Лекции по теории управления : учебное пособие

103

 
0
,
для всех
t
t
t


  
x
. 
Если
 
0,
при
t
t

 
x
, 
то невозмущенное движение
 
 
*
0
0,
i
F

 
1,
i
n

 
называется
асимптотиче-
ски устойчивым. 
13.2. Исследование устойчивости нелинейных систем
по уравнениям первого приближения 
Пусть 
 
( ),
1,
i
i
x t
f
i
n


x
(13.7) 
заданная нелинейная система, а 
(0)
0,
i
f
1,
i
n

– состояние равновесия в 
начале координат. В предположении непрерывности частных производных 
разложим в ряд Тейлора в окрестности точки 
0

x
: 
,
1
2
1
( )
( ,
,...,
),
1,
n
i
i j
j
i
n
i
f
a x
x x
x
i
n






x
, 
(13.8) 
где
 
,
0
i
i j
j
j
f
a x
x




x
x
,
а
0
( )
lim
0
i



x
x
x
. 
(13.9) 
Перепишем (13.8) В матричном виде 
( )


x
Ax
φ x
, 
(13.10) 
где 




1
2
1
2
, ,...,
,
( )
( ),
( ),...,
( )
T
T
n
n
x x
x





x
φ x
x
x
x
.
Систему

x
Ax
(13.11) 
называют системой первого приближения для исходной нелинейной си-
стемы (13.8). Имеют место следующие теоремы Ляпунова об устойчивости 
(и неустойчивости) по первому приближению. 
Тривиальное решение 
 
0,
i
x t

1,
i
n

системы (13.10) асимптотически 
устойчиво по Ляпунову, если все корни характеристического уравнения 

104 
матрицы 
A
системы (13.10) имеют отрицательные вещественные части, т.е. 
 
Re
0,
i


A
1,
i
n
 
.
Если же существуют собственные значения, такие что
 
Re
0
i


A
, то 
точка покоя неустойчива (теорема Ляпунова о неустойчивости по первому 
приближению).
Теоремы Ляпунова об устойчивости (и неустойчивости) по первому 
приближению являются содержанием, так называемого, 
первого метода 
Ляпунова
. Первый метод применим только для исследования 
устойчивости 
систем в малом
, притом только линеаризуемых систем. Поскольку к таким 
системам полностью применима описанная ранее теория устойчивости ли-
нейных систем, включая все рассмотренные частотные и алгебраические 
критерии устойчивости, далее мы не будем останавливаться на этом методе.
13.3. Второй (прямой) метод Ляпунова 
Прямой метод Ляпунова позволяет исследовать устойчивость решений 
нелинейных систем, не производя решений самих уравнений. Исследуется 
устойчивость тривиального решения уравнения вида
( )
f

x
x
, 
(13.12) 
где 




1
2
1
2
, ,...,
,
( )
( ),
( ),...,
( )
T
T
n
n
x x
x
f
f
f
f


x
x
x
x
x
. 
Для формулировки теоремы прямого метода Ляпунова нам понадо-
бятся следующие понятия. 
Пусть некоторая функция 


1
2
,
,...,
n
V x x
x
определена в некоторой 
окрестности 
:
G
G

x
начала координат 
0

x
и имеет непрерывные частные 
производные 
( )
,
1,
i
V
i
n
x



x
. 
(13.13) 


1
2
,
,...,
n
V x x
x
называется: 
– знакопостоянной (знакоположительной или знакоотрицательной) в 
области 
G
, если для любого 
,
G

x
( )
0 ( ( )
0)
V
V


x
x
. 
– знакоопределенной (определенно положительной или определенно 
отрицательной) в области 
G
, если для любого 
,
G

x
( )
0 ( ( )
0)
V
V


x
x
, но 
( )
0
V

x
тогда и только тогда, когда 
0

x
. 

105

Полной производной функции ( )
V x
по времени 
t
называется функция 
1
1
( )
( )
( )
( )
n
n
i
i
i
i
i
i
dV
V
dx
V
f
dt
x
dt
x










x
x
x
x
. 
(13.14) 
По определению
1
2
( )
( )
( )
,
,...,
( )
T
n
V
V
V
gradV
x
x
x













x
x
x
x
. 
(13.15) 
Тогда с учетом (13.15) полную производную (13.14) можно предста-
вить в виде 


( )
( ), ( )
dV
gradV
f
dt

x
x
x
. 
(13.16) 
Из (13.12) видно, что 
( )
f x
– в пространстве состояний является векто-
ром фазовых скоростей. Следовательно, если в (13.16)
( )
0
dV
dt

x
. 
(13.17) 
Фазовые траектории пересекают поверхность 
( )
V
с

x
в сторону убы-
вания. Это свойство является основой теоремы Ляпунова об устойчивости. 
Если для системы (13.12) существует положительно определенная 
функция (Ляпунова) 
( )
V x
, производная которой в силу системы (13.12) зна-
коотрицательна, то тривиальное решение 
( )
0
t

x
системы (13.12) устой-
чиво по Ляпунову. 
Доказательство.
Возьмем произвольное 
0


и рассмотрим множе-
ство 
x
,


x
: 
inf
( )
0
V



 
x
x
. 
(13.18) 
Так как 
(0)
0
V

и 
( )
V x
непрерывна можно указать окрестность δ нача-
ла координат такую, что если 
0
( )
t


x
, то 
0
( ( ))
V
t


x
. 
Рассмотрим неко-
торое решение 
( )
t
x
, удовлетворяющее условию 
0
( )
t


x
. Т.к. 
( )
0
dV
dt

x
( ( ))
V
t
x
убывает с ростом аргумента 
t
, т.е. 
0
( ( ))
( ( ))
V
t
V
t



x
x
. Следова-
тельно, 
( ( ))
V
t


x
, и в силу (13.18) 
( )
t


x
, 
что соответствует определению устойчивости по Ляпунову. 

106 
13.4. Анализ устойчивости дискретных нелинейных систем
прямым методом Ляпунова 
Формулировка и теоремы прямого метода Ляпунова для импульсных 
систем аналогичны приведенным выше формулировкам для непрерывных 
систем. Однако имеются некоторые отличия, связанные с дискретностью 
процессов. Рассмотрим автономную нелинейную импульсную систему 


 
1
(
)
k
k
  
x
x
, 
(13.19) 
где 
(0)
0


и 
( )

x
однозначная и кусочно-непрерывная в окрестности 
H
начала координат.
Определение устойчивости по Ляпунову для импульсных систем фор-
мулируется также как и выше, только вместо 
 
t
x
рассматривается 
 
k
x
. 
Положение равновесия 
 
k
x
устойчиво по Ляпунову, если для любого 
0


найдется 
 
0
 

такое, что произвольная траектория, начальная 
точка которой в 

– окрестности начала координат, т.е. 
 
0


x
не поки-
дает 

– окрестности начала координат при всех 
0
k

. 
Функция Ляпунова
в данном случае определяется как вещественная ска-
лярная функция 
 
(
)
( )
k
V
k
V

x
x
, которая при всех 
H

x
: 
1. Однозначна и непрерывна по 
x
. 
2. 
( )
0
k
V

x
при 
0

x
. 
3. 
(0)
0
k
V

и
( )
k
V
 
x
при 
x
стремящемся к границе области 
H
. 
4. 


 
( )
(
1
(
)
0
k
k
k
V
V
k
V
k


 

x
x
x
при всех
G
H
 
x
.
Нетрудно заметить, что в данном определении функции Ляпунова вме-
сто производной фигурирует разность 
( )
k
V

x
. 
Теоремы прямого метода Ляпунова для цифровых систем являются 
естественным обобщением непрерывных аналогов на дискретный случай. В 
частности, имеет место аналог теоремы об устойчивости положения равно-
весия. 
Если в некоторой окрестности 
G
H

начала координат системы 
(13.18) существует функция Ляпунова 
( )
k
V x
, то начало координат устой-
чиво по Ляпунову. 
Если, кроме того, 
( )
k
V

x
– является положительно-определенной 
функцией в окрестности 
G
, то начало координат устойчиво асимптотически. 

107

Доказательства этих утверждений аналогичны доказательству, приве-
денному в разделе 13.3 для непрерывных систем. Отличие состоит в том, 
что в данном случае вместо производной функции Ляпунова рассматрива-
ется последовательность функций Ляпунова 
( )
k
V x
, убывающих с ростом 
дискретного аргумента 
k
в силу того, что 
( )
0
k
V



жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: