Риман және Лебег интегралдарының айырмашылығы

Риман интегралын құрғанда көмегімен бөлікке бөліп, бөлік кесіндінің ұзындығы функцияның осы бөлік кесіндідегі дәл жоғары және төменгі шекаралықтарына көбейтіп, бөлінуі бойынша қосынды құрап, ол қосындылар Дарбу қосындылары деп атап құратынбыз. Егер берілген функциясы үздіксіз болса, онда бөлік кесіндідегі сәйкес оның мәндері өте жақын орналасады.

Дарбудың қосындылары ортақ шекке ұмтылады.

Егер функциясы үздіксіз болмаса, онда бөлік кесінділерінің ішінде функциясының мәндері өте жақын орналаспайтын болуы мүмкін. Бұл жағдайда Дарбу қосындыларының ортақ шегі болмайды, ондай интеграл Дарбу интегралымен интегралданбайды. Олай болса, үзілісті функция үшін интегралдау процесі үзіліссіз. Сондықтан, біз интегралдаудың басқа жолын қарастырайық. кесіндісін майда бөліктерге бөлейік. Сонда у-тің өзгеру облысын мынадай бөліктерге бөлгенін білеміз.

Дарбу қосындысының орнына х-тің анықталу облысы Е_к жиынының сәйкесті Е_к-ң бөлшегіне көбейтейік. Сонда Дарбу қосындысына ұқсас шығады. Егер ортақ шекке ұмтылатын болса, онда Е жиынының интегралы ретінде қарастырамыз. Е жиынының кесіндісінде болуы міндетті емес, тек ол жатса болады.

Интегралды құрудың мұндай түрін Лебег бойынша интегралы деп атаймыз. Лебег интегралын құру жиынның өлшемдік жиындар мен өлшенетін функциялар арқылы енгізіледі.