Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

78
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
y
x
?=?
t
z
?
r
?
(0)
a
r
( )
a t
r
?
Рис. 4.9.
Положим
|
~a
|
=
a
и введем вектор
~
?
, у
которого
|
~
?
|
=
?
, а направление показано
на рис.
4.9
.
Вектор
~a
зависит от времени:
~a
=
~a
(
t
)
.
Докажем, что
d~a
dt
= [
~
?
Ч
~a
]
.
Введем прямоугольную систему координат
Oxyz
так, чтобы положительное направле-
ние оси
Oz
совпало с направлением векто-
ра
~
?
, и запишем координаты вектора
~a
(
t
)
:
~a
(
t
) =
{
a
sin
?
·
cos
?t
,
a
sin
?
·
sin
?t
,
a
cos
?
}
.
Введем обозначения:
a
sin
?
=
b
,
a
cos
?
=
c
, тогда
d~a
dt
=
{?
b?
sin
?t
,
b?
cos
?t
, 0
}
,
[
~
?
Ч
~a
(
t
)] =
~i
~j
~
k
0
0
?
b
cos
?t b
sin
?t c
=
{?
b?
sin
?t
,
b?
cos
?t
, 0
}
,
откуда следует, что
d~a
dt
= [
~
?
Ч
~a
]
.
a
r
?
r
2
a
r
1
a
r
Рис. 4.10.
Если начало вектора
~a
не лежит на оси вра-
щения, то доказанная формула остается в силе,
поскольку такой вектор можно представить в виде
разности двух векторов с началами на оси враще-
ния (рис.
4.10
):
~a
=
~a
1
?
~a
2
?
d~a
dt
=
d~a
1
dt
?
d~a
2
dt
=
= [
~
?
Ч
~a
1
]
?
[
~
?
Ч
~a
2
] = [
~
?
Ч
(
~a
1
?
~a
2
)] = [
~
?
Ч
~a
]
.
Пример 2. Рассмотрим твердое тело (напри-
мер, Земной шар), вращающееся с постоянной угловой скоро-
стью
~
?
относительно неподвижной системы координат с базисом
{
~
i
0
,
~
j
0
,
~
k
0
}
(рис.
4.11
). Введем на этом твердом теле свой базис

10. Производные вектор-функции
79
{
~i
,
~j
,
~
k
}
. Он вращается вместе с твердым телом с угловой скоро-
стью
~
?
, поэтому
~i
=
~i
(
t
)
,
~j
=
~j
(
t
)
,
~
k
=
~
k
(
t
)
,
d~i
dt
=
~
?
Ч
~i
,
d~j
dt
=
~
?
Ч
~j
,
d~
k
dt
=
h
~
?
Ч
~
k
i
.
Рассмотрим точку
M
, движущуюся внутри тела или по
его поверхности. Ее положение относительно неподвижной си-
стемы координат в каждый момент времени можно задать
радиус-вектором
~
OM
, который обозначим
~
r
(
t
)
. Выведем формулу
скорости точки
M
относительно неподвижной системы коорди-
нат, т.е. формулу для
~
v
=
d~
r/dt
. С этой целью разложим вектор
~
r
(
t
)
по (вращающемуся) базису
{
~i
,
~j
,
~
k
}
:
~
r
(
t
) =
x
(
t
)
~i
+
y
(
t
)
~j
+
z
(
t
)
~
k.
Отсюда следует, что
d~
r
dt
=
dx
dt
·
~i
+
x
·
d~i
dt
+
dy
dt
·
~j
+
y
·
d~j
dt
+
dz
dt
·
~
k
+
z
·
d~
k
dt
=
=
dx
dt
·
~i
+
dy
dt
·
~j
+
dz
dt
·
~
k
+
x
·
~
?
Ч
~i
+
y
·
~
?
Ч
~j
+
z
·
h
~
?
Ч
~
k
i
.
Выражение в скобках представляет собой скорость точки отно-
сительно связанного с телом базиса
{
~i
,
~j
,
~
k
}
. Назовем ее отно-
сительной скоростью и обозначим
~
v
отн.
. Таким образом,
d~
r
dt
=
~
v
отн.
+
h
~
?
Ч
x~i
+
y~j
+
z~
k
i
=
~
v
отн.
+ [
~
?
Ч
~
r
]
.
В полученном равенстве векторное произведение
[
~
?
Ч
~
r
]
пред-
ставляет собой компоненту скорости, обусловленную вращением
тела. Назовем ее переносной скоростью и обозначим
~
v
пер.
.
Итак, абсолютная скорость точки
M
(т.е. скорость относи-
тельно неподвижной системы координат) равна сумме перенос-
ной и относительной скоростей:
~
v
=
d~
r
dt
=
~
v
пер.
+
~
v
отн.
.
Получим теперь формулу для ускорения точки
M
. Имеем:
~a
=
d~
v
dt
=
d~
v
пер.
dt
+
d~
v
отн.
dt
=
h
~
?
Ч
d~
r
dt
i
+
d
dt
dx
dt
·
~i
+
dy
dt
·
~j
+
dz
dt
·
~
k
=

80
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
k
r
0
j
r
i
r
0
k
r
?
r
0
i
r
j
r
O
( )
r t
r
M
Рис. 4.11.
= [
~
?
Ч
(
~
v
пер.
+
~
v
отн.
)] +
d
2
x
dt
2
·
~i
+
d
2
y
dt
2
·
~j
+
d
2
z
dt
2
·
~
k
+
+
dx
dt
·
~
?
Ч
~i
+
dy
dt
·
~
?
Ч
~j
+
dz
dt
·
h
~
?
Ч
~
k
i
=
= [
~
?
Ч
~
v
пер.
] + [
~
?
Ч
~
v
отн.
] +
~a
отн.
+ [
~
?
Ч
~
v
отн.
] =
=
~a
пер.
+
~a
отн.
+
2
[
~
?
Ч
~
v
отн.
]
.
В этом равенстве слагаемые
[
~
?
Ч
~
v
пер.
] =:
~a
пер.
и
d
2
x
dt
2
·
~i
+
d
2
y
dt
2
·
~j
+
d
2
z
dt
2
·
~
k
=:
~a
отн.
являются соответственно переносным и относительным ускоре-
ниями, а слагаемое 2
[
~
?
Ч
~
v
отн.
]
так называемым кориолисовым
ускорением
~a
кор.
Итак, абсолютное ускорение равно сумме переносного, отно-
сительного и кориолисова ускорений:
~a
=
~a
пер.
+
~a
отн.
+
~a
кор.
Отметим, что
~a
пер.
= [
~
?
Ч
~
v
пер.
] =
~
?
Ч
[
~
?
Ч
~
r
]
представляет
собой двойное векторное произведение.

Г л а в а 5
ИНТЕГРАЛЫ
џ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
К понятию первообразной приводит следующая физическая
задача. Пусть
x
время,
y
=
f
(
x
)
координата точки, дви-
жущейся по оси
y
, в момент времени
x
. Тогда
f
0
(
x
) =
v
(
x
)
скорость точки в момент времени
x
. Если известна зависимость
координаты от времени, т.е. известна функция
f
(
x
)
, то для
нахождения скорости
v
(
x
)
нужно выполнить операцию диффе-
ренцирования.
Пусть теперь наоборот известна зависимость скорости от
времени, т.е. известна функция
v
(
x
)
, а требуется найти зависи-
мость координаты от времени, т.е. функцию
f
(
x
)
, такую, произ-
водная
f
0
(
x
)
которой равна заданной функции
v
(
x
)
:
f
0
(
x
) =
v
(
x
)
.
Тем самым возникает задача, обратная дифференцированию.
Пусть функция
y
=
f
(
x
)
определена на промежутке
X
.
Определение. Функция
F
(
x
)
называется первообразной для
функции
f
(
x
)
на промежутке
X
, если
?
x
?
X
:
F
0
(
x
) =
f
(
x
)
.
В соответствии с этим определением функция
f
(
x
)
, задаю-
щая координату точки на оси в момент времени
x
, является
первообразной для функции
v
(
x
)
, задающей скорость точки:
f
0
(
x
) =
v
(
x
)
.
Примеры.
1)
F
(
x
) = ln
x
первообразная для
f
(
x
) =
1
/x
на полупря-
мой
X
+
= (
0;
+
?
)
, т.к.
(ln
x
)
0
=
1
/x
?
x
?
(
0;
+
?
)
.
F
(
x
) = ln(
?
x
)
первообразная для
f
(
x
) =
1
/x
на полупря-
мой
X
?
= (
??
; 0
)
, т.к.
ln(
?
x
)
0
=
?
1
/
(
?
x
) =
1
/x
?
x
?
(
??
; 0
)
.
Отсюда следует, что
F
(
x
) = ln
|
x
|
первообразная для
f
(
x
) =
=
1
/x
на полупрямых
X
+
и
X
?
.
2) Для функции
f
(
x
) =
|
x
|
=
x
, если
x
>
0,
?
x
, если
x <
0

82
Гл. 5. Интегралы
первообразной на
(
??
;
+
?
)
является функция
F
(
x
) =
x
2
/
2, если
x
>
0,
?
x
2
/
2, если
x <
0
.
В самом деле,
?
x >
0
:
F
0
(
x
) =
x
=
f
(
x
)
;
?
x <
0
:
F
0
(
x
) =
?
x
=
f
(
x
)
.
Остается доказать (сделайте это самостоятельно), что
?
F
0
(
0
) =
0
=
f
(
0
)
.
3) Рассмотрим функцию
f
(
x
) =
sgn
x
=
(
+
1, если
x >
0,
0, если
x
=
0,
?
1, если
x <
0
.
Она имеет первообразную
F
(
x
) =
x
на полупрямой
(
0;
+
?
)
,
имеет первообразную
F
(
x
) =
?
x
на полупрямой
(
??
; 0
)
, но не
имеет первообразной на всей числовой прямой
(
??
;
+
?
)
.
Отметим, что если
F
(
x
)
первообразная для
f
(
x
)
на проме-
жутке
X
, то есть
?
x
?
X
:
F
0
(
x
) =
f
(
x
)
, то
F
(
x
) +
C
, где
C
любое число, также первообразная для
f
(
x
)
на промежутке
X
,
так как
F
(
x
) +
C
0
=
F
0
(
x
) +
C
0
=
f
(
x
) +
0
=
f
(
x
)
. Справедливо
и обратное.
Теорема 1 (основная теорема интегрального исчисления).
Если
F
1
(
x
)
и
F
2
(
x
)
любые две первообразные для функции
f
(
x
)
на промежутке
X
, то
F
1
(
x
)
?
F
2
(
x
) =
C
=
const на этом
промежутке.
Доказательство.
Положим
F
(
x
) =
F
1
(
x
)
?
F
2
(
x
)
. Нужно доказать, что
F
(
x
) =
=
const на промежутке
X
. Имеем
?
x
?
X
:
F
0
(
x
) =
F
0
1
(
x
)
?
F
0
2
(
x
) =
f
(
x
)
?
f
(
x
) =
0
.
Таким образом, нужно доказать, что если
F
0
(
x
)
?
0 на проме-
жутке
X
, то
F
(
x
) =
C
=
const
на
X
. При всей очевидности этого
утверждения мы пока не можем его доказать. Это утверждение
будет доказано позже.
Следствие. Если
F
(
x
)
одна из первообразных для
f
(
x
)
на
промежутке
X
, то любая первообразная Ф
(
x
)
для
f
(
x
)
на этом
промежутке имеет вид
Ф
(
x
) =
F
(
x
) +
C
,

1. Первообразная и неопределенный интеграл
83
где
C
некоторая постоянная.
Определение. Совокупность всех первообразных для функ-
ции
f
(
x
)
на промежутке
X
называется неопределенным инте-
гралом от
f
(
x
)
на этом промежутке и обозначается так:
Z
f
(
x
)
dx.
В этом обозначении функция
f
(
x
)
называется подынтегральной
функцией, а выражение
f
(
x
)
dx
подынтегральным выраже-
нием. Отметим, что
f
(
x
)
dx
является дифференциалом любой
первообразной
F
(
x
)
для
f
(
x
)
:
dF
(
x
) =
F
0
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx.
(5.1)
Операция вычисления неопределенного интеграла называется
интегрированием. В силу следствия из теоремы 1
Z
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
) +
C
,
(5.2)
где
F
(
x
)
одна из первообразных для
f
(
x
)
, а
C
произвольная
постоянная.
Пример.
R
cos
xdx
= sin
x
+
C
.
Замечание по поводу обозначения: почему используется та-
кое обозначение:
R
f
(
x
)
dx
, а не более краткое:
R
f
(
x
)
? Во-первых,
потому, что
dx
указывает, по какой переменной ищется первооб-
разная:
Z
xydx
=
yx
2
2
+
C
;
Z
xydy
=
xy
2
2
+
C.
Во-вторых, дифференциал
dx
играет роль в формуле замены
переменной, о которой пойдет речь в разделе
3
.
Отметим, что символом
R
f
(
x
)
dx
мы будем обозначать как
всю совокупность первообразных, так и некоторую из них.
Поставим вопрос: для каких функций
f
(
x
)
существует перво-
образная? Позднее мы покажем, что первообразная существует
для любой непрерывной на промежутке функции
f
(
x
)
. Разрыв-
ные функции также могут иметь первообразную.
Пример. Функция
F
(
x
) =
(
x
2
sin
1
x
, если
x
6
=
0,
0, если
x
=
0

84
Гл. 5. Интегралы
является первообразной на
(
??
;
+
?
)
для функции
f
(
x
) =
(
2
x
sin
1
x
?
cos
1
x
, если
x
6
=
0,
0, если
x
=
0,
которая разрывна в точке
x
=
0, поскольку
lim
x
?
0
f
(
x
)
не существу-
ет. Равенство
F
0
(
x
) =
f
(
x
)
, если
x
6
=
0, проверяется непосред-
ственно путем дифференцирования функции
x
2
sin
1
x
; равенство
F
0
(
0
) =
f
(
0
) =
0 требует отдельного обоснования (получите это
равенство, пользуясь определением производной).
Если первообразная для
f
(
x
)
является элементарной функ-
цией, то говорят, что интеграл
Z
f
(
x
)
dx
выражается через элементарные функции. Оказывается, что
интеграл от элементарной функции может не выражаться через
элементарные функции, т.е. класс элементарных функций не
замкнут относительно операции интегрирования.
Примеры:
R
e
?
x
2
dx
;
R
sin(
x
2
)
dx
R
sin
x
x
dx
эти интегра-
лы не выражаются через элементарные функции.
Таблица основных интегралов.
1)
R
x
?
dx
=
x
?
+
1
?
+
1
+
C
(
?
6
=
?
1
)
;
2)
R
dx
x
= ln
|
x
|
+
C
;
3)
R
sin
xdx
=
?
cos
x
+
C
;
4) (допишите таблицу самостоятельно).
џ 2. Основные свойства неопределенных интегралов
1)
d
(
R
f
(
x
)
dx
) =
f
(
x
)
dx
;
2)
R
dF
(
x
) =
F
(
x
) +
C
;
3)
R
(
f
(
x
)
±
g
(
x
))
dx
=
R
f
(
x
)
dx
±
R
g
(
x
)
dx
;
4)
?
k
?
R
(
k
6
=
0
) :
R
kf
(
x
)
dx
=
k
R
f
(
x
)
dx.
Свойства 1) и 2) следуют из равенств (
5.1
) и (
5.2
) (см. раздел
5.1).

3. Два метода интегрирования
85
Докажем справедливость равенства 3). Пусть
F
(
x
)
и
G
(
x
)
первообразные для
f
(
x
)
и
g
(
x
)
соответственно. Тогда
F
0
(
x
) =
=
f
(
x
)
,
G
0
(
x
) =
g
(
x
)
и
Z
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
) +
C
1
;
Z
g
(
x
)
dx
=
G
(
x
) +
C
2
,
где
C
1
и
C
2
произвольные постоянные.
Сложим (вычтем) два последних равенства:
Z
f
(
x
)
dx
±
Z
g
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
±
G
(
x
)
+ (
C
1
±
C
2
)
.
(5.3)
С другой стороны, поскольку
F
(
x
)
±
G
(
x
)
0
=
F
0
(
x
)
±
G
0
(
x
) =
=
f
(
x
)
±
g
(
x
)
, то функция
F
(
x
)
±
G
(
x
)
является первообразной
для функции
f
(
x
)
±
g
(
x
)
, поэтому
Z
f
(
x
)
±
g
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
±
G
(
x
)
+
C
,
(5.4)
где
C
произвольная постоянная. Сравнивая правые части
равенств (
5.3
) и (
5.4
), приходим к равенству
Z
(
f
(
x
)
±
g
(
x
))
dx
=
Z
f
(
x
)
dx
±
Z
g
(
x
)
dx
,
что и требовалось доказать.
Справедливость равенства 4) докажите самостоятельно.
џ 3. Два метода интегрирования
Замена переменной
Теорема 2. Пусть функция
x
=
?
(
t
)
определена и дифферен-
цируема на промежутке
T
и множеством ее значений является
промежуток
X
. Пусть на
X
определена функция
f
(
x
)
, имеющая
первообразную
F
(
x
)
. Тогда функция
F
(
?
(
t
))
является первооб-
разной для функции
f
(
?
(
t
))
?
0
(
t
)
на промежутке
T
.
Доказательство. Используя равенство
F
0
(
x
) =
f
(
x
)
и правило
дифференцирования сложной функции, получаем:
F
(
?
(
t
))
0
=
F
0
(
?
(
t
))
·
?
0
(
t
) =
f
(
?
(
t
))
?
0
(
t
)
,
что и доказывает утверждение теоремы 2.

86
Гл. 5. Интегралы
Следствие. Поскольку
Z
f
(
?
(
t
))
?
0
(
t
)
dt
=
F
(
?
(
t
)) +
C
,
(5.5)
а
F
(
?
(
t
)) +
C
= (
F
(
x
) +
C
)
x
=
?
(
t
)
=
Z
f
(
x
)
dx
x
=
?
(
t
)
,
то формулу (
5.5
) можно записать в виде
Z
f
(
x
)
dx
x
=
?
(
t
)
=
Z
f
(
?
(
t
))
?
0
(
t
)
dt.
Эта формула называется формулой замены переменной в
неопределенном интеграле. Она показывает, что если в
интеграле
R
f
(
x
)
dx
делается замена переменной
x
=
?
(
t
)
,
то нужно подставить вместо
x
функцию
?
(
t
)
, а вместо
dx
дифференциал
d?
(
t
) =
?
0
(
t
)
dt
( тем самым проясняется
предназначение множителя
dx
в обозначении интеграла).
Примеры. 1)
R
sin(
?x
)
dx.
Сделаем замену переменной
x
=
t/?
. Тогда
dx
=
dt/?
и по
формуле замены переменной получаем:
Z
sin(
?x
)
dx
=
1
?
Z
sin
tdt
=
?
1
?
cos
t
+
C
=
?
1
?
cos
?x
+
C.
2)
Z
r
x
a
?
x
dx
(
a >
0
)
.
Подынтегральная функция определена на промежутке
0
6
x < a.
Сделаем замену переменной
x
=
a
sin
2
t
, где
0
6
t < ?/
2. Тогда
dx
=
2
a
sin
t
cos
tdt
,
sin
t
=
r
x
a
,
t
= arcsin
r
x
a
,
cos
t
=
r
1
?
x
a
.
Применяя формулу замены переменной, приходим к равенствам:
Z
r
x
a
?
x
dx
x
=
a
2
sin
t
=
Z
s
a
sin
2
t
a
?
a
sin
2
t
·
2
a
sin
t
cos
tdt
=
=
2
a
Z
sin
t
cos
t
·
sin
t
cos
tdt
=
2
a
Z
sin
2
tdt
=
a
Z
(
1
?
cos
2
t
)
dt
=
=
a
t
?
sin
2
t
2
+
C
=
a
(
t
?
sin
t
cos
t
) +
C.

3. Два метода интегрирования
87
Возвращаясь от переменной
t
снова к переменной
x
(с помощью
выражений для
t
,
sin
t
и
cos
t
), получаем:
Z
r
x
a
?
x
dx
=
a
·
arcsin
r
x
a
?
a
r
x
a
r
1
?
x
a
+
C
=
=
a
·
arcsin
r
x
a
?
p
x
(
a
?
x
) +
C.
Интегрирование по частям
Теорема 3. Пусть функции
u
(
x
)
и
v
(
x
)
определены и диффе-
ренцируемы на промежутке
X
и пусть функция
v
(
x
)
u
0
(
x
)
имеет
первообразную, то есть на промежутке
X
существует интеграл
Z
v
(
x
)
u
0
(
x
)
dx.
Тогда интеграл
Z
u
(
x
)
v
0
(
x
)
dx
также существует на промежутке
X
и выполняется равенство
Z
u
(
x
)
v
0
(
x
)
dx
=
u
(
x
)
v
(
x
)
?
Z
v
(
x
)
u
0
(
x
)
dx.
Это равенство называется формулой интегрирования по ча-
стям.
Доказательство. Воспользуемся равенством
u
(
x
)
v
(
x
)
0
=
u
0
(
x
)
v
(
x
) +
u
(
x
)
v
0
(
x
)
,
откуда следует:
u
(
x
)
v
0
(
x
) =
u
(
x
)
v
(
x
)
0
?
u
0
(
x
)
v
(
x
)
. Функция
u
(
x
)
v
(
x
)
0
имеет первообразную
[
u
(
x
)
v
(
x
)]
, функция
u
0
(
x
)
v
(
x
)
имеет первообразную по условию теоремы. Следовательно, функ-
ция
u
(
x
)
v
0
(
x
)
также имеет первообразную и при этом
Z
u
(
x
)
v
0
(
x
)
dx
=
Z
[
u
(
x
)
v
(
x
)]
0
?
v
(
x
)
u
0
(
x
)
dx
=
=
u
(
x
)
v
(
x
)
?
Z
v
(
x
)
u
0
(
x
)
dx
,
что и требовалось доказать.

88
Гл. 5. Интегралы
Замечание. Поскольку
v
0
(
x
)
dx
=
dv
,
u
0
(
x
)
dx
=
du
, то формулу
интегрирования по частям можно записать в виде
Z
udv
=
uv
?
Z
vdu.
Смысл интегрирования по частям состоит в том, что вычисление
интеграла
R
udv
сводится к вычислению интеграла
R
vdu
, кото-
рый может оказаться проще исходного интеграла. Пример:
Z
xe
x
dx
=
Z
xd
(
e
x
) =
xe
x
?
Z
e
x
dx
=
xe
x
?
e
x
+
C.
џ 4. Интегрирование рациональных функций
Рациональная
функция
(или
рациональная
дробь)
P
n
(
x
)
/Q
m
(
x
)
называется правильной, если
n < m
(здесь
n
и
m
степени многочленов
P
n
(
x
)
и
Q
m
(
x
)
). Правильную
рациональную дробь можно разложить на сумму так называемых
простейших дробей. Рассмотрим пример:
x
x
4
?
1
=
x
(
x
?
1
)(
x
+
1
)(
x
2
+
1
)
=
A
x
?
1
+
B
x
+
1
+
Cx
+
D
x
2
+
1
=
=
x
3
(
A
+
B
+
C
) +
x
2
(
A
?
B
+
D
) +
x
(
A
+
B
?
C
) + (
A
?
B
?
D
)
(
x
?
1
)(
x
+
1
)(
x
2
+
1
)
.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x
в числителях левой и правой дробей, получаем систему уравне-
ний относительно
A
,
B
,
C
и
D
:
?
?
?
?
?
A
+
B
+
C
=
0,
A
?
B
+
D
=
0,
A
+
B
?
C
=
1,
A
?
B
?
D
=
0,
которая имеет единственное решение
A
=
B
=
1
/
4,
C
=
?
1
/
2,
D
=
0. Таким образом, искомое разложение имеет вид:
x
x
4
?
1
=
1
4
(
x
?
1
)
+
1
4
(
x
+
1
)
?
x
2
(
x
2
+
1
)
.
Обратимся теперь к общему случаю произвольной правиль-
ной рациональной дроби
P
n
(
x
)
/Q
m
(
x
)
. Пусть знаменатель
Q
m
(
x
)
имеет следующее разложение на множители:
Q
m
(
x
) = (
x
?
a
)
?
...
(
x
?
b
)
?
(
x
2
+
px
+
q
)
?
...
(
x
2
+
rx
+
s
)
?
,

4. Интегрирование рациональных функций
89
где числа
a
, ... ,
b
различные вещественные корни этого мно-
гочлена;
x
2
+
px
+
q
, ... ,
x
2
+
rx
+
s
квадратные трехчле-
ны с вещественными коэффициентами, имеющие комплексные
(различные) корни;
?
, ... ,
?
натуральные числа кратно-
сти соответствующих корней, причем, как нетрудно видеть,
(
?
+
...
+
?
) +
2
(
?
+
...
+
?
) =
m
. Можно доказать, что всякий
многочлен с вещественными коэффициентами имеет единствен-
ное разложение указанного вида; оно называется разложением
многочлена с вещественными коэффициентами на произведе-
ние неприводимых вещественных множителей.
Правильную рациональную дробь
P
n
(
x
)
/Q
m
(
x
)
, у которой
знаменатель имеет приведенное выше представление, можно раз-
ложить, и притом единственным образом, на сумму простейших
дробей следующего вида:
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
A
?
(
x
?
a
)
?
+
A
?
?
1
(
x
?
a
)
?
?
1
+
...
+
A
1
(
x
?
a
)
+
...
+
B
?
(
x
?
b
)
?
+
+
...
+
B
1
(
x
?
b
)
+
M
?
x
+
N
?
(
x
2
+
px
+
q
)
?
+
...
+
M
1
x
+
N
1
x
2
+
px
+
q
+
...
+
+
L
?
x
+
K
?
(
x
2
+
rx
+
s
)
?
+
...
+
L
1
x
+
K
1
x
2
+
rx
+
s
.
Коэффициенты
A
?
, ... ,
K
1
можно определить таким же спо-
собом, как в рассмотренном примере. Этот способ нахождения
коэффициентов называется методом неопределенных коэффи-
циентов.
Таким образом, интегрирование правильной рациональной
дроби сводится к интегрированию простейших дробей четырех
типов. Рассмотрим интегралы от этих простейших дробей.
1)
Z
A
x
?
a
dx
=
A
Z
d
(
x
?
a
)
x
?
a
=
A
ln
|
x
?
a
|
+
C.
2)
Z
A
(
x
?
a
)
?
dx
=
A
Z
d
(
x
?
a
)
(
x
?
a
)
?
=
A
(
x
?
a
)
?
?
+
1
1
?
?
+
1
+
C
=
=
A
(
1
?
?
)(
x
?
a
)
?
?
1
+
C
(
?
?
N
,
? >
1
)
.
3)
Z
M x
+
N
x
2
+
px
+
q
dx
,

90
Гл. 5. Интегралы
причем
p
2
?
4
q <
0, и, следовательно, квадратный трехчлен
x
2
+
+
px
+
q
имеет комплексные корни.
Введем обозначение
a
2
=
q
?
p
2
4
и сделаем замену переменной
t
=
x
+
p
2
. Тогда
x
2
+
px
+
q
= (
x
+
p/
2
)
2
+ (
q
?
p
2
/
4
) =
t
2
+
a
2
,
x
=
t
?
p/
2,
dx
=
dt
. Следовательно,
Z
M x
+
N
x
2
+
px
+
q
dx
=
Z
M
(
t
?
p/
2
) +
N
t
2
+
a
2
dt
=
M
Z
tdt
t
2
+
a
2
+
+
N
?
M p
2
Z
dt
t
2
+
a
2
=
M
2
Z
d
(
t
2
+
a
2
)
t
2
+
a
2
+
N
?
M p
2
1
a
Z
d
(
t/a
)
1
+ (
t/a
)
2
=
=
M
2
ln(
t
2
+
a
2
) +
N
?
M p
2
1
a
arctg
t
a
=
=
M
2
ln(
x
2
+
px
+
q
) +
2
N
?
M p
2
q
q
?
p
2
/
4
arctg
x
+
p/
2
q
q
?
p
2
/
4
+
C.
4)
Z
M x
+
N
(
x
2
+
px
+
q
)
?
dx
,
причем
?
?
N
,
? >
1, а квадратный трехчлен
x
2
+
px
+
q
имеет
комплексные корни.
Снова введем обозначение
a
2
=
q
?
p
2
4
и сделаем замену пере-
менной
t
=
x
+
p/
2.
Тогда
Z
M x
+
N
(
x
2
+
px
+
q
)
?
dx
=
Z
M t
+ (
N
?
M p/
2
)
(
t
2
+
a
2
)
?
dt
=
=
M
2
Z
d
(
t
2
+
a
2
)
(
t
2
+
a
2
)
?
+ (
N
?
M p/
2
)
Z
dt
(
t
2
+
a
2
)
?
=
=
M
2
(
1
?
?
)(
t
2
+
a
2
)
?
?
1
+ (
N
?
M p/
2
)
J
?
,
где
J
?
=
Z
dt
(
t
2
+
a
2
)
?
(
? >
1
)
. Для вычисления интеграла
J
?
воспользуемся методом интегрирования по частям, считая
?
>
1:
J
?
=
Z
dt
(
t
2
+
a
2
)
?
=
t
(
t
2
+
a
2
)
?
?
Z
td
1
(
t
2
+
a
2
)
?
=
t
(
t
2
+
a
2
)
?
?

4. Интегрирование рациональных функций
91
?
Z
t
(
?
?
)(
t
2
+
a
2
)
?
?
?
1
·
2
tdt
=
t
(
t
2
+
a
2
)
?
+
2
?
Z
t
2
+
a
2
?
a
2
(
t
2
+
a
2
)
?
+
1
dt
=
=
t
(
t
2
+
a
2
)
?
+
2
?
Z
dt
(
t
2
+
a
2
)
?
?
a
2
Z
dt
(
t
2
+
a
2
)
?
+
1
=
=
t
(
t
2
+
a
2
)
?
+
2
?J
?
?
2
?a
2
J
?
+
1
.
Отсюда получаем рекуррентную формулу для вычисления
J
?
:
J
?
+
1
=
1
2
?a
2
t
(
t
2
+
a
2
)
?
+ (
2
?
?
1
)
J
?
.
Поскольку
J
1
=
Z
dt
t
2
+
a
2
=
1
a
Z
d
(
t/a
)
1
+ (
t/a
)
2
=
1
a
arctg
t
a
+
C
,
то, полагая в рекуррентной формуле
?
=
1, находим
J
2
:
J
2
=
Z
dt
(
t
2
+
a
2
)
2
=
1
2
a
2
t
t
2
+
a
2
+
1
a
arctg
t
a
+
C
;
полагая в рекуррентной формуле
?
=
2 и зная
J
2
, найдем
J
3
, и
т.д.
Таким образом, каждая из простейших дробей интегрируется
в элементарных функциях.
Если рациональная дробь
P
n
(
x
)
/Q
m
(
x
)
неправильная, т.е.
n
>
m
, то, разделив
P
n
(
x
)
на
Q
m
(
x
)
, получим
P
n
(
x
) =
Q
m
(
x
)
·
T
n
?
m
(
x
) +
R
k
(
x
)
,
где
T
n
?
m
(
x
)
и
R
k
(
x
)
многочлены степени
n
?
m
и
k
, причем
k < m.
Отсюда
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
T
n
?
m
(
x
) +
R
k
(
x
)
Q
m
(
x
)
,
где второе слагаемое в правой части равенства представляет
собой правильную рациональную дробь. Тем самым, интегриро-
вание неправильной рациональной дроби сводится к интегриро-
ванию многочлена и правильной рациональной дроби.
Общий вывод: любая рациональная функция интегриру-
ется в элементарных функциях.

92
Гл. 5. Интегралы
Замечание. Пусть
Q
m
(
x
) = (
x
?
a
)
?
?
(
x
)
, где
?
(
a
)
6
=
0, т.е.
x
=
a
вещественный корень кратности
?
. Тогда
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
P
n
(
x
)
(
x
?
a
)
?
?
(
x
)
=
A
?
(
x
?
a
)
?
+
A
?
?
1
(
x
?
a
)
?
?
1
+
...
.
Умножив последнее равенство на
(
x
?
a
)
?
и положив затем
x
=
=
a
, получим:
A
?
=
P
n
(
a
)
?
(
a
)
=
P
n
(
x
)
?
(
x
)
x
=
a
.
Таким образом, чтобы найти коэффициент
A
?
, нужно в дроби
P
n
(
x
)
(
x
?
a
)
?
?
(
x
)
вычеркнуть в знаменателе множитель
(
x
?
a
)
?
, а
затем в оставшемся выражении положить
x
=
a
. Такой способ
нахождения коэффициента
A
?
называется методом вычеркива-
ния.
Примеры.
1) Вычислим интеграл от правильной рациональной дроби,
рассмотренной в начале этого раздела:
Z
x
(
x
?
1
)(
x
+
1
)(
x
2
+
1
)
dx
=
1
4
Z
dx
x
?
1
+
1
4
Z
dx
x
+
1
?
1
2
Z
xdx
x
2
+
1
=
=
1
4
ln
|
x
?
1
|
+
1
4
ln
|
x
+
1
| ?
1
4
ln(
x
2
+
1
) +
C
=
1
4
ln
x
2
?
1
x
2
+
1
+
C.
2)
Z
dx
x
2
?
a
2
.
Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дро-
бей:
1
x
2
?
a
2
=
1
(
x
?
a
)(
x
+
a
)
=
A
x
?
a
+
B
x
+
a
.
Используя метод вычеркивания, находим
A
и
B
:
A
=
1
2
a
,
B
=
=
?
1
2
a
.
Итак,
Z
dx
x
2
?
a
2
=
1
2
a
Z
1
x
?
a
?
1
x
+
a
dx
=
=
1
2
a
ln
|
x
?
a
| ?
ln
|
x
+
a
|
+
C
=
1
2
a
ln
x
?
a
x
+
a
+
C.

4. Интегрирование рациональных функций
93
Это интеграл носит название ѕвысокий логарифмї.
3)
Z
dx
p
x
2
+
1
.
Первый способ. Воспользуемся подстановкой Эйлера
t
=
x
+
p
x
2
+
1
.
Тогда
t
?
x
=
p
x
2
+
1
=
?
t
2
?
2
xt
+
x
2
=
x
2
+
1, откуда
x
=
t
2
?
1
2
t
,
dx
=
2
t
·
2
t
?
2
(
t
2
?
1
)
4
t
2
dt
=
t
2
+
1
2
t
2
dt
,
p
x
2
+
1
=
t
?
x
=
t
?
t
2
?
1
2
t
=
t
2
+
1
2
t
.
Следовательно,
Z
dx
p
x
2
+
1
=
Z
t
2
+
1
2
t
2
·
2
t
t
2
+
1
dt
=
Z
dt
t
= ln
|
t
|
+
C
=
= ln
x
+
p
x
2
+
1
+
C.
Второй способ. Сделаем замену переменной
x
= sh
t
=
e
t
?
e
?
t
2
.
Тогда
dx
= ch
tdt
,
t
= ln
x
+
p
x
2
+
1
.
Учитывая равенство
sh
2
t
+
1
= ch
2
t
, получаем:
Z
dx
p
x
2
+
1
=
Z
ch
tdt
ch
t
=
t
+
C
= ln
x
+
p
x
2
+
1
+
C.
Аналогично выводится равенство
Z
dx
p
x
2
?
1
= ln
x
+
p
x
2
?
1
+
C.
Итак,
Z
dx
p
x
2
±
1
= ln
x
+
p
x
2
±
1
+
C.
Этот интеграл называется ѕдлинный логарифмї.

94
Гл. 5. Интегралы
4)
Z
dx
5
cos
x
+
4
.
Положим
t
= tg(
x/
2
)
, тогда
x
=
2
arctg
t
,
dx
=
2
dt
1
+
t
2
,
cos
x
=
1
?
tg
2
x
2
1
+ tg
2
x
2
=
1
?
t
2
1
+
t
2
,
5
cos
x
+
4
=
5
?
5
t
2
1
+
t
2
+
4
=
9
?
t
2
1
+
t
2
.
Используя выписанные равенства, а также формулу ѕвысокого
логарифмаї, получаем:
Z
dx
5
cos
x
+
4
=
2
Z
dt
1
+
t
2
·
1
+
t
2
9
?
t
2
=
?
2
Z
dt
t
2
?
9
=
=
?
2
6
ln
t
?
3
t
+
3
+
C
=
?
1
3
ln
tg
x
2
?
3
tg
x
2
+
3
+
C.
џ 5. Понятие определенного интеграла
Пусть функция
f
(
x
)
определена на сегменте
[
a
,
b
]
, где
a <
< b
. Выберем на сегменте
[
a
,
b
]
произвольным образом точки
x
1
,
x
2
,
...
,
x
n
?
1
, так, что
a
=
x
0
< x
1
< x
2
< ... < x
n
?
1
< x
n
=
b.
1

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: