Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

2. Определение предела функции
19
жестве
X
называется ее точной верхней (нижней) гранью на
этом множестве и обозначается
sup
X
f
(
x
)
(inf
X
f
(
x
))
.
Можно сказать иначе: точная верхняя грань функции
y
=
f
(
x
)
это
sup
{
y
}
, где
{
y
}
множество значений функции.
Эквивалентное определение. Число
M
называется точной
верхней гранью функции
f
(
x
)
на множестве
X
, если:
1)
?
x
?
X
:
f
(
x
)
6
M
(это условие показывает, что
M
одна
из верхних граней
f
(
x
)
на
X
);
2)
?
f
M < M
?
e
x
?
X
:
f
(
e
x
)
>
f
M
(это условие показывает, что
M
наименьшая из верхних граней).
Задание.
1) Сформулируйте аналогичное определение точной нижней
грани функции,
2) Сформулируйте определения:
а) неограниченной сверху на множестве
X
функции,
б) неограниченной снизу на множестве
X
функции,
в) неограниченной на множестве
X
функции.
Пример. Рассмотрим функцию
y
= sin
x
, 0
< x
6
?
2
.
sup
(
0,
?/
2
]
sin
x
=
1
? {
y
}
,
inf
(
0,
?/
2
]
sin
x
=
0
6? {
y
}
.
Этот пример показывает, что ограниченная функция может не
принимать значения, равного какой-либо ее точной грани. В
таком случае говорят, что функция не достигает этой точной
грани.
џ 2. Определение предела функции
Определение. Число
a
называется предельной точкой чис-
лового множества
X
, если в любой проколотой
?
-окрестности
точки
a
содержатся точки из множества
X
.
При этом сама точка
a
может принадлежать, а может и не
принадлежать множеству
X
.
Примеры.
1)
X
=
{
x
:
a < x < b
}
. Любая точка интервала
X
, а также точки
a
и
b
предельные точки интервала
X
.
2)
N
множество натуральных чисел не имеет предельных
точек.

20
Гл. 2. Предел функции
Пусть функция
y
=
f
(
x
)
определена на множестве
X
и
a
предельная точка
X
.
Определение (по Коши). Число
b
называется пределом
функции
f
(
x
)
в точке
a
(при
x
?
a
), если
?
? >
0
?
? >
0,
такое, что для любого значения аргумента
x
из проколотой
?
-окрестности точки
a
выполняется неравенство
|
f
(
x
)
?
b
|
< ?
(иначе говоря,
|
f
(
x
)
?
b
|
< ?
, если
x
?
X
и 0
<
|
x
?
a
|
< ?
).
Обозначение:
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b.
Задание. Постройте отрицание определения предела функ-
ции, то есть сформулируйте определение
lim
x
?
a
f
(
x
)
6
=
b.
Геометрическая иллюстрация определения предела функции.
y
x
a
O
b
?
a
+
?
a
-
?
b
-
?
b
+
Рис. 2.2.
y
x
a
O
b
?
a
+
?
a
-
?
b
-
?
b
+
c
?
c
-
?
c
+
Рис. 2.3.
Поскольку
|
f
(
x
)
?
b
|
< ?
? ?
? < f
(
x
)
?
b < ?
?
b
?
? < f
(
x
)
< b
+
?
,
то существование предела, равного
b
, у функции
f
(
x
)
при
x
?
?
a
с геометрической точки зрения означает, что
?
? >
0
?
? >
>
0, такое, что в пределах проколотой
?
-окрестности точки
a
график
f
(
x
)
лежит в полосе между прямыми
y
=
b
?
?
и
y
=
b
+
?
(рис.
2.2
).
Замечание 1. Функция может иметь в данной точке не более
одного предела.
В самом деле, если предположить, что функция имеет в точке
a
два предела:
b
и
c
, то, взяв непересекающиеся
?
-окрестности
точек
b
и
c
, получим, что в пределах некоторой проколотой

2. Определение предела функции
21
?
-окрестности точки
a
график функции лежит одновременно в
полосе между
y
=
b
?
?
и
y
=
b
+
?
и также в полосе между
прямыми
y
=
c
?
?
и
y
=
c
+
?
, чего не может быть (рис.
2.3
).
Замечание 2. Если функция
f
(
x
)
имеет предел в точке
a
, то
она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Утверждение следует непосредственно из определения преде-
ла функции:
b
?
? < f
(
x
)
< b
+
?
при 0
<
|
x
?
a
|
< ?
.
Примеры.
1) Пусть
f
(
x
) =
b
=
const
?
x
?
R
, тогда
?
a
:
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b.
Действительно,
?
? >
0 возьмем любое
? >
0. Тогда
|
f
(
x
)
?
b
|
=
=
0
< ?
при всех
x
и, значит, при 0
<
|
x
?
a
|
< ?
.
2) Пусть
f
(
x
) =
b
, если
x
6
=
a
c
6
=
b
, если
x
=
a
,
тогда
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b.
3) Пусть
f
(
x
) =
b
, если
x
6
=
a
не определена,
если
x
=
a
,
тогда
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b.
Замечание 3. В примерах 2) и 3), как и в примере 1), для
любого
? >
0 можно взять любое
? >
0, то есть
?
не зависит от
?
.
Замечание 4. Если в определении предела функции опустить
неравенство 0
<
|
x
?
a
|
, т.е. потребовать выполнения неравенства
|
f
(
x
)
?
b
|
< ?
для всех значений аргумента
x
из
?
-окрестности
точки
a
, включая и саму точку
a
(если, конечно, она принад-
лежит области определения функции), то ответ в примере 3 не
изменится, поскольку
x
=
a
не является значением аргумента
функции. В примере 2, напротив, ответ изменится: предел у
функции
f
(
x
)
при
x
?
a
не будет существовать, так как для
x
=
a
неравенство
|
f
(
x
)
?
b
|
< ?
принимает вид
|
c
?
b
|
< ?
, и,
следовательно, оно не выполняется, если взять
?
меньше, чем
|
c
?
b
|
.

22
Гл. 2. Предел функции
4) Пусть
f
(
x
) =
x
, тогда для любого
a
lim
x
?
a
f
(
x
) =
a.
В самом деле,
?
? >
0 возьмем
?
=
?
. Тогда если
|
x
?
a
|
< ?
=
?
,
то
|
f
(
x
)
?
a
|
=
|
x
?
a
|
< ?
, что и требовалось доказать.
5) Пусть
f
(
x
) = sin
1
x
,
x
6
=
0. Заметим, что
x
=
0 является
предельной точкой области определения функции, и докажем,
что эта функция не имеет предела при
x
?
0.
Доказательство проведем от противного: предположим, что
lim
x
?
0
sin
1
x
=
b
,
где
b
некоторое число. Возьмем
?
=
1. По определению предела
функции
?
? >
0, такое, что
sin
1
x
?
b
<
1 при 0
<
|
x
|
< ?
.
Возьмем
x
1
=
1
2
?n
+
?
2
,
x
2
=
1
2
?n
?
?
2
.
При достаточно большом
n
?
N
числа
x
1
и
x
2
удовлетворяют
неравенствам: 0
<
|
x
i
|
< ?
,
i
=
1, 2. При этом
sin
1
x
1
?
b
=
|
1
?
b
|
<
1 и
sin
1
x
2
?
b
=
| ?
1
?
b
|
=
|
1
+
b
|
<
1
.
1
x
O
C
B
A
1
Рис. 2.4.
Последние два неравенства не могут
одновременно выполняться ни при
каком
b
, следовательно, наше предпо-
ложение неверно и предел функции
f
(
x
)
при
x
?
0 не существует.
6) Пусть
f
(
x
) = sin
x
, тогда
lim
x
?
0
f
(
x
) = lim
x
?
0
sin
x
=
0
.
Чтобы доказать это, воспользуем-
ся известным неравенством
sin
x < x
при 0
< x <
?
2
. Оно выражает тот
факт, что площадь равнобедренного треугольника, вписанного в
сектор единичной окружности, меньше площади этого сектора
(рис.
2.4
):
S
?
AOB
=
1
2
sin
x < S
сект.
AOB
=
1
2
x
. Попутно заметим,

2. Определение предела функции
23
что
S
сект.
AOB
< S
?
AOC
, то есть
1
2
x <
1
2
tg
x
, или
x <
tg
x
при
0
< x <
?
2
(это неравенство понадобится нам не здесь, а позднее).
В силу нечетности функций
sin
x
и
x
имеем:
|
sin
x
|
<
|
x
|
при 0
<
|
x
|
<
?
2
.
Зададим произвольное
? >
0 и положим
?
=
?
. Тогда для всех
x
, удовлетворяющих условию 0
<
|
x
|
< ?
=
?
, получим
|
sin
x
?
0
|
=
|
sin
x
|
<
|
x
|
< ?
,
а это и означает, что
lim
x
?
0
sin
x
=
0
.
Односторонние пределы
Может случиться так, что при стремлении аргумента
x
к точке
a
слева и справа функция
f
(
x
)
имеет разные предельные значения.
В качестве примера приведем функцию (рис.
2.5
)
f
(
x
) =
sgn
x
=
(
+
1, если
x >
0,
0, если
x
=
0,
?
1, если
x <
0
.
1
x
O
y
1
-
Рис. 2.5.
1
x
O
y
1
2
1
-
2
1
-
Рис. 2.6.
Определение. Число
b
называется пределом функции
f
(
x
)
в точке
a
справа (слева), если
?
? >
0
?
? >
0, такое, что
?
x
?
(
a
,
a
+
?
)
(соответственно,
?
x
?
(
a
?
?
,
a
)
) выполняется
неравенство
|
f
(
x
)
?
b
|
< ?
.
Обозначение:
lim
x
?
a
+
0
f
(
x
) =
b
или
f
(
a
+
0
) =
b
lim
x
?
a
?
0
f
(
x
) =
b
или
f
(
a
?
0
) =
b
.

24
Гл. 2. Предел функции
Пример. Рассмотрим функцию
f
(
x
) = [
x
]
, где
[
x
]
целая

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: