Л. Н. Гумилев атындагы ЕҮУ, 2007. ~ 102 б



жүктеу 2.98 Mb.
Pdf просмотр
бет5/6
Дата06.03.2017
өлшемі2.98 Mb.
1   2   3   4   5   6
§6.  Гильберт  кеңістігі
6.1.  Гильберт  кеңістігіндегі  қатар  үғымы
6.1.1  -  анықтама. 
Т олы қ  скаляр  көбейтінді  аны қталған  сызықты 
кеңістікті  гилъберт  кецістігі деп  атайды   жәпе  оны  Н   деп  белгілейді.
6.1.1  -  мысал. 
п  -өлш емді  Е вклид  кецістігі  -  то л ы қ  кеңістік.  Сондықтан, 
ол  гильберт  кеңістігі  болады.
ОС
6.1.2
 
-  мысал. 
І
2
  =  
{х   =
  {£і, $2; •••> 
•••}  :  Е  
£і
  <   ° 0 } 
‘  то лы қ 
СЫЗЫҚТЬІ
і
= 1
кеңістік.  яғни  гильберт  кецістігі.
69

Д әлелдеуі.
1
)  Іо  кецістігініц  элсменттерінен  тураты н  {жп}  =  
...}  -
ф ундам ен-тальды   тізбок  берілсін,  ягни
(Уе  >   0)(3A ri)(V n , т   G    :  п , т   >  Лгі)  :  ||х я  -   жт ||  <   е  <=$>
00
(32)
к
= 1
М ы кандай  айы ры мны ц  модулін  қарасты райы қ:
| f (,.+ P)  _   t- W ,   <   { f -  
=   ||.T ii+ p   _   X m ||. (3 3 )
Ik=]
(32)  теңеіздіктен  (ЗЗ)тсцсіздікті  ескеріп,  мынаны  алам ы з
(Vc  >  0)(3Ari)(V n  :  n   >  N i )(Vp 
6
  N )   :  \ ^ l+p)  -  ^ n)|  <   e.
Бұл  ф ундам ентальды   тізбектің  анықтамасы  бойынш а  орбір  бекітіліп  алы ­
нган  к  номері  үшін    нақты   сандар  ж иы ны нда 
ф ундаментальды
тізбекгін  аны қтайды ,    -  толы қ  кеңістік  болгандықтан,  әрбір  бекітіліп  алы­
нган  к  номері  үшін 
тізбектің  шегі  бар,  ягни
3  lim
п - >  ОС
2)  Осы  ^
  нақты  сандардан  тураты н 
 
* 0
  тізбегін  қарастырай- 
ық.  Енді  П’о  элементінің 
1-2
 
кеңістігінде  ж ататы нды гы нан,  lim  
х п 
 
екен-
П-+
0
с
дігін  көрсетсйік.  Һ  кеңістігініц  элемепттерінен  түраты н  {ж,,}  тізбегі  ф унда­
ментальды  тізбек  болгандықтан,
(Уе  >  
0
)(ЗЛ г1)(Уп  :  п   >  Агі)(Ур  €  N )   :  ||х'п+р- х п||  =  
\ ^ 1+р)  -  
^ п ) | 2
 j   <   £
Бүдан  Уrn  номері  үшін
{ Х > Г Р )- ^ І
2
У < * -  
(34)
(34)  тецсіздігінің  екі  ж агы нан р  —> ос  кездегі  шегін  табайық:
“5 , 1
Е
- ^ і * } ’  < £ 
(
 
І Г ' !  -  і ?
А ’  <«=►
р-юо 
*—J
 


і
<
ч k—l 

\к=  
1
70

<  
£
(35)
кез  келген  п   >  Лгі  номері  үшін.  Енді  (35)  теңеіздіктіц  екі  ж ағьш ан  т   -*■  со 
кездегі  шегіп  табайық:  бүл  ж агд ай д а  (Vn  >   N \ )   үшін
Д емек,  кез келген п   >  N \   иомері үшін  х п 

x q
 
£   12  боладыло жопе  |)яп —жоіі  <  
£.  Бүдан  Х(j  =   х п  +   (.т
0
  — х п)  £  1о  болады.  Өйткені  І
2
  -  сы зы қты қ  кеңіетік. 
Сонымен  Ж()  £  1
2
  ж атады ,  ж эне  lim   x n  =  
x q

Д ем ек, 
/ 2
  -  толы қ  сызықты
кеңістік,  ягии  гильберт  кеңіетігі.
Ескерту. 
!,К ез  келген  гильберт  кеңістігі  -  банах  кеңіегігі"деген  кері  ту­
ж ы ры м  дүрыс  емее.
Н   гильберт  кеңістігіпің элемеиттерінен  түраты н 
тізбегін  қарасты-
райық.  Осы  тізбектің  элементтерінің  қосындысынап  қүралган  ф орм альды қ 
қосындыны  гильберт.  кецістпігіндегі цатар деп  атайды   жәпе  оиы  былай бел- 
гілейді:
S n  =  
+ Х
2
 - г .. +  х п  өрнегін  (3G)  қатарды ң  дарбес  цосыпдысы деп  атайды.
6.1.2 
-  анықтама. 
Егер  (36)  қатарды ң  дербес  қосындысынан  қүралган 
{5„}  тізбегі осы  Н   кеңістігінде ж и н ақтал аты н   болса,  онда  (36)  қатарды  жи- 
пакты цатар деп  атайды .  ал  { 5 Г1}  тізбекгінің шегі осы  цатардыц  цосындысы 
деп  аталады   жоне  оны  былай  белгілейді:
6.1.2’  -  анықтама. 
Егер  {.т*,.}  тізбегініц  элементтерінің  нормаларынан
қүры лган  қатар ж и нақталаты н  болса,  ягни  Е   llx fcll  <   ° °:  онда  (36)  қатарды
абсолютті  ж ииацт алат ы и  цатар ден  атайды.
6.1.1 
- теорема  (Коши критерий!). 
Я  -гильберт кеңістігінде (32)  қатар 
ж и нақталуы   үшіи
(36)
ОО
00
k= 
1
п+р
(Ve  >   0)(3A ^)(V n  :  n   >  JVi)(Vp  G  N )   : 
x k  < £  
(37)
k=n+ 1
71

ТСЦС13Д1Г1НЩ  о р ы н д а л у ы  
қаж етті  және  жеткипкті.
Д әлелдеуі.
Қажетті,  шаргп.  Н   гильберт  кецістігінде  (36)  қатар  ж и нақталаты н  бол­
сын.  ягни
lim   S n  —  S   =*>  lim  R n  —  0  &
(Vs  >   0)(3A ri)(V n  :  n   >  Ar1)(Vp  G  N )   :
n + p
£ * *
<   £.
Ж ет кілік гпі uiapm.  (37)  ш арт орындалатын болсын.  S n деп  (36)  қатарды ң 
дербес  қосыидысын  белгілейік.  Сосын  мынандай  нормапы  қарасты райы қ:
jj'S'n+p 
'  
5
п |і 
—   І ! ( ж і   +  
Х о
  4 "   •••  " I  
Х п
  - Г   ® іг + 1  
”Ь 
•••  4 "  
% п-і-р
 
* 1  
* 2  
• ••  ' 
* ? і ) ! і   —
=   ||*п
+1
  4* *h
+2
  4*  •••  "Ь ®п+р|
О лай  болса,
і 
п + р  
\
£ * *
U=n
+ 1
(Ve  >   0)(3JVi)(Vn  г  п   >   Л
6   N ) :   !|S„+P  -   S„||  =
£ * *
Jt=n+1
е.
Д емек,  { S n}  -(36)  қатарды ң дербсс  қосындыларынан  тураты н  тізбек  -  ф ун­
дам ентальды   тізбек.  { S ri}  тізбегіиің  элеменггері  гильберт  кеңістіктіц  эле­
менттер!,  ал  гильберт  кеңістігі  толы қ  банах  кеңістігі  болганды қтан.  оның 
шегі  бар  болады.  жоне  ол  осы  кецістіктің  өзінде  ж атады .  О лай  болса, 
6
.
1 . 2
-  аи ы қтам а бойынш а  (36)  қатар  -  ж инақты   қатар.
Вейерш трасс  леммасы. 
Гильберт  кеңістігіндегі  кез  келген  абсолютті 
ж и пақталаты п  қатар  ж инақталады .
00
Д әлелдеуі. 
Л ем м аны ц  ш арты  бойынша  Е   х к  қатары   абсолютті  жи-
к
=1
нақталады .  О нда 
6
.
1
.
1
-теоремасы  бойыпша
(Ve  >   0)(3A ri)(V n  G    :  п   >  N \)(V p   G  N )   :  ] T
n+p
£
k= n-\
 -1
<   e;
П+/7 
£
к—п. ~f* 1
n+p
ІС—П
+ 1
болгандықтан.
(Ve  >  0)(3A ri)(V n  E  N   :  n   >  Arx)(Vp  G  A')  :
£
k=n
+1
Xk
<  £.
72

оо
Б ул  6.1.1  -  теорема  бойынш а  Е   х к  қатары   ж и н ақталады   дегенді  білдіроді.
к
= 1
6
.
1 . 2
 -  л е м м а .   норм аланган  кеңістігінде кез келген абеолю гті ж и нақта- 
латы н  тізбск  ж н н ақтал аты н   болса,  онда  осы  нормаланган  кепістік  -  Бан ах 
кецістігі.
Д ә л е л д е у і.    норм аланган  кеңістігінің  элементтерінен  тураты н  (фунда­
ментальды  {®п}  тізбегін  қарасты райы қ.  Осы  тізбектің  L  кеңістігінің  қандай 
д а б ір  х  элементіне ж н н ақталаты н ы н  көрсетсйік.  х п-тізбегі ф ундаментальды  
тізбек  болгандықтан,  \\хкі\\  <  
|j®fcn  -  
(Vn  >  
2
)  тсңсіздіктерін
қанагаттанды раты н  тізбекш есі  табы лады .  Осы  тізбекш еніц  элемепттерінен 
қатар  қурайық:
00
х кі  +   { х ь   -  
Х к і ) 
+   ...  +   ( х к„  -   .TjfenJ  +   ...  =   х һ   +   Ү ^ { х кгі  -  
Х к л_ х) .  
(38)
п—1
Бул  қатар  абсолютті  ж н н ақтал ад ы ,  ойткені
а)  (Vn  >   2)11®/.,  - х кп_г \\  <
00
б)  Е   ^   '   ж н н ақталады .
п=1
Бул  Вейерштрасс  теоремасы  бойынш а  (38)-қатарды ң  абсолю тті  ж инақта- 
латы ндьн’ын  корсетеді.
Сондықтан,    кецістігінен  (38)-қатарды ң  дербес  қосы нды лары нан  тура­
тын  { S n}  тізбегі  ж и н ақтал аты н   х   элементі  табы лады ,  ягнн  lim   S n  =  х
п—>оо
S n  —  х к  болғанды қтан,  lim   х кг  =  х.  Демек.  ф ундам ентальды   х п  тізбе-
П-Ю
0
г іііің
 
х кп  тізбекшесі  -  ж н н ақтал аты н   тізбек.  Олай  болса,  х п  тізбегіиің өзі  дс 
3.1.1-леммасы  бойынш а  ж и н ақталады ,  жәнс  lim   х п  =   х   €   L.  Демек,  L  -
п-* ос
Б ан ах  кецістігі.
Н  - ақы рсы з өлш емді  Гильберт кеңістігі болсын.  {Ік}™  Дсп  0СЬІ  кецістіктіц 
элементтерінен  тураты н   сы зы қты   тәуслсіз  ж уйені  белгілейік.
6 .1 .3   -  а н ы қ т а м а .  Егер  Н   Гильберт  кецістігініц  кез  келген  х   элементі
ОС
X  =   ^ 2  Ы к  
к
= 1
ж и нақталаты н  бірмәиді қатар турінде ж азы л аты н  болса,  онда 
сызы-
қты   тоуелсіз  элем енттер  ж уйесіп  осы  кеңістіктің  it  базисы  ден  атайды. 
С ъ б ь •••>&;>  •••  -  скал ярлары н   х   элемептінің  \ 1к}  базисы  арқы лы   аны қталгаи 
it  коордннаталары   деп  атайды .
Сонымен  ақы рсы з  олш емді  кеңістіктегі  базис  аны қтам асы   -  ақы рлы   ол- 
шемді  кеңістіктегі  базис  угы м ы ны ц  ж алпы лам асы .
73

ОС
6
.
1 . 2
  -  м ы с а л .    =   {;х  =   ( & ,
6

:  £   j
6
jp  <   oo
, 6
  G  7?},p  >  
1
.
t=i
кеңістігінде  ejt  =   {£jfci}~i,  <5ь'  =   |   J   
элементтоР
і п е і 1
  тураты н  жуйе 
базисты  анықтайды.
Ш ы ны нда  да,
ОО 
ОС 
0 0  
ОС
к
= 1 
г=-1 
/ ; = 1  
г= г іЧ -1
оо 
оо
Будан  Е   16  -катар  ж и н ақтал аты н   болғандықтан.  п   —г  оо  кезде  Е  
1
б | ;; 
і
— 1 
г = п - И
00
қатарды ң  қалды ғы   полге  умты луы   керек.  О лай  болса,  х   =  
6
ef  кдтар
i
= 1
турінде  ж азу га болады.
Енді  осы  ж азы луды ң  біреу  болатындыгын  көрсетейік:
0 0  
ОС
* = « < ) r   =   E & e‘ =   £ & <   =   ( $ ”  
і = 1  
2 = 1
00
болғандықтан,  х  =   £  £,-е?  ж іктелуі  тек  қана  біреу  болуы  керек.
»=і
L   -  нормаланган  кеңістіктің  элементтерінен  тураты н  { х а}  элементтер 
ж уйесі  берілсін.
6 .1 .4   -  а н ы қ т а м а .  {.та }  элементтер  жүйссінің  барлы қ  мумкін  болатын 
элементтерінің сы зы қты   комбннацнясынан қуралган ж иы нды  х а элементтер 
ж уйесінін  сызыкпіы  цабыгы  деп  атайды.
6 .1 .3  

м ы с а л . 
C[a,b] 
кеңістігініц 
элементтерінен 
тураты н
{ 1
 , t , t 2, 
...} 
элементтер  жуйесін  қарасты райы қ. 
Осы  жуйеніц
сы зы қты қ  қабығы  барл ы қ  мүмкін  болатын
Ң*) = J2Ckfk
k
көпмүшеліктерінен  тураты н  ж иы нды   қурайды.
С ы зы қты қ  қабы қ  сы зы қты қ  кеңістікті  анықтайды.
6 .1 .5   -  а н ы қ т а м а .  {жа }  элементтер жүйссі  L  нормаланган  кецістікке  бар- 
лыц  жерде  тыеыз  ориаласцан деп  аталады ,  егер    кеңістігінің  кез  келген  х  
элементін  кез  келген  дәлдікпен  {жп}  элементтерініц  ақы рлы   сызықты  ком- 
бинациясы  арқы лы   ж азу га  болатын  болса.
74

Б асқ аш а  ай тқан да,  {.г’и}  элементтер  жүйесі    кецістігіне  барлы қ  жерде 
ты гы з  орналасқан,  егер  опың  сы зы қты қ  қабыгы  осы    кеңістігіне  барлы қ 
ж срде  ты ғы з  орналасқан  болса.
6 .1 .4  
-  м ы с а л .  К ез  келген  [а, 
6
]  кесіндісінде  үзіліссіз  ф ункцняны   кез  кел­
ген  дәлдікпен  ал геб ралы қ көпмүш еліктер  арқы лы   С'[а, b]  кецістігінің норма­
сы  бойынша  ж у ы қ тау га  болады  (Вейерш трасс  теорем асы ),  ягни
(Ve  >   0){Vx(t)  £   C[a,b)){3p(t)  £  P [a,b])  :  \\x  -  p (t) ||c [a,b]  <   s.
Д емек.  P[a. 
6
]  =   C [a, b).
6.2 . Н ү к т е д е н   т ү й ы қ   д ө ң е с   ж и ы н ғ а   д е й ін г і  а р а қ а ш ы қ т ы қ
Нүкт еден  һикі  кецістіккс  дсйіигг  арацашыцтыц
Н   -  Гильберт  кеңістігіпің  элементтерінен  түраты н  М   ж иы ны н  жэне  осы 
ж иы ні'а  ж атпайты н  кеңістіктіц  қапдай  д а  бір  х   нүктесін  қарасты райы қ.
х   нүктесінсн  М   ж п ы н га  дейінгі  арақаш ы қты қты   р ( х , М )   =   in f  ||ж  — и\\
■ием
деп  белгілейқ.
6
.
2 . 1
  -  л е м м а .  Егер  х   £  М   болса,  онда  р ( х , М )  =  
0
.  Е гер  х  
М   және 
М   -түйы қ  ж иы н  болса,  онда  р(х, М )  >  
0
.
Д ә л е л д е у і.
а)  Егер  х   £   М ,   онда  и   —  х  
=>  ||и  — ж||  =   0  =>  р (х , М )  =   0;
б)  М   -  түйы қ  ж иы п  болсын  ж әне  х   (£  м .   К ері ж ориы қ,  р(х, М )   =
Оболсын.  Д әл  төменгі  ш екараны ц  аньтқтамасы  бойынш а
(Vn  £   N ) { 3 u n  £  М )   :  ||ж  — « п||  <
Осыдан
lim   ІІж  — и п \\  <   lim   — =  
0
  <£>  lim   ІІж  — u n ||  =  
0
 
lim   u n =  
x.
П - 4 0 0  
П - Ю С   П  
П - » CO 
71—> 0 0
M   -  түйы қ  ж иы н  болганды қтан.  x   £   M .   Екіііш і  ж агы нан ,  х   £   М .   Бүл
-  қайш ы лы қ.  А лы нган  қай ш ы лы қ  р{х, М )   Ф  0  екендігін  көрсетеді.  Демек, 
р(х, М )   >  0.
6
.
2 . 1
  -  т е о р е м а .  Егер  Н   -  Гильберт  кеңістігінің  М   ішкі  ж иы ны   түйы қ 
дөңес  ж иы н  болса,  ж әне  х   £  М ,   онда  М   ж иы ны нан
р { х , М )   =   IIу  -  я?[j 
тендігін  қан агаттанды раты н  ж ал гы з  у   элементі  табы лады .

Д ә л е л д е у і.  х   £   М  болғандықтан, 6.2.1 - лем м а бойынш а d  =   р { х ) М )  >   0. 
Сондықтаи  г?г/-ның  анықтамасы  бойынша
(3 и п  £  М )   :  d  <  \\х  -   иігII  <   d +  
(39)
п
Осылай  табы лған  {ггТІ}  тізбегінің  ф ундаментальды   тізбек  екенін  корсетейік. 
Ол  үшін  (х — и п)  және  (х - и т )  деп  нараллелограм ны ң қабы рғалары н  алын, 
осы  параллелограм ға  параллслограм  теңдігін  пайдаланам ы з:
*  -   и
/
\
dl   =  х   ~   Х1"  + х ~   и »»  =   2х   ~ и * -   и ’п
d
‘2
  —  х  
и т 
х  -f-  ип  —  и п
X  -   Um 
ЯГНИ
2)1®  -   «nil
2
 
-I- 
2 ||z   -  u
7„ | | 2
  =   \\un  -   u m 
| | 2
  +   || 2®  -   Un  -   u m 112. 
(40)
  -  дөңсс  түйы қ ж иы н  болгандықтан,  -■ц-| Уг’-  £   М .   Осыны  ескеріп, 
р х   -  и„  -  
« „ , | | 2
  =   4)1® -  
>   4d2.
(39)  теңсіздіктен
| | x - u „ | | 2 < ( d  +  i j 2,  \\x - u , „ f < ( d  +  L ) 2
екендігін  алам ы з.  Осы  теңсіздіктсрді  ескеріп,  (40)  тендіктен  мынаны  ала­
мыз:
||« и- « т | |   =   2 \ \ х - и п\\2+ П х - и т\\2- Ц х - ^ ± ^ - \ \ 2  <   ( d + i ) + 2 ( d + - ) - 4 r f
2
  =
I  
п  
т
d 
d 


8
d +  4
—  —•  Н-----------------
1
 
j  -t-
2
  <   — Г’ 
:
n  
 
r r  
r r r  
A i
егер  Vn, m   >  N \  болса.  Сонымен 
Sd 4- 4
(Ve  =   ——— )(3A ri)(Vn, m   £   N   :  n , m   >  N \)   :  ||u„  -   u m||  <   e.
- u
Д емек,  { u n}  тізбегі  -  ф ундам ентальды   тізбек.    -  толы қ  кецістік  болғанды- 
қтан,  {и п}  ф ундам ентальды   тізбегі  осы  кеңістіктің  қандай  д а  бір  у  элемен- 
Ti 
не  ж и нақталады ,  ягни 
l i m  
u n  =   у.  M   тұйы қ  ж иы н  болгандықтан,  у  £  М .
П-* СО
Енді  (39)  тецсіздіктіц  екі  ж агы нан  ш ектіц  монотондық  қасистін  ескеріп, 
шекке  көшсек:
d  <   lim   ||ж  -   itn ||  <   d =Ф-  d  =   ||ж  — t/||.
76

б) 
у  элементінің  ж алғы з  екенін  көрсетейік.  Kepi  ж ориы қ.    =   inf ||х  — 
у\\  тендігін  қан агаттанды раты н  тагы   бір  у*  элементі  бар  болсын.  ягни  d  =  
in f \\x  -  y*||.
П араллелограм  теңдігі  бойынш а
4с?  =  2 \ \ х - у \ \ 2+ 2 \\х -у * \\-  =   \\у -у * \\2+ Ц х - У
Ц  >   \\y -y* \\+ 4 d 2 
||у -у * ||  =   О
. . 
*
**  У  =   У  •
Я 3- үш өлшемді Е вкли д кецістігінде 0 нүктесі арқы лы  өтетін  а   ж азы қты ғы  
ж әнс осы  ж азы қ ты қ қа ж атп ай ты н  р нүктесі  берілсіп.  О нда осы  а  ж азы қты -

у
гы на  ж ататы н  бір  р'  нүктесі  табы лады   да,  d  =  \рр'\  саны  а   ж азы қты гы нап 
р  нүктесіне  дейінгі  арақаш ы қты қты   аны қтайды .  рр'  түзуі  а   ж азы қтьнъш а 
перпендикуляр  ориаласады .  О сындай  айгақ  кез  келген  Гильберт  кеңістігін- 
де де орындалады.    С  Н   ж и ы ны н  ҒІ  кеңістігінің ішкі  кецістігі  деп  атайды, 
егер  де  ол  түйы қ  сы зы қты   болса.
  -  кецістігі    -Гильберт  кеңістігінің  ішкі  кеңістігі  болсын.  Демек,  L  - 
түйы қ  сызықты  көибейне.  х   G  Н ,  бірақ  х   (£  L  болсып.  х   нүктесінен  L  ішкі 
кеңістігіне дейінгі  ар ақ аш ы қ ты қ   деп  d  =  inf  j|;c  — и\\  санын  айтуга  болады.
xi
К ез  келген  ішкі  кеңістік  түй ы қ дөңсс  ж иы н  болгапды қтан,  6.3.1  -  леммадан 
мынадай  салдар  ш ыгады:
6 .2 .1   -  с а л д а р .  L   С  Я -іш кі  кецістігіпен
d  =  inf  I) ж  — и ||
u&L
тендігін  қанагаттанды раты н  ж алгы з  у  элсменті  табы лады ,  ягни  с/-саны  х 
нүктесінен  L  іш  кецістігіне  дейіигі  арақаш ы қты қты   аны қтайды .
6
.
2 . 2
  -  т е о р е м а .  Егер
Ik   -  
2/11
  =   Р(х : L )
болса,  онда    — у)  _L    болады.
Д ә л е л д е у і.  х-у  элементі    ішкі  кеңістігіне  перпендикуляр  деген  сөз  L 
ішкі  кецістігінің  кез  келген  һ   элементі  үшін    — у, һ )  — 
0
  дегенді  білдіреді. 
Осыиы  көрсетейік.  А  саны  кез  келген  комплекс  сан  болсын.  онда  AҺ  6  L. 
Сопдықтан,  дәл  томенгі  ш екараны ң  аны қтам асы   бойынш а
\\х  - у  +   А/г||  >   |]х  -  у (I  =   d.
Олай  болса,
(ж—y + Х Һ ,х —у+ХҺ)  >  ( х —у , х —у)  =Ф-  A (/i,х —у ) + Х ( х —у, Л,)+АА||/і
| | 2
  >   О 
(*).  А  =   — Ціттіг^  деп  алайы қ.  О нда  (*)  тізбегінен  мынаны  аламыз:
{ х
  -   у , 
Һ ) ( х   -
  у , 
һ )
  _  
( һ , х -
  у)(а?  -  
у , һ )
 
|(.т  -  
у , һ
) |2 
Ц/.Ц2 
ЦЛ.Ц2 
+  
||/г.||2 
"
77

=> 
=  
0
  ^   К*  “   У* ҺУ\2  =   0 & { х -   у, һ)  =  
0
.
6 .2 .2  
-  с а л д а р .    С  Я   іш  ксцістігі  бсрілсін.  О нда  Гильберт  кецістігінің 
кез  келген  х   элементіп
х
 = 
у
 + 
г,
мұндағы  у  е   L.  z  ±   L,  түрінде  ж іктеп  ж азуга болады  ж әне  ол  ж алгы з.
Д ә л е л д е у і.    іш кі  кеңістігінің  кез  келген  элементін  у ден  белгілейік.  Он­
д а   Гильберт  кеңістігінің  кез  келген  х   элемснтін
х   =   у +  
(х 
-   у ) ,   у
  G 
L
түрінде  ж іктен  ж азу га  болады.  х   — у  —  z   деп  белгілейік.
а)  Егер  х 

L,  онда  у  =  Ө  деп  аламыз.  Бул  ж агд ай да  х   =   Ө  +   (х  —  Ө). 
мундагы  х   —  Ө±Ь.
Ш ы ны нда да,
(0, х   —  Ө)  =  (Ө, ж)  — (Ө, Ө)  =   0.
демек,  Ө ± х  —  Ө.
б)  Егер  х   ({:  L,  онда  G.2.2  -  теорема бойынша
р { х ,Ь )   =  Цж-г/Ц
тендігін қан агаттанды раты и у элементі табылады ж эне x —y L L .   Сондықтан, 
Vx  элементін  х   =  у +    — у)  түрінде  ж іктеп  ж азуга болады.  х   =   у  +   (х  -  у) 
ж іктеуіндегі  у  элементін  х   элементінің  L  ішкі  кеціетігіне түскен  проекциясы 
деп  те  атайды.
6.3 .  О р т о г о н а  л ь   т о л ы қ т а у ы ш .
Я   -  Гильберт  кецістігініц  қандай  д а  бір  сы зы қты қ  көпбейпесін    деп  бел- 
гілейік.
6 .3 .1   -  а н ы қ т а м а .    көпбейнесіне  ортогональ  болатын  Я   -  Гильберт 
кеңістігінің  элементтерінен  тураты н  ж иынды    сы зы қты қ  көпбейнесіне  ор­
тогональ  толыцтауыш  оісиын  деп  атайды  және  оны  L 1  деп  белгілейді.
6 .3 .1   -  л е м м а .  L
1
  ж ны ны   Гильберт  кеңістігінің  ішкі  кеңістігін  анықтай- 
ды.
Д ә л е л д е у і.
1) 
L 1  -  сы зы қты қ  кеңістік  болатынын  көрсетейік.  (V^i, Z
2
 

L
1
)(Ai, A
2
 
G 
С)  :  A
+   X
2
Z
2
  =   z   элементін  қарасты райы қ.  Vy 

  үшін
{ \ l Z i + \
2
Z
2
i y )   =   { X i Z
1
, y )  +  ( \
2
Z
2
, y )   =   M { z u y ) + \
2
{ z
2
, y )   -  
^
78

Олай  болса,  Лі^і  +  А о^  =   z  Е  L 1 .  Сонымен  L 1  -  сы зы қты қ  кеңістік.
2

L 1  -  тү й ы қ  ж иы н  болаты ны н  көрсетейік.  L 1  ж иы нны ң  элементтерінен 
тураты н  лг  нүктесіне  ж и н ақтал аты н   {.г?1}  тізбегін  қарасты рай ы қ,  яғни
lim   z n  =  z.
П -*
 oo
Енді  осы 
2
 элемснтінің 
L 1-  ж и ы ны нда  ж ататы ны н  көрсстейік. Ол 
үшін  L 1
ж иы ны нда  ж атпайты н Гильберт  кецістігінің  у  элементіп ал ай ы қ  та,  г-пен
у-тъщ  скаляр  көбейтіндісін  қарасты райы қ:
(z, у)  =   ( lim  z r, , y )   =   lim  (zn, y)  =   lim  
0
  =  
0
.
n-±
0
С 
n->CC 
Ji
—>00
Демек.  z 
6
  L 1 .  Сонымен  L 1  -  түйы қ  сы зы қты қ  кеңістік.  Сондықтан,  ол 
Гильберт  ксцістігініц  ішкі  кецістігін  апықтайды.
6 .3 .1   -  е с к е р т у .  Егер    Гильберт  кецістігіиіц  іінкі  кеңістігі  болса,  оида 
L 1  ж иыны  д а   Гильберт  кеңістігінің  ііикі  кеңістігі  болады.
6 .4   Г и л ь б е р т   к е ц іс т іг ін д е г і  Ф у р ь е   қ а т а р ы
М атематиканыц  кейбір  бөлімдерінде  және  оларды ц  қолданы латы н  сала- 
лары нда  төмендегідсй  геом етри ялы қ есеп  жиі  кездеседі.
Е с е п .  L  -норм аланган  кецістіктіц  а  нүктесіне  ж ақы н  орпаласқан  ішкі 
кеңістігін  табу  керек.
  Гильберт  кецістігі  болганда,  бүл  есептіц  ж ауабы н  келесі  теореманыц 
тұж ы ры м ы   береді.
Н   Гильберт  кецістігінің  элементтерінен  тураты н  ортонормаланган  {е*.} 
элементтер  жүйесі  арқы л ы   аны қталган
ОО
Ок<'к
 
(41)
қатары н  қарасты райы қ.
6 .4 .1   -  л е м м а .  Е гер  (41)-қатар  Н   -  Гильберт  кецістігініц  /   элементіпе 
ж и н ақтал аты н   болса,  ягни
ОО
f   =   ^ а кек) 
(42)
к—І
онда  (41)-қатарды ң  аі  коэф ф ициенті  бірмәнді  ( / ,  е*)  скал яр   кобейтіндісі 
арқы лы   аны қтал ады ,  яғни
оц  =   ( / ,  е,-),  і  =  
1
.
2
,...
79

Д э л е л д е у і.  Л ем м аны ц  ш арты  бойынша  (41)-қатар  ж и нақталады .  Сон- 
ды қтан.  скаляр  көбейтіндініц  қасиеті  боііымша
00 
00 
00
(/>-*)  =   О С  аквк' еі)  =   Ү ^ ( а кек ^ і )   =  ^ 2 а к{ек :еі)  =   щ . 
к —1 
к
= 1 
к
- 1
6.4.1  -  лем маны ц  тұж ы ры м ы нан  мынандай  қорытынды  ж асауга  болады.
Н   -  Гнльберт  ксцістігінде  ж атқан   кез  келген  /   элементіне  коэфф ициенттері
00
Q't  =   ( / ,  е,)  формуласы  арқы лы   аны қталган  £   a ^ k   қатары н  сәйкес  қоюга
/:=1
болады.
6 .4 .1   -  а н ы қ т а м а .  К оэф ф ициенттсрі
=   ( / >  
е і )
формуласы  арқы лы   аны қталган  (41)-қатар  Н   -  Гильберт  кецістігініц  /   эле-
ментіне  сәйкес  келетін  ф орм альды   Фуръе  к/ітары  деп  аталады .  және  оны
00
былай  дегі  белгілейді:  /  
Е  
а кСк-
А=1
ск,-  коэфф нциспттерін  {е }  ортоиормаланган  жүйе  арқы лы   аны қталған 
Фурье  цатарьтыц  коэффициспгптері ден  атайды.
Қ ай  уақы тта ф орм альды   Ф урье  қатары   Я   Гильберт  кецістігінің нормасы 
бойынш а осы кецістіктіц қатарды  тудыратын элементіне ж н нақталады  деген 
сүрақ туындайды.
Б үл  сүраққа 
жауап 
бермес  бүрыч  тагы  бір  аны қтаманы   берейік.
6 .4 .2   -  а н ы қ т а м а .  Егер  Гильберт  кецістігініц кез  келген  /   элемеиті  үшін 
ф орм аль-ды   Фурье  қатары   ж н нақталаты н  болса,  ягни
ОС
f ~ ^ 2 a kek, 
(43)
А=1
онда  {е/.}  ортоиормаланган  жүйесін  Гильберт  кецістігінің  it  ортопорма-
ос
ланган саналымды базисы, ал  J2 
қатарын  /  элементініц  Фурье  цатары,
к=1
ал  (43)-теңдікті  {е/;}  ортоиормаланган  базисы  арқылы  /   элементін  Фурье 
цатарыпа  ж ік т еу деп  атайды.
Осы аны қтамадан  кеііін  ф орм альды   Фурье қатары   ж инақталуы   үшін  {е/;} 
ортоиормаланган ж үйеніц Я  - Гильберт кеңістігінің саналы мды  базнсі екеніп
П
көрссту  ж еткілік-ті.  S n  =  ]T)  a kek  қосындысын  Фурье  цатарыныц  дербес
k=
1
цосындысы деп  атайды.
80

{е/.}  -  ортоиорм аланган  ж үйсніц  Гнльберт  кеңістігініц саналы мды   базисы 
болуының  белгісін  аны қтау үшін  ең алдымен  ф орм альд ы   Ф урье  қатары ны ң 
коэф ф ициенттерінің  қаснеттерін  зсрттейік.
Н   -  Гильберт  кеңістігінің  элементтсрінен  түраты н  {е^}  ортоиормаланган 
жүйесін  жоне  осы  кеңістіктің  қандай  д а  бір  /   элемснтін  қарасты райы қ.
11
Е   Ркек  ақы рлы   қосындысы  арқы лы   Гильберт  кеңістігінің  нормасы  бой- 
а
-=
і
ы нш а  /   элементінің дәлірек  ж уы қтауы н  табу  ессбін  қарасты райы қ.
П
6 .4 .2   -  л е м м а .  S n  -  Ф урье  қатары ны ң дербес  қосы нды сы   барлы қ 
Рк^к
к
= 1
ақы рлы   қосы нды ларды н іпііпдегі  /  элсментінің ең дәл  ж уы қтам асы н береді, 
ягни
П 
П
іпіп У/  -  
0 кек \\  -   II/  -   ^ 2  а *е*Н
/.•=1
 
А
-1
оры ндалады .  Сонымен  қатар
і і / - Х > ^ і
2
  =   іі/іі
2
- І > | .  
(-м)
к
=1
 
к=
1
Д ә л е л д е у і.  С к аляр  көбейтіндінің  қасиетін  найдаланы п,
п 
п 
11
 
п 
п
/ - С
f ~ И>3іеі 
= (f>
 
/) ~ 2  &(/’е»') + S  
М(екі еі) =
к= 
1
 
:=1
 
г
= 1
 
к
=1
  і
- 1
=   ( / , / ) -
2
^
 & ( / , < * ) + ! > *   =   | | / | |
2
+ Е ( А - а 7;)2- ^ 4
  >   | | / | | 2- ] [ > і
А -1 
fc=l 
fc=l 
A-=l 
Jfc=l
Соцгы  теңсіздік  тецдікке  айналады ,  егерде  V/г  :  ,8}:  =   Q-'fc  болса.  Сонымен  /
пен  Е  
аралары и дағы   қаш ы қты қ  өте  ж ақ ы н   болады.  егерде  0к  —  &k 
к
болса,  ягни  Ф урье  қатары пы ң  коэффициента  ец  кіші  минимумды  береді.
і і / - Ё “ ^ і і
2
< і і / - Е
м
2-
А~1 
к=
1
Сондықтан,  /3/.  =   а/,  болганда
ц / - Ё “ *е*іі2  =   ііл і2 - Ё
^  
<45>
к=1 
к
- 1
тецдігі  оры ндалады .  (45)-теңдіктсн
Ё
^ <
11
/
1
|2- 
( « )
А-=1
81

Осы  тецсіздіктің  скі  ж ағы нан  п   —> со  болғанда  ш екке  көшсек:
п
 
00
м 2 = і™ Е  
аі
 =иі/и2 = Е  °*- 
(<17)
*=*1 
к =
 1
(47)-теңсіздікті  Бессель  тсцсіздігі деп  атайды.
(еі, е о , е п)  -  ортоиормаланган  жүйенің  сы зы қты   қабьнъін  Н п  деп  бел- 
гілсйік.  Н п  С  Н .
6 .4 .1   -  с а л д а р .  Гильберт кеңістігінің кез келген /  элементіиен  Н п  кеңісті- 
гіне  дейінгі  арақаш ы қты қ
cP  =   \ \ f \ \ 2 - j 2 a i   =   p \ f , H ’‘)
ф ормуласы   арқы лы   табылады.
Д ә л е л д е у і.  А рақаш ы қты қ  аны қтам а бойынша
Л / ,  н п )  =  11 / -  Ё  
=  II/!!2 -  
4 -
к
= 1 
А-1
6 .4 .2   -  с а л д а р .  Ei'ep  /   кеңістігініц  кез  келген  элементі,  ал  а*-  осы  эле- 
ментіне  сойкес  келетін  Фурье  қатарлары ны ң  коэфф ицненттері  болса,  онда
00
Е “Ы
іяі

к
= 1
теңсіздігі  оры н д алад ы .
6 .5   П а р с е в а л ь - С т е к л о в   т е и д іг і
Н   -  Гильберт  кеңістігінің  элементтерінен  түраты н  {сі;}™=1  ортонорма- 
лані'ан  жүйесін  қарасты райы қ.
6 .5 .1   -  а н ы қ т а м а .  {е*.}  ортоиормаланган  ж үйені  толыц  оісүйа деп  атай­
ды.  егерде Гильберт ксңістігінің кез келген /  элементіне  {е*}  жүйесі  арқылы 
апы қталаты н  Ф урье  қатары   ж инақталаты н  болса.  ягни
ОО
акЧ
к
= 1
теңдігі оры ндалаты н  болса.  Толық ортоиормаланган  ж үйе  Гильберт  кеңісті- 
гініц базисын  аны қтайды .
6 .5 .1   -  т е о р е м а ,  {е^-}  -ортоиормаланган  саналы мды   жүйе  Гильберт 
кеңістігінде  толы қ  болуы  үшін
00
Е “
і
 = 
ііяі

к =
 1
82

теңдігінің  орындалуы  қаж етті  ж әне  ж еткілікті.
Д ә л е л д е у і.
Қ аж ет т ілік.  {е*}  ортонорм алаш 'ан  саналымды  жүйесі  -  Гильберт 
кеңістігінде  толы қ  ж уй е  болсын.  О нда  6.3.1  -  аны ктам а  бойынш а  Гильберт 
кеңістігінің  кез  келген  /   элементін
СЮ
f
  =   2
 
(4 S ) 
k
= 1
бірмәнді  Фурье  қатары   түрінде  ж азу га  болады,  мұндагы 
=  ( / ,  е*).
(48)-тендіктің  екі  ж агы н  /   элементіне  скаляр  көбейтейік:
ОО 
ОС 
с о
{f: Я = (С akCk' Я = 
Я = 
^
k
- 1 
A=1 
fc=l
Ж ст кілік т ілік.  Гильберт  кеңістігінің  кез  келген  /   элементі  үшін
II jr
[|2
E
k=l
тендігі  орындалсын,  ягни
imp = E a‘-
fc=i
/   элементінеп  (ei, C
2
, ..., en)  элементтер  жүйесінің  сы зы қты   қабыгы  Н п  - 
ге дейінгі  арақаш ы қты қты   d n  деп  белгілсйік.  О ида  6.4.1  -  салдар  бойынша
ОО 
0 0  
п  
0 0
dl = 
І І / І І


al ~  ]
C
 
ak = 
ak-
k = l 
k =
1
 
fc=l 
k = n + l
Осы  теңдіктің  екі  ж агы нан  п   —г  оо  үм ты лды ры п,  ш екке  кошсек
00
 
п

 = і™  Е  
<*ь
 = °’d»= іі/ - Е
Jb=n
+1
 
k=l
00
Б үл 
a kek  Ф урье  қатары   /   элементіне  ж и нақталаты н ы н  көрсетеді.  Олай 
к=
1
болса,  6.4.1  -  ан ы қтам а  боііынгпа  {е/;}  -  толы қ  жүйе.
ОО
6 .5 .2   -  а н ы қ т а м а .  J2  а \   =  
||/Ц 2 
тецдігін  Парсевалъ-Сгпеклов  тсцдггі деп 
к=
1
атайды.  П арсеваль-С теклов  теңдігі -  ақы рсы з  өлшемді  кецістіктегі  П иф агор 
теоремасының  ж алпы лам асы .
83

6 .5 .2   -  т е о р е м а .  Гильберт  кеңістігінде ортоиормаланган  ж үйе  толы қ бо­
луы  үшін  Гильберт  кеңістігінде  тек  нөлдік  элемент  {е/.}  ж үйенің  барлы қ 
элементтеріне  ортогональ  болуы  қаж етті  ж эне  ж сткілікті.
Д ә л е л д е у і.
Қ аж ет т ілік .  {е*}  ж үйесі  -  Гильберт  кеңістігінде  толы қ,  ж эне  Гильберт 
коцістігініц д элементі  {е*.}  жүйесніің барлы қ элемснттеріне ортогональ  бол­
сын.  Ягнн  Q-fc  =   (g.Cf,.)  =   0.  k  =   1, 2 ,....  {e^.}  толы қ  ж үйе  болганды қтан,
ОС
а ?-  =   ІІ9ІІ
2
  =*  !Ы
1
  =  
0
  ^ д - Ө .
k=l
Ж е т к іл ік т іл ік .  Гильберт кеңістігінде нолдік  элементтен  басқа  {е/-}  жүй- 
есіне  ортогональ  элем енттер  болмасын.  Гильберт  кеңістігінің  кез  келген  /  
элементін  алайы қ.  О ныц  Фурье  коэффициенттерін  а:/;  деп  белгілейік.  Бес-
ЭС
сель  тецсіздігінен  ^   а \   қатары   ж ннақталаты нды гы   ш ыгады.  Сондықтан, 
it=i
Коши  критериі  бойынш а
n+p
(Ve  >   0)(3iV1)(Vn 
6
    :  n  >  JVi)(Vp  G  N )   :  ] T   a \   <   £2.
fc=n-f 
1
{efc}  ж үйесінің  ортогоиальды гы н  ескерсек:
.2
n + p
 
r 4 
n + p
E
v—v 
о 
о
ak6k 
=  2 ^  
<  e  • 
k = n + l
 
j
CO
Бүдан 
ay-Ck  қатары ны ң ж инақталаты иды гы   ш ыгады.  Я   -  то л ы қ  кеңістік 
fc=i
болганды қтан,
OO
/   =  
a ke k . 
к— l
Г и л ь б е р т   к е ң іс т іг ін д е г і  и з о м о р ф и з м
6 .5 .3   -  т е о р е м а .  С аналы м ды   базисы  бар  кез  келген  Гильберт  кеңістігі 
/2
-  кеңістігіне  тең  түриатты   (изоморфты)  болады.
Д ә л е л д е у і.  {ejt}  жүйесі  Я   -  Гильберт  кеңістігінің  саналы мды   ортонор- 
маланган  базисы  болсын.  Онда  Я   кедістігінің  кез  келген  /   элементін  жи- 
нақталаты н  Ф урье  катары   түрінде  ж азуга  болады:
ОС
  ^
к=1
84

мундагы  сек  =   ( / ,  е*),  A:  =  
1
.
2
.....  Y ,   a'j.  <  oo  болғанды қтан,  J ( / )   ф ункция-
fe=i
сын  бы лай  аны қтайы қ:  ./  :  Я   —> 1-2,
ОС
Л Л   =  
=   ( a i, or2,
A-=l
ягни  кез келген  Я  элементі  І
2
  кеністігінің қандай д а бір элсмеитіие сәйкес ке- 
леді.  Еііді  J ( f )   ф ункц иясы ны ц  Я   кеңістігін  І
2
  кецістігіне  бейнелейтін  өзара 
бірмәнді  сы зы қты   бейнелеу  екондігін  көрсехейік.
а)  J ( f )   ф ункц иясы ны ц  сы зы қты лы ғы:
ос 
ос
(V/, д  Е  H , f   =   ^ 2  а кек, а к 
Е 
һ , д  =   ^
 /3*е*, A-  €   /
2
) ( а , Р  <Е  В,)  \ 
к= 1  
к=
 1
ос 
ос 
/  
00
J ( a /   +  /% )  =  
J(a 
akek
  т  /5 С
 & е *)  =  
J
  (  У ^ ( ц а 'А-  +  
Р ft к) е к
А -1 
А-1 
\А-=1
=   (a-Q'i  +  Д 5Ь а а
2
  +  Д 32,...)  =   а (а'ь  «
2
, •■•)  +  £(/?і,/32» ...)  =   a - J ( / )   +
б)
ОС 
ОС
/   =  
QtAefc) (7  =   С  /3fcefc  €   Я
А -1 
А-=1
ж эне  J ( / )   =   J (y )  болса,
J ( / )   =   (агі,
0
!
2
, . . . ) і ^ Ы   =   ( / 5 і , ^ 2 , =>  ( a i , a 2, . - )   =   ( f t ,  /%, •••)  =>  /   =   .9-
в)  a   =   ( d ] , a
2
j---)  элементі 
/2
  кецістігініц  кез  келгеп  элементі  болсын.
П
f n  =  
cffce*  тізбегін  қарасты райы қ.  Осы  тізбектің  ф ундам ен тальды   екенін 
А-1 
көрсетейік:
п 
гг
ll/a  “   /mil  =   II  С   <5»е,-||  =  
la'^|2’  (П  >   Ш)-
t = m + l  
/;=7тг4-1
00
Q
7 ;2
  ж и н ақтал аты н   болғанды қтан,
А*=1
(Ve  >   0 )(3 JV i)(V n ,m ,fc   >   JV)  :  | | / n  -   / m ||  <   г,
яғни  { /„ }   ф ундам ен тальды   тізбек.  Я   толы қ болғанды қтан,  lim   f n  =  f   эле-
7 1 -*  ОС
менті  Я   -  Гильберт  кецістігініц  элементін  аны қтайды ,  ягни
00
(Vo  €   k ) ( Э / =  
£  Я )   : 
J ( / )  
=  
6
.
k=l
00
85

Сөйтіп.  Я   -  Гильберт  кеңістігін бейнелейтін  < /(/)  ф ункциясы   1.7.1  -  анықта- 
маның барлы қ  ш арттары н  қанағаттанды рады .  Сондықтаи.  « /(/)  ф ункциясы
-  өзара  бірмәнді  сы зы қты   бейнелеу.  Олай  болса,  1.7.2  -  аны қтам а  бойынша 
Я   және  I*  кеңістіктері  -  тец  түриатты   сызықты  кецістіктер.
6 .5 .1   -  с а л д а р .  С аналаты н  базисы  бар  Гильберт  кеңістікторі  -  өзара тсң 
түрнатты   кецістіктер.
6 .5 .2   -  с а л д а р   ( Р и с с - Ф и ш е р   т е о р е м а с ы ) .  Z
2
[0 ,1]  нақты   кецістігімен 
Іо  кецістіктері  өзара тең  түрпатты   кецістіктер  болады.
6 .5 .1   -  л е м м а .  Кез  келген  сенарабельді  Гильберт  кеңістігінде  ортонор- 
маланган  ақы рлы   немесе  саналы мды   базис  табылады.
Д ә л е л д е у і.  I I   -  сепарабельді  Гильберт  кецістігі  болсын.  О нда  осы 
кецістіктіц  элементтерінен  тураты н  ақы рсы з  Я   кецістігіне  б арлы қ  жерде 
ты гы з  орналасқан  {ж„}  ж иы ны   табылады.
1
)  х к  осы  {;е„} 
ж и ы н б н ы ц
 
ец бірінші  нелге тец емес элементі  болсын.  Оны 
Хк  —  / і   деп  белгілейік.
2
)  {rcjfc+i, Xk+'h •••}  тізбегін  қарасты райы қ.  х к  осы  тізбсктін  / і   элементіне 
сы зы қты   тәуелсіз  болатын  ец  бірінші  элемснті  болсын.  Оны  х к  =   fo  деп 
белгілейік.
3)  {хі+і,хі+
2
, ...}  тізбегін  қар асты р ай ы қ./з  деп  осы  тізбектіц  / і   мен 
/ 2  
элементтерініц  сы зы қты   тіркесі  болмайтын  ец  бірінші  элементін  белгілейік.
Осылай  талдау  арқы лы   ақы рлы   немесе саналымды  {Д-}  элементтер  жүй- 
есін  аламыз.  {ж71}  тізбегініц  б арлы қ  элементтері  { / п}  элемепттерініц  сызы- 
қты   қабыгы  -  І І п  -ніц  элементтері  болгандықтан,  Н п  =   Н   (барлы қ  ж ерде 
ты ғы з орпаласқан  ішкі  кецістік болады).  {/*}  жүйесін  ортогональдау  арқы- 
лы  {е,:}  ортоиормаланган  жүйені  аламыз.  {Д.}  мен  {е^.}  ж үйелерініц  сызы- 
қты   қабы қтары  бір-біріне пара-пар болгандықтан,  Н п  —  Н.  О лай болса,  {е/:} 
жүйссі  Гильберт  кецістігінде  базисты  анықтайды.
6 .5 .2   -  л е м м а .  Егер  Н  -  Гильберт кецістігінде ақы рлы   немесе саналымды 
ортоиормаланган  {е/:}  базисы  табылатын  болса,  онда  Н   кецістігі  -  сепара- 
бельді  кецістік.
Д ә л е л д е у і.  { e /J  Я   -  Гильберт  кецістігіпіц  ақы рлы   немесе  саналымды 
базисы  болсын.  О нда
П
1)  Х п  =   { / : / =  
СквкСк  =   Сск  +  і@к, ®к< 0к  е   Q }  -  саналымды  ақырлы
к= 
1
өлшемді  жиын.
2)  Х п  =   Я .  Д емек,  Х п  ж иы ны   Я   кецістігіпе  б арлы қ  жерде  ты гы з  ішкі 
саналымды  ж иын.  О лай  болса,  2.4.8-анықтама  бойынша  Я   -  сепарабельді 
кецістік.  Я   -  Гильберт  кецістігініц  элементтерінен  тураты н,  Я   кецістігімен
86

беттеспейтін  L \, L o , L m  ішкі  кеңістіктер  тобын  қарасты рай ы қ  {Li  ф  0.
і  =  
1
,
2
, < , т ).
6 .5 .3   -  а н ы қ т а м а .  L \, 
..., L m  ішкі  кеңістіктерін  цос-цостап  ортого-
паль дегі  атайды.  егерде
(V/i  е  Іі)  (V/,  6  £ ; ) : ( / ; ,  Л)  =  0, 
і ф і .
6 .5 .4  -  а н ы қ т а м а .  Н  -  Гильберт  кеңістігінің    ішкі  кеңістігі  L \, L-
2
, ..., Ь т 
ішкі  кеңістіктерініц  ортогоналъды  цосындысы
L   =   L i 0 L
2
0 . . . 0 L , „
түріпдс  жазылады дейді,  егерде
1)L\, 
1
/
2
, •••, Lm  қос-қостан  ортогональ  болса,
2) 
L  ішкі  кеңістігінің  кез  келген  /   элементін
т
/   =   Х ) л >  
f >€ L <
г
= 1
түрінде  ж іктеуге  болаты н  болса.
6 .5 .4   -  т е о р е м а .  L   H   -Гильберт  кецістігінің  элементтерінен  түратын  кө- 
пбейне  болсын.    көпбейнесі  Н   -  Гильберт  кеңістігінде б ар л ы қ жерде тыгыз 
орналасуы  үшін 
о і і ы ң
 
ортогональ  толы қтауы ш   ж иы ны   L 1  тек  Ө  -  нөлдік 
элементтен  түруы  қаж етті  ж әне  ж еткілікті.
§7  С ы з ы қ т ы   ш е н е л г е н   о п е р а т о р л а р   к е ң іс т іг і
  жиынын  Ү   ж и ы ны на  бейиелейтін  сы зы қты   ш енелген  операторлар 
жиынын
 
қарастьтрайық.  Осы  ж и ы н д а  ж огары дагы   аны қтам аларды   паііда- 
лаиып, 
0
пера'і'
0
рларды   қосу  ж әне  санға  көбейту  ам алы н  оі)ындауга болады.
7 .1 .1   -  а н ы қ т а м а .    ж иы ны н  Ү   ж и ы ны на  бейнелейтін  сы зы қты   ше- 
иелген  операторлар  ж иы ны н  сы зы цт и  шенелген  операторлар  кецісгпігг деп 
атайды ,  ж эне  оны  L { X ,  У )  деп  белгілейік.
7 .1 .2   -  а н ы қ т а м а .  А   Е  L ( X ,  У )-ж атсы н.
Ух  G  X   :  \\Ах\\  <  С\\х\\
теңдігін  қан агаттанды раты н  ец  кіші  С   санын  А   операторыньщ  нормасы деп 
атайды ,  ж эне  оны  ЦАЦ  деп  белгілейді.
Сонымен  7.1.2  -  ан ы қтам а  бойынш а  ||/1||  нормасы  келесі  ш арттарды
l)V x  €   X   :  \\Ах\\  <  С\\х\\-
87

2
)  (Ye  >   0)(3ж£  €   D ( A )   =   Л")  :  ||A pt-||  >   (||Л || — е)||а;е||  қанағаттанды рады .
7 .1 .1   -  л е м м а .  С ы зы қты   шенелген  А \   X   —> Ү   операторының  нормасы
\\А\\  =  sup  ||А г||  -   sup 
(49)
ІИІ<і 

0
  ||*||
Д э л е л д е у і.  Егер  ||.т||  <   1  болса,  онда
\\Ах\\
  <   И
І І И
І   <   | И ! | .
Сондықтан,
sup  \\Ах\\  <  ||Л ||. 
(50)
1
!*!
1

Екініні  ж агы нан,
(Vs  >   0 ) ( 3 x s  S  D ( A )   =  X )  :  \\Axe\\  >   ( |И ||  -  e ) | k | | .
6,£  =  jT^jj  элементін  қарасты райы қ.  О нда
» * ■ “  -   !ІЛ Й
І!  =  
>   Ш
\ т
- £ ) I WI   =  
11411
  - * •
||££||  =  
1
  болгандықтан,
sup  \ \А х II  >   \\А Ц \  >   ІИІІ  -   е.
N lСондықтан,
sup  \\Ах\\  >  А . 
(51)
IWI
(49)-(50)  тецсіздіктен  (49)-тендіктің  оры идалаты ны   ш ыгады.
7 .1 .1   -  м ы с а л .  С[
0
,
1
]  кецістігін  С [
0
,
1
]  кеңістігіне  бейнелейтін
і
(А т)(£)  =   /  K ( t ,  s ) x ( s ) d s  
о
операторының  нормасын  табыңыздар.
Ш е ш у і.
1
)
И *ІІ  <  
\K ( ^ s )\d s \\x \
88

Сопдықтан,
^  
~   tern] 
[
о
2
)  y ( t )  =   J   \ K ( t , s)\d s  ф ункц иясы   [0,1]  кесіпдісіндс  үзіліссіз  ф ункция 
о
болгандықтан,  Вейорш трасс теорсмасы  бойынш а  өзініц  сн  үлкен  монін  [0,1] 
кесіндісінде  қандай  д а   бір  to  нүктесіндс  қабылдайды.  x 0(s)  =  s i g n K ( t o , s 
ф ункциясын  қарасты райы қ.  Е п  С  [0,1],  үзынды гы 
самынан  кітні  ж иы ­
нында  xo(s)-ko тец  болмайты н.  [
0
.
1
|  ксеіндісініц  қалган  нүктелсріиде  £’o(s)- 
кс  тец  жоне  нормасы  бірдеіт  кіші  болатын,  мүшелері  үзіліссіз  { х ^   тізбегін
қарастырайық.  М үндағы  С   =  
m ax   \K ( t, s )|.  E TI  ж и ы ны нд а  ж атқан  нүк-
(«,л)е[од]
те л ер  үшін
|x n {s)  -   x 0( s )i  <   |®„(5)1  +   |®o(s)|  =  
2
болгандықтан,


l

J  
К (t, s)x o (s)d s  — 
J  
K ( t ,  s ) x n(s)ds\  < 
J  
K ( t , s ) \ x Q ( s ) x n{s)\ds  < 
o
o
o
<   [   \ K { t , s ) \ \ x 0(s)xn{s)\ds  <   2  m ax  \I<(t, s ) \ - ^ ~   =  ^
J 
(t,s)e[0,i] 
Z L n  
n
E n
тецсіздігі  [
0
,
1
]  кесіндісінде  ж атқап   б арлы қ  нүктелер  үшін  орындалады. 
Сондықтан,
і 
і 
( V i e   [
0
,
1
] ) :  
J  
K { t , s ) x 0(s)d s  < 
J  
I<(t, s ) x n (s)ds 4-  i   <   ||A||||® „||  +   i ,

о 
осы  тецсіздіктен  t  =   to  болганда
l
\ K ( t , s ) \ d s <   І И Ш М   +   ^ .
||x„||  <  
1
  болганды қтан,  n   —> oo  кезде

l
J  
\ K ( t , s ) \ d s   <   ||A ||  =Ф>  m ax  

\ K ( t , s ) \ d s   <   ||A ||.
1
1
89

Д ем ек,
ІИІІ  =   m ax  f  \K ( t, s)\ds.
о
7 .1 .2   -  м ы с а л .  R m  кеңістігін  R m  ксңістігіие  бейнелейтін
111
A x   =   y   =   {h i}, hi  =   С  a>Aj>X  =  (
6
.
6

fm)
сы зы қты   шенелген  операторды ц  нормасын  табыңыз. 
Ш е ш у і.
1
)
1
(Vrc  е   Я т )  :  ||А т |
< Емюі - sup Х!м 
sup
  !о
7 ~ t  

K t < m  

K j < m
) = 1
 
! J
= 1
 
—  J
= 1
=   , s u p _ 5 Z l a,j!llx l
Сондықтан,
l-   -   j= l
2)  (52)-теңдіктіц  керісінше  де  орындалатындыгын  көрсетейік. 
zq
  деп
ТП
£   М
 
—  С   теңдігін  қаиагаттанды раты н  хо  = 
( s ig n a ^ i, s i g n a ^ ,  <  
j = l
,signa.jom)  векторын  қарасты райы қ.  Әлбетте,  ||жо||  =   1-  Д емек,
\\А\\  >   \\А х0\\  =  sup
К і < п
С
 a i j s i 9 n a k
J
= 1
>   X )   !flw l  =   a  
І
= 1
Осы  l)-2)  пунктінен
і иі і
  =  
sup
  E
k
,
i
l7.2  С ы з ы қ т ы   ү з іл іс с із   о п е р а т о р л а р   ү ғ ы м ы
  С  В \   ж иы ны н  Ү   С  В \  ж иы ны на  бейнелейтіп  сы зы қты   А   операторын 
қарасты райы қ.
7 .2 .1  
-  а н ы қ т а м а .  Егер  D ( A )   =   X   =  В ls  онда  А   операторы  В \  кецістпі- 
гіпіц  барлык;  нүктпелеріндс  аныцтпалган  оператор  деп  аталады .
90

7 .2 .2   -  а н ы қ т а м а .  Егер  D ( A )  =   B i  болса,  онда  А   операторы   B \  кецісті- 
гінде  барлъщ  жерде  тпыгыз  орпаласцаи  жиыпда  аныцталгап  оператор  деп 
аталады .
D ( A )   =  B \  болсын.
7 .2 .3   -  а н ы қ т а м а .  А  операторын 
x Q 
Е  В \  it  нүктесіпде  үзіліссіз оператор 
деп  атайды,  егерде
lim   А х   =  А х  о 
(Уе  >   0)(3<5  >   0)(Уж  G  В 1; ж
0
  G  O j(.t0)  :  0  <   \\х -  жо||  <  
(5) 

х —>то
|| Аж  -   Аж()||  <   е  <£>  (Уж
0
  G  О*(ж0))  :  А х   G  О£(ж0).
7 .2 .1   -  т е о р е м а .  Егер  D ( A )   =  В \  кецістігін  Ү   ж и ы н ы н а  бейнелейтін 
сы зы қты   А   операторы  О  G  В \   нүктесінде  үзіліссіз  болса,  онда,  А   операторы 
В \   кецістігінің  кез  келген  жо  нүктесінде  үзіліссіз  болады.
Д ә л е л д е у і.  А   :  В \   —> Ү   -  сы зы қты   оператор  болганды қтан,  Аж  — Ажо  =
А(ж —жо).  ж —жо  =   г деп  белгілейік.  О нда А   операторы 
0
  нүктесінде үзіліссіз 
болгандықтан,
lim  A z   —  0  =>  lim   А (ж—жо)  =   lim  (Аж—Ажо)  =   О  =>•  lim   Аж—Ажо  =  
0
  =$>  lim   Аж
г —>0 
х -¥ х о
 
х - 7 3 ’0 
х
—>хо 
х —>хп
7 .2 .4   -  а н ы қ т а м а .  С ы зы қты   А  операторын  ү з ы іс с із   оператор деп  атай­
ды,  стер  де  ол 
0
  нуктесінде  үзіліссіз  болса.
7 .2 .2   -  т е о р е м а   ( Ү з іл іс с із   о п е р а т о р м е н   ш е н е л г е н   о п е р а т о р д ы ң  
а р а с ы н д а г ы   б а й л а н ы с т ы   б е р е т ін   т е о р е м а ) .  D ( A )   =   В 1  кеңістігін  Ү  
ж иы ны на бейнелейтіп  А   операторы  үзіліссіз  болуы  үніін  оның  шенелген  бо­
луы  қаж етті  ж эне  ж еткілікті.
Д ә л е л д е у і.
Қ а ж е т т і  шарт.  А   операторы  шенелген  оператор  болсын.  Онда 
(Уж  G  В \)   :  || Аж||  <   С ||ж ||  =$>  lim  Аж  =   0.
х - * 0
Д емек,  сы зы қты   А  операторы  0  G  В \  нүктесінде  үзіліссіз.  О нда  7.2.4  -  аны- 
қтам а  бойынш а  А   В \   кеңістігінде  үзіліссіз  болуы  керек.
Ж е т к ы і к т і   шарт.  А   -үзіліссіз  оператор.  Кері  ж ори м ы қ,  ягни  А  шенел­
меген  оператор  болсын.  О нда
||Ажп||  >   п||ж п||
теңсіздігіп  қан ағаттан ды раты н   В \  кеңістігінің элементтерінен түраты н  {ж,,} 
тізбегі  табы лады . 
элементін  қарасты райы қ:
lim   in  =   Hm  ■
 ■■?—■

 ■
  =  
0
,
п-юс 
n
- > 00
 п||ж„||

өйткені
0
|j  = ----- > 
0
п   -У  оо.
1
п
Екінші  ж ағы нан
Сондықтан
lim   А£„  -*■  А0  =   0.
Д ем ек,  А   сы зықты  операторы 
0
  нуктесінде  үзіліссіз  емес.  Б ул  теореманыц 
ш арты на  қайшы.  О лай  болса,  А   операторы  шенелген.
L ( X ,  Y )   -кецістігінде  ж атқан   {Ан}  -  сы зы қты   шенелген  операторлар  тіз- 
бегіп  қарасты райы қ.
8 .1 .1  
-  а н ы қ т а м а .  {А„}  С  L ( X , Y )   тізбегін    £  L ( X , Y )   операторына 
бірңалыпты  жипацталады дейді,  егерде
ягпи  L ( X ,  Ү )   кецістігінің  нормасы  бойынша  ж и нақталса.  Оны  қысқаш а 
lim   А п  =   А   немесе  A„ 
= 3
  А  деп  ж азады .
8 .1 .2  
-  а н ы қ т а м а .  {A„}  С  Ь ( Х , У )   тізбегіп  А   операторы на  цатсш,  жи- 
нацталады дейді.  егер
Оны  қы сқаш а  А п  - г   А   деп  ж азады .
8 .1 .1  
-  л е м м а .  {А,г}  С  L ( X , Y )   тізбегі  /1  €   L ( X , Y )  операторы на  бірқа- 
лы пты   ж п нақталуы   ушін  ||х ||  <   1  ш арыпың  б арлы қ  элементтері  үшін  {А;(} 
тізбегі  А   операторы на  қатаң  ж инақталуы   қаж етті  жәие  ж еткілікті.
Д ә л е л д е у і.
Қ aoicemmi  шарт.  {А п}  тізбегі  А   операторына  бірқалы нты   ж инақталсын, 
ягнн  А п 
= 1
  А.  О нда
Ж е т к іл ік т і  шарт.  {АГ1}  тізбегі  S'i(O)  ш арыныц  б арлы қ  нүктелері  үшін 
А   операторына  қатаң  ж и нақталаты п  болсын,  ягни
§
8
.  С ы з ы қ т ы   о п е р а т о р л а р   к е ң іс т іг і
lim  IIА п  -  А\\  =  0,
lim   ||A rtx  -   Ax|j  =   0.
lim   ||A „x  — A x||  <   lim   ||A„  — A||  =   0  =?•  lim   ||A rix  -   A x||  =   0 
A n 
A.
n-J-oo 
n—Юс 
n—> oo
(Ve  >   0)(3A ^)(V n  e   N   : n >   A ^ V x   e   5 i(0 ))  :  ||A „x  -   A x||  <
92

Б ұдан  Vn  >   Лгі  ушіи
Демек,
sup  IIА „ х  -   А х II  =   sup  II( А п  -   Л)ж||  <   £  =*  IIА п  -   А\\  <  s. 
І!*ІІ
< 1
 
І
1
а
||< 1
lim   А п  =   А.
П->
2
С
8
.
1 . 2  
-  л е м м а .  Егер  {-4П} тізбегі  А  операторы на бірқалы иты  ж ииақталса, 
онда  ол  осы  .4  операторы на  қатаң   ж и нақталады .
Д о л е л д е у і.
1
)
А п  =t   
(Vs  >  0)(3A r1)(Vn  e   N   :  n   >  JVj)  :  ||Д г  -   A\\  <   e;
2)(Үж 
6
  B \)   :  ||-4пх  —  А т И  <   ЦД,  — АЦЦяЦ  болганды қтан, 
lim   \\Anx   -   A t ||  <   О 
lim   A nx   =   A x .
П -+ Э О  
П -У О С
Олай  болса.
A n  —>•  A.
8 .1 .1   -  е с к е р т у . 
тізбегініц  А   операторына  қатаң   ж ннақталаты нды - 
гыпан  онық  оған  бірқалы пты   ж н н ақталаты н ды ғы   ш ы қпайды .
СХ)
Мысалы,  І
2
  =   {.т  =   (Сі)і^і  :  J2  |
6 | 2
  <   оо}  кеңістігіпде  аны қталган
і= 1
Р п Х  =   у
(&)”=
1

* = 1
 >П
0

г  >   п.
{Р пх}  операторлар  тізбегі  /   -  бірлік  операторы на  қатаң  ж ннақталады . 
Ш ы нында  да,
IIРях   -   х
112
  =   £
  ІЙІ2,
і= п + 1
оо
lim   ||Р„а?  -   я
| | 2
  =   lim   У ]   |
6 | 2
  =   0.
71 —У ПО 
И —Ю О
Л—ЮС
г=п
+ 1
о о  
ОС
Өйткені  £  
| £ , | 2
  қатары   -  ж и н ақталаты н   £  
| £ ; | 2
  қатары ны ң  қалды қ  қата-
t = 7 i - r l  
І = 1
ры.  Б ір ақ  ол    операторы на  бірқалы пты   ж и нқталм айд ы .  Оны  көрсету  үшін 
Рпх   =  0  теңдігін  қан агаттанды раты н.  нормасы  ||ж||  =   1  болатын  1% кецісті- 
гініц  х   элементін  қарасты райы қ:
||Р „х   -   / і | |   =   ||(Р „  -   / ) і | |   =   Цх-ІІ  =   1.
93

Сондықтан.
IIРп  -   I II  =   sup  ||P n  -   / | |   >   1.
ІМІ
< 1
Олай  болса,  { Р пх }   тізбегінің    операторына  бірқалыпты  ж и нақталуы   мүм- 
кін  емес.
8
.
1 . 1  
-  т е о р е м а .  {/1Ц}  тізбегі  ,4  операторына  қатаң   ж и нақталуы   үшін
1
)  {||-4„||}  шенелген  болуы;
2
)  { A J   операторлар тізбегініц А  операторына  қандайда бір  X   =   В   еызы- 
қ ты қ   көпбейнесінде  қатаң  ж ннақталуы   қаж етті  жоне  ж еткілікті.
8 .1 .3  
-  л е м м а .  Егер  X   -  нормаланган  ксңістік.  ал  Ү   -  Б ан ах  кецістігі 
болса,  онда  L ( X ,  Ү )   кедістігі  Банах  ксңістігі  болады.
Д ә л е л д е у і.  L ( X , Y )   кеңістігініц  элементтеріпен  түраты н  { А п}  тізбегі 
ф ундам ентальды   тізбек  болсын,  ягнн
(Vs  >   0)(3A r1)(Vn  e N : n >   N ^ p   G  N )   :  || A n+P  -   A n \\  <   s.
.г*  G    болсын.  {А
7
!ж}  тізбегін  қарастырайық.  Б үл  тізбек  те  -  ф ундам ен­
тальды   тізбек,  өйткені
(Vs  >   0)(Э N i){V n   е   N   : п >   A'i )(Vp  G  N )   :
Ц -^ п + р ®  
А п . т ||  =   ||( A f i 4 . j i  
А п )а?!|  <   j |.A ri-|.j, 
А п | | | | ж | |   <   S i .
Ү   -  толы қ  нормаланган  кецістік  болгандықтан,  {Л„.т}  -  ж н н ақталаты н   тіз- 
бек.  Онын  шегін  у  =   lim   А пх   деп  белгілейік.  у  =  lim   А пх   ф ормуласы   X
71—+ O Q
 
7 1 -+ Э О
ж иы ны ны ц  кез  келген  элемеитіне  Ү   жиыны ныц белгілі  бір  у  элементін  сәй- 
кес  қояды.  Осы  сәйкестікті  А   деп  белгілейік,  ягни
А х   =  у.
Енді  осылай  аны қталган  А   операторыныц  сызықты  шенелген  екенін  корсе- 
тейік.
1
)  С ы зы қты лы гы :
(V.Ti,x
2
  G  A")(Vai,Q
'2
  G  R { C ))  :
A(aiXi-\-ot
2
X
2
)  =   lira  A n(a \X \+ a o X
2
)  =  a i   lim  /і„ .т і+ а
;2
  lim   A nx
2
  =   a i A x i +
0£2
7 7 - Ю С  
71—> 0 0  
7 1 - Ю С
2)  Ш енелгендігі:
(Ve  >   0)(3JV,)(Vn  € 
N
  : 
n  
>
  JVj)(Vp e  
N)
  :  ||И „ +;)||  -   ||Д ,|||  <   ||A ,+)- A , ||  <   e
болгандықтан,  { ||/l„ j|}   -  ф ундаментальды   тізбек.  Олай  болса,  ол  шенелген, 
ягни
(ЭМ   >   0) (Vn  G  N )   :  ||А г||  <   М .
94

Сондықтан,
(Vx  €   X )   :  ПА^И  <   А/||агЦ.
Осы  тецсіздіктің  екі  ж агы наи  п   —> ос  болганда  шекке  көшсек,
lim   И Л,»® И  <   М\\х\\  =¥■  ||Аж||  <   М\\х\\.
п—
>со
Сондықтан,  А  -  ш енелген.  О нда  A  G  L ( X , Y ) .   Д ем ек,  L ( X ,  У)  -  Банах 
кеңістігі.

Каталог: bitstream -> handle -> 123456789
123456789 -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
123456789 -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
123456789 -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
123456789 -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
123456789 -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы
123456789 -> Қр президенттік мәдениет орталығының кіші ғылыми қызметкері
123456789 -> Адам қҰҚЫҚтары жүйесіндегі білім алу қҰҚЫҒЫ
123456789 -> Бейбітшілік бақЫТҚа бастайды
123456789 -> Г.Қ. аЙҚынбаева оҚуШылаРДыҢ беЙІнДІк ҚабІлетІн аныҚтауДа психологиялыҚ- пеДагогикалыҚ ӘДІс-тӘсІлДерді қолДануДыҢ еРекШелІктеРІ
123456789 -> Артыкбаев Ж. О. «Қозы көрпеш – Баян сұлу» Жаратылыс құпиялары туралы жыр


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет