Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

44
Гл. 3. Непрерывность функции
утверждения теоремы наглядно очевидны (рис.
3.2
). Проведем
аккуратное доказательство.
1) В силу непрерывности функция
y
=
f
(
x
)
принимает все
значения от
f
(
a
)
до
f
(
b
)
, а в силу возрастания не имеет значе-
ний, меньших
f
(
a
)
и больших
f
(
b
)
. Таким образом, множество
ее значений есть сегмент
Y
= [
f
(
a
)
,
f
(
b
)]
.
2) Каждое число
y
?
Y
соответствует ровно одному числу
x
?
[
a
,
b
]
. Действительно, если предположить, что некоторое
y
из
Y
соответствует двум числам
x
1
и
x
2
из
[
a
,
b
]
(пусть ради опреде-
ленности
x
1
< x
2
), то получим
f
(
x
1
) =
f
(
x
2
) =
y
, что противоре-
чит возрастанию функции
f
(
x
)
на отрезке
[
a
,
b
]
. Следовательно,
на сегменте
Y
существует обратная функция
x
=
f
?
1
(
y
)
.
3) Докажем, что обратная функция
x
=
f
?
1
(
y
)
возрастает
на
Y
. Пусть
y
1
,
y
2
?
Y
,
y
1
< y
2
. Нужно доказать, что
f
?
1
(
y
1
)
<
< f
?
1
(
y
2
)
. Положим
f
?
1
(
y
1
) =
x
1
,
f
?
1
(
y
2
) =
x
2
. Нужно доказать,
что
x
1
< x
2
. Допустим, что
x
1
>
x
2
. Тогда
f
(
x
1
)
>
f
(
x
2
)
в силу
возрастания функции
y
=
f
(
x
)
, т.е.
y
1
>
y
2
, что противоречит
условию
y
1
< y
2
. Итак, функция
x
=
f
?
1
(
y
)
возрастает на сег-
менте
Y
.
4) Остается доказать непрерывность функции
x
=
f
?
1
(
y
)
на
сегменте
Y
. Докажем непрерывность в произвольной внутренней
точке
y
0
?
Y
. Пусть
f
?
1
(
y
0
) =
x
0
. Нужно доказать, что
?
? >
0
?
? >
0, такое, что
|
f
?
1
(
y
)
?
f
?
1
(
y
0
)
|
< ?
при
|
y
?
y
0
|
< ?
, или
|
f
?
1
(
y
)
?
x
0
|
< ?
для любого значения
y
из
?
-окрестности точки
y
0
.
Возьмем
?
столь малым, что
x
0
?
? > a
,
x
0
+
? < b
.
Пусть
f
(
x
0
?
?
) =
y
1
,
f
(
x
0
+
?
) =
y
2
. Поскольку функция
y
=
f
(
x
)
возрастающая, то
y
1
< y
0
< y
2
, а в силу возрастания
обратной функции
?
y
?
(
y
1
,
y
2
)
:
f
?
1
(
y
)
?
(
x
0
?
?
,
x
0
+
?
)
. Возь-
мем любую
?
-окрестность точки
y
0
, которая лежит в интервале
(
y
1
,
y
2
)
. Тогда для любого значения
y
из этой
?
-окрестности
значения обратной функции будут принадлежать
?
-окрестности
точки
x
0
, т.е.
?
y
? {|
y
?
y
0
|
< ?
}
выполняется неравенство
|
f
?
1
(
y
)
?
x
0
|
< ?
, что и требовалось доказать.
Непрерывность обратной функции в граничных точках сег-
мента
Y
доказывается аналогично.
Теорема 5 полностью доказана.
џ 4. Непрерывность элементарных функций
Используя теорему 5, докажем непрерывность основных эле-
ментарных функций.

4. Непрерывность элементарных функций
45
1)
y
= sin
x
(определение этой функции было дано в школьном
курсе математики). Ранее было доказано, что
lim
x
?
0
sin
x
= sin
0
=
0,
откуда следует непрерывность
sin
x
в точке
x
=
0.
Докажем непрерывность функции
y
= sin
x
в произвольной
точке
x
=
a
?
R
.
Нужно доказать, что
sin
x
?
sin
a
при
x
?
a
, или, что то же
самое,
sin
x
?
sin
a
?
0 при
x
?
a
. Имеем:
sin
x
?
sin
a
=
2
sin
x
?
a
2
cos
x
+
a
2
?
0 при
x
?
a
,
поскольку первый сомножитель представляет собой бесконечно
малую функцию при
x
?
a
, а второй ограниченную функцию.
Рассмотрим функцию
y
= sin
x
на отрезке
[
?
?/
2,
?/
2
]
. Она
непрерывна и возрастает на этом отрезке (возрастание следует
из формулы
sin
x
2
?
sin
x
1
=
2
sin
x
2
?
x
1
2
cos
x
2
+
x
1
2
.
По теореме 5 множеством значений функции является сегмент
Y
=
h
sin
?
?
2
,
sin
?
?
2
i
= [
?
1, 1
]
,
на сегменте
Y
существует обратная функция (она обозначается
x
= arcsin
y
) и эта функция возрастает и непрерывна на сег-
менте
[
?
1, 1
]
.
2) Вопрос о непрерывности функции
y
= cos
x
и обратной
по отношению к ней функции
x
= arccos
y
рассмотрите само-
стоятельно.
3)
y
= tg
x
. Поскольку
tg
x
= sin
x/
cos
x
(где
x
6
=
?/
2
+
?n
,
n
?
Z
), то данная функция непрерывна во всех точках ее области
определения как частное двух непрерывных функций.
Рассмотрим функцию
y
= tg
x
на отрезке
[
?
?/
2
+
?
,
?/
2
?
?
]
,
где
? >
0 произвольно малое число. Возрастание функции
tg
x
на этом отрезке вытекает из формулы
tg
x
2
?
tg
x
1
=
sin(
x
2
?
x
1
)
cos
x
1
·
cos
x
2
.
По теореме 5 множеством значений данной функции является
сегмент
Y
= [tg(
?
?/
2
+
?
)
,
tg(
?/
2
?
?
)]
, на сегменте
Y
существу-

46
Гл. 3. Непрерывность функции
ет обратная функция (она обозначается
x
= arctg
y
), возраста-
ющая и непрерывная.
Поскольку
tg(
?
?/
2
+
?
)
? ??
и
tg(
?/
2
?
?
)
?
+
?
при
?
?
+
0,
то
?
y
?
R
?
? >
0, такое, что
y
?
[tg(
?
?/
2
+
?
)
,
tg(
?/
2
?
?
)]
.
Поэтому функция
x
= arctg
y
определена, возрастает и непре-
рывна на всей числовой прямой
(
??
,
+
?
)
.
4) Вопрос о непрерывности функции
y
= ctg
x
и обратной
по отношению к ней функции
x
= arcctg
y
рассмотрите само-
стоятельно.
5) Степенная функция
y
=
x
n
, где
n
натуральное число.
Она непрерывна в каждой точке как произведение
n
непрерыв-
ных функций, равных
x
.
Рассмотрим данную функцию на сегменте
[
0,
a
]
, где
a >
0 
произвольное фиксированное число. Эта функция непрерывна
и возрастает на этом сегменте. По теореме 5 множеством ее
значений является сегмент
Y
= [
0,
a
n
]
, на сегменте
Y
существует
обратная функция (она обозначается
x
=
n
?
y
или
x
=
y
1
/n
),
возрастающая и непрерывная.
Поскольку
?
y >
0
?
a
, такое, что
y
?
[
0,
a
n
]
, то функция
x
=
n
?
y
определена, возрастает и непрерывна на полупрямой
[
0,
+
?
)
.
Итак,
?
x
>
0 определена дробная степень
x
1
/n
. Далее, по
определению положим
x
m/n
= (
x
1
/n
)
m
, где
m
любое целое
число.
6) Показательная функция
y
=
a
x
(
a >
0,
a
6
=
1). Для ра-
циональных
x
=
m/n
показательная функция определена выше
в п. 5). Из школьного курса алгебры известно, что для раци-
ональных показателей степени
r
=
m/n
функция
a
r
обладает
следующими свойствами:
а) если
r
1
> r
2
, то
a
r
1
> a
r
2
при
a >
1 и
a
r
1
< a
r
2
при 0
< a <
1;
б)
a
r
1
·
a
r
2
=
a
r
1
+
r
2
;
в)
(
a
r
1
)
r
2
=
a
r
1
r
2
;
г)
a
0
=
1 (по определению);
д)
a
?
r
=
1
/a
r
(по определению);
е)
a
r
b
r
= (
ab
)
r
;
ж)
?
r
:
a
r
>
0.
Определим теперь
a
x
для любого вещественного числа
x
.

4. Непрерывность элементарных функций
47
Пусть
a >
1,
x
произвольное вещественное число. Рас-
смотрим множество
{
a
r
}
, где
r
любое рациональное число, не
превосходящее
x
. Это множество ограничено сверху, например,
числом
a
r
, где
r
любое рациональное число, большее
x
.
Следовательно, существует
sup
{
a
r
}
. Положим по определению
a
x
= sup
r
?
Q
r
6
x
{
a
r
}
.
Можно определить
a
x
иначе:
a
x
= inf
R
?
Q
R
>
x
{
a
R
}
.
Задание. Докажите, что оба определения дают один и тот
же результат.
Если 0
< a <
1, то 1
/a >
1, и для любого
x
положим
a
x
=
= (
1
/a
)
?
x
.
Итак, функция
a
x
определена для любого
x
. Можно доказать,
что
a
x
обладает свойствами а)-ж) для любых вещественных
чисел
x
, в частности, функция
a
x
строго монотонна.
Докажем непрерывность функции
a
x
в произвольной точке
c
.
Пусть
a >
1. Докажем сначала непрерывность функции
a
x
в
точке
c
слева. Для этого нужно доказать, что
?
? >
0 существует
левая полуокрестность точки
c
, в которой
a
c
?
a
x
< ?
. По опре-
делению
a
c
= sup
r
?
Q
r
6
c
{
a
r
}
.
Возьмем произвольное
? >
0 и рассмотрим число
a
c
?
?
. Так как
оно меньше
a
c
, то согласно определению точной верхней грани
?
e
r < c
, такое, что
a
e
r
> a
c
?
?
. В силу возрастания
a
x
справедливо
неравенство
a
x
> a
e
r
при
e
r < x
6
c
. Поэтому
a
x
> a
c
?
?
при
e
r < x
6
c
, или, что то же самое,
a
c
?
a
x
< ?
при
e
r < x
6
c
, что и
доказывает непрерывность функции
a
x
в точке
c
слева.
Аналогично доказывается непрерывность функции
a
x
в точке
c
справа. Из непрерывности слева и справа следует непрерыв-
ность функции
a
x
в точке
c
.
Рассмотрим теперь функцию
y
=
a
x
на произвольном сегмен-
те
[
b
,
c
]
. По теореме 5 множеством ее значений является сегмент
Y
= [
a
b
,
a
c
]
, на сегменте
Y
существует обратная функция (она
обозначается
x
= log
a
y
), строго монотонная и непрерывная.

48
Гл. 3. Непрерывность функции
Поскольку
?
y >
0
?
b
и
c
, такие, что
y
?
[
a
b
,
a
c
]
, то функция
x
= log
a
y
определена, строго монотонна и непрерывна на полу-
прямой
(
0,
+
?
)
.
Если
a
=
e
, то
log
e
y
:= ln
y
называется натуральным лога-
рифмом, а функция
e
x
называется экспонентой.
7) Степенная функция с произвольным вещественным
показателем:
y
=
x
?
, где
x >
0,
?
?
R
. Поскольку
x
?
=
e
?
ln
x
,
то данная функция непрерывна как суперпозиция непрерывных
функций
y
=
e
t
и
t
=
?
ln
x
.
Рассмотренные функции 1)-7) называются основными эле-
ментарными функциями. Любая функция, которая получает-
ся из основных элементарных функций с помощью конечного
числа арифметических операций и суперпозиций, называется
просто элементарной функцией, а множество всех элементар-
ных функций называется классом элементарных функций. Из
непрерывности основных элементарных функций следует, что
любая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в
окрестности которой она определена.
џ 5. Замечательные пределы
Первый замечательный предел
Первый замечательный предел:
lim
x
?
0
sin
x
x
=
1
.
(Этот предел является неопределенностью типа
0
0
).
Доказательство. Воспользуемся неравенствами (они были до-
казаны ранее)
sin
x < x <
tg
x
при 0
< x <
?
2
,
из которых следует:
1
<
x
sin
x
<
1
cos
x
,
или
cos
x <
sin
x
x
<
1 при 0
< x <
?
2
.
В силу четности функций
cos
x
и
sin
x/x
выписанные неравен-
ства верны также при
?
?/
2
< x <
0. Перейдем к пределу при

5. Замечательные пределы
49
x
?
0. Поскольку
cos
x
?
1 (в силу непрерывности функции
cos
x
) и 1
?
1 при
x
?
0, то, согласно теореме теореме 6 главы
2,
sin
x/x
?
1 при
x
?
0, что и требовалось доказать.
Следствия.
1) Так как
sin
x
?
x
при
x
?
0, то
sin
x
?
x
=
o
(
x
)
, откуда
получаем простейшую асимптотическую формулу для функции
sin
x
при
x
?
0:
sin
x
=
x
+
o
(
x
)
.
Позднее мы покажем, что здесь
o
(
x
) =
?
x
3
/
6
+
o x
3
.
2)
cos
x
=
1
?
x
2
/
2
+
o x
2
при
x
?
0
.
Действительно,
lim
x
?
0
1
?
cos
x
x
2
2
= lim
x
?
0
sin
x
2
x
2
2
=
1,
откуда получаем 1
?
cos
x
?
x
2
/
2
?
1
?
cos
x
?
x
2
/
2
=
o x
2
?
?
cos
x
=
1
?
x
2
/
2
+
o x
2
при
x
?
0
.
3)
tg
x
=
x
+
o
(
x
)
при
x
?
0
.
(эту формулу выведите самостоятельно). Позднее мы узнаем, что
здесь
o
(
x
) =
x
3
/
3
+
o x
3
.
Примеры.
1)
lim
x
?
0
1
?
cos
3
x
+
2
sin
2
x
x
2
= lim
x
?
0
1
?
1
?
9
x
2
2
+
o x
2
+
2
(
x
+
o
(
x
))
2
x
2
=
= lim
x
?
0
9
x
2
2
+
o
(
x
2
) +
2
x
2
+
o
(
x
2
)
x
2
= lim
x
?
0
13
2
+
o
(
x
2
)
x
2
=
13
2
.
2)
lim
x
?
0
sin
x
?
tg
x
x
3
.
Первая попытка (использование простейших асимптотических
формул):
lim
x
?
0
sin
x
?
tg
x
x
3
= lim
x
?
0
x
+
o
(
x
)
?
(
x
+
o
(
x
))
x
3
= lim
x
?
0
o
(
x
)
x
3
=
?

50
Гл. 3. Непрерывность функции
Вторая попытка (с помощью первого замечательного предела):
lim
x
?
0
sin
x
?
tg
x
x
3
= lim
x
?
0
sin
x
(cos
x
?
1
)
cos
x
·
x
3
=
= lim
x
?
0
1
cos
x
·
sin
x
x
·
cos
x
?
1
x
2
=
1
·
1
·
?
1
2
=
?
1
2
.
Второй замечательный предел
Второй замечательный предел:
lim
x
?
0
(
1
+
x
)
1
/x
=
e.
(Этот предел является неопределенностью типа 1
?
)
По определению
e
=
lim
n
?
+
?
1
+
1
n
n
.
Положим 1
/n
=
x
, тогда
n
=
1
/x
,
x
?
0 при
n
?
+
?
и мы
получаем:
e
=
lim
n
?
+
?
1
+
1
n
n
= lim
x
?
0
(
1
+
x
)
1
/x
.
Однако, это еще не доказывает, что второй замечательный пре-
дел имеет место, т.к. при таком подходе
x
?
0, принимая лишь
значения 1
/n
, где
n
?
N
, а нужно доказать справедливость пре-
дельного равенства при любом способе стремления
x
к нулю, в
том числе и когда
x
принимает отрицательные значения.
Введем функцию
f
(
x
) =
1
+
1
[
x
]
[
x
]
,
x
>
1
.
Так как
f
(
x
) = (
1
+
1
/n
)
n
при
n
6
x < n
+
1, то
lim
x
?
+
?
f
(
x
) =
lim
n
?
+
?
1
+
1
n
n
=
e.
Докажем, что
lim
x
?
+
?
1
+
1
x
x
=
e.

5. Замечательные пределы
51
Воспользуемся неравенствами (при
x
>
1):
[
x
]
6
x
6
[
x
] +
1
= [
x
+
1
]
?
1
[
x
+
1
]
6
1
x
6
1
[
x
]
?
?
1
+
1
[
x
+
1
]
6
1
+
1
x
6
1
+
1
[
x
]
?
?
1
+
1
[
x
+
1
]
[
x
]
6
1
+
1
x
x
6
1
+
1
[
x
]
[
x
]+
1
?
?
1
+
1
[
x
+
1
]
[
x
+
1
]
·
1
+
1
[
x
+
1
]
?
1
6
1
+
1
x
x
6
6
1
+
1
[
x
]
[
x
]
·
1
+
1
[
x
]
.
Перейдем к пределу при
x
?
+
?
. Левая и правая части послед-
него двойного неравенства, очевидно, стремятся к
e
. Следова-
тельно,
lim
x
?
+
?
1
+
1
x
x
=
e.
Положим
y
=
1
/x
. Тогда
y
?
+
0 при
x
?
+
?
и мы получаем:
lim
x
?
+
?
1
+
1
x
x
= lim
y
?
+
0
(
1
+
y
)
1
y
=
e.
Ради удобства перепишем последнее равенство в виде
lim
x
?
+
0
(
1
+
x
)
1
x
=
e.
(3.4)
Докажем теперь, что
lim
x
??
0
(
1
+
x
)
1
x
=
e.
(3.5)
Положим
y
=
?
x
. Тогда
y
?
+
0 при
x
? ?
0 и
(
1
+
x
)
1
x
= (
1
?
y
)
?
1
y
=
1
1
?
y
1
y
=
1
+
y
1
?
y
1
y
.
Пусть
z
=
y/
(
1
?
y
)
. Тогда если
y
?
+
0, то
z
?
+
0. Кроме того,
y
=
z/
(
1
+
z
)
и 1
/y
=
1
/z
+
1. Поэтому
lim
x
??
0
(
1
+
x
)
1
x
= lim
z
?
+
0
(
1
+
z
)
1
z
·
(
1
+
z
) =
e
·
1
=
e
,

52
Гл. 3. Непрерывность функции
то есть выполнено равенство (
3.5
).
Из (
3.4
) и (
3.5
) следует:
lim
x
?
0
(
1
+
x
)
1
x
=
e
,
что и требовалось доказать.
Примеры.
1)
lim
x
?
0
log
a
(
1
+
x
)
x
= lim
x
?
0
log
a
(
1
+
x
)
1
x
= log
a
e
=
1
ln
a
.
Отсюда вытекает, что
log
a
(
1
+
x
)
?
x/
ln
a
при
x
?
0, поэтому
имеет место асимптотическая формула
log
a
(
1
+
x
) =
x
ln
a
+
o
(
x
)
при
x
?
0
.
(3.6)
В частности, для
a
=
e
получаем формулу
ln(
1
+
x
) =
x
+
o
(
x
)
при
x
?
0
.
2)
lim
x
?
0
a
x
?
1
x
= lim
y
?
0
y
log
a
(
1
+
y
)
= ln
a.
Здесь была сделана замена
a
x
?
1
=
y
, при этом
y
?
0, если
x
?
0. Следовательно,
a
x
?
1
?
x
ln
a
при
x
?
0, поэтому имеет
место асимптотическая формула
a
x
=
1
+
x
ln
a
+
o
(
x
)
при
x
?
0
.
(3.7)
В частности, для
a
=
e
получаем формулу
e
x
=
1
+
x
+
o
(
x
)
при
x
?
0
.

Г л а в а 4
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
џ 1. Определение производной. Производные
некоторых основных элементарных функций
Пусть функция
y
=
f
(
x
)
определена на интервале
(
a
,
b
)
. За-
фиксируем какую-нибудь точку
x
из
(
a
,
b
)
и рассмотрим другую
точку
x
+ ?
x
этого интервала. Величину
?
x
назовем прираще-
нием аргумента функции в точке
x
. Составим разность
?
y
=
f
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
)
.
При фиксированной точке
x
эта разность является функцией
аргумента
?
x
. Она называется приращением функции
y
=
f
(
x
)
в точке
x
.
Рассмотрим отношение
?
y
?
x
=
f
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
)
?
x
.
Оно также является функцией аргумента
?
x
.
Определение. Если существует
lim
?
x
?
0
?
y
?
x
,
то он называется производной функции
y
=
f
(
x
)
в точке
x
.
Обозначения производной:
f
0
(
x
)
или
y
0
(
x
)
.
В физике часто используется обозначение
?
y
(
x
)
, обычно в том
случае, когда
x
время. Несколько позже мы введем еще одно
обозначение:
dy
dx
, но это будет не единый символ, а дробь, в
которой числитель и знаменатель имеют свой смысл.
Примеры.
1) Постоянная функция
y
=
c
, где
c
некоторое число. Так
как
?
y
=
f
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
) =
c
?
c
=
0, то
lim
?
x
?
0
?
y
?
x
=
0, то есть
c
0
=
0
.

54
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
2) Степенная функция
y
=
x
n
,
n
?
N
. Найдем приращение
функции:
?
y
=
f
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
) = (
x
+ ?
x
)
n
?
x
n
=
=
x
n
+
nx
n
?
1
·
?
x
+
n
(
n
?
1
)
x
n
?
2
Ч
(?
x
)
2
/
2
+
...
+ (?
x
)
n
?
x
n
=
=
nx
n
?
1
·
?
x
+
o
(?
x
)
при
?
x
?
0
.
Отсюда следует:
?
y
?
x
=
nx
n
?
1
+
o
(?
x
)
?
x
?
nx
n
?
1
при
?
x
?
0,
то есть
(
x
n
)
0
=
nx
n
?
1
,
n
?
N
.
Позднее мы докажем, что эта формула верна для любого веще-
ственного числа
n
и любого
x >
0.
3) Функция
y
= sin
x
. Имеем:
?
y
= sin(
x
+ ?
x
)
?
sin
x
=
2
sin
?
x
2
·
cos
x
+
?
x
2
=
=
2
?
x
2
+
o
(?
x
)
·
cos
x
+
?
x
2
при
?
x
?
0
.
Здесь мы воспользовались формулой
sin
?
x
2
=
?
x
2
+
o
(?
x
)
при
?
x
?
0. Используя теперь непрерывность функции
cos
x
, полу-
чаем:
?
y
?
x
=
1
+
o
(?
x
)
?
x
·
cos
x
+
?
x
2
?
cos
x
при
?
x
?
0
.
Итак,
(sin
x
)
0
= cos
x.
4) Докажите самостоятельно, что
(cos
x
)
0
=
?
sin
x.
5) Логарифмическая функция
y
= log
a
x
(
x >
0
)
. Так как
?
y
= log
a
(
x
+ ?
x
)
?
log
a
x
= log
a
1
+
?
x
x
,

1. Определение производной. Производные элементарных функций.
55
то, применяя формулу (
3.6
), получаем:
?
y
=
?
x
x
ln
a
+
o
(?
x
)
при
?
x
?
0,
откуда следует, что
?
y
?
x
=
1
x
ln
a
+
o
(?
x
)
?
x
?
1
x
ln
a
при
?
x
?
0
.
Итак,
(log
a
x
)
0
=
1
/
(
x
ln
a
)
,
в частности,
(ln
x
)
0
=
1
/x.
6) Показательная функция
y
=
a
x
(
a >
0;
a
6
=
1
)
.
Используя формулу (
3.7
), получаем
?
y
=
a
x
+?
x
?
a
x
=
a
x
(
a
?
x
?
1
) =
a
x
(?
x
·
ln
a
+
o
(?
x
))
при
?
x
?
0
.
Отсюда следует, что
?
y
?
x
=
a
x
ln
a
+
o
(?
x
)
?
x
?
a
x
·
ln
a
при
?
x
?
0
.
Итак,
(
a
x
)
0
=
a
x
·
ln
a
,
в частности,
(
e
x
)
0
=
e
x
.
Односторонние производные
Рассмотрим разностное отношение
?
y
?
x
=
f
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
)
?
x
при
?
x >
0
.
Определение. Если существует
lim
?
x
?
+
0
?
y
?
x
,
то он называется правой производной функции
y
=
f
(
x
)
в точке
x
. Обозначение:
f
0
пр
(
x
)
.

56
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
Аналогично определяется левая производная функции
y
=
f
(
x
)
в точке
x
:
lim
?
x
??
0
?
y
?
x
=
f
0
лев
(
x
)
.
Функция
y
=
f
(
x
)
может иметь в какой-то точке не равные
односторонние производные.
Пример. Рассмотрим функцию
y
=
|
x
|
. В точке
x
=
0 имеем:
?
y
=
y
(
0
+ ?
x
)
?
y
(
0
) =
?
x
, если
?
x >
0
?
?
x
, если
?
x <
0 ,
поэтому
?
y
?
x
=
+
1, если
?
x >
0,
?
1, если
?
x <
0.
Следовательно, правая производная функции
y
=
|
x
|
в точке 0
равна 1, а левая производная равна
?
1. Производной в этой точке
функция
y
=
|
x
|
не имеет.
Частные производные
Рассмотрим функцию не одной, а нескольких переменных,
например,
z
=
f
(
x
,
y
)
. Если зафиксировать значение одной из
переменных, например
y
, то функция
z
станет функцией одной
переменной
x
. Производная этой функции называется частной
производной функции
z
=
f
(
x
,
y
)
по аргументу
x
и обозначается
z
0
x
. Аналогично определяется частная производная
z
0
y
по аргумен-
ту
y
.
Пример. Рассмотрим функцию
z
=
x
y
. Тогда
z
0
x
=
y
·
x
y
?
1
,
z
0
y
=
x
y
·
ln
x
.
џ 2. Физический и геометрический смысл производной
Физический смысл производной
Пусть
x
время, а
y
=
f
(
x
)
координата точки, движущей-
ся по оси
Oy
, в момент времени
x
.
Разностное отношение
?
y
?
x
=
f
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
)
?
x
представляет собой среднюю скорость точки на промежутке
времени от момента
x
до момента
x
+ ?
x
, а величина
lim
?
x
?
0
?
y
?
x
=
f
0
(
x
) =
v
(
x
)

2. Физический и геометрический смысл производной
57
является мгновенной скоростью точки в момент времени
x
.
В случае произвольной функции
y
=
f
(
x
)
производная
f
0
(
x
)
характеризует скорость изменения переменной
y
(функции) по
отношению к изменению аргумента
x
.
Геометрический смысл производной

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: