Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

38
Гл. 3. Непрерывность функции
2) Рациональная функция
P
n
(
x
)
/Q
m
(
x
)
непрерывна в любой
точке
a
, в которой
Q
m
(
a
)
6
=
0, так как было доказано, что
lim
x
?
a
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
P
n
(
a
)
Q
m
(
a
)
.
Определение 2 (эквивалентное определению 1). Функция
f
(
x
)
называется непрерывной в точке
a
, если
?
? >
0
?
? >
0,
такое, что
?
x
? {|
x
?
a
|
< ?
}
:
|
f
(
x
)
?
f
(
a
)
|
< ?
.
Отметим, что в этом определении отсутствует условие 0
<
<
|
x
?
a
|
(то есть
x
6
=
a
), фигурирующее в определении предела
функции, поскольку оно здесь является излишним в точке
x
=
=
a
неравенство
|
f
(
x
)
?
f
(
a
)
|
< ?
выполняется для любого
? >
0.
С помощью определения 2 установим одно важное свой-
ство непрерывной функции. Пусть
f
(
x
)
непрерывна в точке
a
и
f
(
a
)
>
0. Возьмем
?
=
f
(
a
)
. Тогда, согласно определе-
нию 2, существует
? >
0, такое, что
|
f
(
x
)
?
f
(
a
)
|
< ?
=
f
(
a
)
в
?
-окрестности точки
a
, т.е.
?
f
(
a
)
< f
(
x
)
?
f
(
a
)
< f
(
a
)
. Из
левого неравенства следует, что
f
(
x
)
>
0 в
?
-окрестности точки
a
. Тем самым мы доказали, что если функция
f
(
x
)
непрерывна
в точке
a
и положительна в этой точке, то она будет положи-
тельной и в некоторой окрестности точки
a
(аналогичное утвер-
ждение справедливо и в случае, когда
f
(
x
)
отрицательна в точке
a
). Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной
функции.
Задание.
Установите, верны ли утверждения:
1) если функция
f
(
x
)
непрерывна в точке
a
, то функция
|
f
(
x
)
|
также непрерывна в точке
a
?
2) если функция
|
f
(
x
)
|
непрерывна в точке
a
, то и функция
f
(
x
)
непрерывна в точке
a
?
Если утверждение верно, то его необходимо доказать, если
же неверно привести контрпример.
Односторонняя непрерывность
Пусть функция
f
(
x
)
определена в правой полуокрестности точки
a
, т.е. при
a
6
x < a
+
?
.
Определение. Функция
f
(
x
)
называется непрерывной спра-
ва в точке
a
, если
lim
x
?
a
+
0
f
(
x
) =
f
(
a
)
(
другая форма записи
:
f
(
a
+
0
) =
f
(
a
))
.

1. Определение непрерывности. Точки разрыва функции
39
Аналогичным образом определяется непрерывность слева в точ-
ке
a
:
lim
x
?
a
?
0
f
(
x
) =
f
(
a
)
(
или
f
(
a
?
0
) =
f
(
a
))
.
Пример. Рассмотрим функцию
f
(
x
) = [
x
]
(целая часть
x
).
Для любого
n
?
Z
имеем:
f
(
n
+
0
) =
n
,
f
(
n
?
0
) =
n
?
1 и
f
(
n
) =
=
n
, поэтому функция
[
x
]
непрерывна в точках
x
=
n
только
справа, а в остальных точках и справа, и слева.
Теорема 1. Если функция
f
(
x
)
непрерывна в точке
a
слева
и справа, то она непрерывна в точке
a
.
Доказательство. По условию
lim
x
?
a
+
0
f
(
x
) =
f
(
a
)
,
lim
x
?
a
?
0
f
(
x
) =
f
(
a
)
.
Согласно теореме 1 главы 2 отсюда следует, что существует
lim
x
?
a
f
(
x
) =
f
(
a
)
,
а это и означает, что
f
(
x
)
непрерывна в точке
a
. Теорема дока-
зана.
Точки разрыва функции
Определение. Предельная точка области определения функ-
ции, в которой функция не является непрерывной, называется
точкой разрыва функции.
Примеры.
1) Функция
f
(
x
) = [
x
]
разрывна в точках
x
=
n
,
n
?
Z
.
2) Функция Дирихле
D
(
x
) =
1, если
x
?
Q
,
0, если
x /
?
Q
,
где
Q
множество всех рациональных чисел, разрывна во всех
точках, так как
?
a
?
R
lim
x
?
a
D
(
x
)
не существует (докажите самостоятельно).
3) Функция
f
(
x
) =
x
·
D
(
x
)
непрерывна в точке
x
=
0, по-
скольку
lim
x
?
0
f
(
x
) =
f
(
0
) =
0,
и разрывна во всех остальных точках (докажите самостоятель-
но).

40
Гл. 3. Непрерывность функции
Классификация точек разрыва
1) Устранимый разрыв. Точка
a
называется точкой устра-
нимого разрыва функции
f
(
x
)
, если
?
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b
,
но в точке
a
функция
f
(
x
)
либо не определена, либо
f
(
a
)
6
=
b
.
Если положить
f
(
a
) =
b
, то разрыв будет устранен, т.е. функ-
ция станет непрерывной в точке
a
.
Пример. Рассмотрим функцию
f
(
x
) = sin
x/x
,
x
6
=
0
.
lim
x
?
0
sin
x
x
=
1
(это будет вскоре доказано), однако в точке
x
=
0 эта функция
не определена. Если положить
f
(
x
) =
(
sin
x
x
, если
x
6
=
0,
1, если
x
=
0,
то функция
f
(
x
)
будет непрерывной в точке
x
=
0.
2) Разрыв 1-ого рода. Точка
a
называется точкой разрыва
1-ого рода функции
f
(
x
)
, если существуют
lim
x
?
a
+
0
f
(
x
)
и
lim
x
?
a
?
0
f
(
x
)
,
но они не равны (т.е.
f
(
a
?
0
)
6
=
f
(
a
+
0
)
).
Пример. Рассмотрим функцию
f
(
x
) = [
x
]
. Точки
x
=
n
,
n
?
Z
являются точками разрыва 1-ого рода данной функции, так как
f
(
n
?
0
) =
n
?
1, а
f
(
n
+
0
) =
n
6
=
f
(
n
?
0
)
.
3) Разрыв 2-ого рода. Точка
a
называется точкой разрыва
2-ого рода функции
f
(
x
)
, если в этой точке не существует по
крайней мере один из односторонних пределов
f
(
x
)
.
Примеры.
1) Точка
x
=
0 является точкой разрыва 2-ого рода функции
sin
1
x
, так как оба односторонних предела
lim
x
??
0
sin
1
x
и
lim
x
?
+
0
sin
1
x
не существуют.
2) Точка
x
=
1 является точкой разрыва 2-ого рода функции
2
1
/
(
x
?
1
)
, поскольку
lim
x
?
1
?
0
2
1
x
?
1
=
0, но
lim
x
?
1
+
0
2
1
x
?
1
=
?
(
т.е. не существует
)
.

2. Свойства непрерывных функций
41
џ 2. Свойства непрерывных функций
Теорема 2. Если функции
f
(
x
)
и
g
(
x
)
непрерывны в точке
a
, то
функции
f
(
x
)
±
g
(
x
)
,
f
(
x
)
g
(
x
)
,
f
(
x
)
/g
(
x
)
(при условии
g
(
a
)
6
=
0)
также непрерывны в точке
a
.
Доказательство. По условию
lim
x
?
a
f
(
x
) =
f
(
a
)
,
lim
x
?
a
g
(
x
) =
g
(
a
)
.
Отсюда следует (согласно теореме 4 главы 2), что
lim
x
?
a
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)) =
f
(
a
)
±
g
(
a
)
,
lim
x
?
a
f
(
x
)
g
(
x
) =
f
(
a
)
g
(
a
)
,
и, если выполнено условие
g
(
a
)
6
=
0, то
lim
x
?
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
(
a
)
g
(
a
)
,
а это и означает справедливость утверждения теоремы.
Понятие сложной функции
Пусть аргумент
t
функции
y
=
f
(
t
)
является не независимой
переменной, а функцией некоторой переменной
x
:
t
=
?
(
x
)
. Тогда
говорят, что переменная
y
является сложной функцией перемен-
ной
x
(или суперпозицией функций
f
и
?
) и пишут
y
=
f
(
?
(
x
))
.
Пример.
y
= sin(
x
2
)
сложная функция:
y
= sin
t
, где
t
=
x
2
.
Теорема 3. Пусть функция
t
=
?
(
x
)
непрерывна в точке
x
=
a
,
?
(
a
) =
b
, а функция
y
=
f
(
t
)
непрерывна в точке
b
. Тогда слож-
ная функция
y
=
f
(
?
(
x
))
непрерывна в точке
x
=
a
.
Доказательство. Нужно доказать, что
lim
x
?
a
f
(
?
(
x
)) =
f
(
?
(
a
))
,
т.е.
?
? >
0
?
? >
0, такое, что
|
f
(
?
(
x
))
?
f
(
?
(
a
))
|
< ?
при
|
x
?
a
|
< ?.
Зададим произвольное
? >
0. Так как функция
f
(
t
)
непрерывна
в точке
b
, то
?
? >
0, такое, что
|
f
(
t
)
?
f
(
b
)
|
< ?
при
|
t
?
b
|
< ?
,
откуда следует, что
|
f
(
?
(
x
))
?
f
(
?
(
a
))
|
< ?
при
|
?
(
x
)
?
?
(
a
)
|
< ?.
(3.1)
В свою очередь, в силу непрерывности функции
?
(
x
)
в точке
a
для указанного
?
существует
? >
0, такое, что
|
?
(
x
)
?
?
(
a
)
|
< ?
при
|
x
?
a
|
< ?.
(3.2)

42
Гл. 3. Непрерывность функции
Из (
3.1
) и (
3.2
) следует, что если
|
x
?
a
|
< ?
, то
|
f
(
?
(
x
))
?
f
(
?
(
a
))
|
< ?
,
что и требовалось доказать.
Определение. Функция
f
(
x
)
называется непрерывной на
множестве
X
, если она непрерывна в каждой точке этого мно-
жества.
Пример: рациональная функция
P
n
(
x
)
/Q
m
(
x
)
непрерывна на
любом интервале, на котором
Q
m
(
x
)
6
=
0.
В частности,
f
(
x
)
называется непрерывной на сегменте
[
a
,
b
]
(
a < b
)
, если она непрерывна в каждой внутренней точке сегмен-
та
[
a
,
b
]
, непрерывна в точке
a
справа и в точке
b
слева.
Теорема 4. Если функция
f
(
x
)
непрерывна на сегменте
[
a
,
b
]
и
f
(
a
)
f
(
b
)
<
0, то существует точка
c
?
(
a
,
b
)
, такая, что
f
(
c
) =
0.
Доказательство. Пусть для определенности
f
(
a
)
<
0,
f
(
b
)
>
>
0. Тогда в силу устойчивости знака непрерывной функции
f
(
x
)
<
0 в некоторой правой полуокрестности точки
a
. Рассмот-
рим множество
X
таких чисел
e
x
сегмента
[
a
,
b
]
, для которых
f
(
x
)
<
0 на
[
a
,
e
x
)
, то есть
X
=
{
e
x
:
f
(
x
)
<
0 при
a
6
x <
e
x
}
.
Это множество ограничено сверху и, следовательно, имеет точ-
ную верхнюю грань. Пусть
sup
X
=
c
. Отметим, что
?
x
0
< c
:
f
(
x
0
)
<
0
.
(3.3)
Действительно, если
x
0
< c
, то
x
0
не является верхней гранью
множества
X
и поэтому существует число
e
x
?
X
, такое, что
e
x > x
0
. Так как
f
(
x
)
<
0 на
[
a
,
e
x
)
, то
f
(
x
0
)
<
0.
Докажем, что
f
(
c
) =
0. Будем рассуждать от противного.
Допустим, что
f
(
c
)
<
0. Тогда
f
(
x
)
<
0 в некоторой окрест-
ности точки
c
и, следовательно,
?
e
x > c
, такое, что
f
(
x
)
<
0 на
[
a
,
e
x
)
, а это противоречит тому, что
sup
X
=
c
.
Допустим теперь, что
f
(
c
)
>
0. Тогда
f
(
x
)
>
0 в некоторой
окрестности точки
c
, и, следовательно,
?
x < c
:
f
(
x
)
>
0, что
противоречит неравенству (
3.3
).
Итак, мы заключаем, что
f
(
c
) =
0. Теорема доказана.
Следствие. (Теорема о прохождении непрерывной функ-
ции через любое промежуточное значение.) Пусть
f
(
x
)
непре-
рывна на сегменте
[
a
,
b
]
, причем
f
(
a
) =
A
,
f
(
b
) =
B
. Тогда
?
C
?
(
A
,
B
)
?
c
?
(
a
,
b
)
:
f
(
c
) =
C
.
Доказательство. Пусть для определенности
A < B
,
A <
< C < B
. Введем функцию
g
(
x
) =
f
(
x
)
?
C
. Она непрерыв-
на на сегменте
[
a
,
b
]
, причем
g
(
a
) =
f
(
a
)
?
C
=
A
?
C <
0,

3. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
43
g
(
b
) =
f
(
b
)
?
C
=
B
?
C >
0. По теореме 4 существует такая
точка
c
?
(
a
,
b
)
, что
g
(
c
) =
0, т.е.
f
(
c
)
?
C
=
0, откуда
f
(
c
) =
C
,
что и требовалось доказать.
џ 3. Теорема о существовании и непрерывности
обратной функции
Пусть функция
y
=
f
(
x
)
определена на множестве
X
и
Y
множество ее значений. Пусть каждое
y
?
Y
соответствует ровно
одному значению
x
из множества
X
. В этом случае говорят,
что функция
y
=
f
(
x
)
устанавливает взаимно однозначное со-
ответствие между элементами множеств
X
и
Y
.
Поставим в соответствие каждому
y
из
Y
то число
x
из
X
, для которого
f
(
x
) =
y
. Тем самым на множестве
Y
будет
определена функция. Она называется обратной по отношению к
функции
y
=
f
(
x
)
и обозначается
x
=
f
?
1
(
y
)
.
Очевидно, обратной по отношению к функции
x
=
f
?
1
(
y
)
яв-
ляется функция
y
=
f
(
x
)
. Поэтому эти две функции называются
взаимно обратными.
Примеры.
1) Рассмотрим функцию
y
=
x
2
,
X
= [
0,
+
?
)
. Множество ее
значений
Y
= [
0,
+
?
)
. Обратной по отношению к этой функции
будет функция
x
=
?
y
, определенная на множестве
Y
.
2) Рассмотрим теперь функцию
y
=
x
2
, определенную на
множестве
X
= (
??
,
+
?
)
. В этом случае, как и в примере 1,
Y
?
[
0,
+
?
)
, но обратной функции не существует, поскольку
соответствие, устанавливаемое данной функцией между элемен-
тами множеств
X
и
Y
, не является взаимно однозначным.

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: