Массалар центрінің аз ауытқуынан туындайтын ұйытқуларды ескеріп

 

28 

 

3  Массалар  центрі  аз    ауытқыған  магниттелген  серіктің  қозғалыс 

теңдеулері мен дербес шешімдері 

 

3.1 Ұйытқушы күштері жоқ серіктің прецессиясыз, нутациясыз және  

меншікті  айналусыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері 

 

Прецессиясыз  қозғалысты  қарастырайық,  яғни 

0

;

0













  шарттары 

орындалатын жағдайдағы қозғалыс. 

Қозғалыс теңдеуін құрайық: 

 

.

0

;

0

;



















































T

T

dt

d

T

T

dt

d

T

T

dt

d







                                (3.1) 

 

Сонда (1.7) өрнектерді ескеріп, ізделініп отырған 

)

(

),

(

),

(

t

t

t



















 

шамаларына байланысты үш екінші ретті теңдеулер жүйесін аламыз: 

 





0

C

;

0

;

cos



























A

C

dt

d

                                                       (3.2) 

 

(3.2)  теңдеулер  жүйесінің  екінші  және  үшінші  теңдеулерін  екі  рет 

интегралдасақ, 



 және 



 бұрыштарының сызықты өзгеретінін байқаймыз:  

 

                                         









.

4

3

1

;

2

1

1

c

t

c

C

c

t

c

A













                                                      (3.3) 

 

Мұндағы,  

4

,

3

,

2

,

1

c

c

c

c

- интегралдау тұрақтылары. 

 

.

sin

3









с





                                                           (3.4) 

 

Демек,  меншікті  айналу  және  прецессия  бұрыштары  тұрақты  шамаларға 

тең,  ал  нутация  бұрышы  сызықты  заңмен  өзгергенде  басқару  моменті  қажет 

болмайды. 

Нутациясыз  қозғалыс 

0

;

0













  шарттарымен  анықталады.  Онда 

серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:  

 

.

0

;

;

0



















































T

T

dt

d

T

T

dt

d

T

T

dt

d







                         (3.5) 

 

29 

 

Олар ізделінді 

)

(

),

(

),

(

t

t

t



















 шамаларына қатысты үш теңдеулер 

жүйесін береді: 

 













.

2

0

cos

;

0

sin

2

0

cos

0

sin

;

1

0

cos

0

2

cos

0

2

sin

c

C

C

С

C

A

c

C

C

A































































                             (3.6) 

 

Мұндағы,  

2

1

, c

c

- интегралдау тұрақтылары. 

(3.6)  теңдеулер  жүйесінің  бірінші  және  үшінші  теңдеулерін  бір-біріне 

қатысты  өрнектеп,  шешетін  болсақ,  онда  прецессия  мен  меншікті  айналу 

бұрыштарын анықтайтын мынадай тәуелділіктерді аламыз: 

 

.

4

2

2

3

1

1

2

2

1

;

3

2

2

3

1

2

2

1

3

c

t

S

S

S

c

S

c

S

c

t

S

S

S

c

S

c

S





























































                                           (3.7)  

 

            Мұндағы: 

                                   

.

0

cos

0

sin

)

(

4

;

3

;

0

cos

2

;

0

2

cos

0

2

sin

1











C

A

S

C

S

C

S

C

A

S













  

 

 

















.

4

3

2

2

1

4

2

2

1

2

2

2

2

3

1

2

2

1

3

S

S

S

c

S

S

S

S

c

S

S

S

c

S

c

S















                    (3.8) 

 

Нутация  бұрышы  тұрақты  болғанда  прецессия  және  меншікті  айналу 

бұрыштары  (3.7)  сызықты  қатынастарымен  анықталып,  басқару  моменті  (3.8) 

шамасына тең болады.  

Меншікті  айналусыз  қозғалыс 

0

;

0













  шарттарымен  анықталады. 

Онда серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:  

 

.

;

0

;

0



















































T

T

dt

d

T

T

dt

d

T

T

dt

d







                         (3.9) 

 

30 

 

Олар ізделінді 

)

(

),

(

),

(

t

t

t



















 шамаларына қатысты үш теңдеулер 

жүйесін береді: 

 













.

cos

;

0

2

cos

sin

;

1

2

cos

2

sin











































C

dt

d

C

A

A

c

C

A

                                       (3.10) 

 

Мұндағы, 

1

c

- интегралдау тұрақтысы. 

(3.10)  теңдеулер  жүйесінің  біріншісінен 





  -  прецессия  бұрышының 

жылдамдығын тауып, екінші теңдеуге қойып, 



  -ға  бір  рет  интегралдасақ, 



  - 

ға және 



 -ге  қатысты бірінші ретті сызықты емес теңдеулер жүйесін аламыз: 

 













.

2

cos

2

sin

1

;

2

cos

2

sin

2

1

2

cos

2

sin

2

















С

A

c

С

A

c

С

A

c

















                                   (3.11)  

 

Мұндағы, 

2

c

- интегралдау тұрақтысы. 

 

Ал  басқару  моменті  нутация  бұрышына  тәуелді  өзгеріп,  келесі 

қатынаспен анықталады: 

 

                            













;

cos

cos

sin

2

2

2

1











C

A

A

C

A

A

Cc















                                     (3.12) 

 

(3.11) теңдеулер жүйесінің шешімін Рунге-Куттың сандық әдісі көмегімен 

қосымшада келтірілген. 

 

3.2

 

Магниттелетін серіктің прецессиясыз,  нутациясыз және меншікті 

айналусыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері 

 

Прецессиясыз қозғалысты қарастырайық, яғни 

0

;

0













 шарттары 

орындалатын жағдайдағы қозғалыс. 

Қозғалыс теңдеуін құрайық: 

 

.

;

;





















d

dU

T

T

dt

d

d

dU

T

T

dt

d

d

dU

T

T

dt

d













































                      (3.13) 

 

31 

 

Сонда (1.7) өрнектерді ескеріп, ізделініп отырған 

)

(

),

(

),

(

t

t

t



















 

шамаларына байланысты үш екінші ретті теңдеулер жүйесін аламыз: 

 





0

C

;

sin

cos

;

cos



































A

C

dt

d

                                                       (3.14) 

 

(3.14) теңдеулер жүйесінің үшінші теңдеуін шешетін болсақ:  

 





.

2

1

1

c

t

c

C







                                                      (3.15) 

 

Мұндағы: 

2

1

, c

c

-  интегралдау  тұрақтылары.  (3.14)    жүйенің  екінші 

теңдеуін 



 -ға қатысты бір рет интегралдасақ, онда бірінші ретті сызықты емес 

теңдеу аламыз: 

 

.

2

sin

1

3





S

c







                                               (3.16) 

 

Мұндағы,  

.

1

,

3

A

S

const

c







 

Бұл жағдайда (3.14) жүйенің бірінші теңдеуінен басқару моменті нутация 

бұрышына сәйкес келесі түрде өзгереді: 

 

                                       

;

sin

1









c





                                                         (3.17) 

 

(3.16)    теңдеудің  шешімі  Рунге-Куттың  сандық  әдісі  көмегімен 

қосымшада келтірілген. 

Нутациясыз  қозғалыс 

0

;

0













  шарттарымен  анықталады.  Онда 

серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:  

 

.

;

;





















d

dU

T

T

dt

d

d

dU

T

T

dt

d

d

dU

T

T

dt

d













































                  (3.18) 

 

Олар ізделінді 

)

(

),

(

),

(

t

t

t



















 шамаларына қатысты үш теңдеулер 

жүйесін береді: 

 

 

32 

 













.

2

0

cos

;

0

sin

0

cos

0

sin

2

0

cos

0

sin

;

1

0

cos

0

2

cos

0

2

sin

c

C

C

С

C

A

c

C

C

A









































































                   (3.19) 

 

Мұндағы, 

2

1

, c

c

- интегралдау тұрақтылары 

(3.19)  теңдеулер  жүйесінің  бірінші  мен  үшінші  теңдеуілерін  бір-біріне 

қатысты өрнектеп шешетін болсақ, онда мынадай тәуелділікті аламыз: 

 

.

4

2

2

3

1

1

2

2

1

;

3

2

2

3

1

2

2

1

3

c

t

S

S

S

c

S

c

S

c

t

S

S

S

c

S

c

S





























































                                          (3.20)  

 

               Мұндағы: 

                                      

.

0

cos

0

sin

5

;

0

cos

0

sin

)

(

4

;

3

;

0

cos

2

;

0

2

cos

0

2

sin

1































S

C

A

S

C

S

C

S

C

A

S

  

 

















.

5

4

3

2

2

1

4

2

2

1

2

2

2

2

3

1

2

2

1

3

S

S

S

S

c

S

S

S

S

c

S

S

S

c

S

c

S

















                (3.21) 

 

Нутация  бұрышы  тұрақты  болғанда,  прецессия  және  меншікті  айналу 

бұрыштары (3.20) сызықты қатынастарымен анықталып, басқару моменті (3.21) 

шамасына тең болады.  

Меншікті  айналусыз  қозғалыс 

0

;

0













  шарттарымен  анықталады. 

Онда серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:  

 

.

;

;



























































d

dU

T

T

dt

d

d

dU

T

T

dt

d

d

dU

T

T

dt

d







               (3.22) 

 

Олар ізделінді 

)

(

),

(

),

(

t

t

t



















 шамаларына қатысты үш теңдеулер 

жүйесін береді: 

жүктеу/скачать 3,8 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: