Теорема (Үлкен қуаттардан да үлкен қуаттың болатындығы туралы теорема)

Өткендегі Кантор-Берштейн теоремасынан көргеніміздей, қуаты ең үлкен болатын жиынды құру мүмкін емес. Себебі, әр уақытта берілген қуаттан да үлкен қуатты жиынды табуға болады. Енді осыған кері сұрақ туады. Яғни, қуаты ең аз болатын жиынды құруға бола ма? Медицина тілімен айтсақ, оған әруақытта оң жауап табуға болады.

Ол үшін натурал сандар қатарын 1,2,3,...,n,... қарастырайық. Осы жиынға сәйкес координал санды, яғни осы жиынның қуатына сәйкес санды а деп белгілейік.

Қандай да бір М шексіз жиынын қарастырайық. Осы жиыннан бір элемент алып, оны m₁ деп белгілейік. Тағы бір элемент алып, оны m₂, m₃,…

М жиыны шексіз болғандықтан, бұл процесті тоқтаусыз жүргіземіз. Сонда шексіз М жиынынан бір бөлік жиын алынып, оның барлық мүшелері натурал сан қатарымен номерленген болып шығады. Ол бөлік жиын М жиынының дұрыс бөлігі болуы мүмкін, М-мен беттесуі мүмкін.

Егер осы элементтері номерленген бөлікті қоса есептегенде М жиынына сәйкесті координалды санды деп белгілесек, онда ;

Себебі, құруымыз бойынша.

Басқаша: барлық шексіз жиынның қуаты натурал санның қуатынан үлкен не тең () болады.

Дәл осылай шексіз жиынның қуаты натурал сандар жиынына эквивалентті жиынның қуатынан үлкен не тең () болады.

Бұдан көретініміз, шексіз жиындар ішіндегі қуаты ең азы – натурал сандар жиыны екен.

Басқаша айтқанда:

Элементтерін натурал сандар жиынымен номерлеуге болатын жиынды есепті жиын деп атаймыз. Яғни, ол жиынды элементтерін а₁,а₂,...,а_n,... шексіз тізбек түрінде орналастыруға болады. Мұнда әрбір натурал санға 1 ғана номер сәйкес келеді және керісінше.

Есепті жиынның қуатын – есепті қуат деп атаймыз. Сонда шексіз жиынның ең кіші қуаты есепті болады.

Есепті жиынға мысалдар:

1. 
   Барлық жұп сандар жиыны;
   
2. 
   3-ке бөлінетін бүтін сандар жиыны;
   
3. 
   түріндегі сандар жиыны; мұндағы n –натурал сандар жиыны;
   

Кез-келген түріндегі қатаң монотонды функция. Мұндағы ;

Мысалы:

Теорема: Есепті жиынның кез-келген шексіз бөлік жиыны есепті жиын болады.

Дәлелденуі: Айталық, А – берілген есепті жиын болсын. А₁ – оның шексіз бөлігі болсын, және болсын. Онда . 2-ші жағынан В жиынынан В₁ есепті бөлігі табылып, ол А-мен эквивалентті болады.

, В₁ – есепті жиын.

.

К-Б теоремасы бойынша: , болады. - есепті деген сөз.