Л. Н. Гумилев атындагы ЕҮУ, 2007. ~ 102 б


§3.  Толық  метрикалық  кеңістік



жүктеу 2.98 Mb.
Pdf просмотр
бет3/6
Дата06.03.2017
өлшемі2.98 Mb.
1   2   3   4   5   6
§3.  Толық  метрикалық  кеңістік
3 .1 .  Ф у н д а м е н т а л ь д ы   т із б е к   ж ә н е   о н ы ц   қ а с и е т т е р і
3 .1 .1   -  а н ы қ т а м а .  Е   м етри калы қ  кеңістігінің  элементтерінен  түраты н 
{ х т1}  тізбегін  фундаментальды  пгізбек деп  атайды ,  егер
(Vfiг  >   0)(3A ri)(V n, т   £  N   :  п, т   >   A'i)  :  рЕ {хп, х т)   <  е 
(13)
орындалса.
3 .1 .1   -  м ы с а л .  {x n  =  
ійзбегі  -  Q  м етрикалы қ  кеціетігінде  ф унда­
ментальды  тізбек.
Ш ыныида  да,  Vs:  >  
0
  үш ін  Агі  номерін 
5
x
7
  <   §  болаты ндай 
с т іі і

ягни 
Лгі  >   [log
2
 
7
]  тандаіт  алам ы з.  Сол  кездс
(Ve  >   0)(ЗА'і  =   [log
2
 ?])(V n, rn  £   N   \ п , т >   N{)  :  рЕ ( х п, х т)  =  
<

1
 
1
-  
2
” 

орындалады.  Д емек,  3.1.1  -  ан ы қ там а бойынш а  { х п  =  
-  ф ундаменталь­
ды  тізбек.
3 .1 .2   -  м ы с а л .  {;rn  =   і п}?°  тізбегі  -  С  [0,  l]  м стри калы қ  кецістігіндс  ф ун­
даментальды  тізбек  емес.
Ш ыныида да,  х п  —  t n  жоне  Х
2
П  =   t 2n  мушелерін  қарасты райы қ.  Онда 
р с { х п,х2п)  =  m ax   |£”  -   t 2n\  >  |£[}  -   t 2
0n \  > 
-   t 2
0n,
t(z [
0
*
1
]
мүндагы  to  £  [ 0 ,
1
]  кесіндісініц  кез  келген  нүктссі. 
ден  алайық.  Б үл
ж а г д а й д а
1
 
1
 
1
р{Хп, х 2п)  > 
2
  -  
4
  =  
4
*
Сондықтан, е  =   I  =   0 ,2  болган кезде  (13) теңсіздік оры ндалаты ндай,  п, т   > 
N \   болатындай  Агі  номері  табы лм айды .  Осыдан  {жп.  =   ? 1}  ф ундаментальды  
тізбек  емес.
3 .1 .1  
-  л е м м а .  Егер  {жп}  С  Е \   С  Е
2
  болса,  онда  {;cu}  тізбегініц  Е \   және 
Е
'2
  м етрикалы қ кеңістіктсрінің біреуінде  ф ундам ентальды   болатындыгынан 
оныц  екіншісіндс  де  ф ундам ен тальды   болаты нды гы   ш ыгады.
Д ә л е л д е у і.  Е \   м етри калы қ кеңістігінің метрикасы рЕх • ал Е 2  м етрикалы қ 
кеңістігінің  метрикасын  р в 2  ден  белгілейік.
РЕі(Хц,ХТп)  =   Р
е
2 (Хц, Хт )
37

болгандықтан,  (ІЗ)-тец сіздік  бір  метрика  арқы лы   оры ндалаты п  болса,  онда 
ол  екінші  м етрика  арқы лы   оры ндалаты нды ғы   ш ы гады .  Сондықтан,  егерде 
біз Vc  >  
0
  үшін  Д’і  номеріи  қандай  д а бір  метрика үшіп  таба алаты н  болсақ, 
ол  екінші  метрика үш ін  де  ж арайды .
3 .1 .2   -  л е м м а .  К ез  келген  ф ундаментальды   тізбек  -  шенслген. 
Д ә л е л д е у і.  {x n}  -  ф ундам ентальды   тізбек.  ягни
(Ve  >   0)(3Ari)(V n, m   e     :  n. rn  >   N \ )   :  Р
е
(
х
п, x m)  <   г  <  
1
.
Сондықтан.  осы  теңсіздік  N \   номеріпен  үлкен  етіп  таңдап  алы нган  к  номері 
үшін  Р
е
(
хіс
>
я
п)  <   £  <   1  де  (мүндагы  п  >  к)  оры ндалады .  О нда  радиусы 
г  =   m ax{p£(x'i, ж * ),.... pE{xn, 
хһ
)} болатын,  центрі  х к нүктесінде орналасқан 
ш ар  осы  тізбектіц  ба]>лық  элементтерін  қамтиды.  Демек,  {x n}  -  шепелген.
3 .1 .3  -  л е м м а .  К ез келген ж и нақталаты н тізбек - ф ундам ентальды  тізбек.
Д ә л е л д е у і.  {ж\,}  тізбегі 
Е
 
метрнкалык,  кеңістігінің ж и пақталаты н  тізбегі 
болсын,  ягни
lim  х п  —  a  <$=>  lim  рғ;(х„,а)  =  
0
  «хФ
П-+ 00 
7І-У0С
(Ve  >   0)(3A ri)(V n  :  п  >  Агі)  :  рЕ {хп,а)  <
Онда
Е Е
(Ye  >   0)(3Ari)(Vn, m   :  п, т   >   Агі)  :  рЕ{хп, х т)  <  р{ х п, а ) + р { х т, а)  <  
=   г
оры ндалады .  Сондықтан,  3.1.1 -  аны қтам а бойынша { х 7,}  -  ф ундаментальды  
тізбек.
3 .1 .4   -  л е м м а .  Егер  ф ундам ентальды   { х п}  тізбегіиің  {xk,,}  тізбекшесі  Е  
м етрикалы қ  кеңістігінің  а  нүктесіне  ж и нақталаты н  болса.  онда  {.тг!}  тізбегі 
де  осі>і  нүктеге  ж и нақталады .
Д ә л е л д е у і.  {xjt,,}  тізбскшесі  Е   метрнкалык,  кеңістігінің  а  иүктесіне  жи- 
нақталсы и,  яғни
lim  х кп  =   a  <&  (Ye  >   0 )(3 К ) { \ / к п  :  к п  >  К )   :  рЕ {хки,а)  <
П-ЮО 
I
Екініпі  ж агы нан.  { х п}   ф ундаментальды   тізбек  болгандықтан,
(Ye  >   0)(3A r
1
)(V n .m   :  n ,m   >   N{)  :  pE{xn, x m)  <  | .
Енді  A
r2
  —  m ax {AT, Агі}  деп  алайы қ.  Онда
(Ve  >   0)(3JV2)(Vn  :  n   >  N 2)  :  p{xn, a)  <  p ( x n, x kn)  +  p(xkn,a)  <  e.
Бүл  lim   x n  =   a  дегенді  білдіреді.
П - *  ОС
38

Е с к е р т у .  3.1.3  -  лемм ада гы  туж ы ры м і’а  кері  туж ы ры м ,  ягни  кез  келген 
ф ундам ентальды  тізбек ж и н ақталады  деген туж ы ры м  дуры с емес.  Мысалы,
{ ( 1
 +  - ) “  =   гп}  тізбегі  -  Q  м етрикалы қ  кеңістігінде  ф ундам ентальды   тізбек, 
бірақ  Q  м етрнкалы к  кецістігінде  шегі  болмайды,  өйткені
lim  (1  4-  —)п  =   е
п->оо 
77
рационал  сан  емес.
3 .1 .5   -  л е м м а .  Егер 
Е
 
метрнкалык,  кецістігініц  {жп}  тізбегі  ушін
ОС
Р
е
(
хһ
, Д*+і) 
(14)
A?=l
қатар  ж и нақталаты н  болса,  онда  {ж,,}  -  ф ундам ентальды   тізбек.
Д ә л е л д е у і.  (14)  катар   ж и нақталаты н  болғанды қтан,  санды қ  қатардыц 
қасиеті  бойыпша
ОС
(Vs  >   0)(3iY i)(Vi7  : 
п  >  N\)
  : 
Rn  =  ^ p E { x k, x k+
1
)  <  
e.
k=n
R n  қатары  теріс  емес  қатар  болғандықтан,  оныц  дербес  қосындысы  қатар- 
дыц  қосындысынан  ар т ы қ   емес,  ягни
т - 1
(Vm  >  
ті  >  N i )
  :  ^
 
Р
е
{ ^
ь
 Sfc+i) 
<   е.
к—п
Онда
(Ve  >   0)(3A ri)(V n ,m   е     :  т   >  п   >  А’\ )  :
і п- і
РЕІХпі
 а-т)  — 
Ре{х<м
 2'7і+і)-г р £ (х пи.і, 
Хп+
2)-{-...-{-рЕ(%гп~
 
1
> ®т)  =   /   , 
РЕІ&кі
 ■Efc+l)  ^  
£•
к=п
Б ү л   {ж„}  тізбегінің  ф ундам ен тальды   тізбок  екенін  көрсстсді.
Е с к е р т у .  3.1.5  -  лем м аны ц тұж ы ры м ы п а  кері  туж ы ры м   дүры с  емес.  (14) 
қатар  ж инақталм аганы м ен  {.г,,}  тізбегі  ф ундам ентальды   тізбек  болуы  мүм- 
кін.  М ысалы,  {гс„  =  
тізбегі  -  ф ундам ентальды   тізбек,  бірақ
( -
1
)* 
( -
1
Г
1
к  +
  1
£
к=\
ж и и ақтал м ай д ы .
3
.
1 . 6  
-  л е м м а .  Егер  Е   м етри калы қ  кецістігініц  {х„}  тізбегі  ф ундам ен­
тальды  тізбек  болса,  онда
ОС
^ 2 р Е { х к п, х кп+1)
 
( 1 5 )
П=1
39

катары   ж и н ақтал аты н дай   {жп}  тізбегініц  {хкп}  тізбекшесі  табылады.
Д ә л е л д е у і.  { х п}  ф ундам ентальды   тізбек  болғанды ктан,  Уп  үшін  кп  но- 
мері  табы лады   да,  п   >  кп  оры ндалган  кезде  рЕ(х кп, х и)  <  ^   орындалады. 
Сондықтан,
р Е { х кп, Хкп+і)  <  
^
болады.  Демек,  салы сты ру  белгісі  бойынша  (15)  қатар  ж и нақталаты н  бола­
ды.
{
О, 
егер  — 
1
  <   х   <  О
п х ,   егер 
0
  <   х   <  ^ 
тізбсгі  -  С [
0
.
1
]  кецісті- 
1

егер 
і   <  
1
гінде  ф ундам ентальды   тізбек.
Д э л е л д е у  і.
1
)  f n (x)  ф ункциясы ны ц  графигін  саламыз.
1
]  4-.4.G?-).  - J A x ) .  
п 
1
с  
1
С  
д о л е   =
  /7,  Ь о л і   =
XS OLC  =   S o  AC  -   SoAL
  =  
};  ~
  Ш   =  
ffl+l)"

U
pE{fk(x),  fk+i{x))  =  
J  
\fk+i(x)  -   f k ( x ) \ d x   = 

\fk+i{x)  -   f k ( x ) \ d x +
~ i  
- l
I  
І  
1

J  
\fk+i{x)  -   f k { x ) \ d x  +  

\fk+i{x)  -   f k{ x ) \d x  -i- 

\fk+i{x)  -   f k ( x ) \ d x   =
1
к 4-1
k~f 
1

|(A- +   l ) x   -   k x \ d x  +  
J  
\1  —  k x \d x   =

—L_
ITT
1
 
/
1
_  


к  ( l  
1
2
(fc +   l
) 2
 
к -j- 
1
 
2
  \ k  
(/c +   l)

1
 
1
 
к 
1
тт,-----t t   ~' 
t t
  "b 
<  
t z
-
2 ( к   +
  l ) 2 
k { k +
  1 ) 

к 
2 ( k   +
  l ) 2 
/с2 '
OO
]C  F   ‘  Д ирихле  қатары   ж и нақталады .  Сондықтан,  салыстыру  белгісі  бой-
fc=i
ы н ш а
00
Y ^ p E { f k { x ) , f k + l { x ) )
к
= 1
40

қатары   ж и нақталған  болады.  Олай  болса,  3.1.6  -  лем м а  бойынш а  { f n {x)}  - 
ф ундам ентальды   тізбек.
Толыц  жэ н е   пголыц  емес  метрика лыц  кеңгсгпік
3 .1 .2   -  а н ы қ т а м а .  Егер 
Е
 
м етрнкалы к  кеңістігініц элементтерінен  тура­
тын  кез  келген  {жп}  ф ундам ентальды   тізбегі  осы  кецістіктің  қандай  д а   бір 
элсментіне  ж н н ақтал аты н   болса,  онда 
Е
 
м етрн калы к  кецістігі  толыц  мет-  
рикалыц  кецістік ден  аталады .
3
.
1 . 3
  - лемманыц туж ы ры м ы нан  кез  келген ж и н ақтал аты н   тізбек осы мет- 
рнкалы қ  кеңістікте  ф ундам ентальды   тізбек  болаты пды ғы   шыгады.  Б ір ақ 
кері  туж ы ры м   дуры с  емес.
Ф ундаментальды  тізбектіц  нүктелері  тізбектіц  пөмірі  өскен  сайын  бір  - 
біріне оте  ж ақы н  орналаса бастайды,  егер  бұл  тізбектің  кеңістікте  шегі  бол- 
маса,  онда  ол  қандай  д а   бір  пүктсніц  ойық  мацайы на  ж и н ақтал а  бастай­
ды.  Сондықтан,  ф ундам ентальды   тізбектіц ж и п ақтал м ауы   осы  метрнкалық 
кецістікте  ойы қтарды ц  бар  екенін  кәрсетеді.
3 .1 .3   -  а н ы қ т а м а .  Егер 
Е
 
метрнкалык.  кецістігініц элементтерінен  тура­
тын  кез келген  {жп.}  ф ундам ентальды  тізбегі  осы  кецістіктіц ешбір нүктесіне 
ж ннақталм айты н  болса,  онда 
Е
 
м етрнкалы қ  кецістігі  тольщ  емес  метри- 
калыц  кецістгк деп  аталады .
Толыц  метрикальщ  кецістікке  мысалдар
3 .1 .4
 
-  м ы с а л . 
R n - п
 
өлшемді  кецістік толы қ  м етри калы қ кецістік бола­
ды.  Оныц толы қты гы   Коши  критериінен  ш ыгады.  (  {ж„}  тізбегі  а  нүктссіне 
ж инақталуы   үитін  оныц  ф ундам ентальды   болуы  қаж етті  ж әне  жеткілікті.)
3 .1 .5   -  м ы с а л .  С [ 0 ,1]  -  толы қ  м етрикалы қ  кецістік.
Д ә л е л д е у і.  С[0,1]  м етри калы қ ксцістігініц элемснттерінеи түраты н  ф ун­
дам ентальды   { x n (t)}  тізбегін  қарасты райы қ.  Осы  ф ундам ентальды   тізбек- 
тіц  шегі  x( t )   £   С [ 0 ,
1
]  ж ататы нды гы н  көрсетейік.  { x 7l(t)}  ф ундам ентальды  
тізбек  болганды қтан,
(V ^)(3JV i)(V n,m   £   N   :  п. т   >  Лгі)  :  pc {xn ( t ) , x in(t))  —  m ax   \xn( t ) - x m(t)\  <
Jj
 
rG(UjlJ
Сондықтан,
(Vn, 
m   £   N   :  n ,  m   >  N i ) ( V t   £
  [0,1])  :  |
x n ( t )  -   x m ( t
)j  <   | .
[
0
,
1
]  кесіндісінде ж ататы н  t -ніц t 0  мәнін тандап  алы й,  ( x n (to)}  санды қ тізбе- 
гін  карасты райы қ.  (жп(£о)}  санды қ  тізбегі  ф ундам ен тальды   тізбек  болган- 
ды қтан,  оныц  шегі  бар,  ягни
lim   x n {t0)  =  x ( t 0), 
n
->00
41
to

cn

табылған  x(to)  ф ункциясы   бірқалы пты   ж и нақталаты н  {геп(^о)}  тізбегініц 
шегі  болғанды қтан.  ол  -  үзіліссіз  ф ункция.  Сондықтан,  x(t o)  £  С [
0
,
1
].  to 
нүктесі  [
0
.
1
]  кесіндісініц  кез  келген  нүктосі  болғанды қтан,  to-ді  £-мен  алма- 
стыруга  болады.  Сонымен.
lim   x n( t )  =   x ( t )  
6
  CfO, 1]
71—
>00
(Ve  >   0)(ЗЛ г2)(Үп  £   N   :    >   Лг2)  :  p c { x n{ t ) , x ( t) )   =  m ax  \xn(t)  -   x ( t )j  <
f€[0,l] 
Z
Енді  Лгз  —  m ax{Ari. Ar2}  болсын,  онда 
(V   0)(3Ara)(Vn  €     :  n   >  A
3
)  :  pc {xn{t).,x(t))  =  m ax  \xn(t)  -   z ( t) |  <
Сондықтан,  Koiuh критсриі бойынш а  { x n(t}} тізбегіпіц нісгі бар болады, оны 
x ( t )   деп  белгілейміз.  Сонымен  lim   x n(t)  =  x(t)  немесе  lim   p c ( x n( t X x ( t ) )   =
П - ¥  ОС 
П —Ю С
0
.
C [
0
.
1
]  кецістігінде  ж и н ақты л ы қ  бірқалыпты  болгандықтан.  x( t )  ф ункци­
ясы  [
0
,
1
]  кесіндісінде  үзіліссіз.  Олай  болса,  x{t)  €  С[
0
,
1
].
3 .1 .6   -  м ы с а л .  C L [ —
1
,
1
]  -  толы қ  емес  м етрнкалы к  кецістік.
Ш ы ны нда  да.  осы  кецістікте  ж ататы н  фундам ентальды
(  — 
1
,  егер  — 
1
  <   X  <  — І  
f n{x)  =  
п х ,   егер 
<   х   <  £

1
,  егер 
£  <   х   < 
1
тізбегініц  п   —>  ос  кездегі  шегі  осы  кецістікте  ж атнайты нды ғы н  көрсетейік. 
{/„(£)}  тізбегініц  шегі  ретінде
(  —
1
,  егер  х  < 
0
f n {x)  = s i g n x   =   < 
0

егер  х  =  О
{ 
1

егер  х  >   О
ф ункциясы н  ал у га болады.  Ш ы ны нда да,
1
 
Һ
P C b { f n ( x ) J ( x ) )   =   У   |f n{x )  -   f ( x ) \ d x   =     | / п(ж)  -   f { x ) \ d x   <
- 1
1
 
I
п 
г;

J
\ f n{ x ) \ d x +  
j
  I
f ( x ) \ d x < ^ .
__ 
i

ri
Бүдан
lim   p c i { f n ( x ) J ( x ) )   -  
0

n
->00
42

Сондықтан,  lim   f „( x)   =  f ( x ) .   Б ір ақ   f ( x )   =   s i g n  x   үзілісті  ф ункция  болган-
iw oc
ды қтан,  C L [ — 1,1]  кеңістігіндс  ж атпайды .
Енді  { f n{t)}  тізбегінің  C L [ — 1 ,
1
]  м етрикалы қ  ксцістігініц  метрикасы  бой­
ынш а  еш қандайда  үзіліссіз  ф ун кц и яга  ж инақталм айты н ды ғы н  корсетейік. 
Кері  жоримыз,  нгни  C L [ —1,1]  кецістігінде  ж ататы н  үзіліссіз 
х)  ф ункци­
ясы  { f n{x)}  тізбегінің  шегі  болсын.  Д емек,
lim   pcb{fn{x),
 
0
.
n-y
 oo
О нда  үш бурыш тар  аксиомасы  бойынш а
PCL{f(x),4>{x))  <  p C L ( f n { x ) J { x ) ) + p CLi f n{x), !p(x)).
Осы  теңсіздіктен
lim   р с ь { / { х ) , ( р (х ) )   <  
0
  <& 
гн о е
1
p c b { f { x ), tp(x))  = 
0
 
J
 
I/(ж )  -   4>{x)\dx  =  
0
.
-1


Бүдан    If ( x )   — (p(x)\dx  =   0  ж әне  f   \ f ( x )   —  
  0.
- l  
о
[—
1
,
0
)  және  (
0
.
1
]  арал ы қтар ы н д а  f ( x )  ж ән е  <р(ж)  ф уикц нялары   үзіліссіз
ф ункциялар  болғапды қтан.  ж огары д агы   тецдіктерден
(Vx  в  
[ - 1 , 0 )  U  ( 0 , 1])  : 
f ( x )  
=  
(р(х).
Олай  болса,
— 
1
  =   lim   ip(x)  =  lim   
 
1
.
x—>0— 
x—>0+
Д ем ек,  
  ф ункциясы   -  үзілісті  ф ункция.  Алынган  қай ш ы лы қ  C L [ —
1
,
1

кецістігініц толы қ  емес  м етри калы қ  кецістік  екенін  дәлелдейді.
3 .1 .1  
-  т е о р е м а .  Е  толы қ  метрнкалык, кецістігініц  кез  келген түйы қ ішкі 
кецістігі  толы қ  метрнкалык,  кецістік  болады.
Д ә л е л д е у і.  Е   толы қ  метрнкалык,  кецістігініц  тү й ы қ  ішкі  кеціетігін  Е\ 
деп  белгілейік.  Е \   кецістігініц  элементтеріпен  түраты п  {жп,(і)}  тізбегі  ф ун­
дам ентальды   тізбек  болсын.  О нда  { x n(t)}  тізбегі  Е   кецістігінде  де  ф ун­
дам ентальды   тізбек  болады.  Е   толы қ  м етри калы қ  кецістік  болгандықтан, 
{ x n(t)}  тізбегі  осы  кецістікте  ж ататы н   қандай  д а  бір  а  нуктесіне  ж инақта- 
лады .  Б ір ақ   (жп(і)}  тізбегі  Е \   кецістігініц  элементтерінен  түрады ,  және  Е\ 
түйы қ  болғандықтан,  a  £  Е\ .  О лай  болса,  Е \   кеністігінде  ж ататы н  кез  кел- 
геп ф ундам ентальды   тізбек  осы  кецістікте ж и н ақтал ады .  Д смек,  Е \  - толы қ 
метр и кал ы қ   кеці сті к .
43

3 .1 .2   -  т е о р е м а .  Е   то лы қ   м етрикалы қ  кеңістігінің  кез  келген  Е \   толы қ 
ішкі  кеңістігі  тұйы қ  болады.
Д ә л е л д е у і.  Е\   кеңістігінің  элементтерінен  тураты н,  Е   м етрикалы қ 
кеңістігініц  қандай  д а   бір  а  нүктесіне  ж ннақталаты н  { x n (t)}  тізбегін  қарас- 
ты райы қ.  3.1.3  -  л ем м а бойынш а  { x n (t)}  тізбегі -  Е   метрнкалы к  кецістігінде 
ф ундам ентальды .  С онды қтан,  ол  -  Е \   кеңістігінде  де  ф ундаментальды .  Е \
-  толы қ  кеңістік  болғанды қтан,  { x n(t)}  тізбегі  Е\  кеңістігінде  ж и нақтала- 
ды.  Осы  шекті  b  деп  белгілейік.  Е   м етрикалы қ  кецістігінде  ж и нақталаты н 
{£'»(£)}  тізбегінің  шегі  біреу  болатындықтан,  а  мен  b тен  болуы  керек.  Олай 
болса,  а  =   b  G  Е\.
Сонымсн,  Е \   кеңістігіпіц  кез  келген  ж ннақталаты н  тізбсгінің  шегі  өзінде 
ж атады ,  ягни  Е \   -  тұйы қ  жиын.
3 .1 .7  
-  м ы с а л .    кеңістігінде  [а, Ь\  кесіндісі,  R?  ж азы қ ты гы н д а  түйы қ 
'  
дөңгелек  немесе  шеңбер,  R :]  кеністігінде  шар  немесе  сф ера  толы қ  кеңістік 
болады, өйткені  олар толы қ  метрнкалы қ кеңістіктің түйы қ ішкі  ж иы ндары н 
қүрайды.
+ І
11  — 
1
,
2
,...
Үш тары  а п  <  «п+і,  Ь
п + 1
  <   Ьп  теңсіздіктерін  қанағаттанды раты н,
[ а п + і , Ь я + і]  С   [ а „ ,
bn] 
С   ...  С   [ а 2 , 6 2]  С   [ а ь 6 і] ,
[ап, bn]  кесінділерін  бірініц  ішіне  бірі  енетіи  кесіиділер  деп  атайты н.  Осы 
кесінділердің  барлы ғы нда  бірдей  ж ататы н,    м етрикалы қ  кеңістігінсн  кем 
дегенде  бір  нүкте  табы лады   (Кантор  леммасы).
Келесі  теорема  -  осы  К антор  леммасыныц  ж алпы ламасы .
3 .1 .4  -  а н ы қ т а м а .
(«О  D  S £2{a2)  Э  ...  D  S e„(an)  Э  ...
теңсіздігін қан ағаттапды раты н  {55г. (а„)}^°  ш арлар тізбегін  бірінің  гшіне  бірі 
епетін  түйыц  шарлар д('п  атайды.
3 .1 .3   -  т е о р е м а .  Егер  Е  толы қ м етрикалы қ  ксністігіпіц бірінің ішіне бірі 
снетіи түйы қ ш арлары ны ц радиустары  нөлге үмты латы п болса,  онда  Е   мет­
рнкалы к кеңістігінен осы түйы қ ш арлардыц барлы гы нда бірдей ж ататы н бір 
гаиа  нүкте  табы лады .
Д э л е л д е у і.
1

Кем  дегенде  бір  нүкте  бар  болатындыгын  долелдсйік.  { S En{an) } f   - 
біріиіц  ішіне  бірі  енетін,  радиустары  еп  нөлге  ұмты латы н  түйы қ  ш арлар 
болсын.  Осы  ш арларды ц центрінен  түраты н  { а і ,а
2
, ...,а 7і, ...}  тізбегін  қарас- 
тырайық.  Кез  келген  р  -  номері  үшін  anJrp  G  S Sn+p(an+p)  С  S en(an).
44

Сондықтап,
Р Е { а п + р і   а п )   <   £ п   —>  0 ,   П   —>  ОО.
Демек.  {а„}  тізбегі  -  Е   м етри калы қ  кеңістігінде  ф ундам ен тальды   тізбек.  Е  
толы қ  м етрнкалы к  кеңістік  болганды қтан,  { ап}  тізбегі  ж и нақталады .  және 
оның  шегі  а  осы  кеңістіктің  өзінде  ж атады :  а  G  Е ,   ягни,
(Vn  G 
G  S £n(an))  :  lim   a n+p  =   &•
71-> OO
S e n M   түйы қ  ш ар  болганды қтан,  a  G  S sJ a n).  Д ем ек,  a  нүктесі  { & ,(« „ )}  
ш арларының  барлы гы нда  ж атады .
Енді  осы  табы лган  а  нүктесініц ж алгы зды гы н дәлелдейік.  Kepi  жорнмыз, 
ягни  осы  ш арларды ң ішінде ж ататы н   Е   м етрнкалы к кецістігінің тагы  д а бір 
b  нүктесі  бар  ж эне  а  ф  Ь  болсын.  Д емек,  рЕ{а,Ь)  =   г  >  0,  a, b  G  S £J a n) 
болғандықтан,
г  =   рЕ ( аb)  <  рЕ {а, ап)  +  рЕ (Ьп, Ь)  <  2еп .
Бүдан
г  —  рЕ {а, b)  <   lim  
2
е п  =   О  Ф   г  <  
0
  =>  г  =   О,
71—Ю О
ал  бүл  мүмкін  емес.  Алынган  қайш ы лы қ  а  пүктесініц  ж ал ғы з  екенін  долел- 
дейді.
Толыц  емес  мегприкалыц  кецістіктг  толыцтыру
Толы қты қ  -  м етри калы қ  кеңістіктің  ең  бір  негізгі  қасиеттерінід  бірі.  Кез 
келген  толы қ  емес  Е   метрнкалык,  кеңістігін  қандай  д а   бір  толы қ  метрика- 
лы к  кеңістіктің  іш кі  кецістігі  ретінде  қарасты руга  болады.  Осы  толы қ  смес 
кеңістікті  қамтиты н  то л ы қ м етри калы қ кеңістіктердіц ішінеи ең кіші  метрн­
кал ы к  кеңістікті  бөліп  ал уга  болады.
М ысалы,  [a, 
6
]  кесіндісі  -  толы қ  м етрнкалы к  кеңістік.  (a, b)  аралы гы н  то- 
лы қты ры п,  [a, b]  кссіндісін  алам ы з;  Q -ді  толы қты ры п,    кеңістігін  аламыз; 
Е[а,Ь]  сы зы қты   кеціс-тікті  толы қты ры п,  С[а, 
6
]  кеңістігін  аламыз.
3 .1 .4  
-  т е о р е м а .  К ез  келген толы қ емес  Е \   м етри калы қ кецістігі үшін  Е\  
кеңістігі-не  тец  түрпатты   болаты н,  өзіне  барлы қ  ж ерде  ты гы з  орналасқан 
Е \   ішкі  кеңістігі  бар  Е   то лы қ  м етрикалы қ  кеңістігі  табы лады .
3 .2   М е т р и к а л ы қ   к е ң іс т ік т е г і  к о м п а к т   ж и ы н д а р
1 0 0
  ж ы л  бүрын  чех  м атематигі  Б .Б ольцано  кез  келген  шенелген  нақты 
сандардан  түраты н  ақы рсы з  ж иы нны ц  кем  дегенде  бір  ш ектік  нүктесі  бо- 
латы пды гы н  байқагаи.  Осы  дэйек  м атем атикалы қ  анализдіц  қалы птасуы на 
оте  зор  үлес  қосты.  Э лементтері  ф ункциядан,  тагы   д а   басқа  объектілерден
45

тураты н  кейбір  ж и ы ндардан  ж инақталаты н  тізбекті  бөліп  алу  идеясы  қа- 
рапайым  д и ф ф ерен ц н ал ды қ  теңдеулердіц,  т.б.  тендеулердің  шешімдері  бар 
болатындыгын  д элелдеуге  найдаланылды.  Осы  идея  м етри-калы қ  ксңістік- 
'і;егі  ком п акты лы қ үғы м ы на  әкелді.
Б о л ь ц а и о - В е й е р ш т р а с с   т е о р е м а с ы .  [a, b]  кесіндісініц  элементтерінен 
тураты н  кез  келген  {.тп}  тізбегіиен  шегі  [а.Ь]  кесіндісінде  ж ататы н  {ж*п} 
тізбекшесін  бөліп  ал уга болады.
Б үл теоремапын түж ы ры м ы  ақы рсы з өлшемді толы қ м етрикалы қ кеңістік 
ушін  оры ндалмайды ,  сонда  д а  осы  теореманыц  туж ы ры м ы н  найдалапып, 
бикомпакт  болатын  метрнкалык, кеціс-тіктерге былай  аиы ктам а белуге бола­
ды.
3 .2 .1  -  а н ы қ т а м а .  Е  метрнкалык, кеңістігінің   ішкі ж иынын  бикомпакт 
ж и ы н   деп  атайды,  егерде    ж иыныныц  {a;n}  тізбегіігіу  осы    ж иыныныц 
қандай  д а бір  нүктесіне ж и пақталаты н  тізбскше боліп  алуга болатын  болса.
3.2.1'  -  а н ы қ т а м а .  Е  м етрикалы қ кецістігін  бикомпакт дсп  атайды.  егер­
де  оныц  кез  келген  {жп}  тізбегініц  осы  кецістікте  ж и иақталаты н  {.т/-г }  тіз- 
бекшесі  бар  болатын  болса.
Бик о мп а к т  жиындардыц  цасисттсрі.
3 .2 .1   -  л е м м а .  Е   метрнкалык,  кецістігініц  кез  келген    бикомпакт  ішкі 
кеңістігі  осы  кецістікте  түйы қ  болады.
Д ә л е л д е у і.    ж иы ны ны ц  ж и нақталаты н  {ж7|}  тізбегін  қарасты райы қ. 
{ х п}  тізбегі  Е   м етрикалы қ  кецістігініц  элсменттерінен  түраты н  болганды- 
қтан,  оиың ж инақталаты нды гы нан 2.3.4 - лемма боііынша оиың  {%kn} тізбек- 
тпесі  ж и нақталады ,  ж әне тізбекш еніц  шегі  осы  тізбектіц  шегіне  тец  болады.
  ж иы ны   бикомпакт  ж иы н  болгандықтаи.  {xkn}  тізбекш есініц  шегі  осы 
ж иы нны ц  өзіндс  ж атуы   керек.  Олай  болса,  { х п}  тізбегініц  де  шегі  осы   
ж иы ны нда  ж атады .  Д ем ек,    ж иыны  -  туйы қ  жиын.
3 .2 .2   -  л е м м а .  Биком пакт  Е   метрнкалык,  кецістігініц  кез  келген  түйы қ 
іітікі    ж иыны  компакт  жиын  болады.
Д ә л е л д е у і.    ж иы ны ны ц  {х;і}  тізбегін  қарасты райы қ.    С  Е   болган- 
ды қтан,  { х п} 
с  
Е.   Сондықтан,  {жп}  тізбегі  -  Е   бикомпакт  метрнкалык, 
кецістіктіц  элементтерінен  тураты н  тізбек.  О лай  болса,  {ж„}  тізбегініц  осы 
Е   кецістігініц қандай  да  бір  а  нүктесіне  ж и нақталаты н  {ж*п}  тізбекшесі  та­
былады.  {xif,,}  тізбекшесі    түйы қ ж иы ны ны ц элементтеріпен  туратын  жи- 
нақталаты н тізбек болгандықтан,  оның  шегі осы   ж и ы ны нда ж атуы   керек, 
ягнн  а  е   X .
Сонымен,    ж иы ны ны ц  {.г-п}  тізбегінен  піегі  осы  ж и ы нд а  ж ататы н  {х/;п} 
тізбегін  бөліп  алуга  болады.  Демек,    ж иыны  -  компакт  жиын.
46

3 .2 .3  -  л е м м а .  К ез  келген  бикомпакт  кецістік  -  шенелген.
Д ә л е л д е у і.  Kepi  ж оримы з.  Е   -  бикомпакт  кеңістігі  шенелмеген  болсын. 
Е  кеңістігіпде ж ататы н   кез келген а нүктесін  қарасты рай ы қ.  Е  -  шенелмеген 
кеңістік  болған-дықтан.  кез  келген  п   -номсрі  үш ін  Е   кеңістігінде  ж ататы н 
х п  нүктесі  табы лады   да,
Р
е
{
х
П) а)  >  п
тецсіздігі  оры ндалады .  О сылай  қүры лган  {жп}  тізбегінің  кез  келген  {.г-/;г1} 
тізбекшссі  шенелмеген.  Сопдықтан.  { х кп}  тізбекшесі  ж инақталм айды .  Ягни 
Е   м етрикалы қ кеңістігініңэлементтерінен  түраты н  { х и}  тізбегінің ж инақта- 
латын  {хьп} тізбекшесі болмайды.  Бүл  Е  м етрн калы к кең істігініңбикомпакт 
скеидігіне  қайшы.  Алынган  қайш ы лы қ  лемманы  долелдейді.
Е с к е р т у .  Толы қ м етри калы қ ксцістіктің кез  келген  шенелген, түйы қ ішкі 
жиыны  бикомпакт  бола  бермейді.
Ксйбір  метрикалыц;  кецістіктсрдегі  бикомпакт  болудын  критерийлері
3 .2 .1  
- т е о р е м а .  R n -  n -өлшемді толы қ м стри калы қ кецістігінің ішкі жиы- 
ны  бикомпакт  болуы  үшін  оныц  шенелген,  туйы қ  болуы  қаж етті  және  жет- 
кілікті.
Д ә л е л д е у і.
Қаэісетті гиарт.  R n  кеңістігінің   ішкі  кецістігі биком пакт болсын.  Онда
3.2.1 -  3.2.3  -  лем м алары   бойынш а  ол  шенелген  жопе  тү й ы қ  ішкі  кеністік 
болады.
Ж е т к і л і к т і   гиарт.  R n  кецістігініц  кез  келген    іш  кецістігі  шенелген 
және  түйы қ  кецістік  болсын.
а )X   -  п   -өлшемді  параллелепипед  болсыи.  ягпи
X   =  {.г-  =   {
6
Ь ,   •••. £n}  G    :  аі  <  &  <  Ь{,  г  =  
1

2
, . . . ,  гг},
бул  ж агд ай да    ж и ы ны ны ц  бикомпакты лы гы   Больцано-Вейерш трасс  тео- 
ремасын дәлелдегендей  дәлелденеді.  Тек  параллелепипедті  екі  бірдей  бөлік- 
кс  емес,  ал  оны 
2
П  болікке  бөлу  керек.  {жп}  €    тізбегі  шенелген,  ягни
(3 К   > 
0
)(Vn  е   Аг)  :  \хп\  <  К   =$> х п  G  [—К .   К]  =Ф-  —К   —  а-[,Ь[  =   К
х п  G  [o.j, b\\
болсын.  Енді  осы  тізбектің  ж и нақталаты н  тізбекшесі  болаты нды гы н  көрсе- 
тейік.  Ол  үшін:
1

[а\, 
6
i]  кесіндісін  тең  қылып,  екі  бөлікке белеміз де,  тізбектің шексіз  көп 
мүшелеріп  қам титы п  бөлігін  [<
2 2
,
6 2
]  Деп  белгілейміз.
47

2

[ао,&
2
]-ні  тагы   тең  қылып  бөліп,  {жп}  тізбегіпіц  шексіз  көп  мүшелерін 
қамтиты н  бөлігіи  [
0 3
,
6 3
]  деп  белгілейміз.  Осылай  процесті  ж алғасты ра  оты- 
рып,  {[оп,
6
п]}  бірінің  ішіне  бірі  енетін  кесінділер  үясын  аламыз.
О нда  Зс 
6
  [оп ;
6
п].  Енді  осы  с  нүктесіне  ж и нақталаты н 
{ х кп}
 
тізбекшесін 
қүрам ы з. 
х кі
 
деп 
{ х 7, }
 
тізбегініц  кез  келген  элемснтін, 
х к„
 
деп 
{ х п}
 
тізбе- 
гініц  [
0 2
,
6 2
]  кесіндісінде  ж ататы н. 
>  к\  теңсіздігін  қанагаттанды раты н 
элемснтін,  т.  с.  с.  белгілейік.  сонда  ап 
<   х кп  <
 
6
П,  бүдан
екендігі  ш ыгады.  Сонымен,  ( 3 { х к  С  {жг,}})  :  lim   х к  —  с 
6
  [o ],
6
jl,  ягпи  X
п-юс
-  n -өлшемді  параллелепипед  болган  кезде  бикомпакт  болатьтндыгы  дэлел- 
денді.
б) 
X   -  кез  келген  шенелген.  түйы қ  ішкі  кеңістік  болсып.    ішкі  кецісті- 
гі  шенелген  болгандықтан,  оны  қамтитын  п-  өлшемді  параллелепипед  та­
былады.  Сондықтан,  ол  параллелепипед,  ж огары да  дәлелдегеніміздей,  би­
компакт.    ішкі  ксңістігі  бикомпакт  параллелепипедтің түйы қ  ішкі  ж иыны 
болгандықтан.  3.2.2 -  лемма бойынша бикомпакт болады.  Л ем м а толыгымен 
дәлелденді.
Би ком пакт  болатын  да,  болмайтын  д а  м етрикалы қ  кеңістіктерге  мысал- 
д ар   келтірейік.
1.   -м етрикалы қ кецістігінің метрикасы  арқы лы   ж асалған   =   [0,1]  мет- 
ри калы қ  кеңістігін  қарасты райы қ.  Больцано-  Вейерш трасс  теоремасы  бой­
ынш а    =   [0,1]  ксңістігі  -  бикомпакт.    кеңістігініц  өзі  бикомпакт  емес, 
өйткені  оның  элементтерінен  түраты и  {^п}  С    тізбегінің  осы  ксңістіктіц 
нүктссіне  ж и нақталаты н  ешбір  тізбекшесі  жоқ.  Б ір ақ   оныц  кез  келген  ше­
нелген түйы қ ішкі  ж иы ны   Больцано  -  Вейерш трасс теоремасы  бойынша би­
компакт  болады.
2.  R n  -  n -өлшемді  м етрикалы қ  кецістігі  бикомпакт  емес.  Б ір ақ   оныц  кез 
келген  шенелген  түйы қ  ішкі  ж иыны  бикомпакт  болады.
3.  С [ 0 ,1]  -  бикомпакт  емес.
4.    =   І
2
  -  бикомпакт  емес.  Бүл  кецістіктіц  бикомпакт  болмайтын  шенел­
ген  түйы қ ішкі  ж иы ны   бар.  Мысалы,
п  У оо, х кп 
с
00
48

-  бірлік  түйы қ  ш ары  -  шенелген  түйы қ  ж иы н.  Б ір а қ   ол  -  бикомпакт  емес. 
Ш ынында,  осы  түйы қ  іпарды ң  элементтерінен  тураты н  { e j f
5
  тізбегін  қа- 
растырайық:
р ( е ь   е і )   =
Мысалы,
\
£ ( й   -   & 2  =   < / ( Ф 2  -   ( ф 2  =   V 2 , 
і
 
ф
  j .
i  =   l , j   -  
2
, =>■  р( е і , е 2)
\
Ё
(
й
- ®
2  =
7 1 = 1
=   \ A f !   -  Ф
2 +
( ? 2
  -  е і
) 2
  +   -   =   V
1
 +  
1
  +  
0
  +   ...  =   у/2.
Сондықтан,  {ві}  де,  оиың  кез  келген  тізбекшесі  де  ж ипақталм айты н  тіз- 
бектер.  Олай  болса,  §і ( 0)   -  бикомпакт  емес.
Компакт  жиын.  К о мп а к т  болудыц  Хаусдорф  критерийі
3 .2 .3  
-  а н ы қ т а м а .  Е  метрнкалык, кеңістігініц X  -  іш кі  кецістігін  компакт 
дсп  атайды,  егерде   кецістігінің элемепттерінен  тураты н  кез келген  { х п}  С 
  тізбегінің  қандай  д а   бір  ф ундам ен тальды   {х)Сп}  тізбекшесі  бар  болатын 
болса.
Егердс  Е   толы қ  метрнкалык,  ксңістік  болса,  онда ж огары дагы   анықтама- 
д а   көрсетілген  ф ундам ентальды   тізбекшесі  осы  кеңістіктіц  қандай  д а  бір  а 
нүктесіне  ж и нақталады .  а  нүктесі    ішкі  кецістігінде  ж атуы   да,  жатпауы 
д а  мүмкін.  Сондықтан,  ком пакт үгымы бикомпакт үғы мы нан әлсіздеу үгым. 
Бикомпакт пен ком пакт арасы ндагы  байланы с келесі теорема арқылы былай 
беріледі.
Е с к е р т у .  К ез  келген  бикомпакт  -  компакт,  бірақ  керісінше  туж ы ры м  
дүрыс  емес.
3 .2 .2  
-  т е о р е м а .  Е   то лы қ  метрнкалык,  кеңістігінің  компакт    ішкі 
кеңістігі  бикомпакт  болу  үшіп  оның  түй ы қ  болуы  қаж етті  және  ж еткілік- 
ті.
Д ә л е л д е у і.
Ж с т к і л і к т і   шарт.  Е   толы қ  м етри калы қ  кеңістігінің  компакт    ішгі 
кеңістігі  түйы қ  болсын.    ішгі  кедістігінің  кез  келген  {жп}  тізбегін  қарас- 
ты райы қ.    ком пакт  ішгі  кеңістік  болгандықтан,  3.2.3  -  анықтамасы  бой­
ынш а  {жп}  тізбегінің  қандай  д а   бір  ф ундам ентальдз 
тізбекшесі  бар.
Е-   толы қ  метрнкалык,  кеңістік,  сондықтан  {
хһ
п}~  тізбекшесі  Е   м етрнкалы к 
кеңістігінің  қандай  д а   бір  а  нүктесіне  ж и нақталады .  X -   түйы қ  болгапды-
49

қтан,  а  нүктесі    іиікі  кеңістігіпде  ж атуы   керек.  Демек,    ішкі  кеңіс.тігі
3.2.1  -  аны қтам а  бойынш а  бикомпакт  болады.
Қаоісетті гиарт.  Е  толы қ метрнкалык, кеиістігінің   ішгі  кецістігі биком­
пакт  болсын.  О нда  3.2.1  -  апы қтам а  бойынша    ішгі  кецістігі  түйық.  Кез 
келген  бикомпакт  ком пакт  болгандықтан.    ішгі  кеңістігі -  тұйы қ  компакт.
  кеціетігі -  Е   м етрикалы қ  кеңістігінің ішкі  кеціетігі.  Ал  е  >   0 -  он оте  аз 
сан  болсып.
3 .2 .4  
-  а н ы қ т а м а .  Е  толы қ метрнкалык, кецістігініц элементтерінен тура- 
ты н  Х е  ж иы ны   А"  ж ныны  үшін  е  -  тор деп  аталады ,  егерде
(Ye  >  
0
)(Үж  G  Х ) ( 3 х £  е   Х £)  :  р(х, х с)  <  £
(кейбір  ж а ід а й л а р д а   Аг  —  Е   болуы  мумкін).
  ж иыны  үшін  г-  тордың  геометриялық  магынасы  мынадай:
X t  ж иыны    ж иы ны   үшіи  е  -  тор  болсын  жоне  радиусы  е-санына  тең, 
центрі  х е  нүктесінде  орпаласқан  Е   метрнкалык,  кеңістігіпіц  аш ы к  шарын 
алайы қ.  Бүл  ж ағдаііда
  С  [ j   S £( x£),
xt 6 X t
ягни  радиусы  £  -га тец,  центрі  X .   ж иы ны ны ц  х £  нүктесіне  орналасқан  шар- 
ларды ң  бірігуі    ж иы ны н  толы қ  жабады.
Егер  Х £  -  жиыны  саны  ақы рлы   болатын  элементгерден  тураты н  болса, 
онда  е-торды  ақырлы  Е-тор деп  атайды.
3 .2 .3  
-  т е о р е м а   ( Х а у с д о р ф ) .  Е  метрпкалы қ кецістігініц іпікі кецістігі 
компакт  болу  үшін  Е   метрнкалы к  кецістігінде  кез  келген  е  оц  саны  үшіп 
ақы рлы   с-торы  болуы  қаж етті  жәпс  ж еткілікті.
3 .2 .1  
-  
с а л д а р .  Егер  кез  келген 
е
  >  
0
  саны  үшін  Е   метрнкалык,  кецісті- 
гінің    ішкі  ж иы ны   үшін  Е   м етрнкалы қ  кецістігінде  компакт  Х £  -  г-торы 
табы латы н  болса,  онда  X   -  компакт  болады.
Д ә л е л д е у і.  е  >  
0
  болсын  жоне    ішкі  кецістігі  үшін  компакт  Х е  -  торы 
бар  болсын.  Хоусдорф  теоремасы  бойынша  Х £  ж иы ны   үшін  Е   метрнкалык, 
кецістігінен  ақы рлы   Х [   -  е-торы  табылады.  Осы  табылган  X '   жиыны   
ж иыны  үшін  ақы рлы   е-тор  болатынын  корсетейік.
Ш ынында  да,
(Vx  Е  Х ) ( 3 х £  6  Х е)  :  р ( х , х £)  <  £.
Екінші  жагынан.  Х е  ж иы ны   үшіп  Х'Е  -  е-тор  болгандықтан,
(Vrr£  €  А £) ( 3 <  
6
  X ' )   :  р ( х£, х'£)  <  е.
50

Сондықтан,
р (х , х'£)  <  р(х, 
Х с )  
+  р ( х£, х ')   <  2е.
Демек,  X '  ж иы ны   Х е  үшін  ақы рлы  
2
s  -торы  болады.  Олай  болса.  Хау- 
сдорф  теоремасы  бойынш а    ж иы ны   -  компакт  жиын.
3 .2 .2   -  с а л д а р .  К ом пакт  ж иы н  -  шенелген.
Д ә л е л д е у і.  А'  С  Е   -  ком пакт  жиын  болсын.  е  =   1  болсын.    жиыны 
үшін  Х £- і   -торын  қүрайы қ:
а)  х і  £  X   болсын.  Егер  (Vx  £   А')  :  p ( x ,x i)   <   £  — 
1
  болса,  онда  X s=i  =  xi 
(ягни  е  =  
1
  -  тор  тек  бір  гана элементтен  түрады .)
б)  Мүндай  болмаган  ж агд а й д а  (З х
2
  £   X )   :  р ( х і , х 2)  >   £  =  1.  Егер  (Vx  £ 
X )   :  р ( х ,х i)  <  
1
  немесе  р ( х ,х 2)  <  
1
  болса,  онда    үшін  { х ь х 2}  -  е-тор 
болады.
в)  Муидай  болмаган  ж агд ай д а  (З х
3
  £   X )   :  р (х ь хз)  >   1.  р (х
2
, х 3)  >  
1
.  Ал 
егер  (Vx  £   X )   :  р ( х , х i)  <   е,  немесе  р(х, х 2)  <   е,  немесе  р(х, х 3)  <   е.  Осылай 
процесті  ж алгаеты ра  оты ры п.  р(х;, Xj)  >  
1
,  i  ф  j .   теңсіздігі  орындалаты н 
{xj. х 2).... х / J   ж иы ны н  қүрам ы з.
Бүл  жерде  екі  ж агд ай   болуы  мүмкін:
1
)  Процесс  қандай  да  бір  Ar-қад ам д а  үзіледі.
2)  Процесс  шексіз  ж ал гаса  береді.
Бірінші  ж агдайда,  (Vx  €   X )   :  p {x , x i )   <   e  =  
1
  (г  =   1, к)  тецсіздігініц  бірі 
орындалады.  Б үл  кезде  {x i, х 2, .... х/.}  ж иы ны     үшін  е  =  
1
  ақы рлы   чор 
болады.
Екінші  ж ағдай  мүмкіп  емес,  өйткені  бүл  кезде  біз  элементтері  p(x,, xj)  >
1
,  і  ф  j ,  теңсіздігін  қан агаттанды раты н  {х„}  тізбегіи  алам ы з,  және  бүл 
тізбектіц озі де,  оныц  кез  келген  тізбекшесі де ж и нақталм ай ты н   болады.  Ал 
бүл  X   ж иы ны ны ц  ком п акты лы гы иа  қайшы.  С ондықтан,  тек  кан а  бірінші 
ж агдай  оры ндалады .  Сонымен  А £  =   { х і,ж 2, ..., х;.}  ж иы ны     үиіін  ақы рлы  
е  =  
1
  тор.  Д емек,
(Vx  £   А ) ( 3 х я  £   Х £)  :  p(x,x«j)  <   1,1  <   s  <  к. 
m a x { p (x i,x
2
) ,p ( x
2
, x 3) , ..., р(х*_і, х*)}  -   К   деп  белгілейміз.
Сонымен
( Э К   >  0) (Vx  £   X )   :  р(х, x s)  <  K , 1   <  s  <  к ,
ягни  центрі  АГе-ж иы ны ны ц  қандай  д а   бір  нүктесінде  орналасқан,  радиусы 
К   -  санына  тец  ш ар    ж иы ны ны ц  барлы қ  элементтерін  қамтиды .  Демек, 
А   -  шенелген  ж иы н.
3 .2 .3   -  с а л д а р .  К ез  келген  компакт  -  сепарабсльді  кецістік.
51

Д ә л е л д е у і.    С  Е   ішкі  кецістігі  компакт  болсын.  п   —>  ос  кезде  s n  —>  О 
үм ты латы н  {£„}  тізбогін  қарастырайық.  К ез  келген  г п  > 
0
  саны  ушін  Аг
ос
ж иы ны ны ц  X Sn  -  ақы рлы   торын  қүрайык.  X   ~   1J  Х Сп  ж ны пы   -  ақырсыз
71=1
саналы м ды   ж иы н.  Осы  ж иы нны ц    кеңістігіие  б арлы қ  жерде  ты гы з  орна- 
ласқан  ж иы н  болаты ны н  көрсетейік.
Ш ы ны нда  да,  кез  келген  с  >  
0
  саны  үпіін  бі})  п  -номері  табы лады   да, 
еп  <  е  тецсіздігі  оры ндалады .  Осымен  катар
(Vx 

Х ) ( 3 х п 

Х Сп 
С  
X )   :  р ( х , х п)  <  s n  <  г.
Б үл  дегеніміз    ж иы ны     кеңістігіне  барлы қ  жерде  ты гы з  орналасқанын 
көрсетеді.
А р  цел  тсоремасы
G  R n  -  п   өлшемді  кеңістігінің  шенелген  түііы қ  ж иы ны   болсын.  C (G )  - 
G  түйы қ облысында үзіліссіз болатын  ф ункц иялар  ж иы ны н  қарасты райы қ. 
X   осы  м етрнкалы к  кецістіктіц  қандаіі  д а  бір  ішкі  кеңістігі  болсын.  Қандай 
ш арттар  оры ндалган  кезде    кеңістігі  компакт  болады  деген  сүрақ  туады. 
Б үл  сүраққа  Арцел  теоремасыныц түж ы ры мы   жауап  береді.
3 .2 .5   -  а н ы қ т а м а .    кецістігінде  ж атқан  ф ункц иялар  бірцалыпты  ше- 
н ы г е н  деп  аталады ,  сгсрде  барлы қ  <})ункцпялар  ушін  бір  С   > 
0
  саны  табы- 
лып,  V x(t)  Е  X   үшін  \x(t)\  <  С,  'it  G  G  болса.  Ягни    ж и ы ны нд а  ж атқан 
ф ун кц и ялар бірқалыптьі шенелген болады,  егер А" ж иы ны   C (G )  ксцістігінде 
шенелген  ж иы н  болса.
3 .2 .6   -  а н ы қ т а м а .    кецістігіпде  ж атқан  x ( t)   ф упкциясы н  бірцалыпты 
үзыгссіз  фгуикиия деп  атайды,  егерде
(Ms  >  0)(3б  =   6 ( s ) ) ( V t \ t "   :  p0 ( t \ t " )   <  8)  :  pc ( x ( t ') , x ( t " ) )   < 
е
.
А р ц е л   т е о р е м а с ы .    С  C (G )  ішкі  кецістігі  ком пакт болу  үшін   жиы- 
нындагы  ф ун кц и ялар  бірқалыпты  шенелген  жәнс  бірқалыгггы  үзіліссіз  бо­
луы  қаж етті  жәпе  ж еткілікті.
М ы с а л .
  =   { x ( t)  

C'[a,b\  :  x ( a )  =   xq.  |x'(£)|  <   m },
барлы қ  x ( t)  ф ун кц и ялары   үіиін  осы  ж иынныц  ком пакт  болуын  корсету  ке­
рек.
Д э л е л д е у  і.

1
)    ж и ы ны нд а  ж атқан   ф ункц ияларды ц  бірқалы пты   шенелгендігін  көр-
t
сстойік.  (V:с(£)  G  X )   =>  x (t)  = 
xq
 +   f  x '( s ) d s   болады.  Осыны  ескерсек.
о
| * ( 0 1
  ^   Ы   +  т(Ь  -   а)  =   К ;
(Э К   >  0 ) ( \ ‘x (t)  G  X ) ( V t   <Е  [а. 
6
])  :  |ж(£)|  <   К   =)>  .
Демек,  X-TCi'i  ф ун кц и ял ар  бірқалы пты   шенелген.
2
)  Аг  кецістігінде  ж а тқ ан   (функциялардыц  бірқалы пты   үзіліссіздігін  көр- 
сетейік:
(Ve  >   0 )(35  =   5 (e))(\'t': t"  G  [a, b]  :  |t'  -   i"|  <   6)  : 
t‘
|x ( t V .T ( O I  
=
1
t"
І."
/>
/  
x ' ( s ) d s  
J
=
/  
x ' ( s ) d s  
J
<
 
<   £
0
V
Сондықтан.  Арцел  теоремасы  бойынша    ж и ы ны   -  компакт.

Каталог: bitstream -> handle -> 123456789
123456789 -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
123456789 -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
123456789 -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
123456789 -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
123456789 -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы
123456789 -> Қр президенттік мәдениет орталығының кіші ғылыми қызметкері
123456789 -> Адам қҰҚЫҚтары жүйесіндегі білім алу қҰҚЫҒЫ
123456789 -> Бейбітшілік бақЫТҚа бастайды
123456789 -> Г.Қ. аЙҚынбаева оҚуШылаРДыҢ беЙІнДІк ҚабІлетІн аныҚтауДа психологиялыҚ- пеДагогикалыҚ ӘДІс-тӘсІлДерді қолДануДыҢ еРекШелІктеРІ
123456789 -> Артыкбаев Ж. О. «Қозы көрпеш – Баян сұлу» Жаратылыс құпиялары туралы жыр


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет