§3.  Толық  метрикалық  кеңістік

3 .1 .2   -  т е о р е м а .  Е   то лы қ   м етрикалы қ  кеңістігінің  кез  келген  Е \   толы қ 
ішкі  кеңістігі  тұйы қ  болады.
Д ә л е л д е у і.  Е\   кеңістігінің  элементтерінен  тураты н,  Е   м етрикалы қ 
кеңістігініц  қандай  д а   бір  а  нүктесіне  ж ннақталаты н  { x n (t)}  тізбегін  қарас- 
ты райы қ.  3.1.3  -  л ем м а бойынш а  { x n (t)}  тізбегі -  Е   метрнкалы к  кецістігінде 
ф ундам ентальды .  С онды қтан,  ол  -  Е \   кеңістігінде  де  ф ундаментальды .  Е \
-  толы қ  кеңістік  болғанды қтан,  { x n(t)}  тізбегі  Е\  кеңістігінде  ж и нақтала- 
ды.  Осы  шекті  b  деп  белгілейік.  Е   м етрикалы қ  кецістігінде  ж и нақталаты н 
{£'»(£)}  тізбегінің  шегі  біреу  болатындықтан,  а  мен  b тен  болуы  керек.  Олай 
болса,  а  =   b  G  Е\.
Сонымсн,  Е \   кеңістігіпіц  кез  келген  ж ннақталаты н  тізбсгінің  шегі  өзінде 
ж атады ,  ягни  Е \   -  тұйы қ  жиын.
3 .1 .7  
-  м ы с а л .  R   кеңістігінде  [а, Ь\  кесіндісі,  R?  ж азы қ ты гы н д а  түйы қ 
'  
дөңгелек  немесе  шеңбер,  R :]  кеністігінде  шар  немесе  сф ера  толы қ  кеңістік 
болады, өйткені  олар толы қ  метрнкалы қ кеңістіктің түйы қ ішкі  ж иы ндары н 
қүрайды.
+ І
11  — 
1
,
2
,...
Үш тары  а п  <  «п+і,  Ь
п + 1
  <   Ьп  теңсіздіктерін  қанағаттанды раты н,
[ а п + і , Ь я + і]  С   [ а „ ,
bn] 
С   ...  С   [ а 2 , 6 2]  С   [ а ь 6 і] ,
[ап, bn]  кесінділерін  бірініц  ішіне  бірі  енетіи  кесіиділер  деп  атайты н.  Осы 
кесінділердің  барлы ғы нда  бірдей  ж ататы н,  R   м етрикалы қ  кеңістігінсн  кем 
дегенде  бір  нүкте  табы лады   (Кантор  леммасы).
Келесі  теорема  -  осы  К антор  леммасыныц  ж алпы ламасы .
3 .1 .4  -  а н ы қ т а м а .
(«О  D  S £2{a2)  Э  ...  D  S e„(an)  Э  ...
теңсіздігін қан ағаттапды раты н  {55г. (а„)}^°  ш арлар тізбегін  бірінің  гшіне  бірі 
епетін  түйыц  шарлар д('п  атайды.
3 .1 .3   -  т е о р е м а .  Егер  Е  толы қ м етрикалы қ  ксністігіпіц бірінің ішіне бірі 
снетіи түйы қ ш арлары ны ц радиустары  нөлге үмты латы п болса,  онда  Е   мет­
рнкалы к кеңістігінен осы түйы қ ш арлардыц барлы гы нда бірдей ж ататы н бір 
гаиа  нүкте  табы лады .
Д э л е л д е у і.
1
) 
Кем  дегенде  бір  нүкте  бар  болатындыгын  долелдсйік.  { S En{an) } f   - 
біріиіц  ішіне  бірі  енетін,  радиустары  еп  нөлге  ұмты латы н  түйы қ  ш арлар 
болсын.  Осы  ш арларды ц центрінен  түраты н  { а і ,а
2
, ...,а 7і, ...}  тізбегін  қарас- 
тырайық.  Кез  келген  р  -  номері  үшін  anJrp  G  S Sn+p(an+p)  С  S en(an).
44

Сондықтап,
Р Е { а п + р і   а п )   <   £ п   —>  0 ,   П   —>  ОО.
Демек.  {а„}  тізбегі  -  Е   м етри калы қ  кеңістігінде  ф ундам ен тальды   тізбек.  Е  
толы қ  м етрнкалы к  кеңістік  болганды қтан,  { ап}  тізбегі  ж и нақталады .  және 
оның  шегі  а  осы  кеңістіктің  өзінде  ж атады :  а  G  Е ,   ягни,
(Vn  G 
G  S £n(an))  :  lim   a n+p  =   &•
71-> OO
S e n M   түйы қ  ш ар  болганды қтан,  a  G  S sJ a n).  Д ем ек,  a  нүктесі  { & ,(« „ )}  
ш арларының  барлы гы нда  ж атады .
Енді  осы  табы лган  а  нүктесініц ж алгы зды гы н дәлелдейік.  Kepi  жорнмыз, 
ягни  осы  ш арларды ң ішінде ж ататы н   Е   м етрнкалы к кецістігінің тагы  д а бір 
b  нүктесі  бар  ж эне  а  ф  Ь  болсын.  Д емек,  рЕ{а,Ь)  =   г  >  0,  a, b  G  S £J a n) 
болғандықтан,
г  =   рЕ ( а, b)  <  рЕ {а, ап)  +  рЕ (Ьп, Ь)  <  2еп .
Бүдан
г  —  рЕ {а, b)  <   lim  
2
е п  =   О  Ф   г  <  
0
  =>  г  =   О,
71—Ю О
ал  бүл  мүмкін  емес.  Алынган  қайш ы лы қ  а  пүктесініц  ж ал ғы з  екенін  долел- 
дейді.
Толыц  емес  мегприкалыц  кецістіктг  толыцтыру
Толы қты қ  -  м етри калы қ  кеңістіктің  ең  бір  негізгі  қасиеттерінід  бірі.  Кез 
келген  толы қ  емес  Е   метрнкалык,  кеңістігін  қандай  д а   бір  толы қ  метрика- 
лы к  кеңістіктің  іш кі  кецістігі  ретінде  қарасты руга  болады.  Осы  толы қ  смес 
кеңістікті  қамтиты н  то л ы қ м етри калы қ кеңістіктердіц ішінеи ең кіші  метрн­
кал ы к  кеңістікті  бөліп  ал уга  болады.
М ысалы,  [a, 
6
]  кесіндісі  -  толы қ  м етрнкалы к  кеңістік.  (a, b)  аралы гы н  то- 
лы қты ры п,  [a, b]  кссіндісін  алам ы з;  Q -ді  толы қты ры п,  R   кеңістігін  аламыз; 
Е[а,Ь]  сы зы қты   кеціс-тікті  толы қты ры п,  С[а, 
6
]  кеңістігін  аламыз.
3 .1 .4  
-  т е о р е м а .  К ез  келген толы қ емес  Е \   м етри калы қ кецістігі үшін  Е\  
кеңістігі-не  тец  түрпатты   болаты н,  өзіне  барлы қ  ж ерде  ты гы з  орналасқан 
Е \   ішкі  кеңістігі  бар  Е   то лы қ  м етрикалы қ  кеңістігі  табы лады .
3 .2   М е т р и к а л ы қ   к е ң іс т ік т е г і  к о м п а к т   ж и ы н д а р
1 0 0
  ж ы л  бүрын  чех  м атематигі  Б .Б ольцано  кез  келген  шенелген  нақты 
сандардан  түраты н  ақы рсы з  ж иы нны ц  кем  дегенде  бір  ш ектік  нүктесі  бо- 
латы пды гы н  байқагаи.  Осы  дэйек  м атем атикалы қ  анализдіц  қалы птасуы на 
оте  зор  үлес  қосты.  Э лементтері  ф ункциядан,  тагы   д а   басқа  объектілерден
45

тураты н  кейбір  ж и ы ндардан  ж инақталаты н  тізбекті  бөліп  алу  идеясы  қа- 
рапайым  д и ф ф ерен ц н ал ды қ  теңдеулердіц,  т.б.  тендеулердің  шешімдері  бар 
болатындыгын  д элелдеуге  найдаланылды.  Осы  идея  м етри-калы қ  ксңістік- 
'і;егі  ком п акты лы қ үғы м ы на  әкелді.
Б о л ь ц а и о - В е й е р ш т р а с с   т е о р е м а с ы .  [a, b]  кесіндісініц  элементтерінен 
тураты н  кез  келген  {.тп}  тізбегіиен  шегі  [а.Ь]  кесіндісінде  ж ататы н  {ж*п} 
тізбекшесін  бөліп  ал уга болады.
Б үл теоремапын түж ы ры м ы  ақы рсы з өлшемді толы қ м етрикалы қ кеңістік 
ушін  оры ндалмайды ,  сонда  д а  осы  теореманыц  туж ы ры м ы н  найдалапып, 
бикомпакт  болатын  метрнкалык, кеціс-тіктерге былай  аиы ктам а белуге бола­
ды.
3 .2 .1  -  а н ы қ т а м а .  Е  метрнкалык, кеңістігінің X   ішкі ж иынын  бикомпакт 
ж и ы н   деп  атайды,  егерде  X   ж иыныныц  {a;n}  тізбегіігіу  осы  X   ж иыныныц 
қандай  д а бір  нүктесіне ж и пақталаты н  тізбскше боліп  алуга болатын  болса.
3.2.1'  -  а н ы қ т а м а .  Е  м етрикалы қ кецістігін  бикомпакт дсп  атайды.  егер­
де  оныц  кез  келген  {жп}  тізбегініц  осы  кецістікте  ж и иақталаты н  {.т/-г }  тіз- 
бекшесі  бар  болатын  болса.
Бик о мп а к т  жиындардыц  цасисттсрі.
3 .2 .1   -  л е м м а .  Е   метрнкалык,  кецістігініц  кез  келген  X   бикомпакт  ішкі 
кеңістігі  осы  кецістікте  түйы қ  болады.
Д ә л е л д е у і.  X   ж иы ны ны ц  ж и нақталаты н  {ж7|}  тізбегін  қарасты райы қ. 
{ х п}  тізбегі  Е   м етрикалы қ  кецістігініц  элсменттерінен  түраты н  болганды- 
қтан,  оиың ж инақталаты нды гы нан 2.3.4 - лемма боііынша оиың  {%kn} тізбек- 
тпесі  ж и нақталады ,  ж әне тізбекш еніц  шегі  осы  тізбектіц  шегіне  тец  болады.
X   ж иы ны   бикомпакт  ж иы н  болгандықтаи.  {xkn}  тізбекш есініц  шегі  осы 
ж иы нны ц  өзіндс  ж атуы   керек.  Олай  болса,  { х п}  тізбегініц  де  шегі  осы  X  
ж иы ны нда  ж атады .  Д ем ек,  X   ж иыны  -  туйы қ  жиын.
3 .2 .2   -  л е м м а .  Биком пакт  Е   метрнкалык,  кецістігініц  кез  келген  түйы қ 
іітікі  X   ж иыны  компакт  жиын  болады.
Д ә л е л д е у і.  X   ж иы ны ны ц  {х;і}  тізбегін  қарасты райы қ.  X   С  Е   болган- 
ды қтан,  { х п} 
с  
Е.   Сондықтан,  {жп}  тізбегі  -  Е   бикомпакт  метрнкалык, 
кецістіктіц  элементтерінен  тураты н  тізбек.  О лай  болса,  {ж„}  тізбегініц  осы 
Е   кецістігініц қандай  да  бір  а  нүктесіне  ж и нақталаты н  {ж*п}  тізбекшесі  та­
былады.  {xif,,}  тізбекшесі  X   түйы қ ж иы ны ны ц элементтеріпен  туратын  жи- 
нақталаты н тізбек болгандықтан,  оның  шегі осы  X  ж и ы ны нда ж атуы   керек, 
ягнн  а  е   X .
Сонымен,  X   ж иы ны ны ц  {.г-п}  тізбегінен  піегі  осы  ж и ы нд а  ж ататы н  {х/;п} 
тізбегін  бөліп  алуга  болады.  Демек,  X   ж иыны  -  компакт  жиын.
46

3 .2 .3  -  л е м м а .  К ез  келген  бикомпакт  кецістік  -  шенелген.
Д ә л е л д е у і.  Kepi  ж оримы з.  Е   -  бикомпакт  кеңістігі  шенелмеген  болсын. 
Е  кеңістігіпде ж ататы н   кез келген а нүктесін  қарасты рай ы қ.  Е  -  шенелмеген 
кеңістік  болған-дықтан.  кез  келген  п   -номсрі  үш ін  Е   кеңістігінде  ж ататы н 
х п  нүктесі  табы лады   да,
Р
е
{
х
П) а)  >  п
тецсіздігі  оры ндалады .  О сылай  қүры лган  {жп}  тізбегінің  кез  келген  {.г-/;г1} 
тізбекшссі  шенелмеген.  Сопдықтан.  { х кп}  тізбекшесі  ж инақталм айды .  Ягни 
Е   м етрикалы қ кеңістігініңэлементтерінен  түраты н  { х и}  тізбегінің ж инақта- 
латын  {хьп} тізбекшесі болмайды.  Бүл  Е  м етрн калы к кең істігініңбикомпакт 
скеидігіне  қайшы.  Алынган  қайш ы лы қ  лемманы  долелдейді.
Е с к е р т у .  Толы қ м етри калы қ ксцістіктің кез  келген  шенелген, түйы қ ішкі 
жиыны  бикомпакт  бола  бермейді.
Ксйбір  метрикалыц;  кецістіктсрдегі  бикомпакт  болудын  критерийлері
3 .2 .1  
- т е о р е м а .  R n -  n -өлшемді толы қ м стри калы қ кецістігінің ішкі жиы- 
ны  бикомпакт  болуы  үшін  оныц  шенелген,  туйы қ  болуы  қаж етті  және  жет- 
кілікті.
Д ә л е л д е у і.
Қаэісетті гиарт.  R n  кеңістігінің X   ішкі  кецістігі биком пакт болсын.  Онда
3.2.1 -  3.2.3  -  лем м алары   бойынш а  ол  шенелген  жопе  тү й ы қ  ішкі  кеністік 
болады.
Ж е т к і л і к т і   гиарт.  R n  кецістігініц  кез  келген  X   іш  кецістігі  шенелген 
және  түйы қ  кецістік  болсын.
а )X   -  п   -өлшемді  параллелепипед  болсыи.  ягпи
X   =  {.г-  =   {
6
, Ь ,   •••. £n}  G  R   :  аі  <  &  <  Ь{,  г  =  
1
, 
2
, . . . ,  гг},
бул  ж агд ай да  X   ж и ы ны ны ц  бикомпакты лы гы   Больцано-Вейерш трасс  тео- 
ремасын дәлелдегендей  дәлелденеді.  Тек  параллелепипедті  екі  бірдей  бөлік- 
кс  емес,  ал  оны 
2
П  болікке  бөлу  керек.  {жп}  €  X   тізбегі  шенелген,  ягни
(3 К   > 
0
)(Vn  е   Аг)  :  \хп\  <  К   =$> х п  G  [—К .   К]  =Ф-  —К   —  а-[,Ь[  =   К
х п  G  [o.j, b\\
болсын.  Енді  осы  тізбектің  ж и нақталаты н  тізбекшесі  болаты нды гы н  көрсе- 
тейік.  Ол  үшін:
1
. 
[а\, 
6
i]  кесіндісін  тең  қылып,  екі  бөлікке белеміз де,  тізбектің шексіз  көп 
мүшелеріп  қам титы п  бөлігін  [<
2 2
,
6 2
]  Деп  белгілейміз.
47

2
- 
[ао,&
2
]-ні  тагы   тең  қылып  бөліп,  {жп}  тізбегіпіц  шексіз  көп  мүшелерін 
қамтиты н  бөлігіи  [
0 3
,
6 3
]  деп  белгілейміз.  Осылай  процесті  ж алғасты ра  оты- 
рып,  {[оп,
6
п]}  бірінің  ішіне  бірі  енетін  кесінділер  үясын  аламыз.
О нда  Зс 
6
  [оп ;
6
п].  Енді  осы  с  нүктесіне  ж и нақталаты н 
{ х кп}
 
тізбекшесін 
қүрам ы з. 
х кі
 
деп 
{ х 7, }
 
тізбегініц  кез  келген  элемснтін, 
х к„
 
деп 
{ х п}
 
тізбе- 
гініц  [
0 2
,
6 2
]  кесіндісінде  ж ататы н. 
>  к\  теңсіздігін  қанагаттанды раты н 
элемснтін,  т.  с.  с.  белгілейік.  сонда  ап 
<   х кп  <
 
6
П,  бүдан
екендігі  ш ыгады.  Сонымен,  ( 3 { х к  С  {жг,}})  :  lim   х к  —  с 
6
  [o ],
6
jl,  ягпи  X
п-юс
-  n -өлшемді  параллелепипед  болган  кезде  бикомпакт  болатьтндыгы  дэлел- 
денді.
б) 
X   -  кез  келген  шенелген.  түйы қ  ішкі  кеңістік  болсып.  X   ішкі  кецісті- 
гі  шенелген  болгандықтан,  оны  қамтитын  п-  өлшемді  параллелепипед  та­
былады.  Сондықтан,  ол  параллелепипед,  ж огары да  дәлелдегеніміздей,  би­
компакт.  X   ішкі  ксңістігі  бикомпакт  параллелепипедтің түйы қ  ішкі  ж иыны 
болгандықтан.  3.2.2 -  лемма бойынша бикомпакт болады.  Л ем м а толыгымен 
дәлелденді.
Би ком пакт  болатын  да,  болмайтын  д а  м етрикалы қ  кеңістіктерге  мысал- 
д ар   келтірейік.
1.  R  -м етрикалы қ кецістігінің метрикасы  арқы лы   ж асалған X   =   [0,1]  мет- 
ри калы қ  кеңістігін  қарасты райы қ.  Больцано-  Вейерш трасс  теоремасы  бой­
ынш а  X   =   [0,1]  ксңістігі  -  бикомпакт.  R   кеңістігініц  өзі  бикомпакт  емес, 
өйткені  оның  элементтерінен  түраты и  {^п}  С  R   тізбегінің  осы  ксңістіктіц 
нүктссіне  ж и нақталаты н  ешбір  тізбекшесі  жоқ.  Б ір ақ   оныц  кез  келген  ше­
нелген түйы қ ішкі  ж иы ны   Больцано  -  Вейерш трасс теоремасы  бойынша би­
компакт  болады.
2.  R n  -  n -өлшемді  м етрикалы қ  кецістігі  бикомпакт  емес.  Б ір ақ   оныц  кез 
келген  шенелген  түйы қ  ішкі  ж иыны  бикомпакт  болады.
3.  С [ 0 ,1]  -  бикомпакт  емес.
4.  X   =   І
2
  -  бикомпакт  емес.  Бүл  кецістіктіц  бикомпакт  болмайтын  шенел­
ген  түйы қ ішкі  ж иы ны   бар.  Мысалы,
п  У оо, х кп 
с
00
48

-  бірлік  түйы қ  ш ары  -  шенелген  түйы қ  ж иы н.  Б ір а қ   ол  -  бикомпакт  емес. 
Ш ынында,  осы  түйы қ  іпарды ң  элементтерінен  тураты н  { e j f
5
  тізбегін  қа- 
растырайық:
р ( е ь   е і )   =
Мысалы,
\
£ ( й   -   & 2  =   < / ( Ф 2  -   ( ф 2  =   V 2 , 
і
 
ф
  j .
i  =   l , j   -  
2
, =>■  р( е і , е 2)
\
Ё
(
й
- ®
2  =
7 1 = 1
=   \ A f !   -  Ф
2 +
( ? 2
  -  е і
) 2
  +   -   =   V
1
 +  
1
  +  
0
  +   ...  =   у/2.
Сондықтан,  {ві}  де,  оиың  кез  келген  тізбекшесі  де  ж ипақталм айты н  тіз- 
бектер.  Олай  болса,  §і ( 0)   -  бикомпакт  емес.
Компакт  жиын.  К о мп а к т  болудыц  Хаусдорф  критерийі
3 .2 .3  
-  а н ы қ т а м а .  Е  метрнкалык, кеңістігініц X  -  іш кі  кецістігін  компакт 
дсп  атайды,  егерде X   кецістігінің элемепттерінен  тураты н  кез келген  { х п}  С 
X   тізбегінің  қандай  д а   бір  ф ундам ен тальды   {х)Сп}  тізбекшесі  бар  болатын 
болса.
Егердс  Е   толы қ  метрнкалык,  ксңістік  болса,  онда ж огары дагы   анықтама- 
д а   көрсетілген  ф ундам ентальды   тізбекшесі  осы  кеңістіктіц  қандай  д а  бір  а 
нүктесіне  ж и нақталады .  а  нүктесі  X   ішкі  кецістігінде  ж атуы   да,  жатпауы 
д а  мүмкін.  Сондықтан,  ком пакт үгымы бикомпакт үғы мы нан әлсіздеу үгым. 
Бикомпакт пен ком пакт арасы ндагы  байланы с келесі теорема арқылы былай 
беріледі.
Е с к е р т у .  К ез  келген  бикомпакт  -  компакт,  бірақ  керісінше  туж ы ры м  
дүрыс  емес.
3 .2 .2  
-  т е о р е м а .  Е   то лы қ  метрнкалык,  кеңістігінің  компакт  X   ішкі 
кеңістігі  бикомпакт  болу  үшіп  оның  түй ы қ  болуы  қаж етті  және  ж еткілік- 
ті.
Д ә л е л д е у і.
Ж с т к і л і к т і   шарт.  Е   толы қ  м етри калы қ  кеңістігінің  компакт  X   ішгі 
кеңістігі  түйы қ  болсын.  X   ішгі  кедістігінің  кез  келген  {жп}  тізбегін  қарас- 
ты райы қ.  X   ком пакт  ішгі  кеңістік  болгандықтан,  3.2.3  -  анықтамасы  бой­
ынш а  {жп}  тізбегінің  қандай  д а   бір  ф ундам ентальдз 
тізбекшесі  бар.
Е-   толы қ  метрнкалык,  кеңістік,  сондықтан  {
хһ
п}~  тізбекшесі  Е   м етрнкалы к 
кеңістігінің  қандай  д а   бір  а  нүктесіне  ж и нақталады .  X -   түйы қ  болгапды-
49

қтан,  а  нүктесі  X   іиікі  кеңістігіпде  ж атуы   керек.  Демек,  X   ішкі  кеңіс.тігі
3.2.1  -  аны қтам а  бойынш а  бикомпакт  болады.
Қаоісетті гиарт.  Е  толы қ метрнкалык, кеиістігінің X   ішгі  кецістігі биком­
пакт  болсын.  О нда  3.2.1  -  апы қтам а  бойынша  X   ішгі  кецістігі  түйық.  Кез 
келген  бикомпакт  ком пакт  болгандықтан.  X   ішгі  кеңістігі -  тұйы қ  компакт.
X   кеціетігі -  Е   м етрикалы қ  кеңістігінің ішкі  кеціетігі.  Ал  е  >   0 -  он оте  аз 
сан  болсып.
3 .2 .4  
-  а н ы қ т а м а .  Е  толы қ метрнкалык, кецістігініц элементтерінен тура- 
ты н  Х е  ж иы ны   А"  ж ныны  үшін  е  -  тор деп  аталады ,  егерде
(Ye  >  
0
)(Үж  G  Х ) ( 3 х £  е   Х £)  :  р(х, х с)  <  £
(кейбір  ж а ід а й л а р д а   Аг  —  Е   болуы  мумкін).
X   ж иыны  үшін  г-  тордың  геометриялық  магынасы  мынадай:
X t  ж иыны  X   ж иы ны   үшіи  е  -  тор  болсын  жоне  радиусы  е-санына  тең, 
центрі  х е  нүктесінде  орпаласқан  Е   метрнкалык,  кеңістігіпіц  аш ы к  шарын 
алайы қ.  Бүл  ж ағдаііда
X   С  [ j   S £( x£),
xt 6 X t
ягни  радиусы  £  -га тец,  центрі  X .   ж иы ны ны ц  х £  нүктесіне  орналасқан  шар- 
ларды ң  бірігуі  X   ж иы ны н  толы қ  жабады.
Егер  Х £  -  жиыны  саны  ақы рлы   болатын  элементгерден  тураты н  болса, 
онда  е-торды  ақырлы  Е-тор деп  атайды.
3 .2 .3  
-  т е о р е м а   ( Х а у с д о р ф ) .  Е  метрпкалы қ кецістігініцX  іпікі кецістігі 
компакт  болу  үшін  Е   метрнкалы к  кецістігінде  кез  келген  е  оц  саны  үшіп 
ақы рлы   с-торы  болуы  қаж етті  жәпс  ж еткілікті.
3 .2 .1  
-  
с а л д а р .  Егер  кез  келген 
е
  >  
0
  саны  үшін  Е   метрнкалык,  кецісті- 
гінің  X   ішкі  ж иы ны   үшін  Е   м етрнкалы қ  кецістігінде  компакт  Х £  -  г-торы 
табы латы н  болса,  онда  X   -  компакт  болады.
Д ә л е л д е у і.  е  >  
0
  болсын  жоне  X   ішкі  кецістігі  үшін  компакт  Х е  -  торы 
бар  болсын.  Хоусдорф  теоремасы  бойынша  Х £  ж иы ны   үшін  Е   метрнкалык, 
кецістігінен  ақы рлы   Х [   -  е-торы  табылады.  Осы  табылган  X '   жиыны  X  
ж иыны  үшін  ақы рлы   е-тор  болатынын  корсетейік.
Ш ынында  да,
(Vx  Е  Х ) ( 3 х £  6  Х е)  :  р ( х , х £)  <  £.
Екінші  жагынан.  Х е  ж иы ны   үшіп  Х'Е  -  е-тор  болгандықтан,
(Vrr£  €  А £) ( 3 <  
6
  X ' )   :  р ( х£, х'£)  <  е.
50

Сондықтан,
р (х , х'£)  <  р(х, 
Х с )  
+  р ( х£, х ')   <  2е.
Демек,  X '  ж иы ны   Х е  үшін  ақы рлы  
2
s  -торы  болады.  Олай  болса.  Хау- 
сдорф  теоремасы  бойынш а  X   ж иы ны   -  компакт  жиын.
3 .2 .2   -  с а л д а р .  К ом пакт  ж иы н  -  шенелген.
Д ә л е л д е у і.  А'  С  Е   -  ком пакт  жиын  болсын.  е  =   1  болсын.  X   жиыны 
үшін  Х £- і   -торын  қүрайы қ:
а)  х і  £  X   болсын.  Егер  (Vx  £   А')  :  p ( x ,x i)   <   £  — 
1
  болса,  онда  X s=i  =  xi 
(ягни  е  =  
1
  -  тор  тек  бір  гана элементтен  түрады .)
б)  Мүндай  болмаган  ж агд а й д а  (З х
2
  £   X )   :  р ( х і , х 2)  >   £  =  1.  Егер  (Vx  £ 
X )   :  р ( х ,х i)  <  
1
  немесе  р ( х ,х 2)  <  
1
  болса,  онда  X   үшін  { х ь х 2}  -  е-тор 
болады.
в)  Муидай  болмаган  ж агд ай д а  (З х
3
  £   X )   :  р (х ь хз)  >   1.  р (х
2
, х 3)  >  
1
.  Ал 
егер  (Vx  £   X )   :  р ( х , х i)  <   е,  немесе  р(х, х 2)  <   е,  немесе  р(х, х 3)  <   е.  Осылай 
процесті  ж алгаеты ра  оты ры п.  р(х;, Xj)  >  
1
,  i  ф  j .   теңсіздігі  орындалаты н 
{xj. х 2).... х / J   ж иы ны н  қүрам ы з.
Бүл  жерде  екі  ж агд ай   болуы  мүмкін:
1
)  Процесс  қандай  да  бір  Ar-қад ам д а  үзіледі.
2)  Процесс  шексіз  ж ал гаса  береді.
Бірінші  ж агдайда,  (Vx  €   X )   :  p {x , x i )   <   e  =  
1
  (г  =   1, к)  тецсіздігініц  бірі 
орындалады.  Б үл  кезде  {x i, х 2, .... х/.}  ж иы ны   X   үшін  е  =  
1
  ақы рлы   чор 
болады.
Екінші  ж ағдай  мүмкіп  емес,  өйткені  бүл  кезде  біз  элементтері  p(x,, xj)  >
1
,  і  ф  j ,  теңсіздігін  қан агаттанды раты н  {х„}  тізбегіи  алам ы з,  және  бүл 
тізбектіц озі де,  оныц  кез  келген  тізбекшесі де ж и нақталм ай ты н   болады.  Ал 
бүл  X   ж иы ны ны ц  ком п акты лы гы иа  қайшы.  С ондықтан,  тек  кан а  бірінші 
ж агдай  оры ндалады .  Сонымен  А £  =   { х і,ж 2, ..., х;.}  ж иы ны   X   үиіін  ақы рлы  
е  =  
1
  тор.  Д емек,
(Vx  £   А ) ( 3 х я  £   Х £)  :  p(x,x«j)  <   1,1  <   s  <  к. 
m a x { p (x i,x
2
) ,p ( x
2
, x 3) , ..., р(х*_і, х*)}  -   К   деп  белгілейміз.
Сонымен
( Э К   >  0) (Vx  £   X )   :  р(х, x s)  <  K , 1   <  s  <  к ,
ягни  центрі  АГе-ж иы ны ны ц  қандай  д а   бір  нүктесінде  орналасқан,  радиусы 
К   -  санына  тец  ш ар  X   ж иы ны ны ц  барлы қ  элементтерін  қамтиды .  Демек, 
А   -  шенелген  ж иы н.
3 .2 .3   -  с а л д а р .  К ез  келген  компакт  -  сепарабсльді  кецістік.
51

Д ә л е л д е у і.  X   С  Е   ішкі  кецістігі  компакт  болсын.  п   —>  ос  кезде  s n  —>  О 
үм ты латы н  {£„}  тізбогін  қарастырайық.  К ез  келген  г п  > 
0
  саны  ушін  Аг
ос
ж иы ны ны ц  X Sn  -  ақы рлы   торын  қүрайык.  X   ~   1J  Х Сп  ж ны пы   -  ақырсыз
71=1
саналы м ды   ж иы н.  Осы  ж иы нны ц  X   кеңістігіие  б арлы қ  жерде  ты гы з  орна- 
ласқан  ж иы н  болаты ны н  көрсетейік.
Ш ы ны нда  да,  кез  келген  с  >  
0
  саны  үпіін  бі})  п  -номері  табы лады   да, 
еп  <  е  тецсіздігі  оры ндалады .  Осымен  катар
(Vx 
G 
Х ) ( 3 х п 
G 
Х Сп 
С  
X )   :  р ( х , х п)  <  s n  <  г.
Б үл  дегеніміз  X   ж иы ны   X   кеңістігіне  барлы қ  жерде  ты гы з  орналасқанын 
көрсетеді.
А р  цел  тсоремасы
G  R n  -  п   өлшемді  кеңістігінің  шенелген  түііы қ  ж иы ны   болсын.  C (G )  - 
G  түйы қ облысында үзіліссіз болатын  ф ункц иялар  ж иы ны н  қарасты райы қ. 
X   осы  м етрнкалы к  кецістіктіц  қандаіі  д а  бір  ішкі  кеңістігі  болсын.  Қандай 
ш арттар  оры ндалган  кезде  X   кеңістігі  компакт  болады  деген  сүрақ  туады. 
Б үл  сүраққа  Арцел  теоремасыныц түж ы ры мы   жауап  береді.
3 .2 .5   -  а н ы қ т а м а .  X   кецістігінде  ж атқан  ф ункц иялар  бірцалыпты  ше- 
н ы г е н  деп  аталады ,  сгсрде  барлы қ  <})ункцпялар  ушін  бір  С   > 
0
  саны  табы- 
лып,  V x(t)  Е  X   үшін  \x(t)\  <  С,  'it  G  G  болса.  Ягни  X   ж и ы ны нд а  ж атқан 
ф ун кц и ялар бірқалыптьі шенелген болады,  егер А" ж иы ны   C (G )  ксцістігінде 
шенелген  ж иы н  болса.
3 .2 .6   -  а н ы қ т а м а .  X   кецістігіпде  ж атқан  x ( t)   ф упкциясы н  бірцалыпты 
үзыгссіз  фгуикиия деп  атайды,  егерде
(Ms  >  0)(3б  =   6 ( s ) ) ( V t \ t "   :  p0 ( t \ t " )   <  8)  :  pc ( x ( t ') , x ( t " ) )   < 
е
.
А р ц е л   т е о р е м а с ы .  X   С  C (G )  ішкі  кецістігі  ком пакт болу  үшін  X  жиы- 
нындагы  ф ун кц и ялар  бірқалыпты  шенелген  жәнс  бірқалыгггы  үзіліссіз  бо­
луы  қаж етті  жәпе  ж еткілікті.
М ы с а л .
X   =   { x ( t)  
G 
C'[a,b\  :  x ( a )  =   xq.  |x'(£)|  <   m },
барлы қ  x ( t)  ф ун кц и ялары   үіиін  осы  ж иынныц  ком пакт  болуын  корсету  ке­
рек.
Д э л е л д е у  і.