Лекци Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын кейбір амалдар. Жиындардың теңдігі. Эквиваленті жиындар. Ақырлы және ақырсыз жиындар. Сандар жиыны. Ақырсыз жиындар

Жазықтықтағы нүктелердің жиыны, рационал сандар, барлық үздіксіз функциялардың жиыны – шексіз болады.

Шектелген жиындардың ішінде 2 жиын болады:

1) 1 элементті жиын; 2) бос жиын (элементі жоқ жиын);

Ø → бос жиын;

Кез-келген жиынның ішінен бірнеше жиындар құруға болады. Мысалы,

Егер де А жиыны беріліп, ВА болса, онда В жиынын А жиынының бөлік жиыны деп атаймыз.

Теорема: Бос жиын кез-келген жиынның бөлігі болады. Егер А және В жиындарының арасында мына қатынас орындалса, АВ, ВА А=В онда А және В жиындарын өзара тең деп атаймыз.

Бұл қатыс элементтер саны шекті жиындар үшін, оларды санау арқылы көрсетіледі. Айталық, А жиынының элементтер саны – n, B жиынының элементтер саны – m болсын.

мына 3 қатынастың біреуі ғана орындалады.

2 жиынның элементтерінің арасында бірмәнді сәйкестік орнату арқылы анықтаймыз. Мысал: 2 қолдың беттесуі.

Егер де берілген А және В жиындары шексіз болса, онда олардың элементтерінің саны туралы айтуға болады. Яғни олардың элементтерінің саны арқылы салыстыруға болмайды, алайда элементтерінің шексіз санының арасында бір мәнді сәйкестік орнатуға болады.

Анықтама. Егер А жиынының әрбір элементіне белгілі-бір заңдылықпен В жиынының тек 1 элементі сәйкес келетін болса және В жиынының әрбір элементіне белгілі-бір заңдылықпен А жиынының тек 1 ғана элементі сәйкес келетін болса, онда А жиынын В жиынына эквивалентті деп атаймыз да, былай белгілейміз:

A ~ B

2⁰. А жиыны В жиынына эквивалентті болса, онда В жиыны А жиынына эквивалентті (симметриялық қасиеті);

3⁰. А жиыны В жиынына эквивалентті болса, В жиыны С жиынына эквивалентті болса, онда А жиыны С жиынына эквивалентті болады (транзитивтік қасиеті);

N ~ A, заңдылығы y=2x;

Біз өткенде шекті және шексіз жиындар ұғымын енгізгенде, жиындардың арасындағы эквиваленттік қатыс ұғымына тоқталған едік.

Егер эквивалентті жиындар саны шекті элементтерден тұрса, онда осы санды жиындардың қуаты деп атаймыз.

Айталық, қандай да бір А жиыны берілсін. Осы А жиынымен қатар оған эквивалентті жиындарды, яғни өзара эквивалентті жиындарды қарастырайық. Осы эквивалентті жиындар тобын - өзара эквивалентті жиындар класы деп атаймыз. Осы класқа қандай да бір санын сәйкестендірейік. санын – координалды сан деп атаймыз.

Кейде мұндай санды қуат деп те атайды. Соңғы сөйлемнен көретініміз, жиынның қуаты дегеніміз:

Эквивалентті жиындарға не ортақ болса, соны түсінеміз.

Ол жиындардың шекті, шексіздігіне тәуелсіз.

Егер де А₁ және А₂ жиындарды өзара эквивалентті болмаса, онда ол жиындарды тең қуатты емес жиындар деп атаймыз.

жиыны берілсін. Оның қуаты -

Саны шекті жиындар сияқты, шексіз жиындардың қуаттарының арасында мынадай қатынас болады:

Саны шекті жиындар үшін мынадай 3 жағдай болуы мүмкін:

1. Екі жиынның элементтерінің арасында бір мәнді сәйкестілік орнатуға болады, жиындар эквивалентті, жиындарды құрайтын элементтер саны бірдей, яғни қуаттары тең: A=B, n=m

2. Бірінші жиын екінші жиынның бір меншікті бөлігімен эквивалентті. Екінші жиындағы элементтер саны бірінші жиындағы элементтер санынан көп, яғни екінші жиынның координалды саны бірінші жиынға қарағанда үлкен.

3. Екінші жиын бірінші жиынның бір меншікті бөлігімен эквивалентті. Бірінші жиындағы элементтер саны екінші жиындағы элементтер санынан көп, яғни бірінші жиынның координалды саны екінші жиынға қарағанда үлкен

В ~ А₁,

Екі шексіз жиынның арасында 4 түрлі жағдай болады:

1. 
   Бұл жиындардың элементтерінің арасында бір мәнді сәйкестілік орнатуға болады;
   
2. 
   Бұл жиындардың элементтерінің арасында бір мәнді сәйкестілік орнатуға болмайды, бірақ бірінші жиынның элементтері мен екінші жиынның меншікті бөлігінің арасында бір мәнді сәйкестілік орнатуға болады және екінші жиын бірінші жиынның ешқандай бөлігімен эквивалентті емес. A ~ B₁,
   
3. 
   Бұл жиындардың элементтерінің арасында бір мәнді сәйкестік орнатуға болмайды, бірақ екінші жиын мен бірінші жиынның меншікті бөлігінің арасында бір мәнді сәйкестілік орнатуға болады және бірінші жиын екінші жиынның ешқандай бөлігімен эквивалентті емес. В ~ А₁,
   
4. 
   Бірінші жиын мен екінші жиынның меншікті бөлігінің арасында және екінші жиын мен бірінші жиынның меншікті бөлігінің арасында бір мәнді сәйкестілік орнатуға болады.
   

Жалпы осы 4 жағдайға байланысты мынадай df беріледі:

Егер А және В жиындарының элементтерінің арасында 2-ші жағдай орындалса, онда А-ның қуаты В-дан кіші:

1) ;

3) 4-жағдай орындалса, ;

Жалпы бұл анықтамадан көретініміз, жиынның қуатына байланысты координалды сандарының арасында транзитивтік қасиет орындалады:

Теорема (Аралық жиынның қуаты туралы теорема)

Дәлелденуі: А жиыны мен А₂ жиындарының арасында бір мәнді сәйкестілік орнатайық. Онда жоғарыдағы айтқанымызға сәйкес А жиынының А₁ бөлігіне А₂ жиынының А₃ бөлігін сәйкестендіруге болады:

Сонда

Берілуі мен құруымыз бойынша мынау шығады:

Сөйтіп, эквивалентті жиындардан эквивалентті жиындарды алғаннан эквивалентті жиын шығатынын ескеріп, мынадай айырмаларды құрайық:

А\А₁ ~ А₂\А₃

А₁\А₂ ~ А₃\А₄

А₂\А₃ ~ А₄\А₅

.......................

А_n\A_n+1 ~ A_n+2\A_n+3

………………..

А, А₁, А₂, ..., А_n жиындардың бәріне ортақ бөлігін Д деп белгілейік.

А және А₁ жиындарының өзара қиылыспайтын бөліктердің қосындысы түрінде өрнектесек:

Соңғы 2 теңдіктен А және А₁ жиындарының өзара эквиваленттігі шығады.

Екі шексіз жиынның элементтерінің арасындағы сәйкестікті Кантор мынадай сәйкестілікпен шешуді ұсынған:

Бұл Кантор ұсынысы күні бүгінге дейін қолданылады.