Лекции по теории управления : учебное пособие

109

 
 
 
Лекция 14. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА 
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 
14.1. Метод гармонической линеаризации 
Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса) – это 
метод приближенного анализа нелинейных систем, основанный на замене 
нелинейного элемента 
 
2
1
x
F x

(14.1) 
линейным 
2
1
x
k x
 
. 
(14.2) 
Этот метод позволяет приближенно определять условия существова-
ния и устойчивости периодических режимов в нелинейных динамических 
системах. 
Рамки применимости метода ограничены случаем, когда нелинейная 
характеристика является нечетной функцией входного сигнала, а линейная 
часть является фильтром низких частот, т.е. при прохождении сигнала через 
линейную часть системы происходит подавление высокочастотных состав-
ляющих. В результате сигнал на выходе линейной части системы оказыва-
ется близким к синусоидальному (рис. 14.1). Здесь 
1
sin
x
A


, 
(14.3) 
где 
t
 

(переход от 
t

к новой переменной 

, обозначающей угол по-
ворота вектора на круговой диаграмме будет ясен из примера в разделе 
14.2).
Если выполняются указан-
ные предположения, то сигнал на 
выходе нелинейного звена будет 
также периодическим, хотя и не 
синусоидальным. Тем не менее, 
свойство периодичности сигнала 
Рис. 14.1. Нелинейная
система с низкочастотной
линейной частью 

110 
произвольной формы позволяет осуществлять его разложение в ряд Фурье 
и притом ограничиться лишь первой главной гармоникой:
Если выполняются указанные предположения, то сигнал на выходе не-
линейного звена будет также периодическим, хотя и не синусоидальным. 
Тем не менее, свойство периодичности сигнала произвольной формы позво-
ляет осуществлять его разложение в ряд Фурье и притом ограничиться лишь 
первой главной гармоникой: 






2
2
2
0
0
2
0
1
1
sin
sin
sin
sin
2
1
sin
cos
cos .
x
F A
d
F A
d
F A
d



 

 




 













 






(14.4) 
В силу того, что по предположению нелинейная характеристика нечет-
ная и, следовательно, отсутствует постоянная составляющая, будем также 
полагать 


2
0
sin
0.
F A
d

 


(14.5) 
Далее в соответствии с (14.3)
1
sin
x
A


. 
(14.6) 
Заменив левую и правую часть в (14.6) их производными можно записать 
1
cos
px
A



. 
(14.7) 
С учетом соотношений (14.5), (14.6), (14.7) формулу (14.4) можно пе-
реписать в следующем виде 
'
'
2
1
1
1
1
( )
( )
( )
( )
( , )
q A
q A
x
q A x
p x
q A
p
x
k A
x






 
 

 





, 
(14.8) 
где 
( )
q A
и 
'
( )
q A
– коэффициенты гармонической линеаризации, определя-
емые формулами 


2
0
1
( )
sin
sin
q A
F A
d
A


 



; 
(14.9) 

111



2
'
0
1
( )
sin
cos
q A
F A
d
A


 



.
(14.10) 
Коэффициент 
'
( )
( , )
( )
q A
k A
q A
p




(14.11) 
является коэффициентом гармонической линеаризации, зависящим от ам-
плитуды и частоты сигнала. В случае периодического процесса в установив-
шемся режиме системы 
A const

,
const


. При этом коэффициент гармо-
нической линеаризации (14.11) также становится постоянным. Тогда в 
соответствии со структурной схемой, показанной на рис. 14.1, можно запи-
сать следующее характеристическое уравнение
 
1
( , , )
0
k A
p W p




.
(14.12) 
При замене в этом уравнении 
p
j


можно определить амплитуду 
A
и частоту периодического решения. Таким образом, задача определения ав-
токолебаний в нелинейной системе распадается на два этапа: определение 
вида соотношения (14.11) для коэффициента гармонической линеаризации 
( , , )
k A
p

(1-й этап) и нахождение решений уравнения (14.12) – второй этап. 

жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: