Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

58
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
Определение. Если существует
lim
?
x
?
0
?
(?
x
) =
?
0
,
то прямая
l
с угловым коэффициентом
k
= tg
?
0
, проходящая
через точку
M
(
x
,
f
(
x
))
, называется касательной к графику
функции
y
=
f
(
x
)
в точке
M
.
Говорят также, что прямая
l
является предельным положе-
нием секущей
M N
при
?
x
?
0. В соответствии с этим мож-
но сказать, что касательная к графику функции
y
=
f
(
x
)
в
точке
M
(
x
,
f
(
x
))
есть предельное положение секущей
M N
при
?
x
?
0.
Теорема 1. Если функция
y
=
f
(
x
)
имеет в точке
x
про-
изводную
f
0
(
x
)
, то график функции имеет в точке
M
(
x
,
f
(
x
))
касательную, причем угловой коэффициент касательной равен
f
0
(
x
)
.
Доказательство. Из треугольника
M N P
(см. рис.
4.2
) получаем:
tg
?
(?
x
) =
?
y
?
x
?
?
(?
x
) = arctg
?
y
?
x
.
Перейдем к пределу при
?
x
?
0 и воспользуемся тем, что
lim
?
x
?
0
?
y
?
x
=
f
0
(
x
)
и
arctg
t
непрерывная функция. Получим:
lim
?
x
?
0
?
(?
x
) = lim
?
x
?
0
arctg
?
y
?
x
= arctg
f
0
(
x
)
.
Отсюда по определению касательной следует, что существует
касательная к графику функции в точке
M
(
x
,
f
(
x
))
. При этом
?
0
= lim
?
x
?
0
?
(?
x
) = arctg
f
0
(
x
)
,
и, следовательно, для углового коэффициента касательной полу-
чаем равенство
k
= tg
?
0
=
f
0
(
x
)
. Теорема доказана.
Отметим, что уравнение касательной к графику функции
y
=
=
f
(
x
)
в точке
M
(
x
0
,
f
(
x
0
))
имеет вид:
y
?
f
(
x
0
) =
f
0
(
x
0
)(
x
?
x
0
)
.

3. Дифференцируемость и дифференциал функции
59
џ 3. Дифференцируемость и дифференциал функции
Пусть функция
y
=
f
(
x
)
имеет производную в точке
x
, то
есть
lim
?
x
?
0
?
y
?
x
=
f
0
(
x
)
.
Введем функцию
?
(?
x
) =
?
y
?
x
?
f
0
(
x
) =
f
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
)
?
x
?
f
0
(
x
)
.
(4.1)
Функция
?
(?
x
)
определена при
?
x
6
=
0 и является бесконечно
малой при
?
x
?
0. Из равенства (
4.1
) получаем:
?
y
=
f
0
(
x
)
·
?
x
+
?
(?
x
)
·
?
x
при
?
x
6
=
0
.
(4.2)
Равенство (
4.2
) будет верным и для
?
x
=
0, если доопределить
каким-нибудь образом функцию
?
(?
x
)
при
?
x
=
0. Для даль-
нейшего удобно положить
?
(
0
) =
0, то есть доопределить
?
(?
x
)
в точке
?
x
=
0 по непрерывности. Отметим также, что
f
0
(
x
)
не зависит от
?
x
, т.е. для данной точки
x
является некоторым
числом.
Итак, если функция
y
=
f
(
x
)
имеет производную в точке
x
,
то ее приращение в этой точке можно представить в виде (
4.2
),
где
?
(?
x
)
?
0 при
?
x
?
0,
?
(
0
) =
0.
Пусть теперь дано, что приращение функции
y
=
f
(
x
)
в точке
x
имеет вид
?
y
=
A
·
?
x
+
?
(?
x
)
·
?
x
,
(4.3)
где
A
некоторое число, а
?
(?
x
)
?
0 при
?
x
?
0,
?
(
0
) =
0.
Покажем, что в этом случае функция
y
=
f
(
x
)
имеет производ-
ную в точке
x
, причем
f
0
(
x
) =
A
. Из (
4.3
) получаем:
?
y
?
x
=
A
+
?
(?
x
)
,
откуда следует, что
lim
?
x
?
0
?
y
?
x
=
f
0
(
x
) =
A.
Таким образом, если функция
y
=
f
(
x
)
имеет производную
в точке
x
, то ее приращение в этой точке можно представить в
виде (
4.3
), где
A
=
f
0
(
x
)
, и обратно, если приращение функции в
точке
x
можно представить в виде (
4.3
), то она имеет в точке
x

60
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
производную, причем
f
0
(
x
) =
A
, т.е. существование производ-
ной функции в точке
x
и представление приращения функции
в виде (
4.3
) являются эквивалентными свойствами функции.
Определение. Если приращение функции
y
=
f
(
x
)
в точке
x
можно представить в виде (
4.3
), где
A
некоторое число, а
?
(?
x
)
бесконечно малая функция при
?
x
?
0,
?
(
0
) =
0, то
функция
y
=
f
(
x
)
называется дифференцируемой в точке
x
.
Из проведенного рассуждения следует, что для дифферен-
цируемости функции в точке
x
необходимо и достаточно,
чтобы она имела производную в этой точке.
Операцию вычисления производной называют дифференци-
рованием функции.
Замечание. Условие дифференцируемости (
4.3
) с учетом ра-
венств
A
=
f
0
(
x
)
,
?
(?
x
)
·
?
x
=
o
(?
x
)
при
?
x
?
0, можно запи-
сать в виде
?
y
=
f
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
)
.
(4.4)
Пример. Рассмотрим функцию
y
=
x
2
. Имеем:
?
y
= (
x
+ ?
x
)
2
?
x
2
=
2
x
·
?
x
+ ?
x
·
?
x
=
2
x
·
?
x
+
o
(?
x
)
.
Здесь
A
=
f
0
(
x
) =
2
x.
Теорема 2. Если функция
y
=
f
(
x
)
дифференцируема в точке
a
, то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. Нужно доказать, что
lim
x
?
a
f
(
x
) =
f
(
a
)
.
Введем обозначение:
x
?
a
= ?
x
. Тогда
?
x
?
0 при
x
?
a
,
x
=
a
+ ?
x
, и нужно доказать, что
lim
?
x
?
0
f
(
a
+ ?
x
) =
f
(
a
)
или
lim
?
x
?
0
[
f
(
a
+ ?
x
)
?
f
(
a
)] =
0
.
Но
f
(
a
+ ?
x
)
?
f
(
a
) = ?
y
приращение функции в точке
a
.
Таким образом, требуется доказать, что
lim
?
x
?
0
?
y
=
0
.
По условию теоремы функция
y
=
f
(
x
)
дифференцируема в
точке
a
, поэтому
?
y
=
f
0
(
a
)
·
?
x
+
o
(?
x
)
.

3. Дифференцируемость и дифференциал функции
61
Следовательно,
lim
?
x
?
0
?
y
=
0,
что и требовалось доказать.
Замечание. Равенство
lim
?
x
?
0
?
y
=
0,
где
?
y
=
f
(
a
+ ?
x
)
?
f
(
a
)
, называется разностной формой
условия непрерывности функции
y
=
f
(
x
)
в точке
a
. Если это
условие выполнено, то функция непрерывна в точке
a
, и обратно,
если функция непрерывна в точке
a
, то это условие выполнено.
Отметим также, что обратное к теореме 2 утверждение невер-
но, т.е. непрерывная в некоторой точке функция может быть
недифференцируемой в этой точке.
Пример. Функция
f
(
x
) =
|
x
|
непрерывна в точке
x
=
0, но
не дифференцируема в этой точке.
Существуют функции, которые непрерывны в каждой точке
числовой прямой, но ни в одной точке не дифференцируемы.
Впервые пример такой функции построил Карл Вейерштрасс
(1815-1897) в 1872 году.
Дифференциал функции
Обратимся снова к условию дифференцируемости функции,
записанному в виде (
4.4
):
?
y
=
f
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
)
.
Приращение
?
y
дифференцируемой в точке
x
функции
y
=
f
(
x
)
состоит из
двух слагаемых:
f
0
(
x
)
·
?
x
и
o
(?
x
)
. Оба слагаемых являются
бесконечно малыми функциями при
?
x
?
0. Если
f
0
(
x
)
6
=
0, то
первое слагаемое является бесконечно малой того же порядка,
что и
?
x
:
f
0
(
x
)
·
?
x
=
O
(?
x
)
. Второе слагаемое
o
(?
x
)
является
бесконечно малой более высокого порядка, чем
?
x
.
Определение. Дифференциалом функции
y
=
f
(
x
)
в точке
x
называется линейная функция аргумента
?
x
:
dy
=
f
0
(
x
)
·
?
x.
(4.5)
Отметим, что если
f
0
(
x
)
6
=
0, то
dy
=
f
0
(
x
)
·
?
x
является главной

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: