Лекция Рационал және иррационал өрнектерді түрлендіру Жоспар: І. Бірмүше және көпмүше, оларға амалдар қолдану. Көпмүшені қалдықпен бөлу. ІІ. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу

І. Бірмүше және көпмүше, оларға амалдар қолдану. Көпмүшені қалдықпен бөлу.

ІІ. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу.

ІІІ. Жай бөлшектер. Рационал бөлшектерді жай бөлшектер қосындысына түрлендіру.

ІV Түбір ұғымы, арифметикалық түбір.

V. Рационал көрсеткішті дәреже және оның қасиеттері.

VІ. Иррационал өрнектерді түрлендіру.

VII. Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылу.

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   ;
   
5. 
   ;
   
6. 
   ;
   
7. 
   және т.с.с.
   

Ал егер алгебралық өрнек қосу, азайту, натурал көрсеткішке дәрежелеу, көбейту және айнымалыға бөлу амалдарынан құралса, онда ол өрнек бөлшек өрнек деп аталады, оған 3, 4 мысалдар жатады.

Бүтін және бөлшек өрнектер рационал өрнектер деп аталады, оған 1, 2, 3, 4, 6 мысалдар жатады.

Алгебралық өрнектің мағынасы болатындай айнымалылардың мәні – айнымалылардың мүмкін мәндері деп аталады. Айнымалылардың мүмкін мәндерінің жиыны алгебралық өрнектің анықталу облысы деп аталады.

Әрқайсысы не сан, не әріп, не әріптің дәрежесі болып келетін екі немесе бірнеше көбейткіштердің көбейтіндісі бірмүше деп аталады. Мысалы, , , - бірмүшеліктер. Бірмүшеліктердің сандық көбейткіші – оның коэффициенті деп аталады.

А) Бірнеше бірмүшелерді қосу үшін оларды бірінен соң бірін өз таңбаларымен жазып, егер болса, ұқсас мүшелерін біріктіру керек.

ә) Бірмүшені алу үшін оны қарама-қарсы таңбамен азайғышқа тіркеп жазу керек.

Б) Бірмүшені бірмүшеге көбейту үшін олардың коэффициенттерімен өзара көбейтіп, бірдей әріптерді дәреже көрсеткіштерін қосу керек.

В) Бірмүшені бірмүшеге бөлу үшін бөлінгіштің коэффициентін бөлгіштің коэффициентіне бөліп, бөлінгіштегі әріптердің көрсеткішінен бөлгіштегі сондай әріптердің көрсеткішінен шегеру керек.

Г) Бірмүшені бір дәрежеге дәрежелеу үшін оның әрбір көбейткішін сол дәрежеге дәрежелеп, нәтижелерін өзара көбейтсе болғаны.

Бірмүшелердің алгебралық қосындысы көпмүше деп аталады.

А) Көпмүшені қосу үшін оның барлық мүшелерін өз таңбаларымен бірінен соң бірін тіркеп жазады, егер болса, ұқсас мүшелерін біріктіреді.

ә) Көпмүшені азайту үшін, оның әрбір мүшесін қарама-қарсы таңбасымен тіркеп жазады.

Б) Көпмүшені бірмүшеге көбейту үшін көпмүшенің әрбір мүшесін осы бірмүшеге көбейтіп, нәтижелерін өзара қосу керек.

В) Көпмүшені көпмүшеге көбейту үшін бірінші көпмүшенің әрбір мүшесін, екінші көпмүшенің әрбір мүшесіне көбейтіп, шыққан көбейтінділерді қосу керек.

Г) Көпмүшені бірмүшеге бөлу үшін сол бірмүшеге бөлінгіштің барлық мүшелерін жеке-жеке бөліп, шыққан бөлінділерді қосу керек.

Ғ) Көпмүшені көпмүшеге бөлу үшін оларды өздеріне кіретін бір әріптің кемімелі дәрежесімен реттелген көпмүше түрінде жазып алу керек. Содан кейін бөлінгіштің жоғарғы мүшесін бөлгіштің жоғарғы мүшесіне бөлеміз де бөліндінің жоғарғы мүшесін шығарып аламыз. Оған бөлгішті көбейтеміз де одан шыққан көбейтіндіні бөлінгіштен шегереміз.

Осылайша бөлуді қалдықта ноль шыққанша немесе қалдықтың жоғарғы мүшесінің дәреже көрсеткіші бөлгіштің жоғарғы мүшесінің дәреже көрсеткішінен кем болғанша жүргізе береміз. Мұның соңғы жағдайы қалдықпен бөлу болып табылады.

Қалдықпен бөлуді формула түрінде жазайық. М мен N сәйкес бөлінгіш және бөлгіш көпмүшелер болсын. Бөлінді көпмүшені Q деп, қалдық көпмүшені R деп белгілейік. Сонда: M=NQ+R.

Көпмүшені х-а айырымына бөлу.

Безу теоремасы. Көпмүше х-а айырымына бөлінуі үшін а санының осы көпмүшеліктің түбірі болуы қажетті және жеткілікті.

Егер х=а болғанда көпмүшенің мәні нольге тең болса, онда а саны – көпмүшенің түбірі деп аталады.

Көпмүшені х-а айырымына бөлгендегі қалдық сол көпмүшенің х=а болғандағы мәніне тең.

ІІ. Көпмүшені бірнеше көпмүшелердің көбейтіндісі түрінде келтіруді оны көбейткіштерге жіктеу деп атайды.

Егер көпмүше көбейткіштерге жіктелетін болса, онда ол келтірімді көпмүше деп аталады, кері жағдайда келтірілмейтін көпмүше деп аталады.

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің тәсілдері.

А) Егер көпмүшенің барлық мүшелерінің ортақ көбейткіші болса, онда оны жақшаның сыртына шығаруға болады:

ә) Топтау тәсілі. Ортақ көбейткіштері бар мүшелерді топтап, ол көбейткіштерді жақшаның сыртына шығару арқылы жіктеу:

Кейде алдымен жаңа мүшелер енгізіп немесе көпмүшенің бір мүшесін екі қосылғыштарға ажыратып барып топтау тәсілін қолданады:

В) Квадрат үшмүшені жіктеу. түріндегі өрнек квадрат үшмүше деп аталады.

1. 
   болғанда, үшмүше түріне келеді. Бұл жағдайда р-ны көбейтіндісі q-ды беретін екі қосылғышқа бөлектеу керек. Одан кейін топтау тәсілін қолданамыз:
   

2. 
   - кез келген сан болсын, онда үшмүшесінде -ны көбейтіндісі -ны беретін екі қосылғышқа бөліктеу керек. Одан кейін топтау тәсілін қолданамыз:
   

ІІІ. Бүтін екі алгебралық өрнектердің бөліндісі алгебралық бөлшек деп аталады. Бөлінгіш – алым, ал бөлгіш – бөлім деп аталады. Мысалы, т.с.с.

Арифметикалық бөлшектер алгебралық бөлшектердің дербес түрі болып саналады.

IV. Математикалық индукция әдісі.

Бұл әдіс төмендегідей тұжырымдалады:

натурал n санына байланысты тұжырым кез келген n саны үшін төмендегі шарттар орындалса дұрыс болады, яғни

1) n=1;

2) n=k;

Алдымен тұжырымның n=1 дұрыстығына көз жеткіземіз, бұл бөлім индукцияның базисі деп аталады. Келесі дәлелденетін бөлім индукциялық қадам деп аталады. Ол n=k+1 үшін n=k дұрыстығына сүйене дәлелдеу.

Мысалы, өрнегінің дұрыстығын математикалық индукция әдісін қолданып дәлелдеу керек.

Дәлелдеу. Мұндағы және .

1. 
   n=1: A(1)=B(1) – ақиқат.
   
2. 
   n=k: A(k)=B(k) – дұрыс деп ұйғарамыз.
   

3. 
   n=k+1: A(k+1)=B(k+1) – дәлелдеу керек.
   

- санының - дәрежелі арифметикалық түбірі деп атап, белгілейді. саны – түбір астындағы сан, – түбірдің көрсеткіші. Егер болса, онда жазылады да, бұл өрнек квадрат түбір деп аталады.

Жиі «түбір» терминінің орнына «радикал» термині қолданылады.

Сонымен , , . , .

Егер және болса, жұп сан болса, теңдігі орындалмайды. Бұл нақты сандар жиынында жұп дәрежелі түбірді табуға келмейтіндігін көрсетеді. Ал тақ сан болса, теңдігі орындалатындай жалғыз сан табылады. Бұл түрінде жазылып, теріс санынан тақ дәрежелі түбірі деп аталады.

Егер және , r, s – кез келген рационал сан болса, онда төмендегі қасиеттерорындалады:

Егер түбір астындағы өрнек көбейткіштерге жіктеліп және сол көбейткіштердің кейбіреуінің дәл түбірі болса, онда оны түбір таңбасының алдына шығаруға болады: .

Мысалы,

1) ;

2) .

Кейде түбір таңбасының алдында тұрған көбейткіштерді түбір таңбасының астына алған орынды. Ол үшін түбір таңбасының алдындағы көбейткіштерді көрсеткіші сол түбірдің көрсеткішіне тең дәрежеге шығарып, нәтижесін түбір таңбасының астына көбейткіш етіп жазса болғаны: .

Мысалы,

1) ;

2) .

Түбір астындағы өрнекті бөлімінен құтқару үшін рационал көрсеткішті дәреженің қасиетін, түбір таңбасының астына алуды пайдаланамыз: .

Мысалы, .

VIII. Бөлшектің бөліміндегі радикалдан құтылу, екінші сөзбен айтқанда бөлшектің бөліміндегі иррационалдықты жою деп те аталады. Мұның төмендегідей «жабайы» тәсілдері бар:

1) ;