Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

5. Понятие определенного интеграла
95
y
x
a
O
1
x
1
?
n
b x
=
?
n
?
i
1
i
x
-
i
x
Рис. 5.2.
Положим
?
x
i
=
x
i
?
x
i
?
1
(заме-
тим, что
?
x
i
>
0) и составим
сумму
I
(
x
i
,
?
i
) =
n
X
i
=
1
f
(
?
i
)
·
?
x
i
.
Число
I
(
x
i
,
?
i
)
называется инте-
гральной суммой функции
f
(
x
)
,
соответствующей данному раз-
биению сегмента
[
a
,
b
]
и данному выбору промежуточных точек
?
i
на частичных сегментах
[
x
i
?
1
,
x
i
]
.
Геометрический смысл интегральной суммы для
f
(
x
)
>
0 
площадь ступенчатой фигуры (рис.
5.2
).
Пусть
? = max
1
6
i
6
n
?
x
i
. Величину
?
называют диаметром раз-
биения.
Определение. Число
I
называется пределом интегральных сумм
I
(
x
i
,
?
i
)
при
?
?
0, если
?
? >
0
?
? >
0, такое, что для любого
разбиения
[
a
,
b
]
, у которого
?
< ?
, и любого выбора точек
?
i
выполняется неравенство
|
I
(
x
i
,
?
i
)
?
I
|
< ?.
Если существует
lim
?
?
0
I
(
x
i
,
?
i
) =
I
, то функция
f
(
x
)
называет-
ся интегрируемой (по Риману) на
[
a
,
b
]
, а число
I
называется
определенным интегралом от функции
f
(
x
)
по сегменту
[
a
,
b
]
и
обозначается так:
I
=
b
Z
a
f
(
x
)
dx.
Геометрический смысл определенного интеграла
для
непре-
рывной
функции
f
(
x
)
>
0:
интеграл
b
R
a
f
(
x
)
dx
равен
площади криволинейной трапеции (рис.
5.3
) (это будет доказано
в главе 11). Физические примеры:
1)
S
=
t
2
Z
t
1
v
(
t
)
dt
путь, пройденный точкой по прямой за
промежуток времени
[
t
1
,
t
2
]
при скорости
v
(
t
)
.

96
Гл. 5. Интегралы
y
x
a
O
( )
y
f x
=
( )
b
a
S
f x dx
=
т
b
Рис. 5.3.
2)
A
=
b
Z
a
f
(
x
)
dx
работа силы
f
(
x
)
при перемещении матери-
альной точки по оси
x
из точ-
ки
a
в точку
b
(направление си-
лы совпадает с направлением оси
x
, если
f
(
x
)
>
0, и противопо-
ложно направлению оси
x
, если
f
(
x
)
<
0).
Поставим вопрос: для ка-
ких функций
f
(
x
)
существует
b
R
a
f
(
x
)
dx
, то есть какие функции интегрируемы?
Неограниченная на сегменте
[
a
,
b
]
функция
f
(
x
)
неинтегриру-
ема, так как для любого разбиения
[
a
,
b
]
интегральная сумма
n
X
i
=
1
f
(
?
i
)
·
?
x
i
может быть сделана сколь угодно большой за
счет выбора точек
?
i
, и, следовательно, не существует предела
интегральных сумм при
?
?
0.
Рассмотрим два примера ограниченных функций.
1)
f
(
x
) =
c
=
const
,
x
?
[
a
,
b
]
.
Для любого разбиения
[
a
,
b
]
и любого выбора точек
?
i
:
I
(
x
i
,
?
i
) =
n
X
i
=
1
f
(
?
i
)?
x
i
=
c
n
X
i
=
1
?
x
i
=
c
(
b
?
a
)
.
Следовательно,
lim
?
?
0
I
(
x
i
,
?
i
) =
c
(
b
?
a
)
,
то есть
b
Z
a
cdx
=
c
(
b
?
a
)
Итак, постоянная на сегменте функция интегрируема на этом
сегменте.
2)
f
(
x
) =
1, если x рациональное число,
0, если x иррациональное число, где
x
?
[
a
,
b
]
(функция Дирихле).
Для любого разбиения сегмента
[
a
,
b
]
интегральная сумма

6. Суммы Дарбу
97
I
(
x
i
,
?
i
)
может принимать значения от 0 до
(
b
?
a
)
в зависимости
от выбора точек
?
i
. Следовательно, не существует
lim
?
?
0
I
(
x
i
,
?
i
)
,
то есть функция Дирихле не интегрируема по Риману.
В дальнейшем мы будем рассматривать только ограниченные
функции.
Наша цель доказать интегрируемость непрерывных функ-
ций, некоторых разрывных функций, в частности, кусочно-
непрерывных функций, и монотонных функций. Для этого по-
требуется развить теорию верхних и нижних сумм Дарбу.
џ 6. Суммы Дарбу
Пусть
f
(
x
)
ограниченная на
[
a
,
b
]
функция. Рассмотрим
произвольное разбиение сегмента
[
a
,
b
]
на частичные сегменты
[
x
i
?
1
,
x
i
]
,
i
=
1, 2,
...
,
n
. Введем обозначения:
M
i
=
sup
[
x
i
?
1
,
x
i
]
f
(
x
)
,
m
i
=
inf
[
x
i
?
1
,
x
i
]
f
(
x
)
и составим две суммы:
S
=
n
X
i
=
1
M
i
?
x
i
;
s
=
n
X
i
=
1
m
i
?
x
i
,
где
?
x
i
=
x
i
?
x
i
?
1
.
Числа
S
и
s
называются верхней и нижней суммами функции
f
(
x
)
для данного разбиения сегмента
[
a
,
b
]
или, коротко, верхней
и нижней суммами Дарбу.
Cвойства сумм Дарбу.
I.
Так
как
?
?
i
?
[
x
i
?
1
,
x
i
]
выполняются
неравенства
m
i
6
f
(
?
i
)
6
M
i
, то
n
X
i
=
1
m
i
?
x
i
6
n
X
i
=
1
f
(
?
i
)?
x
i
6
n
X
i
=
1
M
i
?
x
i
,
то есть для данного разбиения
s
6
I
(
x
i
,
?
i
)
6
S.
(5.6)
Итак, любая интегральная сумма данного разбиения заключе-
на между нижней и верхней суммами этого разбиения. Иначе
говоря, нижняя и верхняя суммы данного разбиения являются
4 В.Ф. Бутузов

98
Гл. 5. Интегралы
нижней и верхней гранями множества интегральных сумм этого
разбиения. Более того,
s
= inf
{
I
(
x
i
,
?
i
)
}
,
S
= sup
{
I
(
x
i
,
?
i
)
}
.
(5.7)
Это следует из того, что точку
?
i
на частичном сегменте
[
x
i
?
1
,
x
i
]
можно выбрать так, что значение
f
(
?
i
)
будет сколь угодно мало
отличаться от
m
i
(и также от
M
i
).
II. Чтобы отличать одно разбиение сегмента
[
a
,
b
]
от другого,
будем обозначать разбиения буквой
T
с различными индексами.
Пусть разбиение
T
2
сегмента
[
a
,
b
]
получено путем добав-
ления нескольких новых точек к разбиению
T
1
. Нижнюю и
верхнюю суммы разбиений
T
1
и
T
2
обозначим
s
1
,
S
1
и
s
2
,
S
2
соответственно. Тогда
s
2
>
s
1
,
S
2
6
S
1
.
Другими словами, при измельчении разбиения нижняя сумма
не убывает, а верхняя не возрастает.
j
x
ў
D
678
j
x
ўў
D
678
1
j
x
-
a
x
ў
j
x
b
Рис. 5.4.
Доказательство. Рассмотрим сначала
случай, когда к разбиению
T
1
добавле-
на только одна новая точка разбиения:
x
0
?
[
x
j
?
1
,
x
j
]
(рис.
5.4
). Докажем, что
будет выполнено неравенство
S
2
6
S
1
(неравенство
s
2
>
s
1
доказывается ана-
логично). Введем обозначения
?
x
0
j
=
x
0
?
x
j
?
1
,
?
x
00
j
=
x
j
?
x
0
,
M
0
j
= sup
[
x
j
?
1
,
x
0
]
f
(
x
)
,
M
00
j
= sup
[
x
0
,
x
j
]
f
(
x
)
.
Тогда
?
x
j
=
x
j
?
x
j
?
1
= ?
x
0
j
+ ?
x
00
j
,
M
0
j
6
M
j
,
M
00
j
6
M
j
.
Поэтому
S
1
?
S
2
=
M
j
?
x
j
?
M
0
j
?
x
0
j
+
M
00
j
?
x
00
j
=
=
M
j
?
x
0
j
+ ?
x
00
j
?
M
0
j
?
x
0
j
?
M
00
j
?
x
00
j
=
=
M
j
?
M
0
j
?
x
0
j
+
M
j
?
M
00
j
?
x
00
j
>
0,
(5.8)
то есть
S
2
6
S
1
. Отсюда следует, что если добавлено несколько
новых точек разбиения, то неравенство
S
2
6
S
1
также выполня-
ется.

6. Суммы Дарбу
99
Пусть для разбиения
T
1
? = max ?
x
i
, пусть
sup
[
a
,
b
]
f
(
x
) =
M
,
inf
[
a
,
b
]
f
(
x
) =
m
,
и пусть разбиение
T
2
получено путем добавления одной но-
вой точки к разбиению
T
1
. Тогда из (
5.8
) следует неравенство
S
1
?
S
2
6
(
M
?
m
)
·
?
. Если разбиение
T
2
получено путем до-
бавления
p
новых точек к разбиению
T
1
, то
S
1
?
S
2
6
p
(
M
?
m
) ?
,
s
2
?
s
1
6
p
(
M
?
m
) ?
.
(5.9)
III. Нижняя сумма произвольного разбиения не превосходит
верхней суммы любого другого разбиения.
Доказательство. Пусть суммы Дарбу произвольных разбиений
T
1
и
T
2
равны
s
1
,
S
1
и
s
2
,
S
2
. Требуется доказать, что
s
1
6
S
2
и
s
2
6
S
1
.
Обозначим буквой
T
объединение разбиений
T
1
и
T
2
. Пусть
суммы Дарбу разбиения
T
равны
s
и
S
. Тогда, используя свой-
ство II и неравенства (
5.6
), приходим к неравенствам
s
1
6
s
6
S
6
S
1
,
s
2
6
s
6
S
6
S
2
,
из которых следует, что
s
1
6
S
2
,
s
2
6
S
1
.
IV. Рассмотрим множество
{
s
}
всевозможных нижних сумм и
множество
{
S
}
всевозможных верхних сумм (для данной функ-
ции
f
(
x
)
на сегменте
[
a
,
b
]
). Множество
{
S
}
ограничено снизу
(любой нижней суммой) и, следовательно, имеет точную ниж-
нюю грань. Множество
{
s
}
ограничено сверху (любой верхней
суммой) и, следовательно, имеет точную верхнюю грань. Введем
обозначения
I
= inf
{
S
}
,
I
= sup
{
s
}
.
Числа
I
и
I
называются верхним и нижним интегралами Дарбу
(от функции
f
(
x
)
на сегменте
[
a
,
b
]
).
Утверждение.
I
6
I
.
Доказательство. Предположим, что
I > I
и положим
K
=
=
1
2
I
+
I
. Согласно определению точных граней числового
множества найдутся такие верхняя сумма
S
0
и нижняя сумма
s
00
,
которые удовлетворяют неравенствам
S
0
< K
и
s
00
> K
(рис.
5.5
).
4*

100
Гл. 5. Интегралы

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: