Лекция базовые понятия тензорного исчисления
жүктеу/скачать 38,63 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- О ковариантных векторах
- Вектор градиента естественно ковариантен
| Правило Эйнштейна
Тензорное исчисление зародилось в середине XIX века, но было не слишком в ходу. Свое настоящее признание оно получило в связи с общей теорией относительности Эйнштейна, которая не может быть изложена иначе, как в тензорной форме. Правило Эйнштейна позволяет еще более упростить запись многих тензорных выражений. В соответствии с этим правилом, выражение для квадрата длины запишется компактнее: Правило состоит в том, что по индексу, встречающемуся дважды (один раз наверху, другой раз внизу) подразумевается суммирование. То есть, aibi – это просто сокращенная запись выражения: . Здесь индекс i (пробегающий значения 1, 2, 3) называется немым: в результирующее выражение он не вошел – как бы «сократился». В подобных случаях говорят, что произведена свертка. О ковариантных векторах В пространстве задано скалярную функцию . Построим частные производные: . Если эти величины рассматривать как компоненты, то можно убедиться, что мы имеем дело с вектором: при повороте осей пересчет координат будет по стандартным формулам. Такой вектор, как известно, называют градиентом поля. Пусть масштаб первой оси снова сжали в N раз. Единица протяженности сократилась, но само поле-то не изменилось. Ясно, что изменение поля в пересчете на новую, уменьшенную единицу будет соответственно меньше: Компонента вектора изменилась в те же сторону, что и масштаб оси! Причина ясна: сами выражения для компонент имеют внутри себя зависимость от координат. Такое свойство векторов называется ковариантностью. Вектор градиента естественно ковариантен в том базисе, в котором задано поле. Тензоры Перепишем еще раз формулы (*) получения ковариантных компонент из исходных контравариантных: (*) Эти равенства есть результат умножения двух матриц: Мы говорили, что вектор -это частный случай тензора. Пора уточнить, что жүктеу/скачать 38,63 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|