ош и-Буняковский  тсцеіздігін  былай  ж азуга  бо­
лады:
l
( * , < / ) | 2
  <  
11*11
  +   ІІУІІ.
5 .1 .1   -  е с к е р т у .  К ез  келген  евклид кецістігі  -  нормаланган  ксңістік.  Kepi 
туж ы ры м   дурыс  емес.
5 .2 .  У н и т а р   к е ң іс т ік
U  -  комплекс  сы зы қты қ  кеңістік  болсын.
5 .2 .1   -  а н ы қ т а м а .  Комплекс  сы зы қты қ  кецістіктіц  кез  келген  х,  у  эле- 
менттер  ж убына  комплекс  санды  сәйкес  қоятын  санды қ  ф ункцияиы   скаляр 
көбеіітінді деп атайды,  егер ол  келесі ш арттарды   қанагаттанды раты н  болса:
1)  (Уж  £   U)  :  (ж, х )   >   0,  (ж, х)  =   0 
х   =   Ө;
2)  (V (x,y)  £  U)  :  (ж, у)  =  ( у , х )   (сызықты  түйіндес  дегенді  білдіреді);
3)  (V (*,y)  £  U)(A  S  C )  :  (Xx, y)  =   A (*,j,);
4)  (Vx
, } , 2
 
6
  U ) :  ( i  +  
2
/ , г)  =   ( i , г)  +   ( j/,г).
5 .2 .2   -  а н ы қ т а м а .  С к аляр  көбейтінді  угымы  аны қталгап 
U-
 
комплекс 
сы зы қты қ  кеңістік  упитар  кеңістгк деп  аталады .
У ннтар  кецістіктегі  скаляр көбейтіндінің қосымпіа қасиеттеріне тоқталы п 
өтейік.
1  -  цасиетпі.  К ез  келген  унитар  кеңістікте
(;х , А у)  =  А (ж, у)
тендігі  орындалады.
_  Д ә л е л д е у і.  (Ух, у  G  U) (А  €   С)  :  (ж, А у)  =   (Ау,ж)  =   А(у,ж)  =   А(у,ж)  =  
А (ж, у).
2
  -  цасиетпі.
(Уж, у , z   Е  U)  :  ( х , у  + z)  =  (ж, у)  +   (ж, г).
Д ә л е л д е у і.  (ж, у  +   z)  =  (у +  z, ж)  =   (у, ж)  +   (z, ж)  =   (у, ж)  +   (г, ж)  =  
(х , у )  +   (ж, г).
С каляр  көбейтінді  угымы  енгізілген  сы зы қты қ  кецістіктерге  мысалдар 
келтірейік.
5 .2 .1  
-  м ы с а л .  Е   =   R n  -  п  -өлшемді  сы зы қты қ  кецістік  болсын.  Бүл
62

кеңістікте  скаляр  көбсйтінді  уғымын
{х, y)  =  J 2  to *
формуласы  арқы лы   енгіземіз.  О сы лай  аны қталгап  Е   —  R 11  -  гс-өлшемді 
нақты  сы зы қты қ  кеңістікті  ть  -өлш емді  Е вклид  ксңістігі деи  атайды.
5 .2 .2  
-  м ы с а л .  К 11  деп  коорді ш атал ары  комплекс  сандардан  туратын 
х   =  (£ ь £
2
> 
нуктелер  ж иы ны н  белгілейік.  К 71  -комплекс  сы зы қты қ
кедістік.  Б ул  кеңістікте  скал яр  көбейтіиді  угымын
г
= 1
ф ормуласы  арқы лы   енгіземіз.  Осылай  аны қталган  ?і  -елшемді  комплекс 
сы зы қты қ  кецістік  п   -өлш емді  унитар  кеністік  деп  аталады .
5 .2 .3   -  м ы с а л .  C[a,b\  кецістігінде
ь
форм}гласы  арқы лы   скаляр  көбейтінді  угымын  енгіземіз.  А пықталгап  инте- 
гралды ң  қасиеттеріпеп  ( х , у )   саны ны ц  скаляр  көбейтіидініц  барлы қ  аксио- 
м ал ары н  қа 
11
 ағаттан д ы раты иы  ш ы ғады .
5 .2 .3  
-  л е м м а .  К ез  келген  Е вкли д  кеңістігінде  скаляр  ( х . у )   көбейтіндісі 
норма  бойынша узіліссіз  ф ункцняны   аны қтайды ,  ягни  егер  х п 
х .  у п  —> у,
п■
  —> оо  болса.  онда
болады.
Д ә л е л д е у і.
|(я?г
ч,Уп)  -   { Х, у ) \
  =  
\{xn, y v ) 
-   ( х , Уи)  +   { Х, у „ )   ~   ( х , у ) \   =
=   |(®П  -  
Уп)  +   (®, Уп  -   у )  |  <   |(®п  -   X.  Уп) I  +   |(®, Уп  -  
у)\ 
болганды қтан,  Кош и-Буняковский  тенсіздігі  бойынш а
П
Скаляр  көбсйтіндіиіц  иеггзгі  үиі  цасисті
П—>СО
lim   (x n t y n)  =   ( x t y)
|(ж„, ?/„)  -   (® ,у)|  <   ||x„  -   x\\\\yn \\  +   \\xn\\\\yn  -   у ||.
(25)
G3

{;уп}  тізбегі  Е   -  евклид  кеңістігінде ж и нақталаты н  болғанды қтан,  шенелген 
тізбек.  Сондықтан,
(З С   >  
0
) (Vyn  е   Е )  : 
І Ы І  
<  
с.
Енді  екі  ж ағдайды   қарасты райы қ:
а)  х   ф  Ө.  О нда
(Ve  >  
0
)(ЗіҮ  =   N (e ) ) ( V n   :  п   >  N )   :
II*»  -   -гІІ  <  IIУп  -  
у\\ 
<  щ щ -  
(26)
(2б)тсңсіздікті  ескеріп,  (25)  тсңсіздіктен
І(*п,У»)|  <   I   +   |   =   е 
теңсіздігін  алам ы з.  Б ұл  дегеніміз
lim  ( х п, уп)  =   (я ,у ).
п—
>со
б)  Егер  х   —  Ө,  онда  ||а;п  — 0||  =   ||*п||-  Сопдықтан,  (25)  теңсіздіктен
\{хп,Уп)  -   (0 ,у )|  <   ||*п.  - 0 | |   +   ІІ^ЦІІУп  — у||  =   11 *п 
0 j 1 
аламыз.  О лай  болса.  п   —> оо  болганда
lim  \(хп, у п)  -   (Ө,у) j  =  
0
  =>■  lim  (x n, y n)  =   (Ө,у).
П —rO O  
n —Ю О
5 .2 .4  
-  л е м м а   ( п а р а л л е л о г р а м м  т е ң д іг і  н е м е с е   е в к л и д  к е ң іс т іг ін ің  
с и п а т т а у ы ш   қ а с и е т і) .  Кез  келген  евклид  кеңістігінде
II*  +  УІІ
2
  +   II*  -   УІІ
2
  =   2(ІІ*І
!2
  +   ІІУІІ2) 
(27)
(параллелограм ны ц  диоганальдары ныц  квадраттары ны ц  қосындысы  оныц 
екі  еселенген  қабы ргалары н ы ц  квадраттары ны ц  қосы ндысына  тец)  тецдігі 
орындалады.
Д ә л е л д е у і.
(Vx, у  €   Е )   :  \\х  +  у 
| | 2
  +   \\х  -   у\\2  =  (х +  у , х  +  у)  t   (х  -  у , х   -   у)  =
=   ( х , х ) + 2 ( х , у ) + ( у , у ) + ( х , х ) - 2 ( х , у ) + ( у , у )   =  2 ( х , х ) + 2 ( у , у )   =  
2
(||ж||
2
+ ||у ||2).
5 .2 .1  
-  е с к е р т у .  Н ормаланган  кецістікте параллелограм м  тендігі орында- 
латы н  болса.  онда  ол  кецістікте  скаляр  көбейтінді  ұгымын  енгізуге  болады. 
Сондықтан,  ондай  нормаланган  кецістік  евклид  кецістігі  болады.
64

5 .2 .5   -  л е м м а .  Егер  Е  евклид кецістігінің элементтерінен  қүралған  Ё   x k
к
=1
катары  ж инақталаты п  болса,  онда  (Vу  €   Е )   үшіп
(
СО 
\  
СО
у , 5 >   )  =  
Ү^ІУіхк) 
к—\
  / 
к=1
орындалады.
Д ә л е л д е у і.  С к аляр  көбейтіндініц  3-аксиомасы  бойынш а
х к)- 
(28)
С каляр  көбейтіндінің  үзіліссіздігін  пайдаланы и,  (2S)  тендіктің  екі  жагынан 
п  
ос  болганда  ш екке  көш еміз.  Сонда
* = 1
5 .2 .4   -  м ы с а л .  ( —о о ,+ о о )  а р а л ы г ы н д а үзіліссіз  ф ун кц и ялар  жиынында
т С Х
/
|.т(б-)]2е  S\ l s
меншіксіз  интегралы  ж и н актал аты н   болғанды қтан,  осы  кецістікте  скаляр 
кебейтіндіні
ч-эо
{ х , у ) =   J   x{ s )y { s )e ~ 5'd s  
(29)
— ОС
түрінде  енгізуге  болады.  О сылай  аны қталган  сан  скал яр  көбейтіндінің  бар- 
л ы ң   аксиомаларын  қанагаттанды рады .
С каляр  көбейтінді  (29)  ф орм ула  арқы лы   енгізілгсн  ( —оо, -4-ос)  аралы гы н­
д а   үзіліссіз  ф ун кц и ялар  ж иы ны н  С [( —оо, -fo e), е1'}  -  евклид  кецістігі  деп 
атай ды .
Элсмспттердіц  оргпогоналъдыгы.  Ортогопалъ  ж әпе  ортоиормалапган
ж.үйе
С каляр  көбейтінді  негізінде  Е   -  Евклид  кецістігіндс  элемеиттердің  орто- 
гональдьиът  үгымы  еигізіледі.
5 .2 .3   -  а н ы қ т а м а .  Егер  Е  -Е вклид кецістігіндегі х   және  у элсменттерінің 
скаляр  көбейтіндісі  нөлге  тец  болса,  ягни  (х , у )  — 
0
,  онда  х ,  у  элемеиттерін 
it  ортогональ  элементтер  деп  атайды ,  және  оны  х   _L  у  деп  белгілейді.
65

5 .2 .2  
-  е с к е р т у .  Е вкли д  кеңістігінің  нөлдік  элеметі  оныц  кез  келген  эле- 
мептіне  ортогона ль  болады.
Е   кеңістігініц  элементтерінен  туратын  барлы гы   нөлге  тец  емес, 
...,ж т }  ж үйеніц  элементтерін  қарасты райы қ.  Егер  Е вкли д  кецісті- 
гініц  х   элементініц  нормасы,  ягпи  ||я||  =   \ / ( х ,  х)  =  
1
  (бірге  тец)  болса, 
ондай  элемснтті  it  норм альды   элемент  деп  атайды.
5 .2 .4   -  а н ы қ т а м а .  Егер  барлы к  к  =  
1
, т   үшін
(х'/;, хі)  =   О, I  =  
1
, т ,  к  ф  I
болса,  онда  {®i, х'
2
> •••, * т }   -  элементтер  жүйесін  ортогапальдыц  oicviic  деп 
атайды.
5 .2 .6   -  л е м м а .  Егер  { х \ , х
2
, 
-ортогональдық  ж уйе  болса,  онда
{ *
1
, *
2
: •••>  жт»}  элементтері  сызықты  тәуелсіз  болады.
Д ә л е л д е у і.  К ез  келген  Ai, Ао,..., \ m  сандары  үшін
AiXi  -f-  A2.to  -г  ...  -Ь Amx m  =  Ө 
(30)
тецдігі  орындалсын.  (ЗО)-шы  теңдіктіц  екі  ж ағы н  х к  элементіне  скаляр  кө- 
бсйтейік:
А і(хі, х к)  +   А
2
(®
2
, Хк)  4 -...  +  Ак(х к, Хк)  + 
+   ' \ п ( х т, х к)  =  
0
. 
(31)
{ х \ ,  Х
2
, ..., ®т}  элементтері  езар а  ортогональ  екендігін  ескеріп,  (31)  тецдігі- 
нен  мынаны  аламыз:  А*(ж/;,жа-)  =  
0
  =Ф  (хк,хк)  —  ||*а
- | | 2
  >  
0
  болгапдықтап, 
А к  =  0.  Б үл  тецдік  б арлы қ  к  — 
1
 , m  үшін  орындалады.  Д ем ек  (30)  -шы 
тендік  б арлы қ  Ак  (к  =  
1
,
2
, . . . ,  гп)  -сандары  иолге  тец  болган  ж агд ай д а  га- 
на  оры ндалады .  О лай  болса,  {х і, ж2, ..., x m}  элементтері  -  сы зы қты   тэуелсіз 
элементтер.
5 .2 .5   -  а н ы қ т а м а .  Е гер  { х \ ,  жо, ...,я т }  элементтері  үшін  (х к , х і )  =   5ң  =  
\   и \   болса,  онда  {ж і,ж2, ...,ж т }  -  элементтер  ж үйесін  ортопорма-
ҺС у-  I
ллигст  ж ү й с  деп  атайды .  М ундагы  5ы  -ды  Кронпкер  белхісі деп  атайды.
5 .2 .5  -  м ы с а л .  C L 2[—тг, тг]  кецістігінде {1, cos х , sin х . ..., cos m i ,  sin m x , ...} 
(функциялар  ж иы ны   ортогональды қ  жуйе  болады.
Д ә л е л д е у і.
1)  С каляр  көбейтінді  ( x ( t ) , y ( t ) )   =   f   x ( s ) y ( s ) d s   турінде  анықталғанды- 
қтан,
2 )   a
) k   =   m
:
(cosm x',sinm .x)  =   J   cos m s  sin m s d s   =   |   f   sin 
2
m s d s   =   ^  cos 
2
m s ll..  =
66

=   ^ ( c o s 2 f m r   — c o s
2
m
7
r)  =   0;
б )к  ф  m:
(cos kx , sin m x )   =  f   cos k s  sin m s d s   =   \   f  (sin (rn  — k ) s  
4
- sin(m  -f  k) s ) d s   =
=  
C0 S( m   ~  
k )S
  I - »   “  
C 0 S ( m   +  
k )S
  i-r r   =  
0
.
Енді  осы  жиынныц  ортон op мал an ra n   ж үйе  екендігін  көрсетейік.
3)  Ол  үшін  әрбір  элсм енттің  нормасын  табайық:
S  =   ТГ  +   7Г 
=   2тг,
II 
112
 
f
 
2 
J 
/ 1   +   COS 2 m s ,  
1 
1 
.
cosma;  т.  ~   /  cos“ 
=   / ------- -------- a s   —  - s   i .   4-  -— sm  m s 
1
_  -   тг
J 
J  
2 
2 
" 
4 m
Дол  осы  сняқты  (I sin rnx\2
L>  =  тт.  О сы ларды   ескеріп,
1
 
cos x   sin x  
cos m x   sin m x
V
2
F   \A r  ’  \ ГЪ 
' 
\/тг  : 
A
элементтер  жүйесін  қурамы з.  О сылай  қүры лган  ж үйе  ортонормаланған 
жүйені  береді.  Өйткені
(cosm®, cos п х )   =
1
,  m   =   7
1 
0
,  тп ф  п
ал  Vm,  72-үшін
(cos m x ,  sin n x )   =  
0
.
5 .2 .6   -  м ы с а л . 
-  ф ункц иялар  ж үйесі 
тг, тг]  комплекс
ксңістігінде  ортонорм альды қ  жүйені  қүрайды.
Д ә л е л д е у і.  х т(х)  =   еітпх  белгілейік.  О нда
( x k, x m)  =  
J  
eikxei™ dx  = 
j  
e p - m)xdx  =  
0.
Демек,  X);  ж эне  x m  ф ун кц и ял ар  к   ф  m   болмаган  кезде  ортогональды  бола­
ды.  Егер  m   =   к  болса,  онда
( х кі х 7п)  —  2тг, =>  ||®fc||  =   V 2tt.
О лай  б о л с а , жү й е   ортонормаланган  жүйені  береді.
67

Шмидт,in,  ортогоналъдау  процессі
Е   Е вклид  кецістігініц  элементтерінси  тураты н  {жп}і°  тізбегін  қарасты- 
райық.
5.2.6 
- 
анықтама. 
Егер кез келген п  номері үшін  {жі, Ж
2
, ..., жп} - элемент­
тер  жүйесі  сы зы қты  тэуслсіз болса,  онда { ж * } ^   тізбегін  сызыцты  тәуелсіз 
ж ү й е  деп  атайды.
Ш м ид леммасы. 
К ез  келген  { х к}^=1  сызықты  тоуелсіз  жүйені  ортонор- 
маланган  жүйеге  айналды руга  болады.
Д әлелдеуі. 
{жі,ж
2
, • ••,*«> •••}  -элементтер  жүйесі  сы зы қты   тәуелсіз 
болғандықтан,  Xj  ф  Ө,  і  =  
1
,
2
,....  /і   =   х \   деп  үйғарайы қ.  / і   элементін 
қолданып, 
/ 2
  элементін
Һ   =  
* 2
  ~   А
2 1 / 1
түрінде  іздестіреміз.  М үндагы  Л2і  -скаляр  ш амасын  /
1
-L
/ 2
  ш арты   орында- 
латы ндай  етіп  тандан  алам ы з,  ягни
\ 
_   M i l
A 2 1
  “   Ш\~
О  =   ( / 2 ,   / і )   =   ( * 2 , / l )   -   А
2
] ( / ь / і )   = >   (ж
2
, / і )   =   A 2 1 I I / 1 I I 2 
Л)
і г
Сонымен 
/ 2
  элементін  таптық:
/ ,   =  
І 2
  _  
j   о
J
2
 
х 2
 
и г  і
|2
 
/
кері  ж агд ай да  х \   мен  х 2  элементтері  сы зықты  тоуелді  болган  болар  еді.
М атем атикалы қ  индукция  әдісін  пайдаланып,  / і , /
2
, 
/ к - і   элементтері 
қүры лган  болсын.  f k  элементін
Jfc-i
fk   =   Хк  -  
Xkifi 
І — l
түрінде  іздестіреміз.  Aki  скал яр  ш амасын  fk-L.fi,  i  =  
1
,
2
— 
1
,  ш арты 
орындалатындай  етін  тацдап  алам ыз,  ягни  A ki  =■ 
•  Сонымен
к
- 1
Г 
-  
f i ( x k> fi)  _J_  л
f k   =   x k - } ^ ~
ІГГІТ2—  ^   ° ’
i=l
өйткені  {жі, ®
2 5
 •••) Хк}  элементтері  -  сы зы қты   тәуелсіз
Ш
Сонымен  { f k j k L i   -  ортогональ  жүйе  қүрылды.  ек  =   тЖг  деп  алып,
-ортонормаланган  ж үйе  қүрамы з.
6S

5.2.7 
-  мысал. 
CLo[— 
1,1] 
кеңістігінде  сызықты  тәуелсіз  ж үйе  қүрайтып 
{ 1
 , £, і 2,
...}  элементтер  жүйесін  қарасты райы қ.  Осы  ж үйеден ортонор- 
маланган  ж үйе  қүруды  көрсету  керек.
Д әлелдеуі.
і
1
)  С каляр  көбейтіндіні  ( x ( t ) , y ( t ) )   =  J  x ( s ) y ( s ) d s   түрінде  қзрасты рам ы з,
- і
бүдан
і
2
)  fo(t)  = 
1
,
ІМІ
2
  =   I  \x{s)\2ds.
f i ( t )   —  х \ (t)  — Xoifo(t).
Аіо  =
Демек,
^ 2 0
{xi(t)Jo(t)) = J  t ■
 Idt. - f-
 jLi = 0 
- l
f i { t )   ~   t }
= 
0
.
(S
2
(*),/o(<)) _ 
11/oWII2
{x2{t), /o(0) = f t2 • 1 dt = f |Li = I
ll/o(OII2= I lfo(t)l2dt= f dt = 2 
- l
- l
'21
и ш
i
(x2(t),fi{t)) = f t2 -tdt = 0 
- l
Ш
0
ІІ
2
  = / * ’ *   =   §
- 1
o.
Олай болса,  /г ( і)   =  
£ 2
 — §•  О сы лайш а қалган  элем енттерін табамы з.  {^, 
—
5
,...}   -  ортонормаланган  жүйе.

жүктеу/скачать 2,98 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: